На что можно поделить число
Делители и кратные
В данном уроке мы рассмотрим такие понятия как делители и кратные.
Что такое делитель?
Мы знаем, что делитель это число, показывающее на сколько частей нужно разделить делимое. Например, в выражении 8 : 2 = 4, делителем является число 2. Это число показывает на сколько частей нужно разделить число 8. После разделения получается ответ 4. Как видно из примера, число 8 делится на число 2 без остатка. Говорят, что число 2 является делителем числа 8.
Пример 1. Число 2 является делителем числа 8, поскольку 8 делится на 2 без остатка:
Пример 2. Число 3 является делителем числа 9, поскольку 9 делится на 3 без остатка:
Пример 3. Число 4 не является делителем числа 10 поскольку 10 не делится на 4 без остатка:
10 : 4 = 2 (2 в остатке)
Определение. Делителем числа а называется число, на которое число а делится без остатка.
Делителем числа 12 называется число, на которое 12 делится без остатка.
Попробуем перечислить эти числа:
Все эти числа являются делителями числа 12, поскольку число 12 делится на них без остатка. Покажем это:
12 : 1 = 12
12 : 2 = 6
12 : 3 = 4
12 : 4 = 3
12 : 6 = 2
12 : 12 = 1
Кратные числа
Если какое-нибудь число без остатка разделилось на другое, то его называют кратным этого числа. Например, 6 без остатка делится на 3. Поэтому 6 является кратным числа 3
Определение. Кратным числа а называется число, которое делится без остатка на а.
Кратным числа 5 называется число, которое делится без остатка на 5 .
У любого числа бесконечно много кратных. Например, первыми кратными числа 5, являются числа 5, 10, 15, 20, 25. Все они кратны 5, поскольку делятся на 5 без остатка:
5 : 5 = 1
10 : 5 = 2
15 : 5 = 3
20 : 5 = 4
25 : 5 = 5
Признаки делимости чисел
Признаки делимости чисел используются для того, чтобы ускорить процесс деления чисел. Существует множество признаков делимости и других интересных алгоритмов, значительно ускоряющих решение и освобождающих от излишней волокиты. Рассмотрим наиболее популярные из них.
Признак делимости на 10
Любое число, которое оканчивается нулем, делится без остатка на 10. Чтобы получить частное, достаточно отбросить цифру 0 в делимом.
Например, 380 : 10 = 38. Мы просто отбросили последний ноль в числе 380.
В случае, если мы имеем выражение такого вида 385 : 10, то получится 38 и 5 в остатке, поскольку 380 : 10 = 38, а пятерка это остаток, который не разделился.
Таким образом, если число оканчивается цифрой 0, то оно делится без остатка на 10. Если же оно оканчивается другой цифрой, то оно не делится без остатка на 10. Остаток в этом случае равен последней цифре числа. Действительно, в примере 385 : 10 = 38 (5 в остатке), остаток равен последней цифре в числе 385, то есть пятерке.
Признак делимости на 5 и на 2
Любое число, которое оканчивается нулем, делится без остатка и на 5, и на 2.
Признак делимости на 5
Если число оканчивается цифрой 0 или 5, то оно делится без остатка на 5.
Признак делимости на 3
Число делится на 3, если сумма цифр этого числа делится на 3. Например, рассмотрим число 27, сумма его цифр 2 + 7 = 9. Девять, как мы знаем делится на 3, значит и 27 делится на 3:
Признак делимости на 9
Число делится на 9, если сумма его цифр делится на 9. Например, рассмотрим число 18. Сумма его цифр 1 + 8 = 9. Девять делится на девять, значит и 18 делится на 9
Рассмотрим число 846. Сумма его цифр 8 + 4 + 6 = 18. Восемнадцать делится на девять, значит и 846 делится на 9:
Чётные и нечётные числа
Чётным называется число, которое делится без остатка на 2. Например, число 20 является четным, поскольку оно делится без остатка на 2:
Нечётным называется число, если при его делении на 2, остаётся остаток 1. Например число 21 является нечетным, поскольку после его деления на 2 остается остаток 1:
21 : 2 = 10 (1 в остатке)
Как распознать чётное число от нечетного, не выполняя деления на 2? Очень просто. Из однозначных чисел чётными являются числа 0, 2, 4, 6, 8, а нечетными являются 1, 3, 5, 7, 9. Если число оканчивается чётной цифрой, то это число является чётным. Если число оканчивается нечетной цифрой, то это число является нечетным.
Например, число 308 чётно, поскольку оно оканчивается чётной цифрой. Число 1024 тоже четно, поскольку оканчивается четной цифрой.
А числа 305 и 1027 являются нечётными, поскольку они оканчиваются нечётными цифрами.
Простые и составные числа
Простым называется число, которое делится без остатка на единицу и на само себя. Другими словами, имеет только два делителя. Например, число 5 делится без остатка на единицу и на само себя:
Значит, число 5 является простым числом.
Составным же называется число, которое имеет два и более делителя. Например, число 4 составное, поскольку у него два и более делителя: 4, 2 и 1
Значит, число 4 является составным числом.
Разложение составного числа на простые множители
Любое составное число можно разложить на простые множители. Чем-то похожим мы занимались в уроке замены в выражениях. Из этого урока мы узнали, что любое число, входящее в выражение, можно заменить на то же самое, но записанное в другом виде.
Суть разложения числа на простые множители заключается в том, чтобы представить это число в виде произведения нескольких простых множителей.
Разложим число 4 на простые множители. Для этого соберем данное число из других чисел, при этом соединим их знаком умножения (×). Число 4 состоит из чисел 2 и 2. Эти два числа и являются простыми множителями, из которых состоит число 4
Разложим на множители число 6. Число 6 можно собрать из чисел 2 и 3. Эти два числа и являются простыми множителями, из которых состоит число 6
Большие числа раскладываются таким же образом. Сначала их раскладывают на большие множители, затем эти большие множители раскладывают на маленькие. И так до тех пор, пока каждый множитель не станет простым числом.
Например, разложим число 180 на простые множители. Число 180 это два множителя 18 и 10
Теперь раскладываем множители 18 и 10 на другие множители:
Теперь раскладываем выделенную синюю шестерку. Это последний большой множитель, который можно разложить на простые множители:
Теперь собираем все простые множители вместе:
На множители можно разложить только составное число. Простое число на множители не раскладывается. Именно поэтому, когда разложение доходит до простых чисел, мы эти простые числа дальше не раскладываем.
Есть и второй способ разложения на простые множители. Он проще и хорошо подходит для больших чисел. Суть этого способа заключается в том, что сначала проводится вертикальная линия. Затем слева от этой линии записываются делимые, а справа — делители, которые впоследствии собирают во множители.
При разложении числа этим способом, используют признаки делимости, такие как: признаки делимости на 2, на 3, на 5 и другие.
Например, разложим предыдущее число 180 этим способом.
Проводим вертикальную линию и слева записываем первое делимое 180
Теперь применяем признаки делимости. В первую очередь проверяем делится ли 180 на 2. Если делится, то нужно записать эту двойку справа от вертикальной линии.
180 делится на 2, поскольку 180 оканчивается нулём. Записываем двойку справа от вертикальной линии:
Теперь делим 180 на 2 и получаем второе делимое 90. Записываем это делимое слева от вертикальной линии:
Теперь делим 90. Снова применяем признаки делимости. Проверяем делится ли 90 на 2.
90 делится на 2, поскольку 90 оканчивается нулём. Записываем двойку справа от вертикальной линии:
Теперь делим 90 на 2, получаем третье делимое 45. Записываем это делимое слева от вертикальной линии:
Теперь делим 45. Снова применяем признаки делимости. Проверяем делится ли 45 на 2.
45 на 2 не делится. Тогда проверяем делится ли 45 на 3.
45 делится на 3, поскольку сумма цифр 4 и 5 делится на 3. Записываем тройку справа от вертикальной линии:
Делим 45 на 3, получаем четвёртое делимое 15. Записываем это делимое слева от вертикальной линии:
Теперь делим 15. Проверяем делится ли 15 на 2.
15 не делится на 2. Тогда проверяем делится ли 15 на 3.
15 на 3 делится, поскольку сумма цифр 1 и 5 делится на 3. Записываем тройку справа от вертикальной линии:
Делим 15 на 3, получаем пятое делимое 5. Записываем пятёрку слева от вертикальной линии:
Теперь делим 5. Проверяем делится ли 5 на 2.
5 не делится на 2. Тогда проверяем делится ли 5 на 3.
5 не делится на 3. Тогда проверяем делится ли 5 на 5.
5 делится на 5. Записываем эту пятёрку справа от вертикальной линии:
Делим 5 на 5, получаем шестое делимое 1. Записываем эту единицу слева от вертикальной линии:
На этом деление завершается, поскольку мы достигли единицы. Делители, которые записывают справа от вертикальной линии должны быть простыми числами. Поэтому, когда делимое 5 не разделилось на 2, а затем не разделилось на 3, мы попробовали разделить его на 5, не пробуя разделить на 4, поскольку 4 является не простым, а составным числом.
Теперь переписываем в один ряд все делители, которые записаны справа от вертикальной линии. Они и будут разложением числа 180 на простые множители. Желательно записывать их, начиная с самых малых. Это позволяет упорядочить их по возрастанию:
Не расстраивайтесь, если будете испытывать затруднения при разложении чисел на простые множители. Эта тема требует немного практики. Для тренировки можете разложить на простые множители следующие числа: 256, 378, 512.
Нахождение делителей числа
В начале данного урока было сказано, что делителем называется число, на которое другое число делится без остатка.
Например, число 2 является делителем числа 6, поскольку число 6 можно без остатка разделить на 2
6 : 2 = 3
Ещё делителем числа 6 является число 3
6 : 3 = 2
Ещё делителем числа 6 является число 1
6 : 1 = 6
Наконец, делителем числа 6 является само это число
6 : 6 = 1
Перечислим все делители числа 6
1, 2, 3, 6
Иногда возникает необходимость найти все делители какого-нибудь числа. Чтобы понять, как это делается, рассмотрим несколько примеров.
Пример 1. Найти делители числа 12
Во-первых, единица является делителем любого числа. Пусть и у нас первым делителем числа 12 будет 1
Теперь раскладываем число 12 на простые множители:
Получили разложение 2 × 2 × 3.
В процессе разложения числа 12 на простые множители, мы делили его на числа 2 и 3. На них число 12 разделилось без остатка, значит они тоже являются делителями числа 12. Внесём эти два числа в нашу таблицу делителей:
Чтобы получить остальные делители числа 12, нужно найти все возможные произведения его простых множителей между собой. Получаемые в результате ответы и будут остальными делителями числа 12.
Число 12 мы разложили на простые множители 2 × 2 × 3. Найдём все возможные произведения этих простых множителей между собой. Первое произведение это 2 × 2. Это произведение равно 4
Занесём число 4 в нашу таблицу делителей
Следующее возможное произведение из простых множителей числа 12 это произведение 2 × 3. Данное произведение равно 6. Занесём число 6 в нашу таблицу делителей:
Последнее возможное произведение из простых множителей числа 12 это произведение из всех его множителей, а именно 2 × 2 × 3. Это произведение равно 12. Занесём число 12 в нашу таблицу делителей:
Таким образом, делителями числа 12 являются числа 1, 2, 3, 4, 6, 12.
На основании приведённого примера можно сформировать правило для нахождения делителей числа:
Чтобы найти делители числа, нужно:
Пример 2. Найти делители числа 6
Первым делителем числа 6 запишем единицу:
Теперь разложим число 6 на простые множители:
Выпишем из полученного разложения те множители, которые являются делителями числа 6. Видим, что это множители 2 и 3. Они будут следующими делителями числа 6. Допишем их к нашим делителям:
1, 2, 3
1, 2, 3, 6
Делимость чисел в математике с примерами решения
Содержание:
Делимость чисел
Делители натурального числа
18 конфет можно разделить поровну между 3 детьми, дав каждому ребенку по 6. Это же количество конфет, не разрезая их, нельзя разделить поровну между 4 детьми. Если каждому ребенку дать по 4 конфеты, то останется 2. Запишем:
Число 18 делится на число 3 без остатка (еще говорят: 18 делится на 3). Число 3 называют делителем числа 18. Число 18 не делится без остатка на 4 (еще говорят: 18 не делится на 4). Число 4 не является делителем числа 18.
Любое натуральное число, на которое делится данное натуральное число, называют делителем этого числа.
Запишем все натуральные числа, на которые делится число 18 Такими числами являются 1,2,3,6,9, 18. Итак, число 18 имеет 6 делителей: 1,2, 3,6,9 и 18.
Число 1 имеет только один делитель — 1. Любое другое число, например, 23, обязательно имеет по крайней мере два делителя — число 1 и само число (23), причем I — наименьший делитель, само число (23) — наибольший.
Пример:
Найти все делители числа 36.
Решение:
Чтобы найти все делители числа 36, будем делить его на натуральные числа, начиная с 1: 36 : 1 = 36; 36 : 2 = 18; 36 : 3 = 12; 36 : 4 = 9; 36 : 5 = 7 (ост. 1); 36 : 6 = 6; 36 : 7 = 5 (ост. 1); 36 : 8 = 4 (ост. 4) и т. д.
Количество делений можно уменьшить. Найдя один делитель, сразу можем записать еще один, который является частным от деления числа 36 на этот делитель. Делители удобно записать так:
Итак, делителями числа 36 являются: 1, 2, 3,4, 6, 9, 12, 18, 36.
Признаки делимости на 2, 5 и 10
Как известно из изученного в пятом классе, чтобы умножить натуральное число на 10, нужно к записи этого числа дописать справа один нуль, например, 137 • 10 = 1370. Поскольку 10 является делителем числа 1370, то число 1370 делится на 10. В общем, на 10 делятся все числа, запись которых оканчивается цифрой 0.
Число, запись которого не оканчивается цифрой 0, например, 457, на 10 не делится.
Натуральное число, запись которого оканчивается цифрой 0, делится на 10.
Натуральное число, запись которого не оканчивается цифрой 0, не делится на 10.
Это правило называют признаком делимости на 10.
Найдем признак делимости на 5. Для этого разделим на 5 некоторые числа, например, 19, 82, 140, 245, 344, 515, 630, 1027.
Запишем в первый столбик те числа, которые делятся на 5, а во второй — те, которые не делятся на 5.
Какую вы заметили особенность чисел, которые делятся на 5; не делятся на 5?
Натуральное число, запись которого оканчивается цифрой 0 или 5, делится на 5.
Натуральное число, запись которого оканчивается цифрой, отличной от 0 или 5, не делится на 5.
Числа, которые делятся на 2, называют четными, а числа, которые на 2 не делятся, — нечетными. Например, 24 — число четное, поскольку оно делится на 2, а число 25 — нечетное, поскольку оно не делится на 2.
Однозначные числа 0, 2,4, 6, 8 являются четными, а числа 1, 3, 5, 7, 9 — нечетными.
Запись каждого числа, которое делится на 2, оканчивается однозначным четным числом. Если запись числа оканчивается однозначным нечетным числом, то оно не делится на 2.
Натуральное число, запись которого оканчивается однозначным четным числом, делится на 2.
Натуральное число, запись которого оканчивается однозначным нечетным числом, не делится на 2.
Для тех, кто хочет знать больше
Зная последнюю цифру в записи натурального числа, можно установить, делится ли оно на 2, 5 или 10.
Зная две последние цифры в записи натурального числа, можно ответить на вопрос, делится ли число на 4, на 25. А именно:
Натуральное число делится на 4, если число, образованное двумя его последними цифрами, делится на 4.
Натуральное число не делится на 4, если число, образованное двумя его последними цифрами, не делится на 4
Натуральное число делится на 25. если число, образованное двумя его последними цифрами, делится на 25.
Натуральное число не делится на 25, если число, образованное двумя его последними цифрами, не делится на 25.
Признаки делимости на 9 и на 3
Найдем признак делимости на 9. Для этого разделим на 9 некоторые числа, например, 288, 361,441, 814. 917, 8919.
Запишем в первый столбик те числа, которые делятся на 9, а во второй — те, которые не делятся на 9.
Какую вы заметили особенность чисел которые делятся на 9; не делятся на 9?
Воспользуйтесь такой подсказкой: найдите сумму цифр каждого из этих чисел.
Какое свойство имеет сумма цифр тех чисел, которые делятся на 9?
Какое свойство имеет сумма цифр тех чисел, которые не делятся на 9?
Натуральное число делится на 9, если сумма его цифр делится на 9.
Натуральное число не делится на 9, если сумма его цифр не делится на 9.
Признак делимости на 3 аналогичен признаку делимости на 9.
Натуральное число делится на 3, если сумма его цифр делится на 3.
Натуральное число не делится на 3, если сумма его цифр не делится на 3.
Для тех. кто хочет знать больше
Признак делимости на 9, например, для числа 468, следует из таких преобразований:
Число 
— 9 делится на 9. Сумма 4+6+8 является суммой цифр числа 468. Если она делится на 9, то и число 468 делится на 9. Так как сумма 4 + 6 + 8 = 18 делится на 9, то и число 468 делится на 9.
Простые и составные числа
Возьмем несколько натуральных чисел и найдем все их делители.
Мы видим, что числа имеют разное количество делителей. Число 1 имеет только один делитель — само это число. Числа 2, 3, 17 имеют по два делителя: 1 и само себя. Числа 4, 12,21 и 30 имеют больше, чем два делителя.
Натуральное число называют простым, если оно имеет только два разных делителя: единицу и само это число. Число, имеющее более двух делителей, называют составным.
Итак, числа 2, 3, 17 — простые, а числа 4, 12, 21, 30 — составные. Число 1 не является ни простым, ни составным числом.
Если число имеет делитель, отличный от I и самого себя, то это число имеет более двух делителей и поэтому является составным. Число 12 475 — составное, так как имеет среди делителей, например, число 5.
Наименьшим простым числом является число 2. Наибольшего простого числа не существует. Все простые числа, кроме числа 2, являются нечетными.
Таблица простых чисел, которые не превышают 1000, находится на форзаце учебника.
Интересные рассказы
История математики знает имена ученых, которые приложили немало усилий для составления таблиц простых чисел. Первые такие попытки были сделаны еще в Древней Греции.
Если «высеять» все простые числа, не превышающие 30, то получим:
2, 3, 5, 7, II, 13, 17, 19, 23, 29 — первые 10 простых чисел.
Эратосфенов метод «высевания» простых чисел называют еще «решетом Эратосфена». Это связано с тем, что древние греки писали на папирусе или табличках, покрытых воском, и числа не вычеркивали, а выкалывали иголкой, после чего папирус или табличка напоминали решето.
В 1603 году итальянский математик Пьетро Катальди опубликовал в Болонье первую известную нам таблицу простых чисел меньше 750. Позже математики продвигались все дальше в глубь натурального ряда чисел, открывая все новые и новые простые числа.
Уже в 1770 голу немецкий математик Иоанн Генрих Ламберт (1728- 1777) опубликовал таблицу наименьших делителей всех чисел меньше 102 000, которые не делятся на 2, 3 и 5. Это была огромная работа. Не зря, призывая ученых продолжить составление таблицы, Ламберт гарантировал бессмертие тому, кто получит таблицу делителей до 1 000 000.
В середине XIX века в прессе появились сообщения, которые казались совершенно невероятными: Венская академия наук получила рукопись пражского математика Якуба Филиппа Кулика, содержащую таблицу деятелей чисел, не делящихся 2, 3 и 5, которую ученый расширил до 100 миллионов.
Редактор таблиц простых чисел Лемер посетил Вену и убедился, что в библиотеке академии хранится семь больших томов рукописных таблиц «Большой канон делителей всех чисел, которые не делятся на 2, 3 и 5, и простых чисел между ними до 100 330 201 Якуба Филиппа Кулика, публичного ординарного профессора высшей математики Пражского университета».
Якуб Филипп Кулик (1793 1863) родился во Львове. Окончив местную гимназию, он изучал философию, право и математику во Львовском университете, ас 1814 гола преподавал математику в лицее. С 1826 года Кулик стал профессором высшей математики Пражского университета. Много сил ученый отдал развитию культуры, науки и образования в родном крае. Он подарил много книг галицким гимназиям и Львовскому университету. Кулик является автором многих научных работ, но в историю математики он вошел как непревзойденный вычислитель и составитель математических таблиц.
Разложение натуральных чисел на простые множители
Составное число 24 можно записать как произведение двух множителей, например, 24 = 6•4. Говорят, что число 24 разложили на два множителя — 6 и 4. Числа 6 и 4 тоже можно разложить на множители: 6 = 3•2; 4 = 2•2. Теперь число 24 можно записать так: 24 = 3 • 2 • 2 • 2. В произведении 3 • 2 • 2 • 2 все множители являются простыми числами. Итак, число 24 разложили на простые множители.
Разложить число на простые множители означает записать его в виде произведения простых чисел. Любое составное число можно разложить на простые множители. Например:
Раскладывая числа на простые множители, надо найти простые делители этого числа. При этом можно использовать признаки делимости чисел. Чтобы разложить на множители большие числа, пользуются специальной схемой.
Пусть надо разложить на простые множители число 630.
Записываем это число и проводим справа вертикальную черту Наименьшим простым делителем этого числа является 2; записываем 2 справа or черты. Делим 630 на 2 и записываем частное 315 слева от черты под числом 630. Находим теперь наименьший простой делитель числа 315. Им является число 3, записываем его справа от черты. Делим 315 на 3, частное 105 записываем слева. Делим 105 на 3, получаем 35; 35 делим на 5, получаем 7. Число 7 простое, разделив его на 7, получим I. Разложение закончено.
Итак, 
Пример:
Найти все делители числа 126.
Решение:
Разложим число 126 на простые множители:
Делителями числа 126 являются: 1, простые числа 2, 3, 7 в полученном разложении и всевозможные произведения чисел 2, 3, 3, 7, то есть:
И так, делителями числа 126 являются:
Запишем все делители в порядке их возрастания:
Интересные рассказы
Расположение простых чисел
Утверждение о том, что каждое отличное от 1 натуральное число можно записать в виде произведения простых множителей и притом единственным способом, если не принимать во внимание порядок расположения сомножителей, является так называемой основной теоремой арифметики — одной из древнейших математических наук (в переводе с греческого «арифметика» — «искусство чисел»).
В соответствии с основной теоремой арифметики простые числа являются как бы кирпичами, из которых «строятся» натуральные числа. Этим и объясняется внимание к простым числам со стороны математиков всех времен. Еще древнегреческий математик Эвклид (ок. 365 ок. 300 г. до н. э.) доказал, что простых чисел есть бесконечно много, поэтому наибольшего простого числа не существует. Но еще до сих пор не изучены закономерности расположения простых чисел в натуральном ряду.
Талантливые математики многих стран стремились найти закон расположения простых чисел.
О свойствах простых чисел выдвинуто много интересных гипотез. Среди них самой интересной является гипотеза члена Петербургской академии наук Кристиана Гольдбаха (1690 1764), сформулированная так: любое натуральное число больше 5 является суммой трёх простых чисел
Свойства простых чисел можно наглядно представить так:
Перед нами откроется следующая картина.
Наибольший общий делитель
Выпишите все делители чисел 18 и 24 и подчеркните их общие делители
Общими делителями (они подчеркнуты) чисел 18 и 24 являются числа 1, 2, 3, 6, наибольшим из них является 6. Число 6 является наибольшим натуральным числом, на которое делятся и 18, и 24.
Наибольшее натуральное число, на которое делится каждое из данных чисел, называют наибольшим общим делителем этих чисел.
Итак, наибольшим общим делителем чисел 18 и 24 являегся число 6. Сокращенно это записывают так: НОД( 18; 24) 6.
В рассмотренном примере мы легко нашли наибольший общий делитель чисел, записав все делители каждого из них. Если числа большие и имеют много делителей, то нахождение наибольшего общего делителя этим способом является достаточно сложным.
Рассмотрим еще один способ нахождения наибольшего общего делителя, взяв числа 210 и 294. Разложим каждое из этих чисел на простые множители:
Подчеркнем все общие простые множители в разложении данных чисел: 2, 3, 7. Числа 210 и 294 делятся на каждое из чисел 2, 3, 7 и на их произведение: 2•3•7 =42. Число 42 является наибольшим общим делителем чисел 210 и 294:
Назовите последовательность шагов при нахождении НОД двух чисел.
Для нахождения наибольшего общего делителя двух чисел можно разложить эти числа на простые множители и найти произведение их общих множителей.
По такому правилу можно находить наибольший общий делитель трёх и более чисел. Найдем, например, наибольший общий делитель чисел 45, 75 и 90. Разложим эти числа на простые множители и подчеркнем общие для всех чисел множители:
Итак, 
Если среди данных чисел есть число, на которое делятся другие из данных чисел, то это число является наибольшим обидим делителем данных чисел. Например:
Два числа, наибольший общий делитель которых равен 1, называют взаимно простыми числами. Например, числа 16 и 27 являются взаимно простыми, так как их наибольшим общим делителем является 1.
Взаимно простые числа вообще имеют только один общий делитель — число 1. Поэтому, если два числа имеют общий делитель, отличный от 1, то они не взаимно простые. Например, числа 18 и 45 не являются взаимно простыми, так как имеют общий делитель 3.
Пример:
Какое наибольшее количество одинаковых букетов можно составить из 24 васильков и 32 ромашек, использовав все цветы?
Решение:
Из данных цветов можно, например, составить 2 букета. в каждом из которых будет 12 васильков и 16 ромашек. Нельзя составить три букета, так как 32 ромашки нельзя разделить на 3 одинаковые части. Можно составить четыре одинаковых букета, так как и 24 василька, и 32 ромашки можно разделить на 4 одинаковые части. Очевидно, что для решения задачи нужно найти наибольшее число, на которое можно разделить 24 василька и 32 ромашки, то есть найти наибольший общий делитель чисел 24 и 32. Поскольку НОД(24; 32) = 8, то можно составить самое большее 8 одинаковых букетов. Каждый такой букет будет состоять из 24 : 8 = 3 васильков и 32 : 8 = 4 ромашек.
Кратные натурального числа. Наименьшее общее кратное
Числа 36, 72, 180 делятся на 18. Говорят, что числа 36, 72, 180 кратны числу 18.
Любое натуральное число, которое делится на данное натуральное число, называют кратным данного числа.
Все числа, кратные числу 18, можно получить, умножая число 18 последовательно на числа 1,2, 3,4, 5.
18, 36, 54, 72, 90. — числа, кратные 18.
Каждое натуральное число имеет бесконечно много чисел, кратных ему, наименьшим из которых является само это число.
Запишите числа, кратные 9. и числа, кратные 12, и подчеркните их общие кратные.
Наименьшим общим кратным двух натуральных чисел называют наименьшее натуральное число, которое делится на каждое изданных чисел.
То, что наименьшим общим кратным чисел 9 и 12 является число 36, сокращенно записывают так: НОК(9; 12) = 36.
Разложим числа 9, 12 и их наименьшее общее кратное 36 на простые множители:
Мы видим, что разложение числа 36 можно получить, если разложение числа 9 умножить на 2 • 2. Числа 2 и 2 — это такие множители из разложения числа 12, которых нет в разложении числа 9
Назовите последовательность шагов при нахождении НОК двух чисел.
Чтобы найти наименьшее общее кратное двух чисел, можно каждое из них разложить на простые множители и разложение одного из чисел умножить на те множители другого числа, которых нет в разложении первого.
Найдем наименьшее общее кратное чисел 90 и 210.
Если одно из чисел делится на другое, то большее из них является наименьшим общим кратным этих чисел. Например, НОК(21; 63) = 63.
Наименьшим общим кратным двух взаимно простых чисел являегся произведение этих чисел. Например, НОК(8; 9) = 72.
Наименьшее общее кратное можно найти не только для двух, но и для трех и более чисел.
Например, для чисел 12, 18, 24 имеем:
Пример:
Найти наименьшее четырехзначное число, кратное 27.
Решение:
1000 — наименьшее четырехзначное число. Разделим его на 27: 1000: 27 = 37 (ост. 1).
27 • 38 = 1026 — наименьшее четырехзначное число, кратное 27.
Пример:
Шаг отца равен 72 см, а шаг сына — 54 см. Найти наименьшее расстояние, которое нужно пройти как отцу, так и сыну, чтобы каждый из них сделал при этом целое число шагов.
Решение:
Искомое расстояние в сантиметрах должно выражаться таким наименьшим числом, которое делится на 72 и на 54. Таким числом являемся наименьшее общее кратное этих чисел. Найдем НОК(54; 72):
Итак, искомое расстояние равно 216 см. На таком расстоянии отец сделает 216 : 72 = 3 шага, а сын — 216 : 54 = 4 шага.
Пример:
Найти наименьшее общее кратное чисел 15 и 12.
Решение:
Находим кратные большего из чисел и проверяем, делятся ли они на меньшее число: 15 не делится на 12; 15 • 2 = 30 — не делится на 12; 15 • 3 = 45 не делится на 12; 15 • 4 = 60 — делится на 12. Итак, НОК( 15; 12) = 60.
Памятка:
При копировании любых материалов с сайта evkova.org обязательна активная ссылка на сайт www.evkova.org
Сайт создан коллективом преподавателей на некоммерческой основе для дополнительного образования молодежи
Сайт пишется, поддерживается и управляется коллективом преподавателей
Whatsapp и логотип whatsapp являются товарными знаками корпорации WhatsApp LLC.
Cайт носит информационный характер и ни при каких условиях не является публичной офертой, которая определяется положениями статьи 437 Гражданского кодекса РФ. Анна Евкова не оказывает никаких услуг.