На чем основано измерение поверхностного натяжения жидкостей методом капиллярного поднятия

1.4.1. Метод измерения капиллярного поднятия жидкости

Этот метод считают наиболее точным, потому что для него разработана довольно точная теория, а экспериментальные данные легко контролируются.

Метод измерения капиллярного поднятия основан на определении разности уровней жидкости в капилляре радиуса r и в широком сосуде. Расчет проводится по формуле Жюрена

, (1. 1.58)

Жидкость поднимается или опускается по капилляру до тех пор, пока высота мениска не достигнет высоты, при которой масса столба жидкости не уравняет давление внутри и снаружи капилляра. Процесс установления предельной высоты поднятия мениска жидкости в капилляре происходит достаточно долго. Так, например, для чистой воды h = 0,995 h_m достигается за 1,5 мин. Метод измерения капиллярного поднятия жидкости является одним из более точных и простых по аппаратурному оформлению и применяется там, где продолжительность формирования поверхности раздела фаз не ограничивается.

, (1. 1.59)

где P- измеренное уравновешивающее давление.

К недостаткам всех вариантов метода капиллярного поднятия жидкости следует отнести зависимость измеренного поверхностного натяжения от краевого угла смачивания жидкостью материала капилляра, что позволяет определить поверхностное натяжение при существовании поверхности в течение не менее 10 с; отсутствие возможности обновления поверхности в капилляре; высокую погрешность измерения динамического поверхностного натяжения. Кроме того, формула Жюрена, основанная на уравнении Лапласа для цилиндрического капилляра, не учитывает количества жидкости, находящейся в мениске (высотой x). Краевой угол смачивания капилляра жидкостью должен быть равен нулю и в каждом опыте необходимы довольно большие объемы растворов. Радиус большого капилляра 1 должен быть не менее 5 см. Щелочность раствора не должна приводить к растворению вещества капилляра. Для повышения точности измерений поверхностного натяжения следует вводить поправки, используя таблицы Сагдена.

Источник

Исследовательская работа «Измерение и исследование поверхностного натяжения»

Онлайн-конференция

«Современная профориентация педагогов
и родителей, перспективы рынка труда
и особенности личности подростка»

Свидетельство и скидка на обучение каждому участнику

ОБЛАСТНАЯ НАУЧНАЯ КОНФЕРЕНЦИЯ УЧАЩИХСЯ

Измерение и исследование поверхностного натяжения

Автор: Морунов Никита

учащийся 11 класса

Научный руководитель: Белоглазова Алёна Сергеевна

Глава 1 Поверхностное натяжение 4

Определение поверхностного натяжения 4

1.2 Способы определения 11

1.2.1Сталагмометрический метод 12

1.2.2 Метод измерения капиллярного поднятия жидкости 16

1.2.3 Метод вращающейся капли 18

1.2.4 Метод Дю Нуи (метод отрыва кольца) 18

1.2.5 Метод бегущих волн 18

1.3 Теоретическая формула поверхностного натяжения 19

1.4 Объединение пузырей 19

1.5 Интерференция и отражения 20

1.6 Изменение цвета пузыря со временем 21

1.7 Математические свойства 22

Глава 2 Экспериментальная часть 23

Эксперимент №1 «Определение поверхностного натяжения жидкости» 23

Эксперимент №2 «Расчёт толщины плёнки мыльного пузыря и экспериментальная проверка расчетов» 24

Эксперимент №3 «Выяснение влияния мыла на поверхностное натяжение воды» 24

Эксперимент №4 «Лопание мыльных пузырей» 25

Такие силы, как тяготение, упругость и трение, бросаются в глаза; мы ощущаем их непосредственно каждый день. Но в окружающем нас мире повседневных явлений действует еще одна сила, на которую мы обычно не обращаем никакого внимания. Сила эта сравнительно невелика, ее действия никогда не вызывают мощных эффектов. Тем не менее мы не можем налить воды в стакан, вообще ничего не можем проделать с какой-либо жидкостью без того, чтобы не привести в действие силы, о которых у нас сейчас пойдет речь. Это силы поверхностного натяжения.

Сила поверхностного натяжения – это сила, обусловленная взаимным притяжением молекул жидкости, направленная по касательной к ее поверхности.

Действие сил поверхностного натяжения приводит к тому, что жидкость в равновесии имеет минимально возможную площадь поверхности. При контакте жидкости с другими телами жидкость имеет поверхность, соответствующую минимуму ее поверхностной энергии.

Понятие «поверхностное натяжение» впервые ввел Я. Сегнер (1752 год).

К вызываемым поверхностным натяжением эффектам мы настолько привыкли, что не замечаем их, если не развлекаемся пусканием мыльных пузырей. Однако в природе и нашей жизни они играют немалую роль.

Цель работы: измерить и исследовать поверхностное натяжение мыльных растворов.

Задачи: 1) разобрать и описать методику измерения коэффициента поверхностного натяжения жидкостей, дав достаточно подробное теоретическое обоснование методики измерения;

2) провести достаточно подробную обработку результатов измерений с указанием погрешностей;

3) исследовать характер изменения толщины плёнки;

В работе использовались следующие методы и приемы: 1) работа с источниками информации (Интернет-ресурсы, литература); 2) эксперимент; 3) сравнительный анализ полученных данных

ГЛАВА 1 Поверхностное натяжение

Определение поверхностного натяжения

(1.1)

Из уравнения (1.1) следует энергетическое (термодинамиче­ское) определение: поверхностное натяжение — это удельная ра­бота увеличения поверхности при ее растяжении при условии постоянства температуры.

При выполнении этого условия работа а, затраченная на обрабатывание единицы новой поверхности, полностью переходит в свободную энергию поверхности, также рассчитанную на единицу поверхности. При условии постоянства объема пленки новая поверхность создается благодаря переходу некоторой массы жидкости из ее внутреннего объема на поверхность. Поэтому используют еще одно определение поверхностного натяжения, как термодинамическою параметра поверхности жидкости: поверхностное натяжение равно избыточной удельной свободной энергии (энергии Гельмгольца) единицы площади поверхности жидкости при определенной температуре. Термин «избыточность» подчеркивает, что энергия Гельмгольца молекул, находящихся на поверхности жидкости больше, чем молекул в ее внутреннем объеме. Это различие играет важнейшую роль в термодинамике поверхностных явлений.

(1.2)

коэффициент 2 учитывает, что пленка мыльного раствора на рамке имеет две стороны.

Уравнение (1.2) представляет силовое (механическое) определение: поверхностное натяжение — это сила, действующая на единицу длины линии, которая ограничивает поверхность жидкости.

Температура. Для всех индивидуальных (однокомпонентных) жидкостей поверхностное натяжение на границе с газовой фазой уменьшается при повышении температуры (Т), т.е. выполняется соотношение.

Для растворов (особенно растворов поверхностно-активных веществ) температурная зависимость поверхностного натяжения носит более сложный характер. Экстраполяция линейной зависимости σ =f(T) вплоть до σ = 0 определяет (по Д. И. Менделееву) критическую температуру (Тс) данного вещества. При этой температуре двухфазная система жидкость—пар перестает существовать и становится однофазной, т.е. при Т > Тс поверхность раздела фаз исчезает.

При линейном характере зависимости σ =f(T) производная a = dσ/dT для данного вещества имеет постоянное значение, ее называют температурным коэффициентом поверхностного натяжения жидкости.

Асимметрия сил взаимодействия молекул переходного слоя с окружающими их (в пределах объёма молекулярного действия) молекулами приводит, как известно, к представлению о наличии тангенциальных и нормальных относительно поверхности раздела фаз сил, действующих на молекулы переходного слоя. Это – силы поверхностного межфазового натяжения и молекулярного давления.

Обе эти категории сил, действующих на молекулы, которые находятся на различных расстояниях от поверхности раздела фаз, не одинаковы по величине: они монотонно убывают в обоих направлениях по нормали к нормали раздела фаз.

В этом легко разобраться, рассмотрев прохождение молекулы m через поверхность раздела фаз MN(рис. 2.). Пусть, например, перемещение молекулы происходит через границу раздела между жидкостью и её насыщенным паром с расстояния  радиуса молекулярного действия внутри жидкой фазы на то же расстояние в газообразной фазе.

При перемещении молекулы через фазовую границу на расстоянии 2  объём  возрастает от нуля до , а затем вновь убывает до нуля. Пропорционально этому объёму изменяется и величина силы, действующих на молекулу m. Отсюда можно сделать заключение, что чем ближе молекула жидкости находится к поверхности фазы, тем больше при тепловых соударениях вероятность её выхода в газовую фазу (испарения), и чем ближе молекула пара к фазовой границе, тем

больше вероятность её захвата жидкой фазой (конденсации).

Таким образом, во время перехода молекулы через фазовую границу равнодействующая молекулярных сил изменяется пропорционально объёму шарового сегмента

, (2)

Что касается молекулярного давления, то ввиду наличия зависимости p_m=  (z) его величину также следует представлять себе как результат суммирования элементарных сил по толщине  от переходного слоя.

До последнего времени не было найдено метода измерения молекулярного давления. Решение этой задачи встречает большие трудности,

, (3)

Если известна зависимость f=  (z), то можно подсчитать работу выхода молекулы на поверхность фазы. Максимальная работа выхода:

. (4)

Таким образом, увеличение поверхности связано с затратой работы; при сжатии поверхность сама совершает работу. Из этих термодинамических предпосылок и вытекает представление о поверхностном натяжении как тангенциальных силах, совершающих работу при изменении величины поверхности. Для фазовых поверхностей, имеющих кривизну, ещё Лапласом было введено представление о капиллярном дополнительном давлении р как тангенциальных силах, действующих на поверхностный слой фазы таким образом, что их результирующая направлена к центрам кривизны поверхности:

. (5)

1.2 Способы определения

Способы определения поверхностного натяжения делятся на статические и динамические. В статических методах поверхностное натяжение определяется у сформировавшейся поверхности, находящейся в равновесии.

Динамические методы связаны с разрушением поверхностного слоя. В случае измерения поверхностного натяжения растворов (особенно полимеров или ПАВ) следует пользоваться статическими методами. В ряде случаев

Метод поднятия в капилляре

Метод лежачей капли

Метод определения по форме висячей капли.

Метод вращающейся капли

Метод дю Нуи (метод отрыва кольца).

Сталагмометрический, или метод счета капель.

Метод максимального давления пузырька.

Метод осциллирующей струи

Метод стоячих волн

Метод бегущих волн

1.2.1 Сталагмометрический метод

Сталагмометрический метод основан на измерении массы капель Р, образующихся при вытекании жидкости из вертикальной трубки с радиусом выходного отверстия r. Расчет проводят по формуле

где f (r/a) – некоторая функция, определяемая из таблиц Гаркинса и Брауна; а – капиллярная постоянная.

Если жидкости хорошо смачивают материал капилляра, то, пренебрегая различием между углами смачивания, можно проводить относительное измерение поверхностного натяжения, используя стандартную жидкость. В этом случае обычно принимают, что масса капли Р

в момент отрыва пропорциональна поверхностному натяжению на границе раздела жидкость–пар, т.е.

где k – постоянная данного прибора.

Массу одной капли определяют, подсчитывая число капель (n), вытекающих из сталагмометра объемом V:

При калибровке сталагмометра стандартной жидкостью , поэтому

Рис.1.4.Схема автоматизированного сталагмометра

Таким образом, зная плотность жидкости и число вытекающих капель, можно найти поверхностное натяжение исследуемой жидкости.

В общем случае сталагмометр, предназначенный для измерения поверхностного натяжения жидкости на границе с газом (паром) состоит (рис. 1.4) из толстостенной трубки 5 с калиброванным выходным отверстием; шарообразного сосуда с метками, ограничивающими объем жидкости, дозирующего устройства 1 позволяющего изменять и стабилизировать скорость истечения жидкости из капилляра; специального устройства, фиксирующего моменты начала и конца истечения жидкости 2; устройства 3, устанавливающего или регистрирующего промежутки времени между двумя последовательно образующимися каплями. Устройство 4 может обрабатывать данные от блоков 2 и 3 и после обработки выдавать результат измерения в виде значений поверхностного натяжения с учетом поправочных коэффициентов.

Рис. 1.5. Схема простейшего сталагмометра

На рис. 1.5 показана схема простейшего сталагмометра, который представляет собой сферический пузырек В известного объема V_k, ограниченный метками b и d и соединенный с двумя калиброванными капиллярами, имеющими объем каждого деления v_е. Сталагмометр заполняют жидкостью, затем позволяют мениску очень медленно перемещаться по капилляру, перекрывая частично доступ воздуха в капилляр А с помощью резиновой трубки и зажима таким образом, чтобы каждая капля образовывалась за время не менее 4 с. После падения первой капли проводится отсчет деления, соответствующего верхнему мениску a в капилляре А (n делений от метки a). Скорость последующего образование капель также контролируют и устанавливают время образования капли не менее 4–5 с. После достижения мениском метки, например e в нижнем капилляре C (m делений от метки d), определяют объем одной капли при числе подсчитанных вытекших из сталагмометра капель N :

Если использовать относительный метод определения поверхностного натяжения водных растворов ПАВ с использованием в качестве стандартной жидкости воды, то его расчет можно проводить по формуле

К недостаткам сталагмометрического метода можно отнести возможность испарения жидкости с поверхности капель при их длительном образовании и необходимость введения поправочных коэффициентов для точного определения поверхностного натяжения.

Метод взвешивания или счета капель можно использовать и для определения межфазного натяжения на границе двух жидкостей при выдавливании по каплям одной жидкости в другую. В этом случае для расчета используются те же уравнения с поправкой на массу жидкости, вытесненной при формировании капли.

1.2.2 Метод измерения капиллярного поднятия жидкости

Этот метод считают наиболее точным, потому что для него разработана довольно точная теория, а экспериментальные данные легко контролируются.

Метод измерения капиллярного поднятия основан на определении разности уровней жидкости в капилляре радиуса r и в широком сосуде. Расчет проводится по формуле Жюрена

Жидкость поднимается или опускается по капилляру до тех пор, пока высота мениска не достигнет высоты, при которой масса столба жидкости не уравняет давление внутри и снаружи капилляра. Процесс установления предельной высоты поднятия мениска жидкости в капилляре происходит достаточно долго. Так, например, для чистой воды h = 0,995 h _m достигается за 1,5 мин. Метод измерения капиллярного поднятия жидкости является одним из более точных и простых по аппаратурному оформлению и применяется там, где продолжительность формирования поверхности раздела фаз не ограничивается.

К недостаткам всех вариантов метода капиллярного поднятия жидкости следует отнести зависимость измеренного поверхностного натяжения от краевого угла смачивания жидкостью материала капилляра, что позволяет определить поверхностное натяжение при существовании поверхности в течение не менее 10 с; отсутствие возможности обновления поверхности в капилляре; высокую погрешность измерения динамического поверхностного натяжения. Кроме того, формула Жюрена, основанная на уравнении Лапласадля цилиндрического капилляра, не учитывает количества жидкости, находящейся в мениске (высотой x). Краевой угол смачивания капилляра жидкостью должен быть равен нулю и в каждом опыте необходимы довольно большие объемы растворов. Радиус большого капилляра должен быть не менее 5 см. Щелочность раствора не должна приводить к растворению вещества капилляра. Для повышения точности измерений поверхностного натяжения следует вводить поправки, используя таблицы Сагдена.

1.2.3 Метод вращающейся капли

Сущностью метода является измерение диаметра капли жидкости, вращающейся в более тяжелой жидкости. Этот способ измерения годится для измерения низких или сверхнизких значений межфазного натяжения. Он

широко применяется для микроэмульсий, измерения эффективности ПАВ в нефтедобыче, а также для определения адсорбционных свойств.

1.2.4 Метод Дю Нуи (метод отрыва кольца)

Метод является классическим. Сущность метода вытекает из названия. Платиновое кольцо поднимают из жидкости, смачивающей его, усилие отрыва и есть сила поверхностного натяжения и может быть пересчитано в поверхностную энергию. Метод подходит для измерения ПАВ, трансформаторных масел и т. д.

1.2.5 Метод бегущих волн

При возмущении жидкости пластиной «лежащей» на её поверхности, по ней начинает распространяться круг волн. Если просветить кювету с жидкостью импульсным источником света с частотой равной частоте возмущения, то на экран спроецируется «стоячая» волновая картина. Измеряя длину волны на экране и геометрически перерассчитывая её (зная расстояние от источника света до поверхности жидкости и расстояние от поверхности до экрана, а также про подобие треугольников) можно получить величину поверхностного натяжения по формуле:

, где:

σ — поверхностное натяжение;

ρ — плотность жидкости;

ν — вынуждающая частота;

g — ускорение свободного падения.

1.3 Теоретическая формула поверхностного натяжения

Формулу для определения коэффициента поверхностного натяжения жидкости σ можно записать через удельную теплоту парообразования r как:

или через внутреннюю энергию U:

где r – теплота парообразования, Дж/кг;
ρ – плотность жидкости, кг/ м 3 ; ρ_v – плотность пара, кг/ м 3 ;
R_u – универсальная газовая постоянная, Дж/(кмоль * K);
T – температура, K;

1.4 Объединение пузырей

Когда два пузыря соединяются, они принимают форму с наименьшей возможной площадью поверхности. Их общая стенка будет выпячиваться внутрь большего пузыря, так как меньший пузырь имеет бо́льшую среднюю кривизну и большее внутреннее давление. Если пузыри одинакового размера, их общая стенка будет плоской.

Соединение мыльных пузырей

Правила, которым подчиняются пузыри при соединении, были экспериментально установлены в XIX веке бельгийским физиком Жозефом Плато и доказаны математически в 1976 г. Жаном Тейлором.

Мыльные плёнки представляют собой кусочно-гладкие поверхности, средняя кривизна которых постоянна на каждом гладком участке.

Если пузырей больше чем три, они будут располагаться таким образом, что возле одного края могут соединяться только три стенки, при этом углы между ними будут равны 120°, в силу равенства поверхностного натяжения для каждой соприкасающейся поверхности.

Линии пересечения поверхностей пересекаются в одной точке по четыре штуки, причём угол между любыми двумя примерно равен 109,47°.

Пузыри, не подчиняющиеся этим правилам, в принципе могут образовываться, однако будут сильно неустойчивыми и быстро примут правильную форму либо разрушатся. Пчёлы, которые стремятся уменьшить расход воска, соединяют соты в ульях также под углом 120°, формируя, тем самым, правильные шестиугольники.

1. 5 Интерференция и отражения

Отражение облаков в мыльном пузыре

Переливчатые «радужные» цвета мыльных пузырей получаются за счёт интерференции световых волн и определяются толщиной мыльной плёнки.

Когда свет проходит сквозь тонкую плёнку пузыря, часть его отражается от внешней поверхности, в то время как другая часть проникает внутрь плёнки и отражается от внутренней поверхности. Наблюдаемый в отражении цвет излучения определяется интерференцией этих двух отражений. Поскольку каждый проход света через плёнку создает сдвиг по фазе пропорциональный толщине плёнки и обратно пропорциональный длине волны, результат интерференции зависит от двух величин: толщины пленки и длины волны. Отражаясь, некоторые волны складываются в фазе, а другие в противофазе, и в результате белый свет, сталкивающийся с плёнкой, отражается с оттенком, зависящим от толщины плёнки.

1.6 Изменение цвета пузыря со временем

По мере того, как плёнка становится тоньше из-за испарения воды, можно наблюдать изменение цвета пузыря. Более толстая плёнка убирает из белого света красный компонент, делая тем самым оттенок отражённого света сине-зелёным. Более тонкая плёнка убирает жёлтый (оставляя синий свет), затем зелёный (оставляя пурпурный), и затем синий (оставляя золотисто-жёлтый). В конце концов стенка пузыря становится тоньше, чем длина волны видимого света, все отражающиеся волны видимого света складываются в противофазе и мы перестаем видеть отражение совсем (на тёмном фоне эта часть пузыря выглядит «чёрным пятном»). Когда это происходит, толщина стенки мыльного пузыря меньше 25 нм, и пузырь, скорее всего, скоро лопнет. Такое явление называется ньютоновской плёнкой.

Эффект интерференции также зависит от угла, с которым луч света сталкивается с плёнкой пузыря. Таким образом, даже если бы толщина стенки была везде одинаковой, мы бы всё равно наблюдали различные цвета из-за движения пузыря. Но толщина пузыря постоянно меняется из-за гравитации, которая стягивает жидкость в нижнюю часть так, что обычно мы можем наблюдать полосы различного цвета, которые движутся сверху вниз.

1.7 Математические свойства

Мыльные пузыри образуют пену

Мыльные пузыри являются физической иллюстрацией проблемы минимальной поверхности, сложной математической задачи. Например, несмотря на то, что с 1884 года известно, что мыльный пузырь имеет минимальную площадь поверхности при заданном объёме, только в 2000 году было доказано, что два объединённых пузыря также имеют минимальную площадь поверхности при заданном объединённом объёме. Эта задача была названа теоремой двойного пузыря. Также, лишь с появлением геометрической теории меры удалось доказать, что оптимальная поверхность будет кусочно-гладкой, а не бесконечно изломанной.

Плёнка мыльного пузыря всегда стремится минимизировать свою площадь поверхности. Это связано с тем, что свободная энергия жидкой плёнки пропорциональна площади её поверхности и стремится к достижению минимума:

где σ (сигма) — поверхностное натяжение вещества, а S — полная площадь поверхности плёнки. Оптимальная форма отдельного пузыря — сфера, однако несколько пузырей, объединённых вместе, имеют гораздо более сложную форму.

Глава 2 Экспериментальная часть

Эксперимент №1 «Определение поверхностного натяжения жидкости»

Цель эксперимента: Определить коэффициент поверхностного натяжения мыльного раствора. Оборудование: установка(2.1), горячая вода, глицерин, нашатырный спирт, порошкообразное моющее средство, соломинки(трубочки)

Ход эксперимента: 1. На поверхность мыльного раствора ставят установку

2. На установку накладывают соломинки, пока та не утонет.

3. Подставляют число соломинок в формулу(2.2) и рассчитывают

коэффициент поверхностного натяжения.

4. Учитывают погрешности

Установка состоит из основания и 2 креплений

рис. (2.1)

σ – коэффициент поверхностного натяжения

ρ п р – плотность проволоки; ρ _ж – плотность жидкости,
R – радиус сечения проволоки,
g – ускорение свободного падения;
m – масса «соломинок» вместе с верхним каркасом;
L – длина проволоки, соприкасающейся с водой

m к – масса крепления

m с – масса соломинки

В основном погрешности зависят от массы соломинок.

Но также чем больше радиус основания (длина проволоки, соприкасающейся с поверхностью жидкости) тем больше соломинок выдержит жидкость, а следовательно понизятся погрешности.

Вывод: Вывел формулу для экспериментального нахождения коэффициента поверхностного натяжения и проверил её.

Эксперимент №2 «Выяснение влияния мыла на поверхностное натяжение воды»

Цель эксперимента: качественно оценить влияние мыла на величину поверхностного натяжения воды. Оборудование: канцелярская скрепка, стакан с водой, пипетка, пинцет, мыльный раствор.

Ход эксперимента: 1. На поверхность воды, находящейся в стакане, пинцетом укладывают скрепку. 2. В стакан с водой и лежащей на поверхности воды скрепкой, капают каплю мыльного раствора.

Вывод: Скрепка утонула, так как добавление мыла не увеличивает, а уменьшает поверхностное натяжение примерно до трети от поверхностного натяжения чистой воды. Это легко объяснить: молекулы мыла, вклиниваясь между молекулами воды, снижают их взаимное притяжение.

Эксперимент №3 «Расчёт толщины плёнки мыльного пузыря и экспериментальная проверка расчетов»

Цель эксперимента: Рассчитать толщину плёнки мыльного пузыря, проверить расчеты экспериментом Оборудование: горячая вода, глицерин, нашатырный спирт, порошкообразное моющее средство, рамка для выдувания мыльного пузыря Ход эксперимента: 1.Теоретический расчет

2 м, то R * ≈ 6 м. Такой пузырь очень сложно выдуть по «техническим причинам»: он лопнет раньше, чем созреет. Вывод: Мы смогли выдуть пузыри диаметром не более 0,92 м

Эксперимент №4 «Лопание мыльных пузырей»

В результате проделанной нами работы мы пришли к следующим выводам:

1) Добавление мыла не увеличивает, а уменьшает поверхностное натяжение;

5) Мы смогли выдуть пузыри диаметром не более 0,92 м

6) Когда два пузыря соединяются, они принимают форму с наименьшей возможной площадью поверхности. Их общая стенка будет выпячиваться внутрь большего пузыря. Если пузыри одинакового размера, их общая стенка будет плоской. Если пузырей больше чем три, они будут располагаться таким образом, что возле одного края могут соединяться только три стенки, при этом углы между ними будут равны 120°, в силу равенства поверхностного натяжения для каждой соприкасающейся поверхности

Физика 10. Под редакцией Пинского А.А. Просвещение, Москва, 1995.

Г.Я.Мякишев, Б.Б.Буховцев. Физика 11. Просвещение, Москва, 1994.

Физика 11. Под редакцией Пинского А.А. Просвещение, Москва, 1995.

Источник