Наибольшее и наименьшее значение функции что это

Наибольшее и наименьшее значение функции

Теория к заданию 12 из ЕГЭ по математике (профильной)

Наибольшее (наименьшее) значение функции – это самое большое (маленькое) принимаемое значение ординаты на рассматриваемом интервале.

Чтобы найти наибольшее или наименьшее значение функции необходимо:

Чтобы найти точки максимума или минимума необходимо:

Таблица производных некоторых элементарных функций:

ФункцияПроизводная
$c$$0$
$x$$1$
$x^n, n∈N$$nx^, n∈N$
$<1>/$$-<1>/$
$<1>/x<^n>, n∈N$$-/>, n∈N$
$√^n, n∈N$$<1>/>, n∈N$
$sinx$$cosx$
$cosx$$-sinx$
$tgx$$<1>/$
$ctgx$$-<1>/$
$cos^2x$$-sin2x$
$sin^2x$$sin2x$
$e^x$$e^x$
$a^x$$a^xlna$
$lnx$$<1>/$
$log_x$$<1>/$

Основные правила дифференцирования

1. Производная суммы и разности равна производной каждого слагаемого

Производная суммы и разности равна производной каждого слагаемого

Источник

Наибольшее и наименьшее значение функции.

С практической точки зрения наибольший интерес представляет использование производной для нахождения наибольшего и наименьшего значения функции. С чем это связано? Максимизация прибыли, минимизация издержек, определение оптимальной загрузки оборудования. Другими словами, во многих сферах жизни приходится решать задачи оптимизации каких-либо параметров. А это и есть задачи на нахождение наибольшего и наименьшего значения функции.

Навигация по странице.

Кратко остановимся на основных определениях.

Наибольшим значением функции y=f(x) на промежутке X называют такое значение Наибольшее и наименьшее значение функции что это. Смотреть фото Наибольшее и наименьшее значение функции что это. Смотреть картинку Наибольшее и наименьшее значение функции что это. Картинка про Наибольшее и наименьшее значение функции что это. Фото Наибольшее и наименьшее значение функции что это, что для любого Наибольшее и наименьшее значение функции что это. Смотреть фото Наибольшее и наименьшее значение функции что это. Смотреть картинку Наибольшее и наименьшее значение функции что это. Картинка про Наибольшее и наименьшее значение функции что это. Фото Наибольшее и наименьшее значение функции что этосправедливо неравенство Наибольшее и наименьшее значение функции что это. Смотреть фото Наибольшее и наименьшее значение функции что это. Смотреть картинку Наибольшее и наименьшее значение функции что это. Картинка про Наибольшее и наименьшее значение функции что это. Фото Наибольшее и наименьшее значение функции что это.

Наименьшим значением функции y=f(x) на промежутке X называют такое значение Наибольшее и наименьшее значение функции что это. Смотреть фото Наибольшее и наименьшее значение функции что это. Смотреть картинку Наибольшее и наименьшее значение функции что это. Картинка про Наибольшее и наименьшее значение функции что это. Фото Наибольшее и наименьшее значение функции что это, что для любого Наибольшее и наименьшее значение функции что это. Смотреть фото Наибольшее и наименьшее значение функции что это. Смотреть картинку Наибольшее и наименьшее значение функции что это. Картинка про Наибольшее и наименьшее значение функции что это. Фото Наибольшее и наименьшее значение функции что этосправедливо неравенство Наибольшее и наименьшее значение функции что это. Смотреть фото Наибольшее и наименьшее значение функции что это. Смотреть картинку Наибольшее и наименьшее значение функции что это. Картинка про Наибольшее и наименьшее значение функции что это. Фото Наибольшее и наименьшее значение функции что это.

Эти определения интуитивно понятны: наибольшее (наименьшее) значение функции – это самое большое (маленькое) принимаемое значение на рассматриваемом интервале при абсциссе Наибольшее и наименьшее значение функции что это. Смотреть фото Наибольшее и наименьшее значение функции что это. Смотреть картинку Наибольшее и наименьшее значение функции что это. Картинка про Наибольшее и наименьшее значение функции что это. Фото Наибольшее и наименьшее значение функции что это.

Стационарные точки – это значения аргумента, при которых производная функции обращается в ноль.

Для чего нам стационарные точки при нахождении наибольшего и наименьшего значений? Ответ на этот вопрос дает теорема Ферма. Из этой теоремы следует, что если дифференцируемая функция имеет экстремум (локальный минимум или локальный максимум) в некоторой точке, то эта точка является стационарной. Таким образом, функция часто принимает свое наибольшее (наименьшее) значение на промежутке X в одной из стационарных точек из этого промежутка.

Также часто наибольшее и наименьшее значение функция может принимать в точках, в которых не существует первая производная этой функции, а сама функция определена.

Сразу ответим на один из самых распространенных вопросов по этой теме:»Всегда ли можно определить наибольшее (наименьшее) значение функции»? Нет, не всегда. Иногда границы промежутка X совпадают с границами области определения функции или интервал X бесконечен. А некоторые функции на бесконечности и на границах области определения могут принимать как бесконечно большие так и бесконечно малые значения. В этих случаях ничего нельзя сказать о наибольшем и наименьшем значении функции.

Для наглядности дадим графическую иллюстрацию. Посмотрите на рисунки – и многое прояснится.

Наибольшее и наименьшее значение функции что это. Смотреть фото Наибольшее и наименьшее значение функции что это. Смотреть картинку Наибольшее и наименьшее значение функции что это. Картинка про Наибольшее и наименьшее значение функции что это. Фото Наибольшее и наименьшее значение функции что это

На рисунке №3 граничные точки отрезка [-3;2] являются абсциссами точек, соответствующих наибольшему и наименьшему значению функции.

На открытом интервале

Наибольшее и наименьшее значение функции что это. Смотреть фото Наибольшее и наименьшее значение функции что это. Смотреть картинку Наибольшее и наименьшее значение функции что это. Картинка про Наибольшее и наименьшее значение функции что это. Фото Наибольшее и наименьшее значение функции что это

На интервале [1;6) наименьшее значение функции достигается в стационарной точке, а про наибольшее значение мы ничего сказать не можем. Если бы точка x=6 была частью интервала, тогда при этом значении функция принимала бы наибольшее значение. Этот пример изображен на рисунке №5.

Наибольшее и наименьшее значение функции что это. Смотреть фото Наибольшее и наименьшее значение функции что это. Смотреть картинку Наибольшее и наименьшее значение функции что это. Картинка про Наибольшее и наименьшее значение функции что это. Фото Наибольшее и наименьшее значение функции что это

Запишем алгоритм, позволяющий находить наибольшее и наименьшее значение функции на отрезке.

Разберем алгоритм при решении примера на нахождение наибольшего и наименьшего значения функции на отрезке.

Областью определения функции является все множество действительных чисел, за исключением нуля, то есть Наибольшее и наименьшее значение функции что это. Смотреть фото Наибольшее и наименьшее значение функции что это. Смотреть картинку Наибольшее и наименьшее значение функции что это. Картинка про Наибольшее и наименьшее значение функции что это. Фото Наибольшее и наименьшее значение функции что это. Оба отрезка попадают в область определения.

Находим производную функции по правилу дифференцирования дроби:
Наибольшее и наименьшее значение функции что это. Смотреть фото Наибольшее и наименьшее значение функции что это. Смотреть картинку Наибольшее и наименьшее значение функции что это. Картинка про Наибольшее и наименьшее значение функции что это. Фото Наибольшее и наименьшее значение функции что это

Для второго случая вычисляем значения функции лишь на концах отрезка [-4;-1] (так как он не содержит ни одной стационарной точки):
Наибольшее и наименьшее значение функции что это. Смотреть фото Наибольшее и наименьшее значение функции что это. Смотреть картинку Наибольшее и наименьшее значение функции что это. Картинка про Наибольшее и наименьшее значение функции что это. Фото Наибольшее и наименьшее значение функции что это

Следовательно, Наибольшее и наименьшее значение функции что это. Смотреть фото Наибольшее и наименьшее значение функции что это. Смотреть картинку Наибольшее и наименьшее значение функции что это. Картинка про Наибольшее и наименьшее значение функции что это. Фото Наибольшее и наименьшее значение функции что это.

Наибольшее и наименьшее значение функции что это. Смотреть фото Наибольшее и наименьшее значение функции что это. Смотреть картинку Наибольшее и наименьшее значение функции что это. Картинка про Наибольшее и наименьшее значение функции что это. Фото Наибольшее и наименьшее значение функции что это

Прежде чем ознакомиться с алгоритмом нахождения наибольшего и наименьшего значения функции на открытом или бесконечном интервале рекомендуем повторить определения одностороннего предела и предела на бесконечности, а также способы нахождения пределов.

Проверяем, является ли интервал X подмножеством области определения функции.

Находим все точки, в которых не существует первая производная и которые содержатся в интервале X (обычно такие точки встечаются у функций с аргументом под знаком модуля и у степенных функций с дробно-рациональным показателем). Если таких точек нет, то переходим к следующему пункту.

Если стационарных точек нет или ни одна из них не попадает в интервал, то переходим к следующему пункту.

Вычисляем значения функции в стационарных точках и точках, в которых не существует первая производная функции (если такие точки есть).

Делаем выводы, отталкиваясь от полученных значений функции и пределов. Здесь может быть масса вариантов. К примеру, если односторонний предел равен минус бесконечности (плюс бесконечности), то о наименьшем (наибольшем) значении функции ничего сказать нельзя для данного интервала. Ниже разобраны несколько типичных примеров. Надеемся подробные описания их решения помогут Вам усвоить тему. Рекомендуем вернуться к рисункам с №4 до №8 из первого раздела этой статьи.

Начнем с области определения функции. Квадратный трехчлен в знаменателе дроби не должен обращаться в ноль:
Наибольшее и наименьшее значение функции что это. Смотреть фото Наибольшее и наименьшее значение функции что это. Смотреть картинку Наибольшее и наименьшее значение функции что это. Картинка про Наибольшее и наименьшее значение функции что это. Фото Наибольшее и наименьшее значение функции что это

Легко проверить, что все интервалы из условия задачи принадлежат области определения функции.

Продифференцируем функцию:
Наибольшее и наименьшее значение функции что это. Смотреть фото Наибольшее и наименьшее значение функции что это. Смотреть картинку Наибольшее и наименьшее значение функции что это. Картинка про Наибольшее и наименьшее значение функции что это. Фото Наибольшее и наименьшее значение функции что это

Очевидно, производная существует на всей области определения функции.

Для первого промежутка Наибольшее и наименьшее значение функции что это. Смотреть фото Наибольшее и наименьшее значение функции что это. Смотреть картинку Наибольшее и наименьшее значение функции что это. Картинка про Наибольшее и наименьшее значение функции что это. Фото Наибольшее и наименьшее значение функции что этовычисляем значение функции при x=-4 и предел на минус бесконечности:
Наибольшее и наименьшее значение функции что это. Смотреть фото Наибольшее и наименьшее значение функции что это. Смотреть картинку Наибольшее и наименьшее значение функции что это. Картинка про Наибольшее и наименьшее значение функции что это. Фото Наибольшее и наименьшее значение функции что это

Второй интервал Наибольшее и наименьшее значение функции что это. Смотреть фото Наибольшее и наименьшее значение функции что это. Смотреть картинку Наибольшее и наименьшее значение функции что это. Картинка про Наибольшее и наименьшее значение функции что это. Фото Наибольшее и наименьшее значение функции что этоинтересен тем, что не содержит ни одной стационарной точки и ни одна из его границ не является строгой. В этом случае мы не сможем найти ни наибольшего, ни наименьшего значения функции. Вычислив предел на минус бесконечности и при стремлении аргумента к минус трем слева, мы лишь сможем определить интервал значений функции:
Наибольшее и наименьшее значение функции что это. Смотреть фото Наибольшее и наименьшее значение функции что это. Смотреть картинку Наибольшее и наименьшее значение функции что это. Картинка про Наибольшее и наименьшее значение функции что это. Фото Наибольшее и наименьшее значение функции что это

Следовательно, значения функции находятся в интервале Наибольшее и наименьшее значение функции что это. Смотреть фото Наибольшее и наименьшее значение функции что это. Смотреть картинку Наибольшее и наименьшее значение функции что это. Картинка про Наибольшее и наименьшее значение функции что это. Фото Наибольшее и наименьшее значение функции что этопри x из промежутка Наибольшее и наименьшее значение функции что это. Смотреть фото Наибольшее и наименьшее значение функции что это. Смотреть картинку Наибольшее и наименьшее значение функции что это. Картинка про Наибольшее и наименьшее значение функции что это. Фото Наибольшее и наименьшее значение функции что это.

Для интервала (-3;2) воспользуемся результатами из предыдущего пункта и еще вычислим односторонний предел при стремлении к двойке слева:
Наибольшее и наименьшее значение функции что это. Смотреть фото Наибольшее и наименьшее значение функции что это. Смотреть картинку Наибольшее и наименьшее значение функции что это. Картинка про Наибольшее и наименьшее значение функции что это. Фото Наибольшее и наименьшее значение функции что это

На промежутке Наибольшее и наименьшее значение функции что это. Смотреть фото Наибольшее и наименьшее значение функции что это. Смотреть картинку Наибольшее и наименьшее значение функции что это. Картинка про Наибольшее и наименьшее значение функции что это. Фото Наибольшее и наименьшее значение функции что этофункция не достигает ни наибольшего, ни наименьшего значения.
Наибольшее и наименьшее значение функции что это. Смотреть фото Наибольшее и наименьшее значение функции что это. Смотреть картинку Наибольшее и наименьшее значение функции что это. Картинка про Наибольшее и наименьшее значение функции что это. Фото Наибольшее и наименьшее значение функции что это

То есть, на этом интервале функция принимает значения из промежутка Наибольшее и наименьшее значение функции что это. Смотреть фото Наибольшее и наименьшее значение функции что это. Смотреть картинку Наибольшее и наименьшее значение функции что это. Картинка про Наибольшее и наименьшее значение функции что это. Фото Наибольшее и наименьшее значение функции что это.

А теперь можно сопоставить полученные в каждом пункте результаты с графиком функции. Синими пунктирными линиями обозначены асимптоты.

Наибольшее и наименьшее значение функции что это. Смотреть фото Наибольшее и наименьшее значение функции что это. Смотреть картинку Наибольшее и наименьшее значение функции что это. Картинка про Наибольшее и наименьшее значение функции что это. Фото Наибольшее и наименьшее значение функции что это

На этом можно закончить с нахождением наибольшего и наименьшего значения функции. Алгоритмы, разобранные в этой статье, позволяют получить результаты при минимуме действий. Однако бывает полезно сначала определить промежутки возрастания и убывания функции и только после этого делать выводы о наибольшем и наименьшем значении функции на каком-либо интервале. Это дает более ясную картину и строгое обоснование результатов.

Источник

Наибольшее и наименьшее значение функции

На практике довольно часто приходится использовать производную для того, чтобы вычислить самое большое и самое маленькое значение функции. Мы выполняем это действие тогда, когда выясняем, как минимизировать издержки, увеличить прибыль, рассчитать оптимальную нагрузку на производство и др., то есть в тех случаях, когда нужно определить оптимальное значение какого-либо параметра. Чтобы решить такие задачи верно, надо хорошо понимать, что такое наибольшее и наименьшее значение функции.

Основные определения

Начнем, как всегда, с формулировки основных определений.

Зачем нам нужно знать, что такое стационарные точки? Для ответа на этот вопрос надо вспомнить теорему Ферма. Из нее следует, что стационарная точка – это такая точка, в которой находится экстремум дифференцируемой функции (т.е. ее локальный минимум или максимум). Следовательно, функция будет принимать наименьшее или наибольшее значение на некотором промежутке именно в одной из стационарных точек.

Еще функция может принимать наибольшее или наименьшее значение в тех точках, в которых сама функция является определенной, а ее первой производной не существует.

Первый вопрос, который возникает при изучении этой темы: во всех ли случаях мы может определить наибольшее или наименьшее значение функции на заданном отрезке? Нет, мы не можем этого сделать тогда, когда границы заданного промежутка будут совпадать с границами области определения, или если мы имеем дело с бесконечным интервалом. Бывает и так, что функция в заданном отрезке или на бесконечности будет принимать бесконечно малые или бесконечно большие значения. В этих случаях определить наибольшее и/или наименьшее значение не представляется возможным.

Более понятными эти моменты станут после изображения на графиках:

Наибольшее и наименьшее значение функции на отрезке

Наибольшее и наименьшее значение функции что это. Смотреть фото Наибольшее и наименьшее значение функции что это. Смотреть картинку Наибольшее и наименьшее значение функции что это. Картинка про Наибольшее и наименьшее значение функции что это. Фото Наибольшее и наименьшее значение функции что это

Разберем подробно случай, указанный на втором графике. Изменим значение отрезка на [ 1 ; 6 ] и получим, что наибольшее значение функции будет достигаться в точке с абсциссой в правой границе интервала, а наименьшее – в стационарной точке.

Наибольшее и наименьшее значение функции на открытом интервале

Наибольшее и наименьшее значение функции что это. Смотреть фото Наибольшее и наименьшее значение функции что это. Смотреть картинку Наибольшее и наименьшее значение функции что это. Картинка про Наибольшее и наименьшее значение функции что это. Фото Наибольшее и наименьшее значение функции что это

Наибольшее и наименьшее значение функции на бесконечности

Наибольшее и наименьшее значение функции что это. Смотреть фото Наибольшее и наименьшее значение функции что это. Смотреть картинку Наибольшее и наименьшее значение функции что это. Картинка про Наибольшее и наименьшее значение функции что это. Фото Наибольшее и наименьшее значение функции что это

Как найти наибольшее и наименьшее значение непрерывной функции на заданном отрезке

В этом пункте мы приведем последовательность действий, которую нужно выполнить для нахождения наибольшего или наименьшего значения функции на некотором отрезке.

Посмотрим, как правильно применить этот алгоритм при решении задач.

Решение:

Теперь вычисляем производную функции согласно правилу дифференцирования дроби:

y ( 1 ) = 1 3 + 4 1 2 = 5 y ( 2 ) = 2 3 + 4 2 2 = 3 y ( 4 ) = 4 3 + 4 4 2 = 4 1 4

Второй отрезок не включает в себя ни одной стационарной точки, поэтому нам надо вычислить значения функции только на концах заданного отрезка:

Наибольшее и наименьшее значение функции что это. Смотреть фото Наибольшее и наименьшее значение функции что это. Смотреть картинку Наибольшее и наименьшее значение функции что это. Картинка про Наибольшее и наименьшее значение функции что это. Фото Наибольшее и наименьшее значение функции что это

Как найти наибольшее и наименьшее значение непрерывной функции на открытом или бесконечном интервале

Перед тем как изучить данный способ, советуем вам повторить, как правильно вычислять односторонний предел и предел на бесконечности, а также узнать основные методы их нахождения. Чтобы найти наибольшее и/или наименьшее значение функции на открытом или бесконечном интервале, выполняем последовательно следующие действия.

Решение

Первым делом находим область определения функции. В знаменателе дроби стоит квадратный трехчлен, который не должен обращаться в 0 :

Мы получили область определения функции, к которой принадлежат все указанные в условии интервалы.

Теперь выполним дифференцирование функции и получим:

Следовательно, производные функции существуют на всей области ее определения.

Сопоставим то, что у нас получилось в каждом вычислении, с графиком заданной функции. На рисунке асимптоты показаны пунктиром.

Наибольшее и наименьшее значение функции что это. Смотреть фото Наибольшее и наименьшее значение функции что это. Смотреть картинку Наибольшее и наименьшее значение функции что это. Картинка про Наибольшее и наименьшее значение функции что это. Фото Наибольшее и наименьшее значение функции что это

Это все, что мы хотели рассказать о нахождении наибольшего и наименьшего значения функции. Те последовательности действий, которые мы привели, помогут сделать необходимые вычисления максимально быстро и просто. Но помните, что зачастую бывает полезно сначала выяснить, на каких промежутках функция будет убывать, а на каких возрастать, после чего можно делать дальнейшие выводы. Так можно более точно определить наибольшее и наименьшее значение функции и обосновать полученные результаты.

Источник

Наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке

Миниатюрная и довольно простая задача из разряда тех, которые служат спасательным кругом плавающему студенту. На природе сонное царство середины июля, поэтому самое время устроиться с ноутбуком на пляже. Ранним утром заиграл солнечный зайчик теории, чтобы в скором времени сфокусироваться на практике, которая, несмотря на заявленную лёгкость, содержит осколки стекла в песке. В этой связи рекомендую добросовестно рассмотреть немногочисленные примеры этой странички. Для решения практических заданий необходимо уметь находить производные и понимать материал статьи Интервалы монотонности и экстремумы функции.

Сначала коротко о главном. На уроке о непрерывности функции я приводил определение непрерывности в точке и непрерывности на интервале. Образцово-показательное поведение функции на отрезке формулируется похожим образом. Функция Наибольшее и наименьшее значение функции что это. Смотреть фото Наибольшее и наименьшее значение функции что это. Смотреть картинку Наибольшее и наименьшее значение функции что это. Картинка про Наибольшее и наименьшее значение функции что это. Фото Наибольшее и наименьшее значение функции что этонепрерывна на отрезке Наибольшее и наименьшее значение функции что это. Смотреть фото Наибольшее и наименьшее значение функции что это. Смотреть картинку Наибольшее и наименьшее значение функции что это. Картинка про Наибольшее и наименьшее значение функции что это. Фото Наибольшее и наименьшее значение функции что этоесли:

1) она непрерывна на интервале Наибольшее и наименьшее значение функции что это. Смотреть фото Наибольшее и наименьшее значение функции что это. Смотреть картинку Наибольшее и наименьшее значение функции что это. Картинка про Наибольшее и наименьшее значение функции что это. Фото Наибольшее и наименьшее значение функции что это;
2) непрерывна в точке Наибольшее и наименьшее значение функции что это. Смотреть фото Наибольшее и наименьшее значение функции что это. Смотреть картинку Наибольшее и наименьшее значение функции что это. Картинка про Наибольшее и наименьшее значение функции что это. Фото Наибольшее и наименьшее значение функции что этосправа и в точке Наибольшее и наименьшее значение функции что это. Смотреть фото Наибольшее и наименьшее значение функции что это. Смотреть картинку Наибольшее и наименьшее значение функции что это. Картинка про Наибольшее и наименьшее значение функции что это. Фото Наибольшее и наименьшее значение функции что этослева.

Во втором пункте речь зашла о так называемой односторонней непрерывности функции в точке. Существует несколько подходов к её определению, но я буду придерживаться начатой ранее линии:

Функция Наибольшее и наименьшее значение функции что это. Смотреть фото Наибольшее и наименьшее значение функции что это. Смотреть картинку Наибольшее и наименьшее значение функции что это. Картинка про Наибольшее и наименьшее значение функции что это. Фото Наибольшее и наименьшее значение функции что этонепрерывна в точке Наибольшее и наименьшее значение функции что это. Смотреть фото Наибольшее и наименьшее значение функции что это. Смотреть картинку Наибольшее и наименьшее значение функции что это. Картинка про Наибольшее и наименьшее значение функции что это. Фото Наибольшее и наименьшее значение функции что этосправа, если она определена в данной точке и её правосторонний предел совпадает со значением функции в данной точке: Наибольшее и наименьшее значение функции что это. Смотреть фото Наибольшее и наименьшее значение функции что это. Смотреть картинку Наибольшее и наименьшее значение функции что это. Картинка про Наибольшее и наименьшее значение функции что это. Фото Наибольшее и наименьшее значение функции что это. Она же непрерывна в точке Наибольшее и наименьшее значение функции что это. Смотреть фото Наибольшее и наименьшее значение функции что это. Смотреть картинку Наибольшее и наименьшее значение функции что это. Картинка про Наибольшее и наименьшее значение функции что это. Фото Наибольшее и наименьшее значение функции что этослева, если определена в данной точке и её левосторонний предел равен значению в этой точке: Наибольшее и наименьшее значение функции что это. Смотреть фото Наибольшее и наименьшее значение функции что это. Смотреть картинку Наибольшее и наименьшее значение функции что это. Картинка про Наибольшее и наименьшее значение функции что это. Фото Наибольшее и наименьшее значение функции что это

Представьте, что зелёные точки – это гвозди, на которых закреплена волшебная резинка:

Наибольшее и наименьшее значение функции что это. Смотреть фото Наибольшее и наименьшее значение функции что это. Смотреть картинку Наибольшее и наименьшее значение функции что это. Картинка про Наибольшее и наименьшее значение функции что это. Фото Наибольшее и наименьшее значение функции что это

Мысленно возьмите красную линию в руки. Очевидно, что как бы далеко мы не растягивали график вверх и вниз (вдоль оси Наибольшее и наименьшее значение функции что это. Смотреть фото Наибольшее и наименьшее значение функции что это. Смотреть картинку Наибольшее и наименьшее значение функции что это. Картинка про Наибольшее и наименьшее значение функции что это. Фото Наибольшее и наименьшее значение функции что это), функция всё равно останется ограниченной – изгородь сверху, изгородь снизу, и наше изделие пасётся в загоне. Таким образом, непрерывная на отрезке функция ограничена на нём. В курсе матанализа этот вроде бы простой факт констатируется и строго доказывается первой теоремой Вейерштрасса. …Многих раздражает, что в математике нудно обосновываются элементарные утверждения, однако в этом есть важный смысл. Предположим, некий житель махрового средневековья вытягивал график в небо за пределы видимости вот это вставляло. До изобретения телескопа ограниченность функции в космосе была вовсе не очевидна! Действительно, откуда вы знаете, что нас ждёт за горизонтом? Ведь когда-то и Земля считалась плоской, поэтому сегодня даже обыденная телепортация требует доказательства =)

Согласно второй теореме Вейерштрасса, непрерывная на отрезке Наибольшее и наименьшее значение функции что это. Смотреть фото Наибольшее и наименьшее значение функции что это. Смотреть картинку Наибольшее и наименьшее значение функции что это. Картинка про Наибольшее и наименьшее значение функции что это. Фото Наибольшее и наименьшее значение функции что этофункция достигает своей точной верхней грани Наибольшее и наименьшее значение функции что это. Смотреть фото Наибольшее и наименьшее значение функции что это. Смотреть картинку Наибольшее и наименьшее значение функции что это. Картинка про Наибольшее и наименьшее значение функции что это. Фото Наибольшее и наименьшее значение функции что этои своей точной нижней грани Наибольшее и наименьшее значение функции что это. Смотреть фото Наибольшее и наименьшее значение функции что это. Смотреть картинку Наибольшее и наименьшее значение функции что это. Картинка про Наибольшее и наименьшее значение функции что это. Фото Наибольшее и наименьшее значение функции что это.

Число Наибольшее и наименьшее значение функции что это. Смотреть фото Наибольшее и наименьшее значение функции что это. Смотреть картинку Наибольшее и наименьшее значение функции что это. Картинка про Наибольшее и наименьшее значение функции что это. Фото Наибольшее и наименьшее значение функции что этотакже называют максимальным значением функции на отрезке и обозначают через Наибольшее и наименьшее значение функции что это. Смотреть фото Наибольшее и наименьшее значение функции что это. Смотреть картинку Наибольшее и наименьшее значение функции что это. Картинка про Наибольшее и наименьшее значение функции что это. Фото Наибольшее и наименьшее значение функции что это, а число Наибольшее и наименьшее значение функции что это. Смотреть фото Наибольшее и наименьшее значение функции что это. Смотреть картинку Наибольшее и наименьшее значение функции что это. Картинка про Наибольшее и наименьшее значение функции что это. Фото Наибольшее и наименьшее значение функции что этоминимальным значением функции на отрезке с пометкой Наибольшее и наименьшее значение функции что это. Смотреть фото Наибольшее и наименьшее значение функции что это. Смотреть картинку Наибольшее и наименьшее значение функции что это. Картинка про Наибольшее и наименьшее значение функции что это. Фото Наибольшее и наименьшее значение функции что это.

В нашем случае:
Наибольшее и наименьшее значение функции что это. Смотреть фото Наибольшее и наименьшее значение функции что это. Смотреть картинку Наибольшее и наименьшее значение функции что это. Картинка про Наибольшее и наименьшее значение функции что это. Фото Наибольшее и наименьшее значение функции что это
Наибольшее и наименьшее значение функции что это. Смотреть фото Наибольшее и наименьшее значение функции что это. Смотреть картинку Наибольшее и наименьшее значение функции что это. Картинка про Наибольшее и наименьшее значение функции что это. Фото Наибольшее и наименьшее значение функции что это

Примечание: в теории распространены записи Наибольшее и наименьшее значение функции что это. Смотреть фото Наибольшее и наименьшее значение функции что это. Смотреть картинку Наибольшее и наименьшее значение функции что это. Картинка про Наибольшее и наименьшее значение функции что это. Фото Наибольшее и наименьшее значение функции что это.

Грубо говоря, наибольшее значение находится там, где самая высокая точка графика, а наименьшее – где самая низкая точка.

Важно! Как уже заострялось внимание в статье об экстремумах функции, наибольшее значение функции и наименьшее значение функцииНЕ ТО ЖЕ САМОЕ, что максимум функции и минимум функции. Так, в рассматриваемом примере число Наибольшее и наименьшее значение функции что это. Смотреть фото Наибольшее и наименьшее значение функции что это. Смотреть картинку Наибольшее и наименьшее значение функции что это. Картинка про Наибольшее и наименьшее значение функции что это. Фото Наибольшее и наименьшее значение функции что этоявляется минимумом функции, но не минимальным значением.

Кстати, а что происходит вне отрезка Наибольшее и наименьшее значение функции что это. Смотреть фото Наибольшее и наименьшее значение функции что это. Смотреть картинку Наибольшее и наименьшее значение функции что это. Картинка про Наибольшее и наименьшее значение функции что это. Фото Наибольшее и наименьшее значение функции что это? Да хоть потоп, в контексте рассматриваемой задачи это нас совершенно не интересует. Задание предполагает лишь нахождение двух чисел Наибольшее и наименьшее значение функции что это. Смотреть фото Наибольшее и наименьшее значение функции что это. Смотреть картинку Наибольшее и наименьшее значение функции что это. Картинка про Наибольшее и наименьшее значение функции что это. Фото Наибольшее и наименьшее значение функции что этои всё!

Более того, решение чисто аналитическое, следовательно, чертежа делать не надо!

Алгоритм лежит на поверхности и напрашивается из приведённого рисунка:

1) Находим значения функции в критических точках, которые принадлежат данному отрезку.

Ловите ещё одну плюшку: здесь отпадает необходимость проверять достаточное условие экстремума, поскольку, как только что было показано, наличие минимума или максимума ещё не гарантирует, что там минимальное или максимальное значение. Демонстрационная функция достигает максимума Наибольшее и наименьшее значение функции что это. Смотреть фото Наибольшее и наименьшее значение функции что это. Смотреть картинку Наибольшее и наименьшее значение функции что это. Картинка про Наибольшее и наименьшее значение функции что это. Фото Наибольшее и наименьшее значение функции что этои волей судьбы это же число является наибольшим значением функции на отрезке Наибольшее и наименьшее значение функции что это. Смотреть фото Наибольшее и наименьшее значение функции что это. Смотреть картинку Наибольшее и наименьшее значение функции что это. Картинка про Наибольшее и наименьшее значение функции что это. Фото Наибольшее и наименьшее значение функции что это. Но, понятно, такое совпадение имеет место далеко не всегда.

Итак, на первом шаге быстрее и проще вычислить значения функции в критических точках, принадлежащих отрезку, не заморачиваясь есть в них экстремумы или нет.

2) Вычисляем значения функции на концах отрезка.

3) Среди найденных в 1-м и 2-м пунктах значений функции выбираем самое маленькое и самое большое число, записываем ответ.

Садимся на берег синего моря и бьём пятками по мелководью:

Найти наибольшее и наименьшее значения функции Наибольшее и наименьшее значение функции что это. Смотреть фото Наибольшее и наименьшее значение функции что это. Смотреть картинку Наибольшее и наименьшее значение функции что это. Картинка про Наибольшее и наименьшее значение функции что это. Фото Наибольшее и наименьшее значение функции что этона отрезке Наибольшее и наименьшее значение функции что это. Смотреть фото Наибольшее и наименьшее значение функции что это. Смотреть картинку Наибольшее и наименьшее значение функции что это. Картинка про Наибольшее и наименьшее значение функции что это. Фото Наибольшее и наименьшее значение функции что это

Решение:
1) Вычислим значения функции в критических точках, принадлежащих данному отрезку:
Наибольшее и наименьшее значение функции что это. Смотреть фото Наибольшее и наименьшее значение функции что это. Смотреть картинку Наибольшее и наименьшее значение функции что это. Картинка про Наибольшее и наименьшее значение функции что это. Фото Наибольшее и наименьшее значение функции что это

Полученное квадратное уравнение имеет два действительных корня:
Наибольшее и наименьшее значение функции что это. Смотреть фото Наибольшее и наименьшее значение функции что это. Смотреть картинку Наибольшее и наименьшее значение функции что это. Картинка про Наибольшее и наименьшее значение функции что это. Фото Наибольшее и наименьшее значение функции что это– критические точки.

Ещё раз подчёркиваю, что нас не интересует, есть в них максимумы/минимумы или нет.

Первая критическая точка принадлежит данному отрезку: Наибольшее и наименьшее значение функции что это. Смотреть фото Наибольшее и наименьшее значение функции что это. Смотреть картинку Наибольшее и наименьшее значение функции что это. Картинка про Наибольшее и наименьшее значение функции что это. Фото Наибольшее и наименьшее значение функции что это
А вот вторая – нет: Наибольшее и наименьшее значение функции что это. Смотреть фото Наибольшее и наименьшее значение функции что это. Смотреть картинку Наибольшее и наименьшее значение функции что это. Картинка про Наибольшее и наименьшее значение функции что это. Фото Наибольшее и наименьшее значение функции что это, поэтому про неё сразу забываем.

Вычислим значение функции в нужной точке:
Наибольшее и наименьшее значение функции что это. Смотреть фото Наибольшее и наименьшее значение функции что это. Смотреть картинку Наибольшее и наименьшее значение функции что это. Картинка про Наибольшее и наименьшее значение функции что это. Фото Наибольшее и наименьшее значение функции что это

Итоговый результат я выделил жирным цветом, при оформлении задания в тетради его удобно обвести в кружок простым карандашом или пометить как-то по-другому.

2) Вычислим значения функции на концах отрезка:
Наибольшее и наименьшее значение функции что это. Смотреть фото Наибольшее и наименьшее значение функции что это. Смотреть картинку Наибольшее и наименьшее значение функции что это. Картинка про Наибольшее и наименьшее значение функции что это. Фото Наибольшее и наименьшее значение функции что это

Результаты опять каким-либо образом выделяем.

3) Дело сделано, среди «жирных» чисел выбираем наибольшее и наименьшее.

Ответ: Наибольшее и наименьшее значение функции что это. Смотреть фото Наибольшее и наименьшее значение функции что это. Смотреть картинку Наибольшее и наименьшее значение функции что это. Картинка про Наибольшее и наименьшее значение функции что это. Фото Наибольшее и наименьшее значение функции что это

Критическое значение Наибольшее и наименьшее значение функции что это. Смотреть фото Наибольшее и наименьшее значение функции что это. Смотреть картинку Наибольшее и наименьшее значение функции что это. Картинка про Наибольшее и наименьшее значение функции что это. Фото Наибольшее и наименьшее значение функции что этона поверку оказалось точкой максимума, но об этом нас никто не спрашивал. Впрочем, для саморазвития можете устно подмечать такие факты.

Найти наибольшее и наименьшее значения функции Наибольшее и наименьшее значение функции что это. Смотреть фото Наибольшее и наименьшее значение функции что это. Смотреть картинку Наибольшее и наименьшее значение функции что это. Картинка про Наибольшее и наименьшее значение функции что это. Фото Наибольшее и наименьшее значение функции что этона отрезке Наибольшее и наименьшее значение функции что это. Смотреть фото Наибольшее и наименьшее значение функции что это. Смотреть картинку Наибольшее и наименьшее значение функции что это. Картинка про Наибольшее и наименьшее значение функции что это. Фото Наибольшее и наименьшее значение функции что это

Это пример для самостоятельного решения. Примерный образец чистового оформления в конце урока.

В рассматриваемой задаче очень важно не допускать вычислительных ошибок, так как рецензент немедленно посмотрит, сами догадываетесь куда.

Другой существенный момент касается пункта № 1.

Во-первых, критических точек может не оказаться вообще. Это очень хорошо – меньше вычислений. Просто записываем вывод: «критические точки отсутствуют» и переходим ко второму пункту алгоритма.

Во-вторых, все критические точки (одна, две или бОльшее количество) могут не принадлежать отрезку. Замечательно. Пишем следующее: «критические точки (а) не принадлежат (ит) рассматриваемому отрезку». Находить какие-то значения функции здесь, разумеется, тоже не надо.

В моей коллекции есть и те и те примеры, но они унылы как бескрайние просторы Сахары. По сути, всё задание сводится к нахождению двух значений функции на концах интервала. Гораздо интереснее снять кепки, солнечные очки и отправиться играть в пляжный футбол:

Найти наибольшее и наименьшее значения функции на заданном отрезке

Наибольшее и наименьшее значение функции что это. Смотреть фото Наибольшее и наименьшее значение функции что это. Смотреть картинку Наибольшее и наименьшее значение функции что это. Картинка про Наибольшее и наименьшее значение функции что это. Фото Наибольшее и наименьшее значение функции что это

Решение: всё опять начинается дежурной фразой:
1) Вычислим значения функции в критических точках, принадлежащих данному отрезку:
Наибольшее и наименьшее значение функции что это. Смотреть фото Наибольшее и наименьшее значение функции что это. Смотреть картинку Наибольшее и наименьшее значение функции что это. Картинка про Наибольшее и наименьшее значение функции что это. Фото Наибольшее и наименьшее значение функции что это

Да, критических точек тут и правда целая команда:
Наибольшее и наименьшее значение функции что это. Смотреть фото Наибольшее и наименьшее значение функции что это. Смотреть картинку Наибольшее и наименьшее значение функции что это. Картинка про Наибольшее и наименьшее значение функции что это. Фото Наибольшее и наименьшее значение функции что это

Первые две точки принадлежат нашему отрезку:
Наибольшее и наименьшее значение функции что это. Смотреть фото Наибольшее и наименьшее значение функции что это. Смотреть картинку Наибольшее и наименьшее значение функции что это. Картинка про Наибольшее и наименьшее значение функции что это. Фото Наибольшее и наименьшее значение функции что это

Но третья оказывается вне игры: Наибольшее и наименьшее значение функции что это. Смотреть фото Наибольшее и наименьшее значение функции что это. Смотреть картинку Наибольшее и наименьшее значение функции что это. Картинка про Наибольшее и наименьшее значение функции что это. Фото Наибольшее и наименьшее значение функции что это

(надеюсь, все сумели сосчитать Наибольшее и наименьшее значение функции что это. Смотреть фото Наибольшее и наименьшее значение функции что это. Смотреть картинку Наибольшее и наименьшее значение функции что это. Картинка про Наибольшее и наименьшее значение функции что это. Фото Наибольшее и наименьшее значение функции что это)

Вычислим значения функции в подходящих точках:
Наибольшее и наименьшее значение функции что это. Смотреть фото Наибольшее и наименьшее значение функции что это. Смотреть картинку Наибольшее и наименьшее значение функции что это. Картинка про Наибольшее и наименьшее значение функции что это. Фото Наибольшее и наименьшее значение функции что это

Чтобы не заблудиться в трёх соснах, не забываем выделять результаты,

2) Вычислим значения функции на концах отрезка:
Наибольшее и наименьшее значение функции что это. Смотреть фото Наибольшее и наименьшее значение функции что это. Смотреть картинку Наибольшее и наименьшее значение функции что это. Картинка про Наибольшее и наименьшее значение функции что это. Фото Наибольшее и наименьшее значение функции что это

Среди «жирных» чисел выбираем наибольшее и наименьшее значения. Максимальное значение («пятёрка») достигается сразу в двух точках, и это необходимо указать в завершающей записи:

Ответ: Наибольшее и наименьшее значение функции что это. Смотреть фото Наибольшее и наименьшее значение функции что это. Смотреть картинку Наибольшее и наименьшее значение функции что это. Картинка про Наибольшее и наименьшее значение функции что это. Фото Наибольшее и наименьшее значение функции что это

Время от времени критические точки могут совпадать с одним или даже с обоими концами отрезка, и в этом случае укорачивается второй этап решения. Следующий пример для самостоятельного изучения посвящен как раз такой ситуации:

Найти наибольшее и наименьшее значения функции на заданном отрезке

Наибольшее и наименьшее значение функции что это. Смотреть фото Наибольшее и наименьшее значение функции что это. Смотреть картинку Наибольшее и наименьшее значение функции что это. Картинка про Наибольшее и наименьшее значение функции что это. Фото Наибольшее и наименьшее значение функции что это

Примерный образец решения в конце урока.

Иногда техническая трудность рассматриваемого задания состоит в замысловатой производной и громоздких вычислениях:

Найти максимальное и минимальное значения функции на отрезке

Наибольшее и наименьшее значение функции что это. Смотреть фото Наибольшее и наименьшее значение функции что это. Смотреть картинку Наибольшее и наименьшее значение функции что это. Картинка про Наибольшее и наименьшее значение функции что это. Фото Наибольшее и наименьшее значение функции что это

Решение: отрезок, надо сказать, творческий, но пример взят из конкретной контрольной работы и ни в коем случае не придуман.

1) Вычислим значения функции в критических точках, которые принадлежат данному отрезку:
Наибольшее и наименьшее значение функции что это. Смотреть фото Наибольшее и наименьшее значение функции что это. Смотреть картинку Наибольшее и наименьшее значение функции что это. Картинка про Наибольшее и наименьшее значение функции что это. Фото Наибольшее и наименьшее значение функции что это

Очевидный корень оказывается не в теме: Наибольшее и наименьшее значение функции что это. Смотреть фото Наибольшее и наименьшее значение функции что это. Смотреть картинку Наибольшее и наименьшее значение функции что это. Картинка про Наибольшее и наименьшее значение функции что это. Фото Наибольшее и наименьшее значение функции что это.

Решаем уравнение:
Наибольшее и наименьшее значение функции что это. Смотреть фото Наибольшее и наименьшее значение функции что это. Смотреть картинку Наибольшее и наименьшее значение функции что это. Картинка про Наибольшее и наименьшее значение функции что это. Фото Наибольшее и наименьшее значение функции что это

Второй корень принадлежит нашему отрезку: Наибольшее и наименьшее значение функции что это. Смотреть фото Наибольшее и наименьшее значение функции что это. Смотреть картинку Наибольшее и наименьшее значение функции что это. Картинка про Наибольшее и наименьшее значение функции что это. Фото Наибольшее и наименьшее значение функции что это

Если вам не понятно, почему именно такой корень, обязательно обратитесь к школьному учебнику Алгебра и начала анализа 10-11 класс и повторите, что такое логарифм, ибо плох тот студент, который не мечтает овладеть логарифмами.

Дальнейшие вычисления задачи я распишу максимально подробно, но без комментариев. Некоторую информацию о логарифмической функции и свойствах логарифма можно почерпнуть в статье Графики и свойства элементарных функций и методичке по школьным формулам.

Вычислим значение функции во второй критической точке:
Наибольшее и наименьшее значение функции что это. Смотреть фото Наибольшее и наименьшее значение функции что это. Смотреть картинку Наибольшее и наименьшее значение функции что это. Картинка про Наибольшее и наименьшее значение функции что это. Фото Наибольшее и наименьшее значение функции что это

2) Вычислим значения функции на концах отрезка:
Наибольшее и наименьшее значение функции что это. Смотреть фото Наибольшее и наименьшее значение функции что это. Смотреть картинку Наибольшее и наименьшее значение функции что это. Картинка про Наибольшее и наименьшее значение функции что это. Фото Наибольшее и наименьшее значение функции что это

3) «Жирные» результаты получены с экспонентами и логарифмами, что существенно затрудняет их сравнение. По сей причине вооружимся калькулятором либо Экселем и вычислим приближённые значения, не забывая, что Наибольшее и наименьшее значение функции что это. Смотреть фото Наибольшее и наименьшее значение функции что это. Смотреть картинку Наибольшее и наименьшее значение функции что это. Картинка про Наибольшее и наименьшее значение функции что это. Фото Наибольшее и наименьшее значение функции что это:
Наибольшее и наименьшее значение функции что это. Смотреть фото Наибольшее и наименьшее значение функции что это. Смотреть картинку Наибольшее и наименьшее значение функции что это. Картинка про Наибольшее и наименьшее значение функции что это. Фото Наибольшее и наименьшее значение функции что это

Вот теперь всё понятно.

Ответ: Наибольшее и наименьшее значение функции что это. Смотреть фото Наибольшее и наименьшее значение функции что это. Смотреть картинку Наибольшее и наименьшее значение функции что это. Картинка про Наибольшее и наименьшее значение функции что это. Фото Наибольшее и наименьшее значение функции что это

Дробно-рациональный экземпляр для самостоятельного решения:

Найти максимальное и минимальное значения функции на отрезке

Наибольшее и наименьшее значение функции что это. Смотреть фото Наибольшее и наименьшее значение функции что это. Смотреть картинку Наибольшее и наименьшее значение функции что это. Картинка про Наибольшее и наименьшее значение функции что это. Фото Наибольшее и наименьшее значение функции что это

Вычисления в данном случае не менее кропотливы и точно так же потребуют вмешательства калькулятора (если вы, конечно, не вундеркинд). Полное решение и ответ в конце урока.

Стрелки часов приближаются к 9 утра, и побережье потихоньку заполняется всё бОльшим и бОльшим количеством стройных ног. Если честно, не терпится захлопнуть ноут и похулиганить, но всё-таки мужественно разберу нетривиальную вещь:

Найти максимальное и минимальное значения функции на отрезке

Наибольшее и наименьшее значение функции что это. Смотреть фото Наибольшее и наименьшее значение функции что это. Смотреть картинку Наибольшее и наименьшее значение функции что это. Картинка про Наибольшее и наименьшее значение функции что это. Фото Наибольшее и наименьшее значение функции что это

Решение:
1) Найдём критические точки. Предварительно можно раскрыть скобки, но не особо сложнее использовать и правило дифференцирования произведения:
Наибольшее и наименьшее значение функции что это. Смотреть фото Наибольшее и наименьшее значение функции что это. Смотреть картинку Наибольшее и наименьшее значение функции что это. Картинка про Наибольшее и наименьшее значение функции что это. Фото Наибольшее и наименьшее значение функции что это

Наибольшее и наименьшее значение функции что это. Смотреть фото Наибольшее и наименьшее значение функции что это. Смотреть картинку Наибольшее и наименьшее значение функции что это. Картинка про Наибольшее и наименьшее значение функции что это. Фото Наибольшее и наименьшее значение функции что это– критические точки.

Обратите внимание, что точка Наибольшее и наименьшее значение функции что это. Смотреть фото Наибольшее и наименьшее значение функции что это. Смотреть картинку Наибольшее и наименьшее значение функции что это. Картинка про Наибольшее и наименьшее значение функции что это. Фото Наибольшее и наименьшее значение функции что этообращает знаменатель производной в ноль, но её следует отнести к критическим значениям, поскольку САМА ФУНКЦИЯ определена в данной точке. На этом случае я подробно останавливался в теоретической части и последнем примере урока Интервалы монотонности. Экстремумы функции.

Кроме того, данная точка совпала с правым концом отрезка, а значит, в следующем пункте будет меньше расчётов. В следующем, но не сейчас:
Наибольшее и наименьшее значение функции что это. Смотреть фото Наибольшее и наименьшее значение функции что это. Смотреть картинку Наибольшее и наименьшее значение функции что это. Картинка про Наибольшее и наименьшее значение функции что это. Фото Наибольшее и наименьшее значение функции что это

2) Вычислим значения функции на концах отрезка:
Наибольшее и наименьшее значение функции что это. Смотреть фото Наибольшее и наименьшее значение функции что это. Смотреть картинку Наибольшее и наименьшее значение функции что это. Картинка про Наибольшее и наименьшее значение функции что это. Фото Наибольшее и наименьшее значение функции что это
Наибольшее и наименьшее значение функции что это. Смотреть фото Наибольшее и наименьшее значение функции что это. Смотреть картинку Наибольшее и наименьшее значение функции что это. Картинка про Наибольшее и наименьшее значение функции что это. Фото Наибольшее и наименьшее значение функции что этоуже известно.

Ответ: Наибольшее и наименьшее значение функции что это. Смотреть фото Наибольшее и наименьшее значение функции что это. Смотреть картинку Наибольшее и наименьшее значение функции что это. Картинка про Наибольшее и наименьшее значение функции что это. Фото Наибольшее и наименьшее значение функции что это

Раз, два, три, четыре, пять – мне пора верстать.

Скорее всего, вы прочитали данную статью в ненастную погоду, поэтому желаю всем скорейшего летнего загара без зачётки в кармане! …ну или с дипломом на груди… …ой, что-то я не то сказал =)

Пример 2: Решение:
1) Вычислим значения функции в критических точках, принадлежащих данному отрезку:
Наибольшее и наименьшее значение функции что это. Смотреть фото Наибольшее и наименьшее значение функции что это. Смотреть картинку Наибольшее и наименьшее значение функции что это. Картинка про Наибольшее и наименьшее значение функции что это. Фото Наибольшее и наименьшее значение функции что это
Наибольшее и наименьшее значение функции что это. Смотреть фото Наибольшее и наименьшее значение функции что это. Смотреть картинку Наибольшее и наименьшее значение функции что это. Картинка про Наибольшее и наименьшее значение функции что это. Фото Наибольшее и наименьшее значение функции что это– критические точки.
Наибольшее и наименьшее значение функции что это. Смотреть фото Наибольшее и наименьшее значение функции что это. Смотреть картинку Наибольшее и наименьшее значение функции что это. Картинка про Наибольшее и наименьшее значение функции что это. Фото Наибольшее и наименьшее значение функции что это
2)Вычислим значения функции на концах отрезка:
Наибольшее и наименьшее значение функции что это. Смотреть фото Наибольшее и наименьшее значение функции что это. Смотреть картинку Наибольшее и наименьшее значение функции что это. Картинка про Наибольшее и наименьшее значение функции что это. Фото Наибольшее и наименьшее значение функции что это
Ответ: Наибольшее и наименьшее значение функции что это. Смотреть фото Наибольшее и наименьшее значение функции что это. Смотреть картинку Наибольшее и наименьшее значение функции что это. Картинка про Наибольшее и наименьшее значение функции что это. Фото Наибольшее и наименьшее значение функции что это

Пример 4: Решение:
1) Вычислим значения функции в критических точках, принадлежащих данному отрезку:
Наибольшее и наименьшее значение функции что это. Смотреть фото Наибольшее и наименьшее значение функции что это. Смотреть картинку Наибольшее и наименьшее значение функции что это. Картинка про Наибольшее и наименьшее значение функции что это. Фото Наибольшее и наименьшее значение функции что это
Наибольшее и наименьшее значение функции что это. Смотреть фото Наибольшее и наименьшее значение функции что это. Смотреть картинку Наибольшее и наименьшее значение функции что это. Картинка про Наибольшее и наименьшее значение функции что это. Фото Наибольшее и наименьшее значение функции что это– критические точки.
Наибольшее и наименьшее значение функции что это. Смотреть фото Наибольшее и наименьшее значение функции что это. Смотреть картинку Наибольшее и наименьшее значение функции что это. Картинка про Наибольшее и наименьшее значение функции что это. Фото Наибольшее и наименьшее значение функции что это
2) Вычислим значения функции на концах отрезка:
Наибольшее и наименьшее значение функции что это. Смотреть фото Наибольшее и наименьшее значение функции что это. Смотреть картинку Наибольшее и наименьшее значение функции что это. Картинка про Наибольшее и наименьшее значение функции что это. Фото Наибольшее и наименьшее значение функции что этоуже рассчитано в предыдущем пункте.
Наибольшее и наименьшее значение функции что это. Смотреть фото Наибольшее и наименьшее значение функции что это. Смотреть картинку Наибольшее и наименьшее значение функции что это. Картинка про Наибольшее и наименьшее значение функции что это. Фото Наибольшее и наименьшее значение функции что это

Ответ: Наибольшее и наименьшее значение функции что это. Смотреть фото Наибольшее и наименьшее значение функции что это. Смотреть картинку Наибольшее и наименьшее значение функции что это. Картинка про Наибольшее и наименьшее значение функции что это. Фото Наибольшее и наименьшее значение функции что это

Пример 6: Решение:
1) Вычислим значения функции в критических точках, которые принадлежат данному отрезку:
Наибольшее и наименьшее значение функции что это. Смотреть фото Наибольшее и наименьшее значение функции что это. Смотреть картинку Наибольшее и наименьшее значение функции что это. Картинка про Наибольшее и наименьшее значение функции что это. Фото Наибольшее и наименьшее значение функции что это Наибольшее и наименьшее значение функции что это. Смотреть фото Наибольшее и наименьшее значение функции что это. Смотреть картинку Наибольшее и наименьшее значение функции что это. Картинка про Наибольшее и наименьшее значение функции что это. Фото Наибольшее и наименьшее значение функции что это– критические точки.
Наибольшее и наименьшее значение функции что это. Смотреть фото Наибольшее и наименьшее значение функции что это. Смотреть картинку Наибольшее и наименьшее значение функции что это. Картинка про Наибольшее и наименьшее значение функции что это. Фото Наибольшее и наименьшее значение функции что это
2) Вычислим значения функции на концах отрезка:
Наибольшее и наименьшее значение функции что это. Смотреть фото Наибольшее и наименьшее значение функции что это. Смотреть картинку Наибольшее и наименьшее значение функции что это. Картинка про Наибольшее и наименьшее значение функции что это. Фото Наибольшее и наименьшее значение функции что это
Ответ: Наибольшее и наименьшее значение функции что это. Смотреть фото Наибольшее и наименьшее значение функции что это. Смотреть картинку Наибольшее и наименьшее значение функции что это. Картинка про Наибольшее и наименьшее значение функции что это. Фото Наибольшее и наименьшее значение функции что это

Автор: Емелин Александр

(Переход на главную страницу)

Наибольшее и наименьшее значение функции что это. Смотреть фото Наибольшее и наименьшее значение функции что это. Смотреть картинку Наибольшее и наименьшее значение функции что это. Картинка про Наибольшее и наименьшее значение функции что это. Фото Наибольшее и наименьшее значение функции что это Zaochnik.com – профессиональная помощь студентам

cкидкa 15% на первый зaкaз, прoмoкoд: 5530-hihi5

Наибольшее и наименьшее значение функции что это. Смотреть фото Наибольшее и наименьшее значение функции что это. Смотреть картинку Наибольшее и наименьшее значение функции что это. Картинка про Наибольшее и наименьшее значение функции что это. Фото Наибольшее и наименьшее значение функции что это Tutoronline.ru – онлайн репетиторы по математике и другим предметам

Источник

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *