Найдите гипотенузу прямоугольного треугольника с острым углом 30 если известно что биссектриса
НАЙДИТЕ ГИПОТЕНУЗУ прямоуг треугольника с углом 30 градусрв если известно что биссиктриса проведённая из вершины прямоо угла рав
треугольник АВС, уголС=90, уголА=30, уголВ=90-30=60, СК-биссектриса=а, уголВСК=уголАСК=90-2=45, треугольник ВСК, CK/sinB=BK/sinBCK, а/(корень3/2)=ВК/(корень2/2), ВК=а*корень2/корень3=а*корень6/3
треугольник АСК, CK/sinA=AK/sinACK, а/(1/2)=АК/(корень2/2)., АК=2а*корень2/2=а*корень2,
Нужно построить чертёж.
Пусть KL=x
В тр-ке MLK рассмотрим 3 случая: 1)∠MLK=0°, 2)∠MLK=45°, 3)∠MLK=90°
1) ML=KL/cos0°=x, ML=KL/sin0°=0, значит ВС=0
АС+ВС=4х+0=4х, 4ML=4x
AC+BC=4ML
2) ML=KL/cos45=x√2, ML=KL/sin45=x√2, ML=MC, BC=2MC=2x√2
AC+BC=4x+2x√2=4x(1+√2),
4х(1+√2)>4x, значит
AC+BC>4ML
Вывод: наибольшее отношение 4ML:(AB+BC) [1:1] имеет при величине угла MLK=0°. При увеличении угла MLK данное отношение уменьшается, следовательно:
4ML≤AB+BC
Построим ромб АВСD. Из вершины В опустим перпендикуляр ВМ на сторону АD. Их точки пересечения диагоналей ромба впишем окружность с центром в точке О.
Высота ромба равна диаметру окружности. Площадь круга по условию равна Q. Определим радиус круга. S =πr^2, отсюда r=√(S/π).
ВМ =2r=2√(Q/π).
Рассмотрим треугольник АВМ. Угол АВМ=30°. Пусть АМ=х,тогда АВ=2х.
По теореме Пифагора 4х^2=x^2+2√(S/π);
3x^2=(4Q/π),
x=2√Q/(3π).
AB=4√Q/(3π)
Вычислим площадь ромба S=АВ·ВМ=4√Q/(3π)·2√(Q/π)=(8Q√3)/π.
Ответ:(8Q√3)/π.
Как найти стороны прямоугольного треугольника
Онлайн калькулятор
Чтобы вычислить длины сторон прямоугольного треугольника вам нужно знать следующие параметры (либо-либо):
Введите их в соответствующие поля и получите результат.
Найти гипотенузу (c)
Найти гипотенузу по двум катетам
Чему равна гипотенуза (сторона с) если известны оба катета (стороны a и b)?
Формула
следовательно: c = √ a² + b²
Пример
Для примера посчитаем чему равна гипотенуза прямоугольного треугольника если катет a = 3 см, а катет b = 4 см:
c = √ 3² + 4² = √ 9 + 16 = √ 25 = 5 см
Найти гипотенузу по катету и прилежащему к нему острому углу
Чему равна гипотенуза (сторона с) если известны один из катетов (a или b) и прилежащий к нему угол?
Формула
Пример
Для примера посчитаем чему равна гипотенуза прямоугольного треугольника если катет a = 2 см, а прилежащий к нему ∠β = 60°:
c = 2 / cos(60) = 2 / 0.5 = 4 см
Найти гипотенузу по катету и противолежащему к нему острому углу
Чему равна гипотенуза (сторона с) если известны один из катетов (a или b) и противолежащий к нему угол?
Формула
Пример
Для примера посчитаем чему равна гипотенуза прямоугольного треугольника если катет a = 2 см, а противолежащий к нему ∠α = 30°:
c = 2 / sin(30) = 2 / 0.5 = 4 см
Найти гипотенузу по двум углам
Найти гипотенузу прямоугольного треугольника только по двум острым углам невозможно.
Найти катет
Найти катет по гипотенузе и катету
Чему равен один из катетов прямоугольного треугольника если известны гипотенуза и второй катет?
Формула
Пример
Для примера посчитаем чему равен катет a прямоугольного треугольника если гипотенуза c = 5 см, а катет b = 4 см:
Найти катет по гипотенузе и прилежащему к нему острому углу
Чему равен один из катетов прямоугольного треугольника если известны гипотенуза и прилежащий к искомому катету острый угол?
Формула
Пример
Для примера посчитаем чему равен катет b прямоугольного треугольника если гипотенуза c = 5 см, а ∠α = 60°:
b = 5 ⋅ cos(60) = 5 ⋅ 0.5 = 2.5 см
Найти катет по гипотенузе и противолежащему к нему острому углу
Чему равен один из катетов прямоугольного треугольника если известны гипотенуза и противолежащий к искомому катету острый угол?
Формула
Пример
Для примера посчитаем чему равен катет a прямоугольного треугольника если гипотенуза c = 4 см, а ∠α = 30°:
a = 4 ⋅ sin(30) = 4 ⋅ 0.5 = 2 см
Найти катет по второму катету и прилежащему к нему острому углу
Чему равен один из катетов прямоугольного треугольника если известен другой катет и прилежащий к нему острый угол?
Формула
Пример
Для примера посчитаем чему равен катет b прямоугольного треугольника если катет a = 2 см, а ∠β = 45°:
b = 2 ⋅ tg(45) = 2 ⋅ 1 = 2 см
Найти катет по второму катету и противолежащему к нему острому углу
Чему равен один из катетов прямоугольного треугольника если известен другой катет и противолежащий к нему острый угол?
Формула
Пример
Для примера посчитаем чему равен катет a прямоугольного треугольника если катет b = 3 см, а ∠β = 35°:
Прямоугольные треугольники
Катетами называются две стороны треугольника, которые образуют прямой угол. Гипотенузой называется сторона, лежащая напротив прямого угла.
Некоторые свойства прямоугольного треугольника:
7. Медиана прямоугольного треугольника, проведенная к его гипотенузе, делит треугольник на два равнобедренных треугольника, основаниями, которых являются катеты данного треугольника.
В прямоугольном треугольнике сумма квадратов катетов равна квадрату гипотенузы.
Соотношение между сторонами и углами в прямоугольном треугольнике:
5. В прямоугольном треугольнике синус одного острого угла равен косинусу другого острого угла.
6. Синусы, косинусы, тангенсы и котангенсы острых равных углов равны.
7. Синусы смежных углов равны, а косинусы, тангенсы и котангенсы отличаются знаками: для острых углов положительные значения, для тупых углов отрицательные значения.
Значения тригонометрических функций некоторых углов:
Площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения его катетов
Подставим найденное значение в формулу косинуса
Квадрат высоты, проведенной к гипотенузе, равен произведению отрезков, на которые высота поделила гипотенузу.
В прямоугольном треугольнике : квадрат катета равен произведению гипотенузы на проекцию этого катета на гипотенузу.
Произведение катетов прямоугольного треугольника равно произведению его гипотенузы на высоту, проведенную к гипотенузе.
Свойства биссектрисы прямоугольного треугольника
В данной публикации мы рассмотрим основные свойства биссектрисы прямоугольного треугольника, проведенной из прямого и острого углов, а также разберем примеры решения задач по данной теме.
Примечание: напомним, что прямоугольным называется треугольник, в котором один из углов прямой (т.е. равен 90°), а два остальных – острые ( Содержание скрыть
Свойства биссектрисы прямоугольного треугольника
Свойство 1
Если в прямоугольном треугольнике известны катеты, то длину биссектрисы, проведенной из прямого угла к гипотенузе, можно вычислить по формуле:
Свойство 2
Длину биссектрисы в прямоугольном треугольнике, проведенную из острого угла к противолежащему катету, можно вычислить по формуле:
Также можно использовать другую формулу, если известны все три стороны треугольника:
Примечания:
Примеры задач
Задача 1
Найдите длину биссектрисы, которая проведена к гипотенузе прямоугольного треугольника, если известно, что его катеты равны 21 и 28 см.
Решение
Воспользуемся формулой, приведенной в Свойстве 1, подставив в нее известные значения:
Задача 2
Катеты прямоугольного треугольника равны 9 и 12 см. Вычислите длину биссектрисы, проведенной к катету с наименьшей длиной.
Решение
Пример катеты за “a” (9 см) и “b” (12 см).
Для начала найдем гипотенузу треугольника (c), воспользовавшись теоремой Пифагора, согласно которой квадрат гипотенузы равняется сумме квадратов катетов:
c 2 = a 2 + b 2 = 9 2 + 12 2 = 225.
Следовательно, c = 15 см.
Теперь мы можем применить формулу, рассмотренную в Свойстве 2 для нахождения длины биссектрисы: