На что делится 901 без остатка
Информация о числах
Свойства и характеристики одного числа
Все делители числа, сумма и произведение цифр, двоичный вид, разложение на простые множители.
Свойства пары чисел
Наименьшее общее кратное, наибольший общий делитель, сумма, разность и произведение чисел.
Сейчас изучают числа:
Число 901
Девятьсот один
RGB(0, 3, 133) или #000385
(возможное основание)
мужество, логика, независимость, самостоятельность, индивидуализм, смелость, решительность, изобретательность
Описание числа 901
Положительное вещественное число 901 – составное число. Является полупростым число. 10 — сумма всех цифр. У числа 901 4 делителя. Обратным числом является 0.0011098779134295228.
Число 901 представляется произведением: 17 * 53.
Перевод числа в другие системы счисления: двоичная система счисления: 1110000101, троичная система счисления: 1020101, восьмеричная система счисления: 1605, шестнадцатеричная система счисления: 385. 901 байт представляет из себя число байт 901.
Число 901 не является числом Фибоначчи.
Делители и кратные
В данном уроке мы рассмотрим такие понятия как делители и кратные.
Что такое делитель?
Мы знаем, что делитель это число, показывающее на сколько частей нужно разделить делимое. Например, в выражении 8 : 2 = 4, делителем является число 2. Это число показывает на сколько частей нужно разделить число 8. После разделения получается ответ 4. Как видно из примера, число 8 делится на число 2 без остатка. Говорят, что число 2 является делителем числа 8.
Пример 1. Число 2 является делителем числа 8, поскольку 8 делится на 2 без остатка:
Пример 2. Число 3 является делителем числа 9, поскольку 9 делится на 3 без остатка:
Пример 3. Число 4 не является делителем числа 10 поскольку 10 не делится на 4 без остатка:
10 : 4 = 2 (2 в остатке)
Определение. Делителем числа а называется число, на которое число а делится без остатка.
Делителем числа 12 называется число, на которое 12 делится без остатка.
Попробуем перечислить эти числа:
Все эти числа являются делителями числа 12, поскольку число 12 делится на них без остатка. Покажем это:
12 : 1 = 12
12 : 2 = 6
12 : 3 = 4
12 : 4 = 3
12 : 6 = 2
12 : 12 = 1
Кратные числа
Если какое-нибудь число без остатка разделилось на другое, то его называют кратным этого числа. Например, 6 без остатка делится на 3. Поэтому 6 является кратным числа 3
Определение. Кратным числа а называется число, которое делится без остатка на а.
Кратным числа 5 называется число, которое делится без остатка на 5 .
У любого числа бесконечно много кратных. Например, первыми кратными числа 5, являются числа 5, 10, 15, 20, 25. Все они кратны 5, поскольку делятся на 5 без остатка:
5 : 5 = 1
10 : 5 = 2
15 : 5 = 3
20 : 5 = 4
25 : 5 = 5
Признаки делимости чисел
Признаки делимости чисел используются для того, чтобы ускорить процесс деления чисел. Существует множество признаков делимости и других интересных алгоритмов, значительно ускоряющих решение и освобождающих от излишней волокиты. Рассмотрим наиболее популярные из них.
Признак делимости на 10
Любое число, которое оканчивается нулем, делится без остатка на 10. Чтобы получить частное, достаточно отбросить цифру 0 в делимом.
Например, 380 : 10 = 38. Мы просто отбросили последний ноль в числе 380.
В случае, если мы имеем выражение такого вида 385 : 10, то получится 38 и 5 в остатке, поскольку 380 : 10 = 38, а пятерка это остаток, который не разделился.
Таким образом, если число оканчивается цифрой 0, то оно делится без остатка на 10. Если же оно оканчивается другой цифрой, то оно не делится без остатка на 10. Остаток в этом случае равен последней цифре числа. Действительно, в примере 385 : 10 = 38 (5 в остатке), остаток равен последней цифре в числе 385, то есть пятерке.
Признак делимости на 5 и на 2
Любое число, которое оканчивается нулем, делится без остатка и на 5, и на 2.
Признак делимости на 5
Если число оканчивается цифрой 0 или 5, то оно делится без остатка на 5.
Признак делимости на 3
Число делится на 3, если сумма цифр этого числа делится на 3. Например, рассмотрим число 27, сумма его цифр 2 + 7 = 9. Девять, как мы знаем делится на 3, значит и 27 делится на 3:
Признак делимости на 9
Число делится на 9, если сумма его цифр делится на 9. Например, рассмотрим число 18. Сумма его цифр 1 + 8 = 9. Девять делится на девять, значит и 18 делится на 9
Рассмотрим число 846. Сумма его цифр 8 + 4 + 6 = 18. Восемнадцать делится на девять, значит и 846 делится на 9:
Чётные и нечётные числа
Чётным называется число, которое делится без остатка на 2. Например, число 20 является четным, поскольку оно делится без остатка на 2:
Нечётным называется число, если при его делении на 2, остаётся остаток 1. Например число 21 является нечетным, поскольку после его деления на 2 остается остаток 1:
21 : 2 = 10 (1 в остатке)
Как распознать чётное число от нечетного, не выполняя деления на 2? Очень просто. Из однозначных чисел чётными являются числа 0, 2, 4, 6, 8, а нечетными являются 1, 3, 5, 7, 9. Если число оканчивается чётной цифрой, то это число является чётным. Если число оканчивается нечетной цифрой, то это число является нечетным.
Например, число 308 чётно, поскольку оно оканчивается чётной цифрой. Число 1024 тоже четно, поскольку оканчивается четной цифрой.
А числа 305 и 1027 являются нечётными, поскольку они оканчиваются нечётными цифрами.
Простые и составные числа
Простым называется число, которое делится без остатка на единицу и на само себя. Другими словами, имеет только два делителя. Например, число 5 делится без остатка на единицу и на само себя:
Значит, число 5 является простым числом.
Составным же называется число, которое имеет два и более делителя. Например, число 4 составное, поскольку у него два и более делителя: 4, 2 и 1
Значит, число 4 является составным числом.
Разложение составного числа на простые множители
Любое составное число можно разложить на простые множители. Чем-то похожим мы занимались в уроке замены в выражениях. Из этого урока мы узнали, что любое число, входящее в выражение, можно заменить на то же самое, но записанное в другом виде.
Суть разложения числа на простые множители заключается в том, чтобы представить это число в виде произведения нескольких простых множителей.
Разложим число 4 на простые множители. Для этого соберем данное число из других чисел, при этом соединим их знаком умножения (×). Число 4 состоит из чисел 2 и 2. Эти два числа и являются простыми множителями, из которых состоит число 4
Разложим на множители число 6. Число 6 можно собрать из чисел 2 и 3. Эти два числа и являются простыми множителями, из которых состоит число 6
Большие числа раскладываются таким же образом. Сначала их раскладывают на большие множители, затем эти большие множители раскладывают на маленькие. И так до тех пор, пока каждый множитель не станет простым числом.
Например, разложим число 180 на простые множители. Число 180 это два множителя 18 и 10
Теперь раскладываем множители 18 и 10 на другие множители:
Теперь раскладываем выделенную синюю шестерку. Это последний большой множитель, который можно разложить на простые множители:
Теперь собираем все простые множители вместе:
На множители можно разложить только составное число. Простое число на множители не раскладывается. Именно поэтому, когда разложение доходит до простых чисел, мы эти простые числа дальше не раскладываем.
Есть и второй способ разложения на простые множители. Он проще и хорошо подходит для больших чисел. Суть этого способа заключается в том, что сначала проводится вертикальная линия. Затем слева от этой линии записываются делимые, а справа — делители, которые впоследствии собирают во множители.
При разложении числа этим способом, используют признаки делимости, такие как: признаки делимости на 2, на 3, на 5 и другие.
Например, разложим предыдущее число 180 этим способом.
Проводим вертикальную линию и слева записываем первое делимое 180
Теперь применяем признаки делимости. В первую очередь проверяем делится ли 180 на 2. Если делится, то нужно записать эту двойку справа от вертикальной линии.
180 делится на 2, поскольку 180 оканчивается нулём. Записываем двойку справа от вертикальной линии:
Теперь делим 180 на 2 и получаем второе делимое 90. Записываем это делимое слева от вертикальной линии:
Теперь делим 90. Снова применяем признаки делимости. Проверяем делится ли 90 на 2.
90 делится на 2, поскольку 90 оканчивается нулём. Записываем двойку справа от вертикальной линии:
Теперь делим 90 на 2, получаем третье делимое 45. Записываем это делимое слева от вертикальной линии:
Теперь делим 45. Снова применяем признаки делимости. Проверяем делится ли 45 на 2.
45 на 2 не делится. Тогда проверяем делится ли 45 на 3.
45 делится на 3, поскольку сумма цифр 4 и 5 делится на 3. Записываем тройку справа от вертикальной линии:
Делим 45 на 3, получаем четвёртое делимое 15. Записываем это делимое слева от вертикальной линии:
Теперь делим 15. Проверяем делится ли 15 на 2.
15 не делится на 2. Тогда проверяем делится ли 15 на 3.
15 на 3 делится, поскольку сумма цифр 1 и 5 делится на 3. Записываем тройку справа от вертикальной линии:
Делим 15 на 3, получаем пятое делимое 5. Записываем пятёрку слева от вертикальной линии:
Теперь делим 5. Проверяем делится ли 5 на 2.
5 не делится на 2. Тогда проверяем делится ли 5 на 3.
5 не делится на 3. Тогда проверяем делится ли 5 на 5.
5 делится на 5. Записываем эту пятёрку справа от вертикальной линии:
Делим 5 на 5, получаем шестое делимое 1. Записываем эту единицу слева от вертикальной линии:
На этом деление завершается, поскольку мы достигли единицы. Делители, которые записывают справа от вертикальной линии должны быть простыми числами. Поэтому, когда делимое 5 не разделилось на 2, а затем не разделилось на 3, мы попробовали разделить его на 5, не пробуя разделить на 4, поскольку 4 является не простым, а составным числом.
Теперь переписываем в один ряд все делители, которые записаны справа от вертикальной линии. Они и будут разложением числа 180 на простые множители. Желательно записывать их, начиная с самых малых. Это позволяет упорядочить их по возрастанию:
Не расстраивайтесь, если будете испытывать затруднения при разложении чисел на простые множители. Эта тема требует немного практики. Для тренировки можете разложить на простые множители следующие числа: 256, 378, 512.
Нахождение делителей числа
В начале данного урока было сказано, что делителем называется число, на которое другое число делится без остатка.
Например, число 2 является делителем числа 6, поскольку число 6 можно без остатка разделить на 2
6 : 2 = 3
Ещё делителем числа 6 является число 3
6 : 3 = 2
Ещё делителем числа 6 является число 1
6 : 1 = 6
Наконец, делителем числа 6 является само это число
6 : 6 = 1
Перечислим все делители числа 6
1, 2, 3, 6
Иногда возникает необходимость найти все делители какого-нибудь числа. Чтобы понять, как это делается, рассмотрим несколько примеров.
Пример 1. Найти делители числа 12
Во-первых, единица является делителем любого числа. Пусть и у нас первым делителем числа 12 будет 1
Теперь раскладываем число 12 на простые множители:
Получили разложение 2 × 2 × 3.
В процессе разложения числа 12 на простые множители, мы делили его на числа 2 и 3. На них число 12 разделилось без остатка, значит они тоже являются делителями числа 12. Внесём эти два числа в нашу таблицу делителей:
Чтобы получить остальные делители числа 12, нужно найти все возможные произведения его простых множителей между собой. Получаемые в результате ответы и будут остальными делителями числа 12.
Число 12 мы разложили на простые множители 2 × 2 × 3. Найдём все возможные произведения этих простых множителей между собой. Первое произведение это 2 × 2. Это произведение равно 4
Занесём число 4 в нашу таблицу делителей
Следующее возможное произведение из простых множителей числа 12 это произведение 2 × 3. Данное произведение равно 6. Занесём число 6 в нашу таблицу делителей:
Последнее возможное произведение из простых множителей числа 12 это произведение из всех его множителей, а именно 2 × 2 × 3. Это произведение равно 12. Занесём число 12 в нашу таблицу делителей:
Таким образом, делителями числа 12 являются числа 1, 2, 3, 4, 6, 12.
На основании приведённого примера можно сформировать правило для нахождения делителей числа:
Чтобы найти делители числа, нужно:
Пример 2. Найти делители числа 6
Первым делителем числа 6 запишем единицу:
Теперь разложим число 6 на простые множители:
Выпишем из полученного разложения те множители, которые являются делителями числа 6. Видим, что это множители 2 и 3. Они будут следующими делителями числа 6. Допишем их к нашим делителям:
1, 2, 3
1, 2, 3, 6
Делитель и кратное в математике
Что такое делители и кратные числа
Деление — математическое действие, которое определяет, сколько раз одно число содержится в другом. Обратной операцией является умножение.
Выделяют следующие компоненты деления:
Делимое — число, которое делят на несколько частей.
Делитель — число, которое показывает, на сколько частей нужно разделить делимое.
Частное — число, которое является результатом деления.
Умножение частного на делитель дает делимое.
Чтобы получить делитель, нужно делимое разделить на частное.
Д е л и м о е = ч а с т н о е * д е л и т е л ь Д е л и т е л ь = д е л и м о е / ч а с т н о е
Например, нужно поровну разделить 16 мандаринов между двумя детьми. Для этого 16:2=8. Таким образом, каждый ребенок получит по 8 мандаринов.
16 в этом примере является делимым, 2 — делителем, 8 — частным. Шестнадцать поделили на две части, по восемь в каждой. Или восемь содержится в 16 два раза. Или 2 содержится в 16 восемь раз. Деление прошло без остатка — нацело. Тогда число 2 является делителем числа 16.
Делителем числа a называется такое число b, на которое a делится нацело.
Например, 9 : 4 = 2 (остаток 5 ).
В примере 9 — делимое, 4 — делитель, 2 — неполное частное, 5 — остаток.
Остаток от деления — число, которое меньше делителя. Образуется при делении с остатком. Значит, в примере 9 : 4 = 2 (остаток 5 ) — число 4 не является делителем числа 9.
Задание: найдите такую пару делителей числа 144, если один из делителей равен 2.
Пусть неизвестный делитель равен x. Чтобы найти еще один делитель, если какой-то известен, нужно данное нам число разделить на известный делитель.
Тогда представим решение данной задачи в виде уравнения:
72 — целое число, без остатка.
Произведение делителей должно дать в результате 144:
72 * 2 = 144 — верно, значит, 72 — корень уравнения и делитель 144.
Ответ: числа 2 и 72 — делители 144.
Число называют кратным, если оно делится на данное число нацело, без остатка.
Например, 15:3 нацело.
Тогда число 15 является кратным 3.
Слово «кратно» синонимично слову «делится».
Фразу «15 кратно 3» можно в уме заменить на «15 делится на 3 нацело».
Основные понятия и определения
Делитель — это число, на которое данное число делится нацело. Делитель всегда меньше или равен числу.
Делится нацело = без остатка.
Наименьшим делителем любого числа является единица.
Наибольшим делителем числа является само число.
Делителем нуля будет любое число, но сам 0 делителем не будет.
При делении нуля на любое число получаем 0. А делить на ноль нельзя.
У единицы только один делитель — единица.
Другие числа, кроме 1, имеют не меньше двух делителей.
Кратное — число, которое делится на данное число нацело. Всегда больше или равно числу.
Наименьшее кратное числа является равным самому числу.
Наибольшее кратное подобрать нельзя, потому что ряд натуральных чисел бесконечен. У любого натурального числа бесконечное множество кратных.
Ноль является кратным для любого числа. При умножении на ноль всегда получается ноль.
Когда одно число делится нацело на другое, то первое число — кратное второго, а второе — делитель первого.
Чем отличаются друг от друга, как найти
Делитель отличается от кратного тем, что:
Чтобы найти делители числа, нужно данное число разложить на множители.
Разложить на множители — представить число в виде произведения целых чисел.
Чтобы проверить, является ли одно число делителем другого, нужно разделить число на данное нам.
Для нахождения кратного числа заданному числу, нужно это число последовательно умножать на натуральные числа. Каждое полученное число будет кратно — будет делиться — заданному.
Делители и кратные связаны между собой. Например, делителем числа 15 является 3 и число, кратное 3, равно 15.
Примеры решения задач
Необходимо найти делители числа 14.
Решить задание можно двумя способами.
Последовательно делим 14 на натуральные числа от 1 до 14. Помним, что делитель всегда меньше или равен заданному числу.
Выбираем такие числа в качестве делителя, при делении на которые мы не получили остаток: 1, 2, 7, 14.
Ответ: делители числа 14: 1, 2, 7, 14.
Представим 14 в виде произведения чисел:
Делителями будут множители, так как можем разделить 14 нацело на каждый из них.
Ответ: делители 14: 1, 2, 7, 14.
Найдите три числа, кратных 7.
Чтобы найти число, кратное данному, нужно это число умножить на любое натуральное число.
7 * 1 = 7 — семь кратно семи;
7 * 2 = 14 — 14 кратно 7;
7 * 3 = 21 — 21 кратно 7.
Ответ: числа, кратные 7: 7, 14, 21.
Самостоятельно проверьте, 225 кратно 3 или нет.
Чтобы проверить, кратно ли одно число другому, нужно разделить числа друг на друга.
75 — целое число, при делении нет остатка. Тогда 225 кратно 3.
Найдите любое число, делителями которого являются числа 7 и 8.
Самый простой способ, если в задании не оговорены еще какие-либо условия, просто перемножить эти делители:
Алгебра
Именная карта банка для детей
с крутым дизайном, +200 бонусов
Закажи свою собственную карту банка и получи бонусы
План урока:
Понятие делимости и ее основные свойства
Напомним суть операции деления. Она является обратной для операции умножения. Пусть есть три числа, a, b и c, причем для них справедливо соотношение
В таком случае говорят, что a является произведением b и c. Тогда результатом деления числа a на b называют число с.
Если в результате деления числа а на b получилось целое число с, то говорят, что а делится на b.
Так, число 30 делится на 6, потому что при делении 30 на 6 получается целое число 5:
Иногда в математике используют выражение «делится нацело». Оно означает тоже самое, что и просто слово «делится». Например, 81 делится нацело на 3:
Порою в математике используют чуть более сложное определение делимости:
Видно, что оно похоже на определение операции деления. Его удобно использовать при доказательстве некоторых свойств делимости.
Понятие делимости определено только для целых чисел. Например, при делении 12,5 на 2,5 получается целое число:
однако никто не говорит, что 12,5 делится на 2,5.
Если число а делится на b, то b называют делителем числа a, а также говорят, что а – кратно b, или а является кратным b.
Рассмотрим несколько примеров:
Очевидно, что у каждого числа есть бесконечное количество кратных ему чисел. Так, числу 7 кратны числа 7, 14, 21, 28 и т.д.Ряд можно продолжать бесконечно, просто умножая 7 на каждое следующее натуральное число:
А вот количество делителей ограничено. Так, число 15 делится только на 1, 3, 5, 15, а также на –1, –3, –5 и –15. Есть одно исключение – ноль делится на любое целое число (кроме нуля), а потому имеет бесконечное число делителей. Стоит уточнить, что часто под делителями натурального числа понимают только другие натуральные числа, то есть отрицательные делители не учитывают.
Теперь рассмотрим некоторые свойства делимости чисел (для удобства будем пронумеровывать правила, чтобы было легче ссылаться на них).
Действительно, при делении целого числа на себя получается единица:
Ноль является исключением, поскольку деление на ноль не допускается в алгебре.
При делении на единицу число не меняется:
поэтому, если а – целое, то после деления на единицу оно останется целым.
Приведем пример. 128 делится на 16:
В свою очередь 16 делится на 4:
Значит, и 128 делится на 4:
Теперь докажем это свойство более строго. Если а делится на b, а b делится нацело на c, то, по определению делимости, должны существовать такие целые m и k, для которых выполняются равенства:
Подставим второе равенство в первое
Так как произведение целых чисел k и m само является целым, то, опять-таки по определению делимости, а делится нас.
Тоже самое доказательство поясним на конкретных числах.
Пусть 210 делится нацело на 30, а 30 делится на 6. Тогда требуется доказать, что 210 делится на 6 (не выполняя самого деления). 210 можно представить в виде
в свою очередь 30 можно записать как
Теперь подставим вторую запись в первую:
150 = 30•7 = (6•5)•7 = 6•(5•7)
Так как числа 5 и 7 целые, то целым является и их произведение, следовательно, 150 делится на 6.
24 2 :12 2 = 576:144 = 4
Докажем строго это свойство. По определению можно записать равенство
Возведем правую и левую часть равенства в степень n:
а n = (сb) n = c n b n
Делимость суммы чисел
Существуют свойства, которые позволяют определить делимость суммы, даже не вычисляя ее.
Например, числа 3, 6, 9, 12, 15, 18 делятся на 3, поэтому и их сумма должна быть кратна 3:
3 + 6 + 9 + 12 + 15 + 18 = 63
Докажем это для случая с тремя слагаемыми. Пусть числа а, b и с делятся на р. Тогда можно записать выражения
Упростим сумму слагаемых, вынеся множитель p за скобки:
а + b + c = tр + sp + wp = p(t + s + w)
Ясно, что сумма целых чисел t + s + w сама является целой. Следовательно, сумма а + b + c делится на р (по определению).
Естественно, что обратное утверждение ошибочно. Из того факта, что сумма чисел делится на число, не следует, что на него делятся и слагаемые. Например, сумма 5 + 11 + 17 делится на 3:
Однако по отдельности 5, 11 и 17 на тройку не делятся.
Доказанный признак делимости суммы можно использовать при решении некоторых задач.
Пример. Докажите, не используя калькулятор, что число 736263 делится на 737.
Решение. Представим число 736263 как сумму:
736263 = 737000 – 737 = 737000 + (– 737)
Очевидно, что оба слагаемых делятся на 737:
Значит, и их сумма, то есть 736263, делится на 737.
В данном случае мы представили 736263 как сумму положительного и отрицательного числа. Однако делать это было необязательно, так как верно следующее правило:
Доказательство этого факта производится абсолютно также, как и доказательство для суммы чисел.
Следующее свойство помогает доказать неделимость чисел:
Пусть даны числа 40, 44, 48, 52 и 53. Все они, кроме числа 53, кратны 4. Значит, их сумма недолжна делиться на 4 (из-за единственного слагаемого 53). Действительно
40 + 44 + 48 + 52 + 53 = 237
Доказать это очень просто. Покажем это на примере 3 слагаемых. Пусть а и b кратны с, а d ему не кратно. Тогда сумму а, b и d можно представить так:
Поделим эту сумму на с:
((a + b) + d) = (а + b):c + d:с
Ясно, что величина (а + b):c будет целым числом. По условию d:c – дробное число, ведь d не делится на с. Однако сумма дробного и целого числа всегда является также дробным числом. Следовательно, сумма а + b + d не делится на с.
Это свойство очень полезно, так как с его помощью доказываются почти все признаки делимости чисел.
Аналогично можно доказать, что если разность двух чисел не делится на c, если одно из этих двух чисел делится, а второе не делится на с. Например, разность
не кратна 17, так как 17000000 делится на 17, а 16 – нет.
Однако нельзя сформулировать каких-либо правил для тех случаев, когда уже два и более слагаемых не делятся на какое-то число. Так сумма 22 + 44 делится на 6, хотя по отдельности ни 22, ни 44 не кратны 6.
Пример. Делится ли на 29 сумму чисел 58, 290, 2900, 20 и 9?
На первый взгляд, здесь есть два слагаемых, не кратных 29 – это 20 и 9, поэтому сразу ответить на вопрос задачи не получится. Преобразуем сумму, сложив отдельно слагаемые, не кратные 29:
58 + 290 + 2900 + 20 + 9 = 58 + 290 + 2900 + (20 + 9) =
Теперь у нас получилась сумма, где все слагаемые кратны 29, значит, и вся сумма делится на 29.
Пример. Кратна ли 31 сумме слагаемых 310, 62, 620, 93, 11, 10 и 12?
Решение. Здесь есть три слагаемых, не кратных 31: 11, 10 и 12. Сделаем из них одно слагаемое, преобразовав выражение:
310 + 62 + 620 + 93 + 11 + 10 + 12 = 310 + 62 + 620 + 93 + (11 + 10 + 12) =
= 310 + 62 + 620 + 93 + 33
Получили сумму, в которой все слагаемые, кроме 33, кратны 31. Значит, вся сумма не делится на 31.
Делимость произведения чисел
Следующее свойство касается уже делимости произведения чисел.
Приведем пример. Число 35 делится на 5, поэтому и произведение 35 и, скажем, 7 также делится на 5:
Докажем этот факт. Пусть даны числа а и b, причем а кратно с. Тогда можно записать, что
где p какое-то целое число. Произведение а и b можно представить так:
Так как произведение целых чисел p и b также является целым, то получили, что произведение а•b кратно с.
Проиллюстрируем это же доказательство на конкретном примере. Пусть есть произведение чисел 30 и 8 (30•8 = 240). Известно, что 30 делится на 6. Докажем, что и произведение 30•8 кратно шести. По определению делимости можно записать, что:
Подставим это равенство в произведение:
Так как произведение 5•8, очевидно, целое, то по определению делимости 30•8 делится нацело на 6.
Покажем это на примере 33 и 36. 33 кратно 11, а 36 делится на 12. Из этого следует, что произведение 33•36 делится на 11•12. Проверим это:
Докажем это свойство делимости произведения. Пусть а делится на с, а b кратно d. Тогда можно записать равенства
где p и k – какие-то целые числа. Тогда произведение аb будет выглядеть так:
Это значит, что ab делится на cd, так как произведение pk является целым числом.
Рассмотрим, как на координатной прямой располагаются кратные числа. Числа, кратные 2, показаны красным цветом:
Каждое следующее кратное получается при добавлении к предыдущему двойки:
Видно, что среди двух соседних чисел одно обязательно делится на 2.
Теперь посмотрим на расположение чисел, кратных 3 (отмечены зеленым цветом):
Здесь работает тот же принцип. Первым кратным является ноль, а каждое следующее кратное получается добавлением к предыдущему тройки:
Также можно увидеть, что среди трех последовательных чисел одно обязательно будет кратно 3.
Наконец, посмотрим на расположение чисел, кратных 4 (синий цвет):
Здесь можно отметить, что среди любых 4 последовательно идущих чисел (например, 11, 12, 13, 14) ровно одно будет делиться на 4.
Обобщая всё это, можно сформулировать такое правило:
Из этого, в свою очередь, следует следующее утверждение:
Действительно, если хоть один множитель произведения кратен n, то и всё произведение будет кратно n. А среди n последовательных множителей найдется тот, который кратен n.
С помощью этого утверждения можно сразу сказать, что, например, произведение 2522•2523•2524 кратно 3.
Теперь рассмотри несколько задач, в которых используются описанные свойства.
Пример. Делится ли выражение 3 11 + 9 6 + 27 3 на 111?
Представим все слагаемые как степени тройки:
3 11 + 9 6 + 27 3 = 3 11 + (3 2 ) 6 + (3 3 ) 3 = 3 11 + 3 2•6 + 3 3•3 =
= 3 11 + 3 12 + 3 9 = 3 9 (3 2 + 3 3 + 1) = 3 9 (9 + 27 + 1) = 3 9 •37
Далее преобразуем выражение, «забрав» одну тройку у 3 9 и «передав» ее 37:
3 9 •37 = 3 8 •3•37 = 3 8 •(3•37) = 3 8 •111
Итак, исходное выражение можно представить как произведение, причем один из множителей будет кратен 111. Значит и всё выражение делится на 111.
Пример. Имеет ли уравнение
66х 5 + 9х 3 + 36х + 40 = 0
целый корень, который НЕ является делителем числа 40?
Решение. Предположим, что такой корень существует, обозначим его как k. Тогда при его подстановке в уравнение получим верное равенство:
66k 5 + 9k 3 + 36k+ 40 = 0
Теперь поделим обе части уравнения на k:
66k 4 + 9k 2 + 36 + 40/k = 0
Кстати, для приведенного выше уравнения можно доказать, что у него и вовсе отсутствуют целые корни. Попробуйте это сделать самостоятельно.
Прежде, чем рассмотреть следующую задачу, напомним уже известные нам три факта о сумме четных и нечетных чисел:
Пример. Докажите, что разность квадратов двух нечетных чисел делится на 8.
Решение. Известно, что любое нечетное число можно представить в виде
где n – какое-то целое число:
Обозначим первое нечетное число как 2m + 1, а второе как 2р + 1, тогда разность их квадратов, используя формулу сокращенного умножения, можно записать так:
(2m + 1) 2 – (2р + 1) 2 = (2m + 1 + 2р + 1)(2m + 1 – (2р + 1)) =
= (2m + 2p + 2)(2m – 2p) = 2(m + p + 1)•2(m – p) =
Далее следует рассмотреть два случая:
1) Предположим, что m и p являются одновременно либо четными, либо нечетными. Математики говорят в таком случае, что числа m и p имеют одинаковую четность. Тогда разность (m – p) также будет четной, то есть она делится на 2. Получаем, что в произведении
первый множитель делится на 4, а третий – на 2. Тогда и всё произведение, по правилу 8, делится на 4•2 = 8.
2) Теперь предположим, что одно из чисел m и p является нечетным, а другое четным. То есть они имеют разную четность. Тогда сумма (m + p) будет нечетной, а сумма (m + p + 1), наоборот, четной. Получается, что в произведении
первый множитель делится на 4, а второй – на 2. И тогда, снова по правилу 8, всё это произведение должно делиться на 4•2 = 8.
Пример. Есть ли на графике уравнения
2х + 6у = 11
хотя бы одна точка, имеющая целочисленные координаты?
Поделим исходное уравнение на 2:
Предположим, что существует точка с целыми координатами х и у, лежащая на графике этого уравнения. Если подставим ее координаты в уравнение, то в левой части получим, очевидно, какое-то целое число. В правой же части стоит дробное число 5,5. Получается противоречие, значит, точки с целочисленными координатами не существует.
Ответ: такой точки нет.
Деление с остатком
Сейчас мы знаем, что при делении чисел может получиться дробный ответ:
Однако в младшей школе, когда дробные числа ещё не были изучены, использовалось деление с остатком:
Остаток должен быть меньше, чем делитель. Если вычесть из делимого остаток, то получится число, кратное делителю:
Если же остаток получился равным нулю, то имеет место деление без остатка.
Сформулируем строгое определение для операции «деление с остатком»:
Число 75 можно представить как
поэтому результатом деления 75 на 10 будет
Условие 0 ⩽d 2 = 16n 2 = 4•4n 2 + 0 (остаток от деления на 4 равен 0)
(4n + 1) 2 = 16n 2 + 8n + 1 = 4(4n + 2n) + 1 (остаток равен 1)
(4n + 2) 2 = 16n 2 + 16n + 4 = 4(4n 2 + 4n + 1) + 0 (остаток 0)
(4n + 3) 2 = 16n 2 + 24n + 9 = 4(4n 2 + 6n + 2) + 1 (остаток 1)
Получается, что при делении квадрата любого числа на 4 получается либо остаток, равный 1, либо нулевой остаток (то есть имеет место деление нацело).
Принцип Дирихле
Иногда при решении задач, связанных с делимостью чисел, помогает использование принципа Дирихле. Звучит он так:
Формулировка довольно сложная, поэтому для простоты часто используют пример с голубями и клетками:
Посмотрите на рисунок, где изображены 10 голубей и 9 клеток:
Действительно, здесь не получится распределить птиц по клеткам так, чтобы в каждом была не более чем одна птица. Однако на этом принцип Дирихле не исчерпывается. Что можно сказать о случае, когда животных меньше, чем клеток? Ясно, что одна из них останется пустой.
На рисунке показан случай, когда есть 7 голубей и 9 клеток:
Пусть есть поле, разбитое на 4 квадрата. На нем размещено 9 кругов:
Ясно, что в одной из клеток будет более 1 кружочка. Но более того, в одном из них обязательно окажется более 2 кругов! Действительно, даже если в каждом квадрате находилось бы ровно 2 фигуры, то тогда их общее количество равнялось бы 4•2 = 8, а их 9. Но также ясно, что хотя бы в одном квадрате будет менее 3 кругов.
Здесь мы приходим к связи между принципом Дирихле и делением с остатком. Если поделить 9 на 4, то получим 2 и в остатке 1:
2 – это неполное частное. Получается, что отношение 9/4 находится как бы между числами 2 и 3:
60 = 2•30 = 2•2•15 = 2 2 •15
144 = 2•72 = 2•2•36 = 2•2•2•18 = 2•2•2•2•9 = 2 4 •9
64 = 2•32 = 2•2•16 = 2•2•2•8 = 2•2•2•2•4 = 2•2•2•2•2•2 = 2 6 •1
Если же число нечетное, то его можно записать как произведение нечетного числа и двойки в нулевой степени:
Получается, что любое натуральное число z можно представить в виде
где n – неотрицательное целое число, а k – нечетное число, которое, очевидно, не больше самого z.
Представим в таком виде все числа от 1 до 10000. При этом в качестве нечетного числа k мы сможем использовать только те 5000 нечетных чисел, которые не больше 10000. Теперь выберем 5001 число. В силу принципа Дирихле ясно, что хотя бы у двух из них число k будет совпадать. Но если у двух чисел это число k совпадает, то одно из них обязательно делится на другое!
Действительно, пусть одно число представимо как 2 n •k,а второе как 2 m •k, причем n>m. Тогда получаем
то есть при делении 2 n •k на 2 m •k получается целое число – какая-то степень двойки. Например, число 144 представимо как
поэтому 144 делится на 36:
Так как число k может принимать только 5000 значений (именно столько нечетных чисел находится между 1 и 10000), а нам надо сформировать множество из 5001 числа, то по принципу Дирихле мы в любом случае выберем два числа с одинаковым k. Одно из них будет делиться нацело на другое, поэтому сформировать требуемое множество не удастся.
Признаки делимости
На практике очень часто требуется быстро оценить, делится ли число на какое-либо другое число, не выполняя при этом саму операцию деления. Для ряда чисел существуют признаки делимости, которые позволяют произвести такую оценку.
Простейшим является признак делимости на 2:
Например, на 2 делятся числа:
Не кратны двойке числа, заканчивающиеся нечетной цифрой:
Теперь докажем признак делимости чисел на 2. Любое десятичное число можно представить как сумму нескольких десятков и единиц, например:
123456789 = 12345678•10 + 9
В общем случае эта запись будет выглядеть так:
где a – какое-то целое число
Ясно, что слагаемое 10а делится на 2, так как один из множителей этого произведения (10) кратен 2. Поэтому если b четное, то все слагаемые в сумме делятся на 2, следовательно, вся сумма кратна 2. Если же b – нечетная цифра, то получаем сумму, в которой ровно одно слагаемое не делится на 2, а значит, и вся сумма не кратна 2.
Далее рассмотрим признак делимости на 5:
Это значит, что на 5 делятся лишь числа, оканчивающиеся нулем или пятеркой, например:
Доказательство этого признака почти совпадает с предыдущим. Любое число можно переписать как сумму
первое слагаемое 10а делится на 5. Если и b (а это и есть последняя цифра) будет делиться на 5, то, по правилу 4, и вся сумма кратна пяти. Если же b не делится нацело на 5, то в силу правила 6 сумма на пять не делится.
Далее узнаем, как быстро определить, делится ли число на 4:
Приведем следующие примеры чисел, делящихся нацело на 4:
Доказательство этого признака построено на том, что целые числа можно переписать как сумму нескольких сотен и единиц:
123456789 = 1234567•100 + 89
В общем случае эта запись выглядит так:
где b – это число из двух последних цифр. И снова можно утверждать, что слагаемое 100а кратна 4, а значит, именно отделимости b на 4 зависит, будет ли и вся сумма кратна 4.
Так как 100 кратно ещё и 25, то абсолютно аналогично доказывается следующее утверждение:
То есть 25 кратны только те числа, которые оканчиваются на 00, 25, 50 или 75:
Доказательство аналогично доказательству для делимости на четверку.
Далее мы узнаем, какие числа кратны 8:
Так, будут кратны 8 следующие числа:
Если же последние три цифры не кратны 8, то и всё число не кратно восьмерке:
Для доказательства утверждения будем записывать числа как сумму тысяч и единиц:
1356845 = 1356•1000 + 845
В общем случае такое представление будет выглядеть так:
где b состоит из трех последних цифр числа. Слагаемое 1000а делится на 8 при любом значении а, поэтому делимость всей суммы 1000а + b на 8 зависит исключительно от того, кратно ли b восьми.
Еще раз проясним момент, почему иногда мы смотрим только на одну последнюю цифру, а иногда на 2 или даже 3 цифры. Любые целые числа можно при необходимости разложить на сумму десятков, сотен или тысяч и единиц:
6563 = 656•10 + 3 (это разложение используется для проверки делимости на 2)
6563 = 65•100 + 63 (используется для проверки делимости на 4)
6563 = 6•1000 + 563 (используется для проверки делимости на 8)
Слагаемое, содержащее 10, делится на 2, поэтому для проверки делимости на эти числа достаточно проверить одну последнюю цифру. Однако 10 не делится на 4, поэтому для четверки такой способ НЕ подходит. Зато на 4 делится 100, поэтому можно проверить две последние цифры. Наконец, 100 не делится нацело на 8, зато на восьмерку делится 1000, поэтому здесь проверяют три последние цифры
К сожалению, для числа 3 похожий метод (проверка последних цифр) НЕ подходит. Вместо этого необходимо проверять сумму всех цифр:
Так, кратны трем будут числа:
Не кратны трем будут числа, у которых цифры в сумме не делятся нацело на 3:
Теперь докажем признак делимости на 3. Все числа можно представлять как сумму различных степеней двойки
256 = 2•100 + 5•10 + 6•1 = 2•10 2 + 5•10 1 + 6•10 0
4567 = 4•10 3 + 5•10 2 + 6•10 1 + 7•10 0
Собственно, на этом и основана десятичная система счисления. Рассмотрим для примера шестизначное число, которое состоит из цифр abcdef. Его можно представить так:
abcdef = a•10 5 + b•10 4 + c•10 3 + d•10 2 + e•10 1 + f =
= a•100000 + b•10000 + c•1000 + d•100 + e•10 + f =
=99999a + a + 9999b + b + 999c + c + 99d + d + 9e + e + f =
= (99999a + 9999b + 999c + 99d + 9e) + (a + b + c + d + e + f)
Получили сумму двух слагаемых. Первое из них,
(99999a + 9999b + 999c + 99d + 9e)
очевидно, делится на 3, так как числа, состоящие из одних 9, кратны 3:
Второе же слагаемое,
как раз и представляет собой сумму цифр исходного числа. Именно от его кратности тройке зависит, будет ли всё число делиться на 3.
Так как числа, состоящие исключительно из девяток, делятся не только на 3, но и на 9, то абсолютно аналогично доказывается признак делимости на 9:
Так, кратны 9 числа:
Отметим, что существует ещё много признаков делимости для таких чисел, как 7, 11, 13, 17 и т. д, но они достаточно сложные и не очень нужны на практике. Однако есть одно важное правило
Например, если число кратно 3 и 5, то оно делится и на 3•5 = 15, например:
Этот факт следует из того, что любое составное число раскладывается на простые множители. Например, разложение числа 105 выглядит так:
Естественно, что среди простых множителей окажутся именно те числа, на которые делится разлагаемое число. Вспомним уже изученное правило, что если в произведении есть множители, кратные m и n, то всё произведение кратно и mn. Из этого следует, что число делится на произведение простых чисел исключительно в том случае, когда оно кратно каждому из этих простых чисел.
Это свойство помогает сформулировать ещё несколько правил делимости:
Рассмотрим отдельно деление на десять. Число кратно двум, если оно оканчивается цифрами 0, 2, 4, 6 или 8. На 5 же оно делится, если в конце стоит 0 или 5. Получается, что число может одновременно делиться и на 2, и на 5 исключительно в том случае, если его последняя цифра – ноль.
Ещё раз уточним, что каждый из приведенных признаков делимости может использоваться только для своего числа. Ни в коем случае нельзя, например, при проверке делимости 9 использовать признаки делимости на 2 или 10.