На что делится составное число

Составные числа

Любое натуральное число больше единицы является либо простым либо составным. Простым называют число, которое делится без остатка только на само себя или на единицу (2, 3, 5, 7 и т.д.). Составным называется число, которое имеет больше двух делителей (4, 6, 8 и т.д.).

Таблица составных чисел до 100

Самое маленькое составное число

Исходя из определения и пользуясь таблицей составных чисел, видно, что наименьшее натуральное составное число — 4.

Важно! Единица — не является ни простым, ни составным числом

Как определить составное ли число?

Возвращаясь к определению, получаем, что если число делиться без остатка на любое число, кроме самого себя и единицы — значит оно составное. Проверить это можно путем перебора делителей (к примеру, начать делить на 2, затем на 3 и т.д.), либо зная признаки делимости.

Источник

Простые и составные числа, определения, примеры, таблица простых чисел, решето Эратосфена

В статье рассматриваются понятия простых и составных чисел. Даются определения таких чисел с примерами. Приводим доказательство того, что количество простых чисел неограниченно и произведем запись в таблицу простых чисел при помощи метода Эратосфена. Будут приведены доказательства того, является ли число простым или составным.

Простые и составные числа – определения и примеры

Простые и составные числа относят к целым положительным. Они обязательно должны быть больше единицы. Делители также подразделяют на простые и составные. Чтобы понимать понятие составных чисел, необходимо предварительно изучить понятия делителей и кратных.

Составными числами называют целые числа, которые больше единицы и имеют хотя бы три положительных делителя.

Единица не является ни простым ни составным числом. Она имеет только один положительный делитель, поэтому отличается от всех других положительных чисел. Все целые положительные числа называют натуральными, то есть используемые при счете.

Простые числа – это натуральные числа, имеющие только два положительных делителя.

Составное число – это натуральное число, имеющее более двух положительных делителей.

Натуральные числа, которые не являются простыми, называют составными.

Таблица простых чисел

Для того, чтобы было проще использовать простые числа, необходимо использовать таблицу:

Рассмотрим теорему, которая объясняет последнее утверждение.

Наименьший положительный и отличный от 1 делитель натурального числа, большего единицы, является простым числом.

Простых чисел бесконечно много.

Видно, что может быть найдено любое простое число среди любого количества заданных простых чисел. Отсюда следует, что простых чисел бесконечно много.

Решето Эратосфена

Данный способ неудобный и долгий. Таблицу составить можно, но придется потратить большое количество времени. Необходимо использовать признаки делимости, которые ускорят процесс нахождения делителей.

Перейдем к формулировке теоремы.

Данное число простое или составное?

Перед решением необходимо выяснять, является ли число простым или составным. Зачастую используются признаки делимости. Рассмотрим это на ниже приведенных примере.

Доказать что число 898989898989898989 является составным.

Ответ: 11723 является составным числом.

Источник

Лекция 8. 22.04.20.ПРОСТЫЕ И СОСТАВНЫЕ ЧИСЛА

Лекция 8. Простые и составные числа. Их свойства

Определение. Натуральное число, большее единицы, называется простым, если оно делится только на себя и на 1 (т. е. имеет ровно два разных делителя). На­туральное число называется составным, если оно имеет более 2 разных делителей.

Например, числа 2, 3, 5, 7, 11 – простые, а число 18 – составное (1, 2, 3, 6, 9, 18 – его делители). Число 1 имеет только один делитель и не является ни простым, ни составным.

Таким образом, множество целых неотрицательных чисел N₀ можно разделить на четыре непересекающихся подмножества:

1) <0>– множество, состоящее из одного элемента, числа 0:;

2) <1>– множество, состоящее из одного элемента, числа 1;

1) Если простое число p делится на натуральное число q ≠ 1, то q совпадает с числом p (q = p).

Доказательство. Действительно, если бы число p делилось на q и не совпа­да­ло с числом q, то оно имело бы три делителя: 1, p, q, что противоречит опре­делению простого числа. Поэтому p = q.

2) Если p и q – разные простые числа, то p не делится на q.

Доказательство. Поскольку p – простое число, то оно делится только на 1 и p. По условию p ≠ q и q – простое число, значит, q ≠ 1. Отсюда следует, что p не делится на q.

3) Всякое натуральное число a>1 имеет хотя бы один простой делитель, причем этот делитель наименьший.

Доказательство. Если число а – простое, то таким делителем числа а является само это число.

Последнее неравенство противоречит условию, что d – наименьший делитель числа а. Значит, допущение о том, что число d – составное, ошибочно.

Таким образом, наименьший делитель натурального числа а – всегда простое число.

Доказательство. Пусть число а – составное и d – его наименьший простой делитель (он существует на основании свойства 3).

Число 381 – составное, поскольку делится на 3 по признаку делимости.

Решето Эратосфена

Эратосфен – древний греческий ученый математик и астроном, который жил в III в. до н. э. Считают, что он первый составил таблицу простых чисел. В древ­ности греки писали палочками на восковых досках. Записав некоторую после­до­вательность натуральных чисел, Эратосфен прокалывал дырку, где стояли состав­ные числа. Составные числа как бы «просеивались», а оставались только простые. Дощечка выглядела подобно решету. Отсюда, возможно, и название метода Эратосфена отсеивать составные числа.

Решение. Запишем последовательность натуральных чисел от 2 до 40.

Источник

Какие числа называют составными в математике

Составные числа — понятие и определение

Такие числа, которые используют при счете объектов и предметов, называют натуральными.

Натуральные числа бывают простыми и составными.

Если у числа есть только два делителя — единица и само число — то его называют простым. Самое маленькое простое число — это 2.

Например, к простым относят также 3, 5 и 7.

У 3 есть только два делителя: 1 и 3.

Составные числа являются натуральными и имеют больше двух делителей.

Например, 125 делится на 1, 5, 25, 125. Это составное число.

Единица не относится ни к простым, ни к составным натуральным числам.

Делителем числа называют такое число, при делении на которое полученный результат является целым (не имеет остатка).

Нельзя назвать самое большое составное число, потому что их бесконечное множество. Но можно определить самое маленькое натуральное составное число — это 4.

Чем отличаются от простых

Составные числа отличаются от простых тем, что у них есть еще хотя бы один делитель, который не равен единице и самому числу. Простое число имеет только два делителя: единицу и само себя.

С помощью нахождения делителей определяют, является ли число простым или составным. Чтобы найти делители числа, нужно разложить его на множители.

Разложить число на множители — значит, представить его в виде произведения чисел.

Множители подбирают с помощью применения признаков делимости, а также разложения числа на простые множители.

Разложение на простые множители — это математическая операция, которая представляет число в виде произведения простых множителей.

Основная теорема арифметики:

Любое составное число можно разложить на простые множители (представить в виде произведения) единственным способом.

Применение составных чисел

Каждое составное число в математике представляют в виде произведения двух и более натуральных чисел, которые больше единицы.

Составные числа встречаются повсюду:

Числа позволяют создавать математические модели, с опорой на которые принимаются актуальные решения.

Примеры решения задач

Найдите среди чисел 16, 37, 11, 58 и 13 составные.

По определению, число является составным, если оно имеет хотя бы один делитель, кроме 1 и самого себя.

16 делится нацело, например, на 2 и 8, значит, 16 является составным.

37 можно найти в таблице простых чисел.

Число 11 также найдем в таблице простых чисел.

58 можно разделить на 2, так как по признаку делимости, если число оканчивается четной цифрой, то оно делится нацело на 2. Значит, число имеет делитель, который отличается от 1 и 58. Следовательно, 58 — составное.

13 находим в таблице простых чисел.

Докажите, что число 296 является составным.

Число является составным, если у него есть хотя бы один делитель, кроме единицы и самого себя.

Для нахождения делителя, используем признаки делимости.

296 заканчивается на 6. Цифра 6 — четная, значит, по признаку делимости число делится без остатка на 2. И, если у него есть хотя бы один делитель, кроме 1 и 296 (в данном случае это 2), то оно является составным.

Что и требовалось доказать.

Можно ли говорить о том, что все четные числа являются составными?

Ответ: нет, так как, например, число 2 является четным, но при этом простым, потому что имеет только два делителя — 1 и 2.

Приведите примеры четырех составных чисел, кратных 3.

Числа, которые кратны трем, делятся на 3 нацело.

Вспоминаем признак делимости на 3: сумма цифр числа должна делиться нацело на 3.

Тогда нужными нам примерами могут быть: 27, 126, 45 и 99.

27: составное число, так как имеет хотя бы один делитель, кроме 1 и самого себя — это 3. Сумма цифр числа равняется 9. Девять кратно 3.

126: составное, так как делится нацело на 2 — в разряде единиц стоит четная цифра 6. Сумма цифр — 1 + 2 + 6 = 9 — 9 кратно 3.

45: составное, делится нацело на 5 по признаку делимости. Сумма цифр равна 9, девять кратно 3.

99: составное, так как делится нацело на 9 по признаку делимости. Сумма цифр равна 18, а 18 кратно 3.

Источник

Простые и составные числа: определения и примеры

Простые и составные числа: Freepick

Математика по-разному называет числа и делит их на определенные группы. На уроках услышите о простых и составных числах. Чем обосновано такое деление и как научиться различать эти категории чисел? Помогут разобраться в этом вопросе примеры.

Простые числа и их особенности

Сложение, вычитание, умножение, деление — все эти операции привычны для математиков, которые ловко оперируют самыми разными числами и способны вести подсчеты в уме не хуже, чем вычислительные машины. Помогают им в этом простые и составные числа.

Познакомимся с первой группой чисел. Простое число — это любое число, которое можно разделить само на себя и на единицу. Яркий и простой для запоминания пример — число 13. Легко заключить, что разделить его получится:

Любое число, которому подходит под это определение, попадает в группу простых. Следует помнить о том, что подразумевается деление числа нацело. С целым или дробным остатком деление возможно практически для любых чисел.

Числа в математике: Freepick

Для удобства в математике используются таблицы простых чисел. При их составлении вручную последовательно проверяется каждое число. Например:

Такие операции можно выполнять до числа 100 и далее.

Но в книге о простых числах выдающегося математика Л. Г. Шнирельмана указано, что существует бесконечное множество простых чисел. Как быть и можно ли ускорить процесс их нахождения?

Математики нашли решение этой задачи. Быстро отобрать простые числа можно с помощью решета Эратосфена:

На уроках часто пользуются уже готовыми таблицами, но важно помнить о том, каким образом в них оказываются те или иные числа. Кроме простых, выделяют также группу взаимно простых чисел, у которых есть только один общий делитель — единица (например, 14 и 25).

Что такое составные числа

Количество составных чисел в разы превышает количество простых. Составными числами называют такие, которые не относятся к простым, то есть имеют делители, кроме единицы и самого себя. Иногда составные числа называют сложными.

Рассмотрим это на примере:

Таким образом, составным числом называют такое число, у которого есть два и более простых множителей.

Зачем математики используют простые и составные числа? Это необходимо для упрощения разложения на множители. Вместо долгих поисков того, на какие числа можно разложить большое значение, достаточно использовать специальную таблицу.

Разложение на простые множители необходимо для определения самого большого общего делителя и самого маленького общего кратного. Эти значения применяют в сложении, вычитании и сравнении дробей.

Математические расчеты: Freepick

Обсуждая простые и составные числа, не было сказано, в какую группу отнести ноль и единицу. Остановимся на единице. Согласно определению, у простого числа должно быть два делителя — единица и оно само.

Но для единицы делитель фактически один, потому к простым числам ее нельзя отнести. Составным числом единица также не может быть (нет более двух делителей), а потому она остается числом без категории.

Как быть с нулем? Ноль, в отличие от единицы, делится на любые числа и получается при этом все тот же ноль. Кроме того, его не получится разложить на простые множители. С учетом теории и определения простых и составных чисел математики приняли решение ноль, как и единицу, исключить из категорий простых и составных чисел.

Таким образом, математикам удалось классифицировать и разделить на две большие группы все многообразие чисел. Ученые сделали это, найдя для них общие признаки. Простые числа имеют только два делителя, а у составных их гораздо больше. Вне этой классификации остались лишь единица и ноль.

Уникальная подборка новостей от нашего шеф-редактора

Источник