Наглядная геометрия что это такое

Наглядная геометрия

Дата публикации: 27.04.2017

Статья просмотрена: 1857 раз

Библиографическое описание:

Шмелева, О. В. Наглядная геометрия / О. В. Шмелева. — Текст : непосредственный // Школьная педагогика. — 2017. — № 2.1 (9.1). — С. 67-72. — URL: https://moluch.ru/th/2/archive/60/2418/ (дата обращения: 19.12.2021).

Вид деятельности: познавательная

Форма: кружок

Направление воспитания: творческое, сознательное отношение к своему образованию

Направление развитие личности: общеинтеллектуальное

Пояснительная записка

Я думаю, что никогда до настоящего времени

мы не жили в такой геометрический период.

Все вокруг — геометрия.

Французский архитектор Ле Корбюзье

Геометрия дает учителю уникальную возможность развивать ребенка на любой стадии формирования его интеллекта. Три ее основные составляющие: фигуры, логика и практическая применимость позволяют гармонично развивать образное и логическое мышление ребенка любого возраста, воспитывать у него навыки познавательной, творческой и практической деятельности.

Первая ступень изучения — интуитивная — основана на системе общих представлений о фигурах (свойствах, классах, действиях и т. д.). Иначе эту ступень можно рассматривать как визуальную (наглядную), а систему представлений — как набор образов, готовых к актуализации в повседневной жизни, творчестве, познавательной деятельности, в частности в дальнейших более серьезных занятиях геометрией.

Выделение особого “интуитивного” пропедевтического курса геометрии, нацеленного на укрепление и совершенствование системы геометрических представлений, с одной стороны, способствует предварительной адаптации учащихся к регулярному курсу геометрии, с другой — может сформировать достаточный уровень геометрических знаний в гуманитарном секторе школьного образования.

Данная программа является актуальной, так как обеспечивает интеллектуальное развитие, необходимое для дальнейшей самореализации и формирования личности обучающегося. Кроме того, программа «Наглядная геометрия» направлена на помощь школьникам в изучении геометрии и подготовке к успешной сдачи модуля «Геометрия» на ОГЭ и ЕГЭ по математике.

Курс «Наглядная геометрия» рассчитан на два года — 5 и 6 классы, 2 часа в неделю, 68 часов в каждом классе, всего 136 часов. Ежегодно изучается как планиметрический, так и стереометрический материал.

Целью курса «Наглядная геометрия» является организация творческой, интеллектуально-практической, проектно-исследовательской деятельность учащихся, направленной на развитие пространственных представлений, образного мышления, изобразительно-графических умений, приемов конструктивной деятельности, геометрической интуиции, обучение правильной геометрической речи и познавательного интереса учащихся.

Задачи:

– продолжить формирование геометрического стиля мышления;

– создать представление об основных фигурах и понятиях школьного курса геометрии;

– ознакомить с новый геометрической терминологией;

– продолжить формирование элементарных навыков изображения геометрических фигур;

– начать обучение правильной геометрической речи;

– вырабатывать навыки пользования чертёжными и измерительными инструментами;

– развивать пространственное воображение, глазомер;

– развивать творческие способности;

– прививать настойчивость в достижении цели;

– воспитывать трудолюбие, творческое и ответственное отношение к выполняемой работе.

Учебно-тематический план

№п\п

Тема

Количество часов

Форма проведения

5 класс

Плоскостное моделирование

Первые шаги в геометрии

Рассказ учителя, беседа, творческая лаборатория, геометрический бой, проект, геометрический практикум, тест

Фигуры на плоскости

Творческая лаборатория, геометрический бой, игра «Геометрическое лото», проект

Рассказ учителя, беседа, геометрический бой, проект, геометрический практикум, игра «Что это такое?»

Объемное моделирование

Прямоугольный параллелепипед, куб

Рассказ учителя, беседа, творческая лаборатория, геометрический бой, геометрический практикум

Графическая работа геометрический практикум

Метод трёх проекций

Графическая работа, геометрический практикум

Организация и проведение конструкторских проектов

Экскурсия, творческая лаборатория, проект

Всего

6 класс

Плоскостное моделирование

Беседа, геометрический практикум

Рассказ учителя, беседа, графическая работа, геометрический бой, игра «Испорченный телефон»,проект

Параллельность и перпендикулярность прямых

Координаты на плоскости

графическая работа, игра «Рисуем в координатах», проект

Окружность. Геометрическое место точек

геометрический бой, геометрический практикум

Объёмное моделирование

Рассказ учителя, беседа, творческая лаборатория

Рассказ учителя, беседа, творческая лаборатория, геометрический бой геометрический практикум

Многогранники в искусстве и архитектуре

Рассказ учителя, беседа, творческая лаборатория, проект

Всего

Содержание программы

5 класс

Тема 1. Модуль «Плоскостное моделирование» — 35 ч

Первые шаги в геометрии — 13 ч

Простейшие геометрические фигуры: прямая, луч, отрезок, многоугольник. Углы, их построение и измерение. Транспортир. Биссектриса угла. Вертикальные и смежные углы. Треугольники. Виды треугольников. Построение треугольников. Сумма углов треугольника. Неравенство треугольника. Периметр. Многоугольники. Вывод формулы для вычисления суммы углов правильных выпуклых многоугольников. Квадрат. Графическая работа «Знает даже и дошкольник, что такое треугольник»

Фигуры на плоскости — 8 ч

Задачи со спичками. Задачи на разрезание и складывание фигур: «Сложи квадрат», «Согни и отрежь», «Край в край». Танграм. Стомахион. Пентамино. Гексамино. Проект «Математические головоломки»(см. КИМы).

Площади многоугольников — 10 ч

Площадь прямоугольника. Площадь квадрата. Площадь треугольника. Понятия: высота, медиана, биссектриса треугольника. Масштаб. Построение геометрических фигур в масштабе. Решение задач практического характера. Урок-проект «Классный ремонт!». Сравнение углов наложением.

Топологические опыты — 4 ч

Фигуры одним росчерком пера. Листы Мебиуса. Граф. Проект «Паркет».

Тема 2. Модуль «Объемное моделирование»- 33 ч

Прямоугольный параллелепипед, куб — 11 ч

Многогранники, их элементы. Конструирование и исследование прямоугольного параллелепипеда, куба (работа с таблицей). Нахождение площади поверхности прямоугольного параллелепипеда, куба. Решение практических задач. Проект «Моя комната». Фигурки из кубиков и их частей. Движение кубиков. Объём куба. Объём прямоугольного параллелепипеда. Решение практических задач.

Конструирование и исследование разных видов призм (работа с таблицей). Нахождение площади поверхности призмы. Конструирование разных видов призм. Нахождение объёма различных призм. Решение практических задач. Проект «Крепость».

Конструирование и исследование разных видов пирамид (работа с таблицей). Многогранные углы. Проект «Пирамиды Египта».

Метод трех проекций — 2 ч

Метод трёх проекций. Решение практических задач.

Правильные многогранники — 5 ч

Правильные многогранники. Исследование октаэдра (работа с таблицей). Исследование икосаэдра и додекаэдра (работа с таблицей). Экскурсия по городу «Многогранники». Решение практических задач.

Организация и проведение конструкторских проектов — 5 ч

Экскурсия по городу. Проект «Мой город. Изучаем правила дорожного движения» Проект «Мой загородный дом».

6 класс

Тема 1. Модуль «Плоскостное моделирование» — 40 ч

Неравенство треугольника — 2 ч

Неравенство треугольника.Решение практических задач.

Поворот, симметрия — 14 ч

Симметрия (центральная, осевая). Поворот. Переносная (трансляционная) симметрия. Плоская решетка. Скользящая плоскость (ось) симметрии. Паркеты на плоскости. Правильные паркеты. Бордюры. Проект «Бордюры». Симметрия в архитектуре. Проект «Мой город».

Параллельность и перпендикулярность прямых — 3 ч

Параллельность прямых.Перпендикулярность прямых. Решение практических задач.

Координаты на плоскости — 7 ч

Что такое координаты? Прямоугольная система координат на плоскости. Начало координат. Координатные прямые: оси абсцисс и ординат. Координаты точки. Метод координат. Игра «Морской бой». Проект «Рисуем в координатах».

Графы. Вершины и рёбра графов. Уникурсальные графы. Задача Эйлера о кёнигсбергских мостах. Задачи о раскрашивании карт.

Окружность. Геометрические места точек — 9 ч

Окружность и круг. Центр и радиус окружности. Хорда и диаметр окружности. Взаимное расположение двух окружностей. Число π. Длина окружности. Геометрическое место точек. Почему люки круглые? Окружности и круг в архитектуре. Шар, сфера и их элементы.

Тема 2, Модуль «Объемное моделирование» — 28 ч

Кристаллы — природные многогранники. Пирамида, усеченная пирамида.Объём пирамиды. Расчёт по формуле. Решение практических задач на вычисление объёма.

Правильные многогранники — 7 ч

Пифагорейская школа. Правильные многогранники. Теорема Эйлера. Эйлеровы многогранники. Многогранники с дырами. Многогранные углы. Типы правильных многогранников.

Тела вращения — 2 ч

Цилиндр, конус. Развертка и построение моделей

«Золотое сечение» — 5 ч

Тайны «Золотого сечения». «Золотое сечение»в архитектуре, скульптуре, живописи, человеке, природе. Пентакль. Проект «Золотое сечение»

Многогранники в искусстве и архитектуре — 4 ч

Звездчатые многогранники. Тела Архимеда. Проект «Многогранники в архитектуре города».

Моделирование многогранников — 8 ч

Правильные многогранники. Развертка. Куб, развертка куба. Правильный тетраэдр, развертка тетраэдра. Правильный октаэдр, развертка октаэдра. Правильный икосаэдр, развертка икосаэдра. Правильный додекаэдр, развертка додекаэдра. Заполнение пространства правильными многогранниками. Симметрия многогранников.

Контрольно-измерительные материалы

Назови геометрические фигуры, из которых составлены человечки. Определи, сколько треугольников, окружностей, четырехугольников, овалов в каждом изображении

Рис. 1. Иллюстрация к заданию

С помощью чертежа изготовь фигуры танграма. Сложи из них изображения на картинке.

Всё же от вас отвернулась удача.

Вам теперь плакать хочется громко?

Значит — это головоломка!

Проект посвящен полимино — одной из самых известных и занимательных математических головоломок.

Цель проекта— исследование всех возможных видов и комбинаций полимино.

Задачи, стоящие перед проектной группой:

– Узнать, кто изобрёл полимино

– Найти и подсчитать количество всех возможных фигур для каждого вида головоломки

– Научиться составлять различные фигуры из полимино

– Рассказать об этой интереснейшей головоломке одноклассникам

Полимино, или полиомино (англ. polyomino) — плоские геометрические фигуры, образованные путём соединения нескольких одноклеточных квадратов по их сторонам.

Полимино существует много видов: мономино (1 квадрат), домино (2 квадрата), тримино (3 квадрата), тетрамино (4 квадрата), пентамино (5 квадратов), гексамино(6 квадратов), гептамино (7 квадратов) и т. д..

Рис. 3. Виды полимино

Существует только один тип домино, два типа тримино и пять типов тетрамино.

Рис. 4. Тримино и тетрамино

На кружке мы смогли определить, что у пентамино число различных фигур 12.

На занятии, а потом и дома выяснили, что существует 35 различных разновидностей гексамино, а потом на сайте, посвященном полимино, узнали, что есть 108 разновидностей гептамино.

Число различных полимино данного порядка, зависит от того, из скольких квадратов составлены фигуры (то есть от порядка), но пока еще никому не удалось найти формулу, выражающую эту связь.

Похожие статьи

Математический кружок «Наглядная геометрия» для учащихся.

Простейшие геометрические фигуры. 1. 3 неделя.

12 неделя. 13. Многогранники. Параллелепипед и его свойства. 1. 13 неделя.

Решение занимательных геометрических задач.

Развитие творческого мышления учащихся при изучении понятий.

Например, это можно объяснить в примере куба со следующей логической цепочкой: куб — прямоугольный параллелепипед — призма — многогранник — геометрическое тело – множество точек пространства.

Математическая мозаика | Статья в журнале «Школьная педагогика»

Решение олимпиадных задач. Геометрическая мозаика. 21. Геометрия на клетчатой бумаге.

Развертка прямоугольного параллелепипеда.

Темы исследовательских работ. Одной из самых сложных задач в проектах является выбор темы исследовательской работы учащихся.

О геометрических преобразованиях и его приложениях.

Типы правильных многогранников. К вопросу построения различных геометрических фигур на одной.

При осуществлении классификации учащиеся должны выделять следующие виды многогранников: параллелепипед, прямоугольный параллелепипед, куб, призма.

GeoGebra как средство решения стереометрических задач

Все соответствующие многогранники можно построить, взяв за основу куб. Саранцев Г. И. Сборник задач на геометрические преобразования.Издание: второе, переработанное и. Развитие творческого мышления учащихся при изучении понятий.

Математическое моделирование в детском саду

 пространственное моделирование на базе разрезания прямоугольного параллелепипеда

Из нескольких частей, представляющих собой простейшие геометрические фигуры, сложить определённую форму

Моделирование на базе оригами – творческий процесс для педагога.

GeoGebra как средство визуализации решения задач на уроках.

Использование информационных технологий на уроках позволяет учителю грамотно решать сразу несколько задач

Реализовать принцип наглядности, сделать математические факты зримыми и более понятными учителю помогут «интерактивные геометрические среды» (ИГС).

Развитие пространственных представлений учащихся при.

Школьные учителя математики, ученые-методисты предполагают две основные причины такого положения

2. Лабораторные работы. Исследование свойств геометрических фигур. Изготовление моделей многогранников [3, с. 205–206].

Особенности организации школьных геометрических олимпиад

Рассмотрим особенности организации геометрических олимпиад в мировой практике.

Параллелепипеды. Многогранники.

Геометрический бой (решение разноуровневых олимпиадных задач в формате командного математического боя).

Источник

Наглядная геометрия

Предисловие главного редактора Портала Знаний:

Мы предлагаем вашему вниманию замечательную книгу Гильберта и Кон-Фоссена «Наглядная геометрия».

Самым замечательным в этой книге является то, что сложные рассуждения можно увидеть зрительно и решение сложной задачи получается непосредственно из чертежа или графика. Традиция видения решения идет от древних греков.

Такие геометрические представления очень полезны в современной аналитике.

Мы дополнили книгу несколькими задачами, позволяющими читателю поупражняться в проведении рассуждений.

Надеемся, что чтение избранных глав этой прекрасной книги доставит удовольствие читателям.

Если читатель по-настоящему увлечется геометрией, то можно познакомиться с несколькими главами из книги Евклида, отрывки из которой тоже можно найти на нашем портале.

Предисловие автора

В нашей книге это очень часто проявляется. При большом разнообразии материала было все же необходимо придать каждой отдельной главе известную законченность и в последующих главах не предполагать полного знания предыдущих; путем отдельных маленьких повторений мы надеялись достигнуть того, что каждая отдель­ная глава, а иногда даже отдельные разделы представ­ляют интерес сами по себе и в отдельности доступны пониманию читателя. Пусть читатель прогуливается в ог­ромном саду геометрии, в котором каждый может соста­вить себе такой букет, какой ему нравится.

Основу этой книги составили четырехчасовые лекции «Наглядной геометрии», которые я читал зимой 1920/21 г. в Геттингене и которые обработал В. Роземан. В ос­новном содержание и построение их остались неизмен­ными. В деталях С. Кон-Фоссен многое переработал и частично расширил.

Геттинген, июнь 1932 г.

Глава I

Простейшие кривые и поверхности

Плоские кривые

Простейшая поверхность — плоскость, простейшие кривые — плоские кривые, простейшая среди последних — прямая.

Пря­мую можно определить либо как кратчайший путь между двумя точками, либо как линию пересечения двух плоскостей, либо как ось вращения.

Следующей — в порядке возрастания сложности — кривой является окружность. Уже эта кривая послужила исходной точкой для столь многочисленных и столь глубоких исследований, что они могли бы сами по себе заполнить содержание целого курса.

Мы определяем окружность как кривую, все точки которой отстоят на равном расстоянии от данной точки. Мы получаем окружность общеизвестным по­строением при помощи циркуля или на­тянутой нити.

Самое построение наглядно показывает, что окружность есть замкнутая, на всем протяжении выпуклая кривая; по­этому через каждую точку окружности можно провести определенную прямую — касательную, имеющую с окружностью только одну общую точку, точку касания, а в остальной части лежащую целиком вне окружности (рис. 1).

Радиус МВ, проведенный в точку касания , должен быть кратчайшим расстоянием от центра М круга до касательной ибо все точки последней, за исключе­нием точки касания, лежат вне круга и, следовательно, отстоят от центра дальше, чем точка касании.

Отсюда далее следует, что этот радиус перпендикулярен к касательной. Для доказатель­ства построим зеркальное изображение центра относительно прямой , т. е. опустим перпендикуляр из точки М на прямую и продолжим его на равное расстояние до точки ; тогда на­зывается зеркальным изображением точки . А так как есть кратчайшее расстояние от до , то из соображений симметрии также должно быть кратчайшим расстоянием от до

Следовательно, должно быть кратчайшим расстоянием между и , и, значит, линия не может иметь излома в точке , т. е. действительно является перпендикуляром к

Само собой напрашивается обобщение построения окружности, а именно: при построении окружности с помощью нити мы брали связанную нить, закрепляли ее конец в неподвижной точке, центре круга, и, натягивая нить, вычерчивали кривую.

Если же закрепить связанную нить не в одной, а в двух точках, то мы получим кривую, похожую на окружность, называемую эллипсом.

Точки закрепления нити называются фокусами эллипса.

Построение с помощью нити показывает, что эллипс можно оп­ределить как кривую, точки которой имеют постоянную сумму расстояний от двух данных точек.

Сближая фокусы, мы полу­чим окружность как предельный случай эллипса.

Задача от главного редактора: как вы думаете, если направить луч из центра окружности, куда он отразится, если окружность представляет собой зеркало?

Вы направляете луч из фокуса зеркального эллипса, куда отразится этот луч?

Представляя кривые зеркалами, попробуйте решить такие же задачи с другими кривыми, описанными в книге.

Всем упомя­нутым свойствам окружности соответствуют простые свойства эллипса.

Эллипс также замкнут, всюду выпуклый и имеет в каждой своей точке касательную, которая, за исключением точки касания, целиком лежит вне эллипса.

Радиусам окружности соответствуют в эллипсе две прямые, соединяющие точку эллипса с фокусами. Они называются радиусами-векторами точки эллипса.

Тому факту, что касательная к окружности перпендикулярна‚ радиусу в точке касания, соответствует в случае эллипса то, что касательная образует равные углы с радиусами-векторами, проведенными в точку касания.

Это утверждение означает, что на рис. 2:

Для доказательства (рис. 3) построим зеркальное изображение точки относительно касательной и обозначим его. Прямая , которая пересекается с касательной в некоторой точке, есть кратчайшее расстояние между и .

Следовательно, есть кратчайший путь от к , имеющий общую точку, с касательной, ибо для всякой иной точки касательной будет больше, чем .

С другой стороны, кратчайший путь между и , имеющий общую точку с касательной, образуют радиусы-векторы, проведенные в точку касания , ибо всякая другая точка касательной, как расположенная вне эллипса, имеет большую сумму расстояний от фо­кусов, чем точка эллипса; значит, точки и совпадают, а отсюда и вытекает наше утверждение, ибо и располо­жены симметрично относительно прямой , а есть вертикальный для .

Это свойство касательной к эллипсу находит применение в оптике, чем и объясняется название «фокусы».

Именно, если поместить источник света в одном фокусе, толучи, зеркально отраженные от эллипса, со­берутся в другом фокусе.

Не так легко, как построение эллипса, хотя принципиально столь же просто, по­строение кривой, у которой разность рас­стояний ее точек от двух неподвижных то­чек постоянна.

Соответственно этому гипербола состоит из двух отдельных ветвей. Вид гиперболы наглядно показывает, что кривая эта всюду выпукла и имеет ка­сательную во всякой точке.

Ниже (с. 17, примечание) будет показано, что и в случае гиперболы касательная к кривой имеет с этой кривой только одну общую точку – именно точку прикос­новения. Так же, как и в случае эллипса, можно показать, что касательная к гиперболе делит пополам угол между радиусами-векторами, проведенными в точку касания (рис. 6, с. 13).

Из эллипса с помощью предельного перехода можно полу­чить новую кривую – параболу (рис. 5). Для этого оставим один фокус, например и ближайшую к нему вершину эллипса неподвижными (вершинами эллипса называются точки пересечения кривой с прямой, соединяющей ее фокусы).

Будем теперь рассматривать эллипсы, получающиеся при перенесении второго фокуса все далее от точки на продолжение прямой ; эти эллипсы стремятся к некоторой предельной кривой, которая и есть парабола.

Из самого предельного перехода можно вывести простое определение параболы.

Именно, при вычерчивании эл­липса с помощью нити мы можем заметить, что если карандаш находится вблизи точки S (рис. 5), то при достаточно большом расстоянии между и отрезок нити, соединяющей карандаш с точкой , почти параллелен линии.

Следовательно, если в некоторой точке прямой восстановить перпендикуляр к , то приближенно будем иметь:

(где — основание перпендикуляра, опущенного из точки на прямую ). Если теперь ввести новую постоянную, равную

( имеет постоянное значение для каждой кривой), то будем иметь:

Это соотношение будет удовлетворяться с тем большей точностью, чем расстояние , а для предельной кривой оно будет вполне точно.

Таким образом парабола есть кривая, для точек которой сумма расстояний от некоторой определенной точки и некоторой определенной прямой постоянна или (что приводит к тому же) такая кривая, точки которой отстоят на рав­ном расстоянии от некоторой постоянной точки и некоторой постоянной прямой.

Мы получим эту последнюю прямую, если про­ведем прямую, параллельную и расположенную по другую сторону от точки на расстоянии, равном : она называется директрисой параболы.

Если вообразить, что парабола представляет собой отражающее зеркало, то она должна отражать все лучи, падающие параллельно , в точку ; это также следует из предельного перехода.

Мы рассмотрели семейство эллипсов, имеющих общую вер­шину и общий ближайший к этой вершине фокус. Теперь рас­смотрим семейство всех эллипсов, имеющих общие фокусы.

В каждой точке (за исключением фо­кусов) касательные к проходящим через эту точку двум кривым — эллипсу и гиперболе — делят пополам угол между радиусами-векторами взятой точки и смежный с ним угол; следовательно, ка­сательные эти взаимно перпендикулярны.

Таким образом софокусные эллипсы и гиперболы образуют два «взаимно ортогональных семейства кривых» (два семейства называются ортогональными, если каждая кривая одного семейства пересекает каждую кри­вую другого семейства под прямым углом; угол пересечения двух кривых определяется как угол между касательными к этим кривым, проведенными в точке пересечения).

Теперь, чтобы получить наглядное представление о нашей системе кривых (рис. 7), начнем с прямой, перпендикулярной к отрезку , проходящей через его середину, и затем рассмотрим семейство гипербол.

Мы видим, что гиперболы становятся все более сжатыми и, наконец, переходят в полупрямые, служа­щие продолжением отрезка вправо и влево.

При этом пло­скость целиком заполняется гиперболами.

Теперь мы переходим к самому отрезку , к которому непосредственно примыкают сперва очень сжатые эллипсы, кото­рые затем постепенно становятся все более округлыми и вместе с тем безгранично растут. Таким образом мы вторично заполняем всю плоскость.

Другой, и притом исключительно простой, пример взаимно ортогональных семейств кривых представляют концентрические окружности и прямые, проходящие через их общий центр. Эту систему можно получить из предыдущей путем предельного перехода, заставляя сближаться оба фокуса.

Наконец, упомянем другое построение с помощью нити, приводящее к ортогональным семействам.

Возьмем конец нити, навернутой на какую-нибудь выпуклую кривую, например на окружность, и станем разматывать нить, все время натягивая ее (рис. 8). Тогда конец нити опишет «эвольвенту» окружности.

Эта кривая описывает один за другим витки вокруг окружности представляя собой, таким образом, спираль. Само построение наглядно показывает, что кривая перпендикулярна к одной из двух касательных к окружности, которые можно провести из какой-либо точки кривой.

Все последующие витки эвольвенты также пересекают эту касательную под прямым углом, причем отрезок касательной между двумя последующими витками эвольвенты имеет постоянную длину и равен как раз длине взятой окружности.

Можно получить бесконечное множество эвольвент той же самой окружности, если при разматывании нити начать с других точек окружности.

Но все эвольвенты могут быть получены так­же из одной эвольвенты путем вращения ее вокруг центра окружности. Семейство эвольвент покрывает всю плоскость за исключением внутренности круга однократно и непрерывно. Оно ортогонально к семейству полупрямых, касательных к окружности, взятых в определенном направлении обхода окружности.

И вообще для любого заданного семейства прямых ортого­нальное семейство состоит из эвольвент.

Образующая их кривая – та, которую (как в нашем примере окружность) огибают прямые заданного семейства.

Мы вернемся еще к этому в дифференциальной геометрии (гл. IV) и кинематике (гл. V).

[1] Отрезок прямой, соединяющий оба фокуса, представляет также эллипс (особенный, выродившийся). Этот эллипс получается, если принять за значение суммы расстояний длину отрезка прямой, соединяющей фокусы.

[2] Прямая, проходящая через оба фокуса, если из неё выбросить отрезок, соединяющий фокусы, есть вырожденная гипербола, точно так же как прямая, перпендикулярная к отрезку, соединяющему фокусы, и проходящая через его середину; для этой последней разность расстояний имеет постоянное значение – нуль.

Источник