Начертательная геометрия что нужно
Начертательная геометрия
Начертательная геометрия для студентов на 1-ом курсе и «чайников», желающих с нуля обучиться основам начертательной геометрии и попрактиковаться в решении задач, где подробно изложены примеры их решения.
Курс начертательной геометрии
Решение задач по начертательной геометрии
Интересные темы
Определение расстояния между точкой и плоскостью, прямой и плоскостью, между плоскостями и скрещивающимися прямыми
Определение расстояний
Смешанные задачи без применения способов преобразования чертежа
Построение проекций плоских фигур
Определение величины углов
Позиционные задачи
Пересечение поверхности плоскостью (построение сечения)
Прямая и точка в плоскости
Построение взаимно перпендикулярных прямых, прямой и плоскости, плоскостей
Построение линии пересечения двух плоскостей
Введение в начертательную геометрию
Начертательная геометрия является одним из разделов геометрии, в котором пространственные фигуры, представляющие собой совокупность точек, линий, поверхностей, изучаются по их проекционным изображениям на плоскости (или какой-либо другой поверхности).
Начертательная геометрия по своему содержанию занимает особое положение среди других наук: она является лучшим средством развития у человека пространственного воображения, без которого немыслимо никакое инженерное творчество. Начертательная геометрия является теоретической базой для составления чертежа — гениального изобретения человеческой мысли.
Чертеж — это своеобразный язык, с помощью которого, используя всего лишь точки, линии и ограниченное число геометрических знаков, букв и цифр, человек имеет возможность изобразить на поверхности, в частности на плоскости, геометрические фигуры или их сочетания (машины, приборы, инженерные сооружения и т. д.). Причем этот графический язык является интернациональным, он понятен любому технически грамотному человеку независимо от того, на каком языке он говорит.
Решение задач способами начертательной геометрии осуществляется графическим путем. Простейшей геометрической операцией, которую приходится выполнять в процессе решения, является определение точки пересечения двух линий. Вследствие того, что все геометрические построения осуществляются с помощью только линейки и циркуля, линиями, точку пересечения которых следует определять, являются прямые и окружности. Иными словами, путем проведения отрезков прямых и дуг окружностей (в редких случаях участков лекальных кривых) в определенной последовательности, устанавливаемой теоремами и правилами начертательной геометрии, можно решать сложные задачи из различных областей науки и техники.
Возможность расчленения процесса решения задач на выполнение элементарных, однотипных операций позволяет получить итерационные способы решения задач, которые легко и естественно могут быть автоматизированы с помощью вычислительной техники. Использование начертательной геометрии является рациональным при конструировании сложных поверхностей технических форм с наперед заданными параметрами, применяемых в авиационной и автомобильной промышленности, при создании корпусов судов и судовых движителей и во многих других областях техники. Достижения многомерной начертательной геометрии находят применение при исследовании диаграмм состояния многокомпонентных систем и сплавов в тех случаях, когда другие способы исследования оказываются чрезвычайно сложными и не обеспечивают требуемой точности.
Известна роль начертательной геометрии в архитектуре, строительстве, изобразительном искусстве. Проекционные способы, разработанные в начертательной геометрии, дают возможность получать наглядные изображения проектируемых объектов и целых комплексов. Благодаря начертательной геометрии появилась возможность изображать на плоскости рельеф земной поверхности и решать простыми графическими способами задачи, связанные с проектированием дорог, каналов, тоннелей, а также определять объемы выполняемых при этом земляных работ. Естественные науки достигают еще большего расцвета в тех случаях, когда изучаемые свойства сопровождаются доступными для человеческого восприятия наглядными геометрическими моделями.
Методы начертательной геометрии, позволяющие решать математические задачи в их графической интерпретации, находят широкое применение в физике, химии, механике, кристаллографии и многих других науках. Как и другие отрасли математики, начертательная геометрия развивает логическое мышление. Приведенный далеко не полный перечень вопросов, которые составляют предмет исследования в начертательной геометрии, не оставляет сомнения, что начертательная геометрия входит в число фундаментальных дисциплин, составляющих основу инженерного образования.
Предмет начертательной геометрии.
КОНСПЕКТ ЛЕКЦИЙ ДИСЦИПЛИНЫ
«НАЧЕРТАТЕЛЬНАЯ ГЕОМЕТРИЯ И ИНЖЕНЕРНАЯ ГРАФИКА»
Направление подготовки: 110800 «Агроинженерия»
Профили: «Технические системы в агробизнесе», «Электрооборудование и электротехнологии», «Технический сервис в агропромышленном комплексе»
Кафедра:Механики и инженерной графики
Квалификация (степень) выпускника:бакалавр
Форма обучения: очная
Кинель 2013
Лекция №1
Начертательная геометрия как наука. Методы проецирования. Чертёж Монжа. Точка. Образование чертежа на двух и трёх плоскостях проекций. Координатный метод задания точки на чертеже. Конкурирующие точки, их видимость.
План лекции.
2. Предмет начертательной геометрии.
3. Образование проекций.
4. Эпюр Монжа. Система двух плоскостей проекций
5. Система трех плоскостей проекций.
6. Координатный способ построения эпюра.
7. Конкурирующие точки.
1.1. Введение.
Начертательная геометрия – это одна из основных дисциплин общеинженерного цикла. Она представляет для изучения методы точного изображения пространственных объектов на плоскости, а так же выявление геометрических форм фигур по заданным изображениям. То есть данная дисциплина призвана дать будущим инженерам знания и умения по построению и чтению чертежей.
Вызывая усиленную работу пространственного мышления студентов, начертательная геометрия способствует развитию пространственного представления. В начертательной геометрии плоское изображение пространственного объекта называется эпюром (чертежом).
Студенты, изучающие начертательную геометрию знакомятся с примерами практического использования теоретических положений начертательной геометрии в курсовом и дипломном проектировании.
Студент должен знать:
· аппарат проецирования для получения различных проекций геометрических объектов;
· классификацию геометрических объектов, способы формообразования, названия фигур и элементов этих фигур.
Студент должен уметь:
· решать задачи геометрического характера (позиционные, метрические) с использованием графических методов начертательной геометрии;
· производить анализ и синтез форм объектов посредством геометрических примитивов.
Предмет начертательной геометрии.
Начертательная геометрия является теоретической основой построения технических чертежей, которые представляют собой полные графические модели конкретных инженерных изделий. Она имеет свою цель, метод и содержание.
Цельюначертательной геометрии является изучение пространственных форм объектов окружающего нас мира и взаимоотношений этих форм, познание соответствующих закономерностей и применение их к решению практических задач.
Основным средством изучения геометрических свойств предметов в начертательной геометрии является изображение. Однако не всякое изображение может быть принято для изучения геометрических свойств предметов. Существуют изображения предметов, которые являются лишь иллюстрационным, дополнительным материалом и не соответствуют полностью геометрическим формам объектов, не отражают геометрических свойств предметов.
Для изучения геометрических свойств предмета необходимо иметь такое его изображение, по которому можно определить все геометрические элементы изображаемого оригинала. Изображение, по которому можно определить взаимопринадлежность или позиционную взаимосвязь элементов объекта называют полным изображением. Если же по изображению можно еще и определить размеры объекта, то изображение является метрически определенным. Полное изображение должно быть основано на взаимно однозначном соответствии точек оригинала точкам изображения, что достигается проецированием первых во вторые и возможностью восстановления по вторым первых. Изображение, полученное при помощи операции проецирования, называется проекцией предмета. Слово «проекция» произошло от латинского слова «projicere» – метать, а проецированием называется операция проведения («метания») из некоторой точки (центра проецирования) проецирующих лучей через точки изображаемого предмета. Геометрическое место точек пересечения этих лучей с плоскостью и является проекционным изображением или проекцией предмета.
Проекционный метод построения изображений является основным методом начертательной геометрии. В результате применения этого метода можно пользоваться проекционными свойствами фигур и на проекционном изображении – графически оформлять геометрические задачи и их решения.
Проекционное изображение, по которому можно восстановить предмет, является чертежом. Чертеж отличается от других изображений тем, что он построен по правилам начертательной геометрии и в соответствии с этими правилами позволяет определять геометрические свойства изображенного предмета.
Чертежи имеют большое значение в жизни общества, это подтверждается широким их применением в конструкторских работах, в машиностроении, в архитектуре, в графических задачах механики и т.д. Без знания правил выполнения чертежа нельзя читать чертежи, имеющихся конструкций, и создавать чертежи новых машин и приборов.
Создатель первого систематического труда по начертательной геометрии французский ученый и инженер Гаспар Монж говорил: «Чертеж является языком техники», к чему русский профессор В. И. Курдюмов добавил, что начертательная геометрия является грамматикой этого языка. Однако, как показал опыт, значение начертательной геометрии несравненно шире.
Изучение и применение начертательной геометрии значительно способствует развитию пространственных представлений и воображения человека, а так же развитию его логических рассуждений. Умение же мысленно представлять предметы в их взаимном расположении имеет большое значение в творческой деятельности человека. Изучение начертательной геометрии,способствующее развитию пространственного мышления,делает возможным представлять геометрические образы по их изображению. Поэтому ни одна задача начертательной геометрии не решается механически.
Цель и метод начертательной геометрии определяют ее содержание.
Содержанием или предметом начертательной геометрии являются: исследования способов построения проекционного изображения пространственных форм на плоскости, исследования графических способов решения геометрических задач по заданным изображениям и приложение способов начертательной геометрии к исследованиям практических и теоретических задач науки и техники.
Образование проекций.
Двумя основными видами проецирования являются:
1. центральное проецирование;
2. параллельное проецирование.
Для получения центральных проекций надо задаться плоскостью проекций и центром проекций – точкой, не лежащей в этой плоскости (рис.1: плоскость – π0 , точка – О).
Взяв некоторую точку А и проведя через О и А прямую линию до пересечения ее с плоскостью π0, получим точку А′. Так же поступаем с точкой В. Точки А′ и В′ являются центральными проекциями точек А и В на плоскости π0 , они получаются в пересечении проецирующих лучей ОА и ОВ с плоскостью проекций.
Призаданных плоскости проекций и центре проекций можно построить проекцию точки; но имея проекцию, нельзя по ней определить положение самой точки в пространстве. Так как любая точка проецирующей прямой ОС проецируется в одну и ту же точку на плоскость проекций π0 (А′ ≡ В′ ≡ С′), (≡ знак совпадения), см. рис. 2.
В подобных случаях, для единственного решения необходимы дополнительные условия.
Проекцию линии можно построить, проецируя ряд ее точек (рис. 3). При этом проецирующие прямые в своей совокупности образуют коническую поверхность или могут оказаться в одной плоскости (например, при проецировании прямой линии, не проходящей через центр проекций, или кривой линии, все точки которых лежат в плоскости, совпадающей с проецирующей).
Проекция линии получается в пересечении проецирующей поверхности с плоскостью проекций (рис.3). Но как показывает рис.4, проекция линии не определяет проецируемую линию, так как на проецирующей поверхности можно разместить ряд линий, проецирующихся в одну и ту же линию на плоскости проекций.
Рассмотрим теперь способ проецирования, называемый параллельным. Условимся считать все проецирующие прямые параллельными. Для их проведения должно быть указано некоторое направление (рис. 5). И такпостроенные проекции называются параллельными.
Параллельное проецирование можно рассматривать как частный случай центрального, если принять, что центр проекций бесконечно удален.
Параллельной проекцией точки называется точка пересечения прямой, проведенной параллельно заданному направлению, с плоскостью проекций.
Чтобы получить параллельную проекцию некоторой линии, можно построить проекции ряда ее точек и провести через эти проекции линию. При этом проецирующие прямые в своей совокупности могут образовать цилиндрическую поверхность, поэтому параллельные проекции также называют цилиндрическими.
В параллельном проецировании так же как и в центральном:
1) для прямой линии проецирующей поверхностью в общем случае служит плоскость и поэтому прямая линия проецируется в виде прямой;
2) каждая точка и линия в пространстве имеют единственную свою проекцию;
3) каждая точка на плоскости проекций может быть проекцией множества точек, если через них проходит общая для них проецирующая прямая;
4) каждая линия на плоскости проекций может быть проекцией множества линий, если они расположены в общей для них проецирующей плоскости;
5) для построения проекций прямой достаточно спроецировать две ее точки и через полученные проекции этих точек провести прямую линию;
6) если точка принадлежит прямой, то проекция точки принадлежит
проекции этой прямой;
7) если прямая параллельна направлению проецирования, то проекцией прямой является точка;
8) отрезок прямой линии, параллельной плоскости проекций, проецируется на эту плоскость в натуральную свою величину.
Параллельные проекции делятся на косоугольные и прямоугольные. В первом случае направление проецирования составляет с плоскостью проекций угол, не равный 90 о во втором случае проецирующие прямые перпендикулярны к плоскости проекций (рис. 6).
Простота построений и свойств параллельных проекций, обеспечивающие сохранение натуральных размерных соотношений, объясняют широкое применение параллельного проецирования.
Рис. 8 Рис. 9
При наличии на чертеже оси проекций «х» положение точки А относительно плоскостей проекций π1 и π2 установлено и отрезок А′Ах выражает расстояние точки А от плоскости проекций π2, а отрезок А′′Ах – расстояние точки А от плоскости проекций π1.
Две проекции точки вполне определяют ее положение в пространстве относительно данной системы плоскостей проекций.
В системе π1, π2 пространство разделено на четыре четверти – I,II, III, IV (рис. 10).
Рис. 10
Рис. 11
Помимо оси проекций x, появляются еще оси z и y, перпендикулярные к оси «x». Буквой О обозначена точка пересечения всех трех осей проекций.
На рисунке 11 показана схема совмещения плоскостей π1, π2 и π3 в одну плоскость.
Построим пространственную модель и чертеж точки А, содержащие горизонтальную, фронтальную и профильную проекции этой точки (рис. 12, рис.13).
Рис. 12 Рис. 13
Построение А′ и А′′ аналогично рассмотренному на рисунке 7, затем из точки А проводят проецирующий луч S3 перпендикулярно к π3 до пересечения с ней, в результате чего, получают профильную проекцию точки А, обозначаемую А′′′. Выполняя построение эпюра (чертежа) точки А в трех проекциях, плоскость π1 поворачивают вокруг оси x до совмещения с π2; плоскость π3 поворачивают вокруг оси z так же до совмещения с π2 (рис. 12).
Эпюр точки А в трех проекциях дан на рисунке 13.
Рис. 14
Плоская модель пространственного макета восьми октантов пространства показана на рисунке 15.
Рис. 15
Данная плоская модель пространственного макета несет такую же информацию, что и пространственный макет.
Данная координатная система является наиболее удобной для фиксирования положения геометрической фигуры в пространстве и выявления формы предмета по ортогональным (прямоугольным) проекциям.
Эта система называетсядекартова система координат, по имени французского математика и философа Декарта (1596 – 1650), предложившего эту систему.
Знаки координат в октантах
| Октант | Знаки координат | Октант | Знаки координат | ||||
| x | y | z | x | y | z | ||
| I | + | + | + | V | — | + | + |
| II | + | — | + | VI | — | — | + |
| III | + | — | — | VII | — | — | — |
| IV | + | + | — | VIII | — | + | — |
Эпюр данной точки А выполнен на рисунке 16.
Рис. 16
Конкурирующие точки
Точки, которые расположены на одном и том же проецирующем луче, т.е. одноименные проекции которых совпадают, называют конкурирующими.
Рассмотрим точки А и В, расположенные на одном проецирующем луче S1 (S1┴π1). Горизонтальные проекции этих точек совпадают (А’≡В’).
Рис. 17 Рис. 18
Точка А закрывает собой точку В при проецировании на плоскость проекций π1, поэтому ее горизонтальная проекция будет видима, а у точки В – невидима.
б)фронтально – конкурирующие точки (рис. 19, 20);
Рассмотрим точки С и D, расположенные на одном проецирующем луче S2 (S2┴π2). Фронтальные проекции этих точек совпадают (C»≡D»).
Рис. 19 Рис. 20
Точка D закрывает собой точку С по отношению к плоскости проекций π2,поэтому на фронтальной проекции точка С будет невидима, а точка D – видима.
в) профильно – конкурирующие точки (рис. 21,22);
Рассмотрим точки Е и F, расположенные на одном проецирующем луче S3(S3┴π3). Профильные проекции этих точек совпадают (E»’≡F»’).
Рис. 21 Рис. 22
Точка Е закрывает собой точку F по отношению к плоскости проекций π3, поэтому на профильной проекции точка Е будет видима, а точка F – невидима.
Контрольные вопросы
1.Значение начертательной геометрии в решении инженерно-технических задач.
2. Назовите виды проецирования.
3. В чем заключается способ образования эпюра Монжа?
4. Как образуется система трех плоскостей проекций?
5. В чем сущность координатного способа построения эпюра точки?
6. Что позволяют определять конкурирующие точки?
Рекомендуемая литература
1. Фролов, С.А. Начертательная геометрия: Учебник. 3-е изд., перераб. и доп. – М.: ИНФРА, 2010. – 285 с.
1. Чекмарев А.А. Начертательная геометрия и черчение: Учеб.для студ. высш. учеб. Заведений. – 2 – е изд., перераб. и доп. – М.: Гуманит. изд. центр ВЛАДОС, 2005. – 471 с.: ил.
3. Гордон В.О., Семенцов-Огиевский М.А. Курс начертательной геометрии. М.: Высш. шк., 2009. – 272 с.:ил.
4. Петлина Т.П. Начертательная геометрия. Ортогональные проекции и их преобразование: Учеб.пособие (с примерами практического использования в курсовом и дипломном проектировании). – Самара: СамВен, 2005. – 168 с.
Лекция №2
Прямая. Точка на прямой. Задание и изображение чертежа. Следы прямой. Положение прямой относительно плоскостей проекций. Взаимное расположение двух прямых. Безосный чертёж.
План лекции.
2. Положения прямой относительно плоскостей проекций.
4. Построениенатуральной величины отрезка прямой методом прямоугольного треугольника
5. Взаимное расположение прямых.
Проекции прямой
При ортогональном проецировании на плоскость прямая, не перпендикулярная плоскости проекций, проецируется в прямую. В противоположном случае она спроецируется на плоскость в точку.
Для определения проекций прямой достаточно знать проекции двух точек, принадлежащих этой прямой.
Допустим, что даны фронтальные и горизонтальные проекции точек А и В. Проведя через одноименные проекции этих точек прямые линии, получим проекции отрезка АВ в системе π1, π2 (рис. 1).
Рис. 1
Можно утверждать, что такой чертеж (рис. 1) выражает отрезок прямой линии АВ, т.к. если представить себе, что через А′ В′ и через А′′ В′′ проведены проецирующие плоскости (т.е. перпендикулярные соответственно к π1 и к π2), то в пересечении этих плоскостей получается прямая и ее отрезок АВ (рис.2).
Рис. 2
Проекции прямой могут быть заданы положением относительно осей проекций.
Проекции заданных таким образом прямых обозначаются малыми латинскими буквами (рис. 3 ).
Рис. 3
Горизонтальная прямая
Прямая, параллельная горизонтальной плоскости проекций, называется горизонтальной. На рисунках 4, 5 изображен отрезок прямой АВ║π1.
а) горизонтальная проекция горизонтальной прямой равна длине самого отрезка (А′В′ = [AB]);
б) фронтальная проекция горизонтальной прямой параллельна оси проекций «х». Если, например, А″В″ совпадает с осью проекций х, то это соответствует положению отрезка АВ в плоскости проекций π1;
в) угол, образованный горизонтальной проекцией прямой и осью «х», равен углу наклона этой прямой к фронтальной плоскости проекций
(А′В′; х=[AB]; π2= o ).
Фронтальная прямая
Прямая, параллельная фронтальной плоскости проекций, называется фронтальной. На рисунках 6, 7 изображен отрезок прямой CD║π2.
Рис. 6 Рис. 7
Для фронтальной прямой следует отметить:
а) фронтальная проекция этой прямой равна длине самого отрезка (С″D″=[CD]);
б) горизонтальная проекция фронтальной прямой параллельна оси х (С′D′║х); Если, например, С′D′ совпадает с осью проекций х, то это соответствует положению CD в пл. π2.
в) угол, образованный фронтальной проекцией прямой и осью х, равен углу наклона этой прямой к горизонтальной плоскости проекций
Профильная прямая
Прямая, параллельная профильной плоскости проекций, называется профильной. На рисунках 8, 9 изображен отрезок прямой EF║π3.
Рис. 8 Рис. 9
Для профильной прямой характерно:
а) профильная проекция этой прямой равна длине самого отрезка (E″′F″′=[EF]);
б) горизонтальная и фронтальная проекции профильной прямой располагаются на одном перпендикуляре к оси проекций х;
Прямые, параллельные одной плоскости проекций, т.е. горизонтальные, фронтальные и профильные называются прямыми уровня.
Рис. 10 Рис. 11
Рис.12 Рис.13
У фронтально-проецирующей прямой проекцией на фронтальную плоскость будет являться точка. На горизонтальную и профильную плоскости проекций она спроецируется в отрезки, равные по длине самому отрезку прямой (K′ L′ = K′′′ L′′′ = [KL]).
Рис. 14 Рис. 15
У профильно-проецирующей прямой проекция на профильную плоскость проекций представит собой точку. На горизонтальную и фронтальную плоскости она спроецируется в отрезки прямых, параллельных между собой и равных по длине самому отрезку (G′F′=G′′F′′=[GF]).
Прямые, параллельные двум плоскостям проекций и перпендикулярные к третьей называются проецирующими.
Прямые уровня и проецирующие называют прямыми частного положения.
Прямая общего положения
Прямая, непараллельная ни одной из плоскостей проекций, называется прямой общего положения. На рисунках 16, 17 изображен отрезок прямой ВС – общего положения.
У прямой общего положения ни одна из проекций не параллельна оси проекций и не перпендикулярна к ней. Каждая из проекций меньше самого отрезка, (В′С′
Что делает отдел по эксплуатации и сопровождению ИС? Отвечает за сохранность данных (расписания копирования, копирование и пр.).
Живите по правилу: МАЛО ЛИ ЧТО НА СВЕТЕ СУЩЕСТВУЕТ? Я неслучайно подчеркиваю, что место в голове ограничено, а информации вокруг много, и что ваше право.
Что вызывает тренды на фондовых и товарных рынках Объяснение теории грузового поезда Первые 17 лет моих рыночных исследований сводились к попыткам вычислить, когда этот.
ЧТО ТАКОЕ УВЕРЕННОЕ ПОВЕДЕНИЕ В МЕЖЛИЧНОСТНЫХ ОТНОШЕНИЯХ? Исторически существует три основных модели различий, существующих между.
Не нашли то, что искали? Воспользуйтесь поиском гугл на сайте: