На 3 меньше чем наименьшее четырехзначное число

На 3 меньше чем наименьшее четырехзначное число

Найдите четырёхзначное число, кратное 88, все цифры которого различны и чётны. В ответе укажите какое-нибудь одно такое число.

Число делится на 88, если оно делится на 8 и на 11. Признак делимости на 8: число делится на 8 тогда и только тогда, когда три его последние цифры — нули или образуют число, которое делится на 8. Признак делимости на 11: число делится на 11, если сумма цифр, которые стоят на четных местах равна сумме цифр, стоящих на нечетных местах, либо разность этих сумм делится на 11. Используя признак делимости на 8, и учитывая, что все цифры искомого числа должны быть чётны и различны получаем, что последними цифрами числа могут быть: 024, 048, 064, 208, 240, 264, 280, 408, 480, 608, 624, 640, 648, 680, 824, 840, 864. Используя признак делимости на 11 получим, что условию задачи удовлетворяют числа: 6248, 8624, 2640.

Ответ: 2640, 6248 или 8624.

Приведём идею другого решения.

Искомое число должно быть записано четырьмя из пяти цифр 0, 2, 4, 6 и 8, каждая из которых взята один раз. Причём сумма цифр в разрядах тысяч и десятков должна быть равна сумме цифр в разрядах сотен и единиц, а три последние цифры искомого числа должны образовывать трёхзначное число, кратное восьми. Пусть в разряде тысяч стоит 8, тогда в разряде десятков должна быть 2, а в разряде сотен и единиц — цифры 4 и 6. Заметим, что число 8624 удовлетворяет условию. Далее аналогично для чисел, начинающихся с 2, 4 и 6.

Найти четырехзначное число, кратное 44, любые две соседние цифры которого отличаются на 1. В ответе укажите любое такое число.

Если число делится на 44, то оно делится на 4 и на 11. Так как число делится на 4 и две последние цифры должны отличаться на 1, число должно заканчиваться на 12, 32, 56, 76.

Пусть число имеет вид Число делится на 11, если модуль разности сумм цифр, стоящих на чётных и нечётных местах, делится на 11. В нашем случае, если делится 11.

Но модуль равен 1, модуль равен 1, а значит принимает значения Из них делится на 11 только число 0. Значит, Необходимо подобрать такие комбинации цифр, чтобы сумма цифр чётных разрядов была равна сумме цифр нечётных разрядов, и при этом эти цифры не должны отличаться друг от друга более, чем на 1.

Такими числами являются 1012, или 3432, или 5456, или 3212, или 1232, или 5676, или 7876, или 7656.

Ответ: 1012, или 3432, или 5456, или 3212, или 1232, или 5676, или 7876, или 7656.

Условие «любые две соседние цифры отличаются на 1» означает, что каждые две соседние цифры должны отличаться на 1, поэтому числа 4356, 3476, 4576 не подходят, поскольку вторая и третья цифры в них различаются более, чем на 1.

Источник

На 3 меньше чем наименьшее четырехзначное число

Приведите пример четырёхзначного числа, кратного 12, произведение цифр которого больше 25, но меньше 30. В ответе укажите ровно одно такое число.

Так как число делится на 12, то оно также делится на 3 и на 4. Это, в свою очередь, значит, что сумма цифр числа делится на 3, а число, образованное последними двумя цифрами делится на 4. Пусть наше число имеет вид Тогда условие можно записать так:

Понятно, что — чётная цифра. Тогда произведение может быть равно или 26, или 28. Но 26 оно не может быть равно, так как а цифры, как известно, меньше 10. Значит, произведение цифр равно 28. Сумма цифр делится на 3 в наборе (7, 2, 2, 1). Так как число делится на 4, то последней цифрой будет 2, а тогда предпоследней или 1, или 7. Остальные цифры можно поставить как угодно. В итоге получим числа: 1272, 2172, 2712, 7212.

Ответ 7221 также является правильным, пожалуйста внесите его в список возможных ответов.

Произведение цифр в числе 1740 равно нулю

а почему неправильно? 1722

Не подходит, так как число 1722 не делится на 12 без остатка.

Приведите пример четырёхзначного числа, кратного 15, произведение цифр которого больше 35, но меньше 45. В ответе укажите ровно одно такое число.

Искомое число делится на 15, а значит, делится на 3 и на 5. Следовательно, сумма его цифр делится на 3 и последняя его цифра 0 или 5. Поскольку произведение цифр не равно нулю, никакая из цифр числа не равна нулю, а значит, последняя цифра числа — 5.

Тогда произведение цифр делится на 5. Заметим, что в интервале (35; 45) только число 40 делится на 5, давая 8. Значит, произведение первых трех цифр равно 8. Этому условию удовлетворяют только три набора: 1, 1, 8; 1, 2, 4 и 2, 2, 2. Из них только 1, 1, 8 и 1, 2, 4 в сумме с числом 5 дают число, делящееся на 3.

Выпишем получившиеся числа: 1185, 1815, 8115, 1245, 1425, 2145, 2415, 4125, 4215. Любое из этих чисел является ответом к задаче.

Приведите пример четырёхзначного числа, кратного 12, произведение цифр которого больше 40, но меньше 45. В ответе укажите ровно одно такое число.

Если число делится на 12, то оно делится на 3 и на 4. Если число делится на 3, то сумма всех его цифр тоже делится на 3. Если число делится на 4, то число, образованное двумя последними его цифрами тоже делится на 4. Пусть наше число имеет вид тогда условие записывается так:

В интервале находятся числа 41, 42, 43, 44. 41 и 43 — простые, а 44 делится на 11 — тоже простое. Таким образом, 41, 43 и 44 не подходят, потому что не могут быть представлены в виде произведения. То есть Два набора цифр подходят как решение: (1, 2, 3, 7) и (1, 1, 6, 7). Но в первом наборе сумма цифр не кратна трём, так что он отпадает. Имеем (1, 1, 6, 7). Последняя цифра в числе должна быть чётной, иначе число не будет делиться на 4. Остальные цифры могут стоять в любом порядке.

Выпишем искомые числа: 1176, 1716, 7116.

Я ввела число 3720. Оно же кратно 12, и произведение его цифр равно 42, т.е. больше 40, но меньше 45. Почему мне засчитали ошибку?

Добрый день! Произведение цифр числа 3720 равно нулю.

Найдите четырёхзначное число, кратное 15, произведение цифр которого больше 0, но меньше 25. В ответе укажите какое-нибудь одно такое число.

Искомое число делится на 15, а значит, делится на 3 и на 5. Следовательно, сумма его цифр делится на 3 и последняя его цифра 0 или 5. Поскольку произведение цифр не равно нулю, никакая из цифр числа не равна нулю, а значит, последняя цифра числа — 5.

Тогда произведение цифр делится на 5. Заметим, что в интервале (0; 25) только числа 5, 10, 15 делятся на 5, давая 1, 2 и 3 соответственно. Значит, произведение первых трех цифр равно 1, 2 и 3 соответственно. Этому условию удовлетворяют только три набора: 1, 1, 1; 1, 1, 2 и 1, 1, 3. Из них только 1, 1, 2 в сумме с числом 5 дают число, делящееся на 3.

Выпишем получившиеся числа: 1125, 1215, 2115. Любое из этих чисел является ответом к задаче.

Ответ: 1125, 1215, 2115.

Найдите четырёхзначное число, кратное 18, произведение цифр которого больше 10, но меньше 16. В ответе укажите какое-нибудь одно такое число.

Искомое число делится на 18, а значит, делится на 9 и на 2. Следовательно, сумма его цифр делится на 9 и последняя его цифра чётная. Поскольку произведение цифр не равно нулю, никакая из цифр числа не равна нулю, а значит, последняя цифра числа — 2, 4, 6, 8.

Рассмотрим число 2. Заметим, что в интервале (10; 16) только числа 12, 14 делятся на 2, давая 6 и 7 соответственно. Значит, произведение первых трех цифр равно 6 и 7 соответственно. Этому условию удовлетворяют только три набора: 1, 2, 3 и 1, 1, 7. Из них ни один в сумме с числом 2 не даёт число, делящееся на 9.

Рассмотрим число 4. Заметим, что в интервале (10; 16) только число 12 делится на 4, давая 3. Значит, произведение первых трех цифр равно 3. Этому условию удовлетворяет только набор: 1, 1, 3. Этот набор чисел в сумме с числом 4 даёт число, делящееся на 9. Выпишем получившиеся числа: 1134, 1314, 3114. Любое из этих чисел является ответом к задаче.

Рассмотрим число 6. Заметим, что в интервале (10; 16) только число 12 делится на 6, давая 2. Значит, произведение первых трех цифр равно 2. Этому условию удовлетворяет только набор: 1, 1, 2. Этот набор чисел в сумме с числом 6 не даёт число, делящееся на 9.

Число 8 можно не рассматривать, поскольку в интервале (10; 16) нет чисел, делящихся на 8.

Ответ: 1134, 1314, 3114.

Найдите четырёхзначное число, кратное 18, произведение цифр которого больше 16, но меньше 24. В ответе укажите какое-нибудь одно такое число.

Искомое число делится на 18, а значит, делится на 9 и на 2. Следовательно, сумма его цифр делится на 9 и последняя его цифра чётная. Поскольку произведение цифр не равно нулю, никакая из цифр числа не равна нулю, а значит, последняя цифра числа — 2, 4, 6, 8.

Рассмотрим число 2. Заметим, что в интервале (16; 24) только числа 18, 20 и 22 делятся на 2, давая 9, 10 и 11 соответственно. Значит, произведение первых трех цифр равно 9 и 10 соответственно, произведение первых трёх цифр, равное 11, получить нельзя. Этому условию удовлетворяют только набор: 1, 3, 3. Этот набор чисел в сумме с числом 2 даёт число, делящееся на 9. Выпишем получившиеся числа: 1332, 3132, 3312. Любое из этих чисел является ответом к задаче.

Рассмотрим число 4. Заметим, что в интервале (16; 24) только число 20 делится на 4, давая 5. Значит, произведение первых трех цифр равно 5. Этому условию удовлетворяет только набор: 1, 1, 5. Этот набор чисел в сумме с числом 4 не даёт число, делящееся на 9.

Рассмотрим число 6. Заметим, что в интервале (16; 24) только число 18 делится на 6, давая 3. Значит, произведение первых трех цифр равно 3. Этому условию удовлетворяет только набор: 1, 1, 3. Этот набор чисел в сумме с числом 6 не даёт число, делящееся на 9.

Число 8 можно не рассматривать, поскольку в интервале (10; 16) нет чисел, делящихся на 8.

Источник

Мерзляк 6 класс — § 3. Признаки делимости на 9 и на 3

Вопросы к параграфу

1. Как узнать, делится ли число нацело на 9?

Надо посчитать сумму цифр числа. Если сумма цифр делится на 9, то и само число делится на 9.

2. Как по записи натурального числа определить, кратно оно 3 или нет?

Надо посчитать сумму цифр числа. Если сумма цифр делится на 3, то и само число делится на 3.

Решаем устно

1. Буквой n обозначили некоторое чётное число. Чётным или нечётным является число:

2. Какой цифрой оканчивается произведение:

1) 1 • 2 • 3 • 4 • 5 • 6 • 7 — цифрой 0, так как в произведении есть множители 2 и 5, которые дают произведению 0 на конце.

2) 1 • 3 • 5 • 7 • 9 • 11 • 13 — цифрой 5, так как в произведении есть цифра 5, но нет цифры 2. Значит произведение будет кратно 5, но не кратно 10.

3. Какие из чисел 184, 162, 243, 145, 210, 144, 153, 105, 230, 201 делятся нацело:

1) на 2

184, 162, 210, 144, 230 — все чётные числа.

2) на 5

145, 210, 105, 230 — все числа, оканчивающиеся на 5 или на 0.

3) на 10

210, 230 — все числа, оканчивающиеся на 0.

4) на 3

162, 243, 210, 144, 153, 105, 201 — все числа, сумма цифр которых делится на 3.

5) на 9

162, 243, 144, 153 — все числа, сумма цифр которых делится на 9.

4. Какое из чисел 2 045, 4 750, 7 254, 6 225 делится нацело на 3, но не делится на 2?

6 225 — так как это нечётное число, сума цифр которого делится на 3.

5. Какую из цифр 5, 8, 2, 1 надо поставить вместо звёздочки, чтобы число 5 6*5 было кратным 9?

6. Сколько существует двузначных чисел, кратных числу:

Это все двузначные числа, оканчивающиеся на 0 или на 5:

Это все двузначные числа, сумма цифр которых делится на 9:

Упражнения

73. Заполните таблицу (поставьте знак «+» в случае утвердительного ответа или знак «—» в ином случае).

74. Заполните таблицу (поставьте знак «+» в случае утвердительного ответа или знак «—» » ином случае).

75. Из чисел 8 937, 6 585, 37 828, 44 292, 9 462, 58 395, 23 646 выпишите те, которые делятся нацело:

1) на 3

8 937, 6 585, 44 292, 9 462, 58 395, 23 646 — так как сумма их цифр делится на 3.

2) на 9

8 937 — так как сумма цифр этого числа делится на 9.

3) на 3 и на 2

44 292, 9 462, 23 646 — так как это чётные числа и сумма их цифр делится на 3.

76. Из чисел 7 826, 1 215, 4 075, 2 880, 3 921, 9 319, 6 072, 8 142 выпишите те, которые делятся нацело:

1) на 3

1 215, 2 880, 3 921, 6 072, 8 142 — так как сумма цифр этих чисел делится на 3.

2) на 9

1 215, 2 880 — так как сумма цифр этих чисел делится на 9.

3) на 9 и на 5

1 215, 2 880 — так как эти числа заканчиваются на 0 или на 5, а сумма их цифр делится на 9.

77. Найдите все значения у, кратные:

1) числу 3, при которых верно неравенство 143 144, 147, 150, 153, 156, 159

2) числу 9, при которых верно неравенство 92 99, 108, 117, 126.

78. Найдите все значения m, кратные:

1) числу 3, при которых верно неравенство 324 327, 330, 333, 336, 339, 342.

2) числу 9, при которых верно неравенство 423 432, 441, 450, 459, 468, 477.

79. Вместо звёздочки поставьте такую цифру, чтобы получилось число, кратное 3 (рассмотрите все возможные случаи):

1) 54 84*

2) 3*6 393

3 0 6 393, 3 3 6 393, 3 6 6 393, 3 9 6 393.

3) 7 9*8

7 9 0 8, 7 9 3 8, 7 9 6 8, 7 9 9 8.

80. Вместо звёздочки поставьте такую цифру, чтобы получилось число, кратное 9 (рассмотрите все возможные случаи):

1) 62 8*1

2) 57* 582

3) 7 *51

81. Запишите:

82. Какую цифру можно поставить вместо звёздочки в записи 6 27*. чтобы полученное число делилось нацело и на 3, и на 5?

Цифру 0, чтобы получилось число 6 270:

83. Какую цифру можно поставить вместо звёздочки в записи 21 85*. чтобы полученное число делилось нацело на 3, но не делилось нацело на 2?

Цифру 5, чтобы получилось число 21 855:

84. Какую цифру можно поставить вместо звёздочки в записи 3 47*, чтобы полученное число делилось нацело и на 2, и па 3?

Цифру 4, чтобы получилось число 3 474:

85. Запишите наименьшее:

Цифры в записи числа не могут повторяться.

86. Запишите наибольшее четырёхзначное число, которое делится нацело:

87. Какое наименьшее число надо прибавить к данному, чтобы получить число, кратное 9:

88. Запишите, используя по одному разу каждую из цифр 0, 1. 4, 7, наибольшее и наименьшее четырёхзначные числа, кратные 15.

89. К числу 15 допишите слева и справа по одной цифре так, чтобы получившееся число было кратно 15. Сколько решений имеет задача?

Чтобы число было кратно 15, надо чтобы оно делилось на 5 и на 3:

Значит подходят числа:

Ответ: Задача имеет 6 решений: 3 150, 6 150, 9 150, 1 155, 4 155, 7 155.

90. К числу 34 припишите слева и справа по одной цифре так. чтобы получившееся число было кратно 45. Сколько решений имеет задача?

Чтобы число было кратно 45, надо чтобы оно делилось на 5 и на 9:

Значит подходят числа:

Ответ: Задача имеет 2 решения: 2 340, 6 345.

91. Вместо звёздочек поставьте такие цифры, чтобы четырёхзначное число *74* делилось нацело на 18. Найдите все решения.

Чтобы число было делилось нацело на 18, надо чтобы оно делилось на 2 и на 9:

Значит подходят числа:

Ответ: Задача имеет 5 решения: 7 740, 5 742, 3 744, 1 746, 8 748.

92. Вместо звёздочек поставьте такие цифры, чтобы четырёхзначное число 3 *4* делилось нацело на 9. Найдите все решения.

93. Папа Карло купил три пакета кефира, пачку масла за 45 сольдо, несколько буханок хлеба по 24 сольдо, шесть коробков спичек. Может ли вся покупка стоить 200 сольдо?

Пусть папа Карло заплатил за покупку:

Предположим, что такая покупка могла стоить ровно 200 сольдо. Тогда можно записать:

Мы видим, что каждое из слагаемых кратно 3. Значит можно записать:

Согласно распределительному свойству умножения, мы можем вынести число 3 за скобку:

Чтобы найти сумму в скобках, придётся 200 : 3

Это невозможно, так как 200 не делится на 3 нацело.

Значит наше предположение неверно и такая покупка не могла стоить 200 сольдо.

Ответ: Вся покупка не может стоить 200 сольдо.

94. Сначала вычислили сумму цифр числа, равного произведению 1 • 2 • 3 • … • 999 • 1 000. Потом вычислили сумму цифр полученного числа. Так поступали до тех пор, пока не получили однозначное число. Что это за число?

Как мы видим, в данном произведении находятся множители кратные всем натуральным числам, в том числе и кратные 2, 3, 5, 9 и 10.

Так как сумма цифр числа произведения делится на 9, то и число, обозначающее эту сумму цифр тоже будет обязательно делиться на 9.

После многократного повторения такого действия в результате останется число, сумма цифр которого равна 9.

Это значит, что в результате получиться число 9.

95. Рома и Дима записывают девятнадцатизначное число, используя только цифры 1, 2 и 4. Первую цифру пишет Рома, вторую — Дима, третью — снова Рома и так далее по очереди. Рома хочет получить в результате число, кратное 3. Может ли Дима помешать ему это сделать?

Представим, как могут развиваться события:

Вариант 1:

1 ход: Рома может поставить любую цифру, например 1;

2 ход: Дима хочет помешать и ставит цифру, которая сделает число не кратным 3, например 4;

3 ход: Рома видит, что сумма записанных цифр равна 5 и ставит цифру 1 или цифру 4, что позволит ему исправить ситуацию.

Игра продолжается и каждый раз Дима делает сумму цифр не кратную 3, а Рома исправляет ситуацию.

19 ход. Рома ходит последним и делает сумму цифр полученного числа кратную 3.

Рома выигрывает, поскольку он ходит последним, а цифр 1, 2 и 4 ему достаточно, чтобы сделать кратным число, некратное 3.

Вариант 2:

1 ход: Рома может поставить любую цифру, например 1;

2 ход: Дима, несмотря на своё намерение помешать, делает так, чтобы сумма записанных цифр была кратна 3;

3 ход: Роме приходится писать любую цифру, так как ни одно из разрешённых цифр не кратно 3.

Игра продолжается и каждый раз Дима делает сумму цифр кратную 3, а от действий Ромы ничего не зависит.

18 ход. Дима опять делает так, чтобы сумма записанных цифр была кратна 3.

19 ход. Рома проигрывает, так как какие бы из цифр 1, 2 или 4 он не записал, сумма всех цифр уже не будет кратной 3.

Для того, чтобы Дима смог помешать Роме, ему надо «поддаться» и на каждом ходу сделать сумму цифр кратную 3. Тогда Рома, который ходит последним, не сможет исправить ситуацию.

Ответ: да, Дима сможет это сделать.

Упражнения для повторения

96. Как изменится — увеличится или уменьшится — и на сколько девятизначное число, последняя цифра которого 0, а предпоследняя — 5, если эти две цифры поменять местами?

Пусть все неизвестные цифры этого девятизначного числа будут спрятаны за х. Тогда можно записать:

Мы видим, что исходное число больше, чем новое. Выполним вычитание столбиком:

Ответ: число уменьшится на 45.

97. Река Иртыш на 598 км длиннее реки Оби. Найдите длину каждой из этих рек, если их общая длина равна 7 898 км.

Пусть длина Оби х км, тогда длина Иртыша (х + 598 км). Можем составить уравнение:

х + (х + 598) = 7 898
2х + 598 = 7 898
2х = 7 898 — 598
2х = 7 400
х = 7 400 : 2
х = 3 700 (км) — длина Оби.

3 700 + 598 = 4 298 (км) — длина Иртыша.

Ответ: длина Иртыша — 4 298 км, а длина Оби — 3 700 км.

98. По маршруту Орёл — Тула — Москва выехал автомобиль. Какое расстояние между Орлом и Тулой, если оно на 5 км больше расстояния между Тулой и Москвой, а длина всего маршрута составляет 345 км?

Пусть х км расстояние между Тулой и Москвой. Тогда (х + 5) — расстояние между Орлом и Тулой. Можем составить уравнение:

х + (х + 5) = 345
2х + 5 = 345
2х = 345 — 5
2х = 340
х = 340 : 2
х = 170 (км) — расстояние межу Тулой и Москвой.

170 + 5 = 175 (км) — расстояние между Орлом и Тулой.

Ответ: между Москвой и Тулой 175 км.

99. Вычислите:

Готовимся к изучению новой темы

100. Упростите выражение, заменив произведение одинаковых множителей степенью:

101. Найдите значение выражения:

102. Запишите число 64 в виде степени с основанием:

Задача от мудрой совы

103. В чемпионате страны по футболу принимают участие 16 команд, каждая из которых имеет свой стадион. Все команды должны сыграть между собой, причём в каждом туре проводятся 8 игр. Можно ли составить расписание туров так, чтобы каждая команда по очереди играла на своём стадионе и на стадионе соперника?

Предположим, что возможно составить такое расписание. Для удобства разделим команды на 2 группы: красную и синюю. По 8 команд в каждой.

После 8 тура получится, что любая команда из красной группы уже сыграла с каждой командой из синей группы и наоборот.

Это значит, что дальше команды из красной группы должны играть между собой, а команды из синей группы — между собой.

Но, так как все команды одной группы одинаково чередовали свой и чужой стадион, то получиться, что у одного из соперников порядок чередования нарушится. Например, если должны сыграть 1 и 2 команда из красной группы, то они будут играть на стадионах:

То есть второй команде из красной группы придётся 2 раза подряд сыграть на стадионе соперника.

Это противоречит нашему предположению. Значит такое расписание составить невозможно.

Источник