На стороне треугольника отмечены точки и так что докажите что если то
На стороне треугольника отмечены точки и так что докажите что если то
На стороне АС треугольника АВС выбраны точки D и E так, что отрезки AD и CE равны (см. рисунок). Оказалось, что отрезки BD и BE тоже равны. Докажите, что треугольник АВС — равнобедренный.
Так как по условию 
то треугольник 
является равнобедренным. Пусть угол при основании этого треугольника равен x, тогда 
Треугольники 
и 
равны по двум сторонам и углу между ними, поэтому 
и треугольник 
—равнобедренный.
Высоты AA1 и BB1 остроугольного треугольника ABC пересекаются в точке E. Докажите, что углы AA1B1 и ABB1 равны.
Рассмотрим треугольники 
и 
они прямоугольные, углы и 
равны как вертикальные, следовательно, треугольники подобны, откуда 
Рассмотрим треугольники 
и 
углы 
и 
равны как вертикальные, из предыдущей пропорции 
следовательно, эти треугольники подобны, откуда 
Аналогичное задание с тупоугольным треугольником: 340854.
На стороне треугольника отмечены точки и так что докажите что если то
Площадь треугольника АВС равна 12. На прямой АС взята точка D так, что точка С является серединой отрезка AD. Точка K — середина стороны AB, прямая KD пересекает сторону BC в точке L.
a) Докажите, что BL : LC = 2 : 1.
б) Найдите площадь треугольника BLK.
а) Соединим отрезками точки B и D, A и L. Рассмотрим треугольник АВD. Ясно, что L — точка пересечения медиан этого треугольника. Отсюда BL : LC = 2 : 1, что и требовалось доказать.
б) Как известно, медианы треугольника, пересекаясь в одной точке, делят его на 6 равновеликих треугольников. Учитывая то, что L — точка пересечения медиан 
а также 
получим:
Точка D делит сторону AC в отношении AD : DC = 1 : 2.
а) Докажите, что в треугольнике ABD найдётся медиана, равная одной из медиан треугольника DBC.
б) Найдите длину этой медианы в случае, если AB = 7, BC = 8, и AC = 9.
а) Обозначим середины отрезков BA, BD, BC за E, F, G соответственно. Тогда EG — средняя линия треугольника ABC, и точка F лежит на ней. Поскольку FG — средняя линия DBC, то 
Итак, в четырехугольнике AFGD две стороны равны и параллельны, значит, он параллелограмм и 
б) По теореме косинусов в треугольнике ABC имеем 
откуда 
По теореме косинусов в треугольнике DGC имеем 
откуда 
Ответ: 
Площадь треугольника ABC равна 10; площадь треугольника AHB, где H — точка пересечения высот, равна 8. На прямой CH взята такая точка K, что треугольник ABK — прямоугольный.
а) Докажите, что 
б) Найдите площадь треугольника ABK.
а) Заметим, что 
поскольку тогда 
или 
как перпендикуляры к одной прямой. Значит, 
Обозначим основания высот треугольника 
за 
Тогда точки K, B, A, A1, B1 лежат на окружности с диаметром 
(из-за прямых углов). заметим, что 
— основание перпендикуляра из 
на 
Перепишем требуемое утверждение:
Это верно из-за подобия треугольников 
и 
по двум углам: действительно, 
б) Из пункта а) следует, что 
Ответ: 
На стороне треугольника отмечены точки и так что докажите что если то
На стороне АС треугольника АВС выбраны точки D и E так, что отрезки AD и CE равны (см. рисунок). Оказалось, что отрезки BD и BE тоже равны. Докажите, что треугольник АВС — равнобедренный.
Так как по условию то треугольник является равнобедренным. Пусть угол при основании этого треугольника равен x, тогда Треугольники и равны по двум сторонам и углу между ними, поэтому и треугольник —равнобедренный.
Высоты AA1 и BB1 остроугольного треугольника ABC пересекаются в точке E. Докажите, что углы AA1B1 и ABB1 равны.
Рассмотрим треугольники и они прямоугольные, углы и равны как вертикальные, следовательно, треугольники подобны, откуда
Рассмотрим треугольники и углы и равны как вертикальные, из предыдущей пропорции следовательно, эти треугольники подобны, откуда
Аналогичное задание с тупоугольным треугольником: 340854.
На стороне треугольника отмечены точки и так что докажите что если то
На стороне АС треугольника АВС выбраны точки D и E так, что отрезки AD и CE равны (см. рисунок). Оказалось, что отрезки BD и BE тоже равны. Докажите, что треугольник АВС — равнобедренный.
Загрузка решений доступна для зарегистрировавшихся пользователей
Высоты AA1 и BB1 остроугольного треугольника ABC пересекаются в точке E. Докажите, что углы AA1B1 и ABB1 равны.
Загрузка решений доступна для зарегистрировавшихся пользователей
В выпуклом четырёхугольнике ABCD углы ABD и ACD равны. Докажите, что углы DAC и DBC также равны.
Загрузка решений доступна для зарегистрировавшихся пользователей
Окружности с центрами в точках E и F пересекаются в точках C и D, причём точки E и F лежат по одну сторону от прямой CD. Докажите, что CD ⊥ EF.
Загрузка решений доступна для зарегистрировавшихся пользователей
Высоты AA1 и BB1 остроугольного треугольника ABC пересекаются в точке E. Докажите, что углы AA1B1 и ABB1 равны.
Загрузка решений доступна для зарегистрировавшихся пользователей
На стороне АС треугольника АВС выбраны точки D и E так, что отрезки AD и CE равны (см. рисунок). Оказалось, что отрезки BD и BE тоже равны. Докажите, что треугольник АВС — равнобедренный.
Загрузка решений доступна для зарегистрировавшихся пользователей
В равностороннем треугольнике ABC точки M, N, K — середины сторон АВ, ВС, СА соответственно. Докажите, что треугольник MNK — равносторонний.
Загрузка решений доступна для зарегистрировавшихся пользователей
В равностороннем треугольнике ABC точки M, N, K — середины сторон АВ, ВС, СА соответственно. Докажите, что треугольник MNK — равносторонний.
Загрузка решений доступна для зарегистрировавшихся пользователей
В равностороннем треугольнике ABC точки M, N, K — середины сторон АВ, ВС, СА соответственно. Докажите, что ВMKN — ромб.
Загрузка решений доступна для зарегистрировавшихся пользователей
В равностороннем треугольнике ABC точки M, N, K — середины сторон АВ, ВС, СА соответственно. Докажите, что АMNK — ромб.
Загрузка решений доступна для зарегистрировавшихся пользователей
В равнобедренном треугольнике ABC (АВ = ВС) точки M, N, K — середины сторон АВ, ВС, СА соответственно. Докажите, что треугольник MNK — равнобедренный.
Загрузка решений доступна для зарегистрировавшихся пользователей
На стороне 
треугольника отмечены точки 
и 
так, что 
Докажите, что если 
, то .
Загрузка решений доступна для зарегистрировавшихся пользователей
На медиане 
треугольника 
отмечена точка . Докажите, что если 
, то 
.
Загрузка решений доступна для зарегистрировавшихся пользователей
Докажите, что биссектрисы углов при основании равнобедренного треугольника равны.
Загрузка решений доступна для зарегистрировавшихся пользователей
Два равносторонних треугольника имеют общую вершину. Докажите, что отмеченные на рисунке отрезки 
и 
равны.
Загрузка решений доступна для зарегистрировавшихся пользователей
Два равных прямоугольника имеют общую вершину 
(см. рис.). Докажите, что площади треугольников 
и 
равны.
Загрузка решений доступна для зарегистрировавшихся пользователей
Докажите, что у равных треугольников и 
биссектрисы, проведённые из вершины 
и 
, равны.
Загрузка решений доступна для зарегистрировавшихся пользователей
В треугольнике угол 
равен 36°, 
— биссектриса. Докажите, что треугольник 
— равнобедренный.
Загрузка решений доступна для зарегистрировавшихся пользователей
В остроугольном треугольнике ABC угол B равен 60°. Докажите, что точки A, C, центр описанной окружности треугольника ABC и точка пересечения высот треугольника ABC лежат на одной окружности.
Загрузка решений доступна для зарегистрировавшихся пользователей
В остроугольном треугольнике ABC точки A, C, центр описанной окружности O и центр вписанной окружности I лежат на одной окружности. Докажите, что угол ABC равен 60°.
Загрузка решений доступна для зарегистрировавшихся пользователей
В остроугольном треугольнике ABC, точки A, C, центр описанной окружности O и точка пересечения высот H лежат на одной окружности. Докажите, что угол ABC равен 60°.
Загрузка решений доступна для зарегистрировавшихся пользователей
Окружность касается стороны AB треугольника ABC, у которого ∠C = 90°, и продолжений его сторон AC и BC за точки A и B соответственно. Докажите, что периметр треугольника ABC равен диаметру этой окружности.
Загрузка решений доступна для зарегистрировавшихся пользователей
На стороне АС треугольника АВС выбраны точки D и E так, что углы АDB и BEC равны (см. рисунок). Оказалось, что отрезки AЕ и CD тоже равны. Докажите, что треугольник АВС — равнобедренный.
Загрузка решений доступна для зарегистрировавшихся пользователей
На стороне АС треугольника АВС выбраны точки D и E так, что отрезки AD и CE равны (см. рисунок). Оказалось, что углы АEB и BDC тоже равны. Докажите, что треугольник АВС — равнобедренный.
Загрузка решений доступна для зарегистрировавшихся пользователей
На стороне АС треугольника АВС выбраны точки D и E так, что отрезки AD и CE равны (см. рисунок). Оказалось, что углы АDB и BEC тоже равны. Докажите, что треугольник АВС — равнобедренный.
Загрузка решений доступна для зарегистрировавшихся пользователей
В остроугольном треугольнике ABC точки A, C, центр описанной окружности O и центр вписанной окружности I лежат на одной окружности. Докажите, что угол ABC равен 60°.
Загрузка решений доступна для зарегистрировавшихся пользователей
Загрузка решений доступна для зарегистрировавшихся пользователей
Загрузка решений доступна для зарегистрировавшихся пользователей
Загрузка решений доступна для зарегистрировавшихся пользователей
Докажите, что медиана треугольника делит его на два треугольника, площади которых равны между собой.
Загрузка решений доступна для зарегистрировавшихся пользователей
В остроугольном треугольнике ABC проведены высоты 
и 
Докажите, что углы 
и 
равны.
Загрузка решений доступна для зарегистрировавшихся пользователей
В остроугольном треугольнике проведены высоты и 
. Докажите, что углы 
и 
равны.
Загрузка решений доступна для зарегистрировавшихся пользователей
В остроугольном треугольнике проведены высоты и 
. Докажите, что углы 
и 
равны.
Загрузка решений доступна для зарегистрировавшихся пользователей
В остроугольном треугольнике ABC проведены высоты и Докажите, что углы 
и 
равны.
Загрузка решений доступна для зарегистрировавшихся пользователей
В остроугольном треугольнике проведены высоты и . Докажите, что углы 
и 
равны.
Загрузка решений доступна для зарегистрировавшихся пользователей
В остроугольном треугольнике проведены высоты и . Докажите, что углы 
и 
равны.
Загрузка решений доступна для зарегистрировавшихся пользователей
В остроугольном треугольнике ABC проведены высоты AA1 и BB1. Докажите, что углы BB1A1 и BAA1 равны.
Загрузка решений доступна для зарегистрировавшихся пользователей