На что делится 521

Информация о числах

Свойства и характеристики одного числа
Все делители числа, сумма и произведение цифр, двоичный вид, разложение на простые множители.

Свойства пары чисел
Наименьшее общее кратное, наибольший общий делитель, сумма, разность и произведение чисел.

Сейчас изучают числа:

Числа 521 и 21

Пятьсот двадцать один и двадцать один

Описание

Пара 521 и 21 в сумме – 542 и имеют разность 500.
Результатом деления 521 на 21 будет 24.809524. При делении 521 на 21 образуется остаток 17. При перемножение получается число 10941.

Эти числа – взаимнопростые. Общиe цифры этой пары чисел: 1 и 2.

Источник

Простые числа в математике

Что такое простые числа

Простые числа — натуральное число, имеющее ровно два различных натуральных делителя — единицу и самого себя. Другими словами, число x является простым, если оно больше 1 и при этом делится без остатка только на 1 и на x.

Например, 11 — это простое число. Его можно разделить только на 1 и 11. Деление простого числа на другое приводит к тому, что остается остаток, что называют простым числом.

13 ÷ 4 = 3 (остаток 1).

Число, имеющее более двух множителей, называется составными числами. Наименьшее простое число равно 2, потому что оно делится само на себя и только на 1.

30 не является примером простого числа, потому что его можно разделить на 1,2,3,5,6,10,15,30. Таким образом, 30 является примером составного числа, поскольку оно имеет более двух факторов.

Ноль, единица и числа меньше единицы не считаются простыми числами.

Основная теорема арифметики, лемма Евклида

Основная идея теоремы арифметики — это любое целое число больше 1 либо является простым числом, либо может быть получено путем умножения простых чисел вместе.

Фундаментальная теорема арифметики (название которой указывает на ее основную важность) гласит, что любое число может быть учтено в уникальном списке простых чисел.

Простое число (2,3,5,7,11. ) против составного (4=2×2, 6=2×3, 8=2x2x2, 12=2x2x3. ).

Этот ряд примеров можно продолжить:

Таким образом, они либо простые, либо простые числа, умноженные друг на друга.

Число 42. Можем ли мы получить 42, умножив только простые числа?

Да, 2, 3 и 7 являются простыми числами, и при умножении вместе они составляют 42.

Число 7. 7 уже является простым числом

Число 22. 22 может быть получено путем умножения простых чисел 2 и 11 вместе.

Никакая другая комбинация простых чисел не будет работать.

Лемма — это, как правило, незначительное, доказанное утверждение, которое используется в качестве ступеньки к доказательству более сложной математической теории. По этой причине она также известна как «вспомогательная теорема».

В теории чисел лемма Евклида — это лемма, которая отражает фундаментальное свойство простых чисел, а именно: если простое число p делит произведение ab двух целых чисел a и b, то p должно разделить, по крайней мере, одно из этих целых чисел a и b.

Если p = 19, a = 133, b = 143, то ab = 133 × 143 = 19019, и поскольку это делится на 19, лемма подразумевает, что один или оба из 133 или 143 также должны быть. На самом деле 133 = 19 × 7.

Если предпосылка леммы не выполняется, т. е. p является составным числом, его следствие может быть либо истинным, либо ложным.

В случае p = 10, a = 4, b = 15 составное число 10 делит ab = 4 × 15 = 60, но 10 не делит ни 4, ни 15.

Это свойство является ключевым в доказательстве фундаментальной теоремы арифметики. Лемма Евклида показывает, что в целых числах неприводимые элементы также являются простыми элементами.

Таким образом, изучение чисел в основном сводится к изучению свойств простых чисел. Математики на протяжении тысячелетий довольно много выяснили о простых числах. Одно из самых известных доказательств Евклида показывает, что существует бесконечно много простых чисел.

Как определить простые числа

Сначала попробуйте разделить его на 2 и посмотреть, получится ли целое число. Если да, то оно не может быть простым числом. Если вы не получите целое число, затем попробуйте разделить его на простые числа: 3, 5, 7, 11 (9 делится на 3) и так далее, всегда делясь на простое число.

8 простых чисел до 20: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17 и 19.

Первые 10 простых чисел — это 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29.

Таблица простых чисел до 1000:

2 — наименьшее простое число. Это также единственное четное простое число — все остальные четные числа могут быть разделены сами по себе на 1 и 2, что означает, что у них будет, по крайней мере, 3 фактора.

Один из самых известных математиков классической эпохи, Евклид, записал доказательство того, что не существует самого большого простого числа. Самое большое известное простое число (по состоянию на ноябрь 2020 года) составляет 282 589 933-1, число, которое имеет 24 862 048 цифр при записи в базе 10. До этого самым большим известным простым числом было 277 232 917-1, состоящее из 23 249 425 цифр.

За исключением 2 и 3, все остальные простые числа могут быть выражены в общей форме как 6n + 1 или 6n — 1, где n — натуральное число.

Чтобы определить, является ли число простым или составным, нужно решить пример на делимость в следующем порядке (от простого к сложному): 2, 5, 3, 11, 7, и 13. Если вы обнаружите, что число делится на одно из них, и вы знаете, что оно составное, не нужно выполнять остальные тесты.

Если число меньше 121 не делится на 2, 3, 5 или 7, оно простое; в противном случае оно составное.

Если число меньше 289 не делится на 2, 3, 5, 7, 11, или 13, это простое число; в противном случае оно составное.

Примеры решения задач

Является ли 19 простым числом или нет?

Как понять, что число простое можно двумя способами.

Формула для простого числа равна 6n + 1

Запишем данное число в виде 6n + 1.

Проверьте на наличие факторов 19

Следовательно, с помощью обоих методов докажем, что 19 имеет только два фактора 1 и 19, что означает простое число.

53 — это простое число или нет?

Как доказать, что число простое, используя приведенную ниже формулу. Чтобы узнать простые числа, превышающие 40, можно:

32 + 3 + 41 = 9 + 3 + 41 = 53

53 имеет только факторы 1 и 53.

Итак, 53 является простым числом по обоим методам.

Является ли число простым или составным?

Число 185 заканчивается на 5, поэтому оно делится на 5. Оно составное.

Как проверить простое ли число 243?

Число 243 заканчивается нечетным числом, поэтому оно не делится на 2. Он не заканчивается на 5 или 0, поэтому он не делится на 5. Его цифровой корень равен 9 (потому что 2 + 4 + 3 = 9), так что оно делится на 3.

Источник

Признаки делимости чисел

Статья находится на проверке у методистов Skysmart.
Если вы заметили ошибку, сообщите об этом в онлайн-чат (в правом нижнем углу экрана).

Что такое «признак делимости»

Признак делимости числа — это такая особенность числа, которая еще до выполнения деления позволяет определить, кратно ли число делителю.

Истинный путь джедая, чтобы зря не пыхтеть над числами, которые в конечном итоге не делятся.

Однозначные, двузначные и трехзначные числа

Однозначное число — это такое число, в составе которого один знак (одна цифра). Девять однозначных натуральных чисел: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9.

Двузначные числа — такие, в составе которых два знака (две цифры). Цифры могут повторяться или быть различными.

Трехзначные числа — числа, в составе которых три знака (три цифры).

Чётные и нечётные числа

Число называют четным тогда, когда оно делится на два без остатка. А нечетные числа — те, что на два без остатка не делятся. Все просто!

Признаки делимости чисел

Признак делимости на 2. Сразу можно сказать, что число делится на 2, если последняя цифра четная.

Признак делимости на 3. Сумма цифр числа должна делиться на 3.

Признаки делимости на 4. Число делится на 4, если две последние цифры — 0 или если они образуют цифру, которая делится на 4.

Признаки делимости на 5. Число делится на 5, если заканчивается на 0 или 5.

Признак делимости на 6. На 6 делятся те числа, которые могут одновременно делится на 2 и на 3.

Признаки делимости на 8. Число делится на 8, если три последних цифры — 0 или если они образуют число, которое делится на 8.

Признак делимости на 9. Число делится на 9, если сумма цифр делится на 9.

Признаки делимости на 10, 100. Числа, которые заканчиваются на 0, 00, 000 делятся на 10, 100, 1000 и так далее.

Источник

На что делится 521

а) Пусть p — простое число, отличное от 3. Докажите, что число 111…11 (p единиц) не делится на p.

б) Пусть p > 5 — простое число. Докажите, что число 111…11 (p — 1 единица) делится на p.

а) Заметим, что Согласно малой теореме Ферма и 10 дают одинаковый остаток при делении на p, поэтому не делится на p (так как 9 не делится на p).

б) Заметим, что Если простое число больше 5, то оно взаимно просто с числами 9 и 10. По малой теореме Ферма делится на p, поэтому и делится на