Найдите вероятность того что а выиграет оба раза
Найдите вероятность того что а выиграет оба раза
Если гроссмейстер А. играет белыми, то он выигрывает у гроссмейстера Б. с вероятностью 0,52. Если А. играет черными, то А. выигрывает у Б. с вероятностью 0,3. Гроссмейстеры А. и Б. играют две партии, причем во второй партии меняют цвет фигур. Найдите вероятность того, что А. выиграет оба раза.
Возможность выиграть первую и вторую партию не зависят друг от друга. Вероятность произведения независимых событий равна произведению их вероятностей: 0,52 · 0,3 = 0,156.
Указанные события противоположны, поэтому искомая вероятность равна 1 − 0,81 = 0,19.
Игральную кость с 6 гранями бросают дважды. Найдите вероятность того, что хотя бы раз выпало число, большее 3.
Возможность появления числа в первом и втором броске не зависят друг от друга. Вероятность того, что на игральной кости выпадет число меньше, либо равное трёх: 1 − 0,5 = 0,5. Поэтому вероятность того, что оба раза выпало число меньше либо равное трём равна 0,5 · 0,5 = 0,25. Следовательно, вероятность того, что хотя бы раз выпадет число большее трёх равна 1 − 0,25 = 0,75.
Приведем другое решение.
При двукратном бросании игральной кости возможно 6 2 = 36 вариантов выпадения очков. Выпишем подходящие варианты, когда хотя бы один раз выпадает число, большее трех (вначале будем записывать число очков при первом броске, затем при втором, без разделительных знаков между ними):
14, 15, 16, 24, 25, 26, 34, 35, 36, 41, 42, 43, 44, 45, 46, 51, 52, 53, 54, 55, 56, 61, 62, 63, 64, 65, 66.
Вероятность равна 
Найдите вероятность того что а выиграет оба раза
Какова вероятность того, что случайно выбранный телефонный номер оканчивается двумя чётными цифрами?
Вероятность того, что на одном из требуемых мест окажется чётное число равна 0,5. Следовательно, вероятность того, что на двух местах одновременно окажутся два чётных числа равна 0,5 · 0,5 = 0,25.
00,22,44,66, 88. т.е. m=5, но n==100, тогда ведь вероятность равна 0, 05. или нет?
Почему вероятность того, что на одном из требуемых мест окажется четное число равна 0,5? Там может оказаться одна из 10 цифр от 1 до 9, из них 4 четные, получается вероятность 0,4
Скажите, а с каких пор 0- четное число? На протяжении всей школьной программы нас учили: «0- ни четное, ни нечетное число.»
Решение не правильное, либо вопрос в задаче не соответствует данному решению.
Какова вероятность того, что случайно выбранный телефонный номер оканчивается двумя чётными цифрами?
Всем известно что половина наших чисел чётная, а половина нет.
Ряд чисел на которые мог бы кончаться номер:
Даже в Вашем списке условию задачи удовлетворяют только 5 пар (00, 02, 04, 06, 08) из 20 (00,01,02,03,04,05,06,07,08,09,10,11,12,13,14,15,16,17,18,19).
Что и составляет 25%
Если шахматист А. играет белыми фигурами, то он выигрывает у шахматиста Б. с вероятностью 0,52. Если А. играет черными, то А. выигрывает у Б. с вероятностью 0,3. Шахматисты А. и Б. играют две партии, причём во второй партии меняют цвет фигур. Найдите вероятность того, что А. выиграет оба раза.
Возможность выиграть первую и вторую партию не зависят друг от друга. Вероятность произведения независимых событий равна произведению их вероятностей: 0,52 · 0,3 = 0,156.
На рисунке изображён лабиринт. Паук заползает в лабиринт в точке «Вход». Развернуться и ползти назад паук не может, поэтому на каждом разветвлении паук выбирает один из путей, по которому ещё не полз. Считая, что выбор дальнейшего пути чисто случайный, определите, с какой вероятностью паук придёт к выходу 
На каждой из четырех отмеченных развилок паук с вероятностью 0,5 может выбрать или путь, ведущий к выходу D, или другой путь. Это независимые события, вероятность их произведения (события, состоящего в том, что паук дойдет до выхода D) равна произведению вероятностей этих событий. Поэтому вероятность прийти к выходу D равна (0,5) 4 = 0,0625.
Примечание Решу ЕГЭ.
Как и обычно в таких задачах, мы определили, с какой вероятностью паук выползет из лабиринта через выход D (а не просто доползет до этого выхода и остановится или, например, проследует дальше к выходу А). Отметим, что вопрос следовало бы сформулировать однозначно. Мы уже связались с разработчиками ЕГЭ и сообщили им об этом.
Решение задач по теории вероятностей
Теория вероятностей ( для выполнения заданий ЕГЭ)
Купив лотерейный билет, мы можем выиграть, а можем и не выиграть; на очередных выборах правящая партия может победить, а может и не победить; завтра на уроке математики вас могут вызвать к доске, а могут и не вызвать.
Все это примеры случайных событий, которые при одних и тех же условиях могут произойти, а могут и не произойти.
Примеры случайных событий:
Если же событие при данных условиях обязательно произойдет, то его называют достоверным. Например:
Для лучшего понимания понятия «вероятность» приведём в качестве примера задачи:
Пусть ровно m из этих n исходов приводят к наступлению некоторого события А. Будем называть такие исходы благоприятными для этого события (они ему благоприятствуют, т. е. событие А наступает при любом из этих исходов).
Классическое определение вероятности
Вероятностью случайного события А назовем дробь m / n , где n — число всех возможных исходов эксперимента, m — число исходов, благоприятных для события А:
Следовательно, Р(А) = 18/36 = 1/2 = 0,5.
Совершенно аналогично находим число благоприятных исходов и вероятности для оставшихся событий:
для события С т = 0, Р(С) = 0/36 = 0;
для события D т = 4, Р( D ) = 4/36 = 1/9 =0,111;
для события Е т = 1, Р(Е) = 1/36 = 0,028.
№ 2. В двух коробках лежат карандаши одинаковой величины и формы, но разного цвета. В первой коробке 4 красных и 6 черных, а во второй 3 красных, 5 синих и 2 черных. Из обеих коробок вынимается наугад по одному карандашу. Какова вероятность того, Что оба карандаша окажутся красными?
Решение. Испытание состоит в том, что из каждой коробки » вынимается по одному карандашу. Пусть событие А означает, что вынутый карандаш из первой коробки оказался красным, событие
В — что вынутый карандаш из второй коробки тоже красный. Тогда событие АВ означает, что оба вынутые карандаша оказались красными. Поскольку события А и В независимы, то P (АВ) = P (А) P (В). Вероятности событий А и В равны соответственно P (А) = 0,4, P (В) = 0,3. Следовательно, вероятность того, что оба карандаша оказались красными, равна P (АВ) =
№ 3. Брошена игральная кость. Какова вероятность того, что выпадет четное число очков?
№ 4. Родительский комитет закупил 30 пазлов для подарков детям на окончание учебного года, из них 12 с персонажами мультфильмов и 18 с видами природы. Подарки распределяются случайным образом. Найдите вероятность того, что Маше достанется пазл с персонажем из мультфильма.
№ 5. На тарелке 15 пирожков: 6 с яблоками, 4 с капустой, 5 с печенью. Варя наугад выбирает один пирожок. Найдите вероятность того, что он окажется с яблоками.
№ 6. На экзамене 40 билетов, Игорь не выучил 2 из них. Найдите вероятность того, что ему попадется выученный билет.
Решение: Число возможных исходов 40, число благоприятных исходов: 40-2=38.
Искомая вероятность равна: 38/40=0,95.
№ 7. При двукратном бросании игрального кубика в сумме выпало 6 очков. Найдите вероятность того, что первый раз выпало меньше трех очков.
Сумму в 6 очков можно получить следующими способами ( переберем варианты):1+5,2+4,3+3,4+2,5+1 – всего их пять, это и есть число возможных исходов. Из представленных вариантов также видно, что менее трёх очков при первом броске может выпасть только в двух случаях. Искомая вероятность равна:2/5=0,4.
№ 8. Марина и Дина бросают кубик по одному разу. Выигрывает та девочка, у которой выпадет больше очков. Первой бросила Марина, у неё выпало 3 очка. Найдите вероятность того, что Дина выиграет.
Решение: Для того, что бы выиграть у Дины должно выпасть 4, 5 или 6 очков. Т. е. 3 благоприятных исхода из 6 – ти возможных (1,2,3,4,5 или 6). 3/6= 0,5.
Решение: Комбинации выпадения очков : 4:1, 4:2, 4:3, 4:4, 4:5, 4:6. Всего 6. Из них выигрышных для первого 3 (первые из перечисленных). Значит вероятность того, что он выиграет: 3/6=0,5.
№ 7. Монету бросают трижды. Найдите вероятность того, что первые два броска окончатся одинаково.
Решение: Найдем число возможных исходов, переберем все варианты бросков. В подобных задачах удобнее составит таблицу:
Всего возможных исходов восемь.
Первые два одинаково могут закончиться в четырех случаях, это 1,2,5,6 варианты, т.е. благоприятных исходов 4. Искомая вероятность равна: 4/8=0,5.
(Эту же задачу можно решить и при помощи произведения и суммы вероятностей, но в данном случае этот способ, по-моему, сложнее)
№ 8. Монету бросают трижды. Найдите вероятность того, что только первые два броска окончатся одинаково.
Решение: В этой формулировке благоприятных исходов будет уже только 2 ( 2 и 6 варианты). А всего исходов, как и в предыдущей задаче, будет 8. Искомая вероятность равна: 2/8=0,25.
№ 9. При двукратном бросании игрального кубика в сумме выпало 6 очков. Найдите вероятность того, что в первый раз выпало меньше 3 очков.
Решение: 6 очком могло выпасть только при следующих раскладах: 1 и 5, 2 и 4, 3 и 3, 5 и 1, 4 и 2. Всего 5 возможных вариантов. В первый раз выпадает меньше 3 очков только в двух случаях. Вычислим искомую вероятность: 2/5=0,4.
№ 10. Найдите вероятность того, что при бросании двух кубиков на каждом выпадет менее 4 очков.
Решение: Всего возможных комбинаций будет 36. Из них благоприятными будут 9:
№ 11. Перед началом первого тура чемпионата по бадминтону участников разбивают на игровые пары с помощью жребия. Всего в чемпионате участвует 26 спортсменов, среди которых 10 участников из России, в том числе Руслан Орлов. Найдите вероятность того, что в первом туре Руслан Орлов будет играть с каким-либо бадминтонистом из России?
Решение: Выясним чему равно число исходов, а так же число благоприятных исходов. Всего спортсменов 26, включая Руслана, значит играть он сможет с кем-либо из оставшихся 25-ти. Т.о. число возможных исходов – 25. Среди оставшихся 25-ти спортсменов 9( Руслана не считаем) из России. Значит, благоприятных исходов – 9. Искомая вероятность равна: 9/25=0,36.
№ 12. В классе 7 мальчиков и 14 девочек. 1 сентября случайным образом определяют двух дежурных на 2 сентября. Найдите вероятность того. Что будут дежурить два мальчика.
Решение: для каждого из 21- го ребенка может быть в паре один из оставшихся 20. Т.е. число возможных пар: 21*20=420. Благоприятными будут пары, когда для каждого из 7 мальчиков в пару попадет один из оставшихся 6-ти. Т.о. количество благоприятных исходов вычислим: 6*7=42.
Искомая вероятность: 42/420=0,1.
№ 13. Перед началом первого тура чемпионата по шашкам участников разбивают на игровые пары случайным образом с помощью жребия. Всего в чемпионате участвуют 56 шашистов, среди которых 12 участников из России, в том числе и Валерий Стремянкин. Найдите вероятность того, что в первом туре Валерий Стремянкин будет играть с каким-либо шашистом из России.
Решение: Всего Валерий Стремянкин может играть с каким-либо из 55 (исключая его самого из общего количества) шашистов. Благоприятными для нас являются 11 исходов из них (Из России всего12 шашистов, 1 из них сам Стремянкин, значит соперников возможных у него 11). Находим исходную вероятность: 11/55=0,2.
№ 14. В каждой пятой банке кофе согласно условиям акции есть приз. Призы распределены по банкам случайным образом. Галя покупает банку кофе в надежде выиграть приз. Найдите вероятность того, что Галя не найдет приз в своей банке.
Решение: В четырёх банках из пяти нет приза. Значит, исходная вероятность будет равна: 4/5=0,8.
№ 15. В среднем на 150 карманных фонариков приходится 3 неисправных. Какова вероятность купить исправных фонариков?
Количество возможных исходов 150. Количество благоприятных исходов: 150-3=147. Вероятность купить исправный фонарик 147 к 150: 147/150 = 0,98.
№ 16. В среднем на 150 исправных карманных фонариков приходится 3 неисправных. Какова вероятность купить исправный фонарик?
В этом случае число возможных исходов: 150+3=153 ( 150 исправных плюс 3 неисправных).
Число благоприятных исходов = 150 ( число исправных фонариков). Вероятность купить исправный фонарик равна: 150/153 = 50/51 ≈ 0,9804…
№ 17. Фабрика выпускает сумки. В среднем на 100 качественных приходится восемь сумок со скрытыми дефектами. Найдите вероятность того, что купленная сумка окажется качественной. Результат округлите до сотых.
Решение: Сказано, что на 100 качественных сумок приходится 8 с дефектом, значит число возможных исходов 100+8=108. Число благоприятных исходов 100(качественные сумки). Вероятность того, что купленная сумка окажется качественной, равна 1оо к 108: 100/108=0,9259…≈ 0, 93.
№ 18. Какая сумма, скорее всего, выпадет при бросании двух кубиков?
Решение: Возможные суммы : 1+1=2, 1+2=3, 1+3=4, 1+4=5, 1+5=6, 1+6=7,2+1=3, 2+2=4, 2+3=5, 2+4=6, 2+5=7, 2+6=8, 3+1=4, 3+2=5,3+3=6, 3+4=7,3+5=8,3+6=9, 4+1=5, 4+2=6, 4+3=7, 4+4=8, 4+5=9,4+6=10, 5+1=6, 5+2=7, 5+3=8, 5+4=9, 5+5=10,5+6=11, 6+1=7, 6+2=8,6+3=9, 6+4=10, 6+5=11, 6+6=12. Возможные суммы:
Чаще всего выпадает сумма 7.
№ 19. Валя выбирает случайное трёхзначное число. Найдите вероятность того, что оно делится на 51.
Решение: Найдём количество всех трёхзначных чисел, делящихся на 51. Первое из них 102, далее 153 и т.д. Сколько будет таких чисел среди трёхзначных? 999: 51=19, 588…, т.е. чисел кратных 51 до 999 будет 19. Из них одно двузначное 51, значит 19-1=18. 18 трёхзначных чисел, делящихся на 51. А всего трёхзначных чисел : 999-99=900. Найдём искомую вероятность: 18/900=0,02.
Все вышеперечисленные задачи решались, опираясь на классическое определение вероятности.
Сборники заданий ЕГЭ предлагают так же ряд задач, решаемых при помощи произведения и сложения вероятностей.
Вероятность совместного появления двух зависимых событий равна произведению вероятности одного из них на вероятность другого.
(Вероятность совместного появления двух зависимых событий равна произведению вероятности одного из них на условную вероятность другого, исчисленную в предположении, что первое событие уже произошло.
Условной вероятностью события В называется вероятность события В, найденная в предположении, что событие А уже наступило.)
Суммой событий А и В называется событие С=А+В, состоящее в наступлении, по крайней мере, одного из событий А или В, т. е. в наступлении события А, или события В, или обоих этих событий вместе, если они совместны.
Теорема. Вероятность суммы двух несовместных событий А и В равна сумме вероятностей этих событий: 
.
Вероятность появления одного из двух несовместных событий, безразлично какого, равна сумме вероятностей этих событий.
а) только одно отделение получит газеты вовремя;
б) хотя бы одно отделение получит газеты с опозданием.
Решение: Введем события
А1 = (газеты доставлены своевременно в первое отделение),
А2 = (газеты доставлены своевременно во второе отделение),
А3 = (газеты доставлены своевременно в третье отделение),
по условию P(A1)=0,95; P(A2) = 0,9; P(A3)=0,8.
Найдем вероятность события Х = (только одно отделение получит газеты вовремя). Событие Х произойдет, если
или газеты доставлены своевременно в 1 отделение, и доставлены не вовремя во 2 и 3,
или газеты доставлены своевременно в 2 отделение, и доставлены не вовремя во 1 и 3,
или газеты доставлены своевременно в 3 отделение, и доставлены не вовремя во 2 и 1.
Таким образом, 
Найдем вероятность события У=(хотя бы одно отделение получит газеты с опозданием). Введем противоположное событие = 
(все отделения получат газеты вовремя). Вероятность этого события
Тогда вероятность события У:
№ 21. В двух коробках лежат карандаши одинаковой величины и формы, но разного цвета. В первой коробке 4 красных и 6 черных, а во второй 3 красных, 5 синих и 2 черных. Из обеих коробок вынимается наугад по одному карандашу. Какова вероятность того, Что оба карандаша окажутся красными?
Решение. Испытание состоит в том, что из каждой коробки » вынимается по одному карандашу. Пусть событие А означает, что вынутый карандаш из первой коробки оказался красным, событие
В — что вынутый карандаш из второй коробки тоже красный. Тогда событие АВ означает, что оба вынутые карандаша оказались красными. Поскольку события А и В независимы, то P (АВ) = P (А) P (В). Вероятности событий А и В равны соответственно P (А) = 0,4, P (В) = 0,3. Следовательно, вероятность того, что оба карандаша оказались красными, равна P (АВ) =
№ 22. В случайном эксперименте монету бросают трижды. Найти вероятность того, что орел не выпадет ни разу.
Решение: Задачу можно решить, пользуясь классическим определением вероятности или теоремой о произведении вероятностей.
1 способ. Решим задачу, используя теорему о произведении вероятностей.
Орел не выпадет ни разу только в случае выпадения: решка, решка, решка. Вероятность выпадения решки в 1-ый раз =0,5 (1 из двух вариантов выпадения). Аналогично: вероятность выпадения решки во 2-ой раз=0,5. И в 3-ий раз тоже =0,5. Поскольку это вероятности зависимых событий, мы находим их произведение: 0,5*0,5*0,5=0,125.
2 способ. Решим задачу, используя классическое определение вероятности.
Переберем все варианты выпадения:
Всего 8 возможных исходов, из которых только 1 благоприятный. Т.о. искомая вероятность равна: 1/8=0,125.
Решение: Эту задачу так же можно решить двумя способами.
1/36+1/36+1/36+1/36+1/36=5/36≈ 0,14. (применили сложения вероятностей).
2 способ. Найдем число возможных исходов, переберём все варианты бросков. В подобных задачах удобнее составлять таблицу. Составим таблицу для суммы двух костей. ( все варианты суммы, которые могут выпасть):
Всего исходов 36 (6 на 6). Благоприятных исходов 5 ( легко подсчитать в таблице). Вероятность того, что в сумме выпадет 8 очков, равна: 5/36≈0, 14.
№ 24. В случайном эксперименте симметричную монету бросают дважды. Найдите вероятность того, что орел выпадет ровно один раз.
Решение: 1способ. Найдем число возможных исходов, перебрав все варианты бросков. Составим таблицу, т.к. при решении подобных задач это удобно.
Всего возможных исходов 4. Орел выпадет один раз во втором и третьем вариантах. То есть число благоприятных исходов 2. Вероятность того, что орел выпадет ровно один раз равна: 2/4=0,5.
Найдем все комбинации при двух бросках, когда орел выпадает ровно один раз:
Вероятность выпадения орла (впрочем, как и решки) при одном броске равна 0, 5.
Найдем вероятность выпадения первой комбинации: орел и решка. Решка при втором броске должна выпасть при условии выпадения орла при первом броске, значит, применяем теорему о произведении :0,5*0,5=0,25.
Вероятность выпадения второй комбинации находим так же:0,5*0,5=0,25.
Вероятность появления одной из этих комбинаций находим, как сумму вероятностей:
№ 25. Перед началом матча по футболу судья бросает монету, что бы определить, какая из команд будет первая владеть мячом. Команда «Белые» по очереди играет с командами «Красные», «Синие», и «Зеленые». Найдите вероятность того, что ровно в одном матче право первой владеть мячом получит команда «Белые».
Решение: Пусть разыгрывается первенство владения мячом между командами «Белые» и «Красные». При бросании монеты вероятность того, что право владеть мячом первой у команды «Белые» равна 0,5. Вероятность, что у неё не будет этого права тоже равна 0,5. Такие же вероятности будут и при разыгрывании первенства владения мячом по отношению команд «Синие» и «Зеленые».
Для того, что бы ровно в одном матче право первой владеть мячом получила команда «Белые» рассмотрим все возможные расклады:
Других раскладов, учитывая условие задачи, быть не может.
Т.к. каждый из этих раскладов независимые события, из которых должно произойти одно,
то искомую вероятность находим как сумму: 0,125+0,125+0,125 = 0,375.
№ 26. Если гроссмейстер А играет белыми, то он выигрывает у гроссмейстера Б с вероятностью 0,6. Если А играет чёрными, то А выигрывает у Б с вероятностью 0,4. Гроссмейстеры А и Б играют две партии, причем АО второй партии меняют цвет фигур. Найдите вероятность того, что А выиграет оба раза.
Решение: Один раз гроссмейстер А будет играть белыми и вероятность его выигрыша в этом случае согласно условию равна 0,6. Второй раз гроссмейстер А будет играть обязательно черными (т.к. цвет фигур меняется) и вероятность его выигрыша равна в этом случае 0,4. Поскольку эти два события совместны, то их вероятности перемножаем: 0,6*0,4=0,24.
№ 27. В некоторой местности наблюдении показали:
Если июньское утро ясное, то вероятность дождя в этот день 0,1.
Если июньское утро пасмурное, то вероятность дождя в течение дня равна 0,4.
Вероятность того, что утро в июне будет пасмурным, равна 0,3.
Найдите вероятность того, что в случайно взятый июньский день дождя не будет.
Решение: Возьмем случайно взятый июньский день. Утро в этот день может быть пасмурным( вероятность 0,3) или ясным (вероятность 1-0,3=0,7). Если утро пасмурное, то вероятность того, что дождя не будет равна 1-0,4=0,6. Найдем вероятность того, что в при пасмурном утре пойдет дождь: 0,3*0,6=0,18 (вероятности перемножаются, потому что эти события совместные).
Если утро ясное, то вероятность, что дождя не будет равна 1-0,1=0,9. Найдем вероятность того, что при ясном утре пойдет дождь: 0,7*0,9=0,63 (вероятности перемножаются, потому что эти события совместные). Вероятность появления одного из двух несовместных событий, безразлично какого, равна сумме вероятностей этих событий: 0,18+0,63=0,81.
№ 28. Две фабрики выпускают одинаковые стёкла для автомобильных фар.
Решение: 0,3*0,03=0,009 0,7*0,04=0,028 0,028+0,009=0,037. В ответе ответ:0,043.
Типовые тестовые задания «Математика. ЕГЭ» 2013 г. под ред. А.Л. Семенова, И.В. Ященко. Изд-во «Экзамен» Москва 2013.
«ЕГЭ. 2013. Математика» Авторы-составители: И.Р.Высоцкий, Д.Д. Гущин. АСТ. Астрель. Москва
Задание №4. Теория вероятностей
Дидактический материал в помощь учителю по математике для подготовки учащихся 11 классов к ЕГЭ 2020
Просмотр содержимого документа
«Задание №4. Теория вероятностей»
Задание № 4. Теория вероятностей.
1. В среднем из 900 садовых насосов, поступивших в продажу, 27 подтекают. Найдите вероятность того, что один случайно выбранный для контроля насос не подтекает.
2. В фирме такси в наличии 50 легковых автомобилей; 27 из них чёрного цвета с жёлтыми надписями на бортах, остальные — жёлтого цвета с чёрными надписями. Найдите вероятность того, что на случайный вызов приедет машина жёлтого цвета с чёрными надписями.
3. В чемпионате по гимнастике участвуют 70 спортсменок: 25 из США, 17 из Мексики, остальные из Канады. Порядок, в котором выступают гимнастки, определяется жребием. Найдите вероятность того, что спортсменка, выступающая первой, окажется из Канады.
4. В соревнованиях по толканию ядра участвуют 4 спортсмена из Финляндии, 7 спортсменов из Дании, 9 спортсменов из Швеции и 5 — из Норвегии. Порядок, в котором выступают спортсмены, определяется жребием. Найдите вероятность того, что спортсмен, выступающий последним, окажется из Швеции.
5. В сборнике билетов по истории всего 50 билетов, в 13 из них встречается вопрос про Александра Второго. Найдите вероятность того, что в случайно выбранном на экзамене билете школьнику не достанется вопрос про Александра Второго.
6. Вероятность того, что новый DVD-проигрыватель в течение года поступит в гарантийный ремонт, равна 0,045. В некотором городе из 1000 проданных DVD-проигрывателей в течение года в гарантийную мастерскую поступила 51 штука. На сколько отличается частота события «гарантийный ремонт» от его вероятности в этом городе?
7. Фабрика выпускает сумки. В среднем 8 сумок из 100 имеют скрытые дефекты. Найдите вероятность того, что купленная сумка окажется без дефектов.
8. Фабрика выпускает сумки. В среднем на 130 качественных сумок приходится 20 сумок, имеющих дефекты. Найдите вероятность того, что выбранная в магазине сумка окажется с дефектом. Результат округлите до сотых.
9. В некотором городе из 5000 появившихся на свет младенцев 2512 мальчиков. Найдите частоту рождения девочек в этом городе. Результат округлите до тысячных.
10. В кармане у Миши было четыре конфеты — «Грильяж», «Белочка», «Коровка» и «Ласточка», а также ключи от квартиры. Вынимая ключи, Миша случайно выронил из кармана одну конфету. Найдите вероятность того, что потерялась конфета «Грильяж».
11. На клавиатуре телефона 10 цифр, от 0 до 9. Какова вероятность того, что случайно нажатая цифра будет чётной?
12. Из множества натуральный чисел от 10 до 24 выбирают одно число. Какова вероятность того, что оно делится на 5?
13. Механические часы с двенадцатичасовым циферблатом в какой-то момент сломались и перестали идти. Найдите вероятность того, что часовая стрелка остановилась, достигнув отметки 10, но не дойдя до отметки 1.
14. На экзамене по геометрии школьник отвечает на один вопрос из списка экзаменационных вопросов. Вероятность того, что это вопрос по теме «Вписанная окружность», равна 0,2. Вероятность того, что это вопрос по теме «Внешние углы», равна 0,35. Вопросов, которые одновременно относятся к этим двум темам, нет. Найдите вероятность того, что на экзамене школьнику достанется вопрос по одной из этих двух тем.
15. На столе лежат цветные ручки: три синие, две красные, шесть чёрных и четыре зелёных. В школе разрешают писать либо синей, либо черной ручкой. Коля случайно берёт со стола ручку. С какой вероятностью выбранная ручка подойдет для школы?
16. На рисунке изображён лабиринт. Паук заползает в лабиринт в точке «Вход». Развернуться и ползти назад паук не может, поэтому на каждом разветвлении паук выбирает один из путей, по которому ещё не полз. Считая, что выбор дальнейшего пути чисто случайный, определите, с какой вероятностью паук придёт к выходу D.
17. Вероятность того, что на тестировании по математике учащийся А. верно решит больше 9 задач, равна 0,63. Вероятность того, что А. верно решит больше 8 задач, равна 0,75. Найдите вероятность того, что А. верно решит ровно 9 задач.
18.Вероятность того, что в случайный момент времени температура тела здорового человека окажется ниже 36,8°C, равна 0,94. Найдите вероятность того, что в случайный момент времени у здорового человека температура тела окажется 36,8° C или выше.
19. Из районного центра в деревню ежедневно ходит автобус. Вероятность того, что в понедельник в автобусе окажется меньше 18 пассажиров, равна 0,82. Вероятность того, что окажется меньше 10 пассажиров, равна 0,51. Найдите вероятность того, что число пассажиров будет от 10 до 17.
20. Вероятность того, что новый тостер прослужит больше года, равна 0,93. Вероятность того, что он прослужит больше двух лет, равна 0,82. Найдите вероятность того, что он прослужит меньше двух лет, но больше года.
21. При изготовлении подшипников диаметром 67 мм вероятность того, что диаметр будет отличаться от заданного не больше, чем на 0,01 мм, равна 0,965. Найдите вероятность того, что случайный подшипник будет иметь диаметр меньше, чем 66,99 мм, или больше, чем 67,01 мм.
22. На борту самолёта 12 кресел расположены рядом с запасными выходами и 18 — за перегородками, разделяющими салоны. Все эти места удобны для пассажира высокого роста. Остальные места неудобны. Пассажир В. высокого роста. Найдите вероятность того, что на регистрации при случайном выборе места пассажиру В. достанется удобное место, если всего в самолёте 300 мест.
23. В группе туристов 30 человек. Их вертолётом в несколько приёмов забрасывают в труднодоступный район по 6 человек за рейс. Порядок, в котором вертолёт перевозит туристов, случаен. Найдите вероятность того, что турист П. полетит первым рейсом вертолёта.
24. В группе туристов 8 человек. С помощью жребия они выбирают шестерых человек, которые должны идти в село в магазин за продуктами. Какова вероятность того, что турист Д., входящий в состав группы, пойдёт в магазин?
25. Почти одновременно 8 человек, в том числе Андрей, заказали по телефону пиццу, все разных видов. Оператор перепутал 3 и 5 заказы. С какой вероятностью Андрею привезут его пиццу?
26. В чемпионате мира участвуют 16 команд. С помощью жребия их нужно разделить на четыре группы по четыре команды в каждой. В ящике вперемешку лежат карточки с номерами групп: 1, 1, 1, 1, 2, 2, 2, 2, 3, 3, 3, 3, 4, 4, 4, 4. Капитаны команд тянут по одной карточке. Какова вероятность того, что команда России окажется во второй группе?
27. По отзывам покупателей Иван Иванович оценил надёжность двух интернет-магазинов. Вероятность того, что нужный товар доставят из магазина А, равна 0,8. Вероятность того, что этот товар доставят из магазина Б, равна 0,9. Иван Иванович заказал товар сразу в обоих магазинах. Считая, что интернет-магазины работают независимо друг от друга, найдите вероятность того, что ни один магазин не доставит товар.
28. Вероятность того, что батарейка бракованная, равна 0,06. Покупатель в магазине выбирает случайную упаковку, в которой две таких батарейки. Найдите вероятность того, что обе батарейки окажутся исправными.
29. Если шахматист А. играет белыми фигурами, то он выигрывает у шахматиста Б. с вероятностью 0,5. Если А. играет чёрными, то А. выигрывает у Б.с вероятностью 0,32. Шахматисты А. и Б. играют две партии, причём во второй партии меняют цвет фигур. Найдите вероятность того, что А. выиграет оба раза.
30. Если шахматист А. играет белыми фигурами, то он выигрывает у шахматиста Б. с вероятностью 0,52. Если А. играет черными, то А. выигрывает у Б. с вероятностью 0,3. Шахматисты А. и Б. играют две партии, причём во второй партии меняют цвет фигур. Найдите вероятность того, что А. проиграет оба раза.
31. Биатлонист стреляет два раза по мишени. Вероятность попадания в мишень равна 0,7. Найдите вероятность того, что биатлонист первый раз попадет, а второй раз промахнется.
32. Биатлонист пять раз стреляет по мишеням. Вероятность попадания в мишень при одном выстреле равна 0,8. Найдите вероятность того, что биатлонист первые три раза попал в мишени, а последние два промахнулся. Результат округлите до сотых.
33. В магазине три продавца. Каждый из них занят с клиентом с вероятностью 0,3 независимо от других продавцов. Найдите вероятность того, что в случайный момент времени все три продавца заняты одновременно.
34. Комната освещается светильником с двумя лампами. Вероятность перегорания одной лампы в течении года равна 0,6. Найдите вероятность того, в течение года что перегорят обе лампы.
35. Комната освещается светильником с двумя лампами. Вероятность перегорания одной лампы в течении года равна 0,3. Найдите вероятность того, что в течение года перегорит только одна лампа.
36. Комната освещается фонарем с тремя лампами. Вероятность перегорания одной лампы в течении года равна 0,2. Найдите вероятность того, что в течение года не перегорит хотя бы одна лампа.
37. В магазине стоят два платёжных автомата. Каждый из них может быть неисправен с вероятностью 0,05 независимо от другого автомата. Найдите вероятность того, что хотя бы один автомат исправен.
38. Чтобы пройти в следующий круг соревнований, футбольной команде нужно набрать хотя бы 4 очка в двух играх. Если команда выигрывает, она получает 3 очка, в случае ничьей — 1 очко, если проигрывает — 0 очков. Найдите вероятность того, что команде удастся выйти в следующий круг соревнований. Считайте, что в каждой игре вероятности выигрыша и проигрыша одинаковы и равны 0,3.
39. Перед началом первого тура чемпионата по теннису участников разбивают на игровые пары случайным образом с помощью жребия. Всего в чемпионате участвует 76 теннисистов, среди которых 7 спортсменов из России, в том числе Анатолий Москвин. Найдите вероятность того, что в первом туре Анатолий Москвин будет играть с каким-либо теннисистом из России.
Задание № 4. Теория вероятностей.
40. Перед началом первого тура чемпионата по шахматам участников разбивают на игровые пары случайным образом с помощью жребия. Всего в чемпионате участвует 26 шахматистов, среди которых 5 спортсменов из России, в том числе Кирилл Черноусов. Найдите вероятность того, что в первом туре Кирилл Черноусов не будет играть с шахматистом из России.
41. В классе 16 учащихся, среди них два друга — Вадим и Сергей. Учащихся случайным образом разбивают на 4 равные группы. Найдите вероятность того, что Вадим и Сергей окажутся в одной группе.
42. В классе 21 шестиклассник, среди них два друга — Митя и Петя. Класс случайным образом делят на три группы, по 7 человек в каждой. Найдите вероятность того, что Митя и Петя окажутся в разных группах.
43. На олимпиаде по русскому языку 350 участников разместили в трёх аудиториях. В первых двух удалось разместить по 140 человек, оставшихся перевели в запасную аудиторию в другом корпусе. Найдите вероятность того, что случайно выбранный участник писал олимпиаду в запасной аудитории.
44. Научная конференция проводится в 4 дня. Всего запланировано 80 докладов — первые два дня по 12 докладов, остальные распределены поровну между третьим и четвёртым днями. На конференции планируется доклад профессора М. Порядок докладов определяется жеребьёвкой. Какова вероятность, что доклад профессора М. окажется запланированным на последний день конференции?
45. Конкурс исполнителей проводится в 5 дней. Всего заявлено 80 выступлений — по одному от каждой страны, участвующей в конкурсе. В первый день запланировано 8 выступлений, остальные распределены поровну между оставшимися днями. Порядок выступлений определяется жеребьёвкой. Какова вероятность, что выступление исполнителя из России состоится в третий день конкурса?
46. Дима, Марат, Петя, Надя и Света бросили жребий — кому начинать игру. Найдите вероятность того, что начинать игру должен будет мальчик.
47. Вася, Петя, Коля и Лёша бросили жребий — кому начинать игру. Найдите вероятность того, что начинать игру должен будет Петя.
48. Миша, Олег, Настя и Галя бросили жребий — кому начинать игру. Найдите вероятность того, что начинать игру должна будет не Галя.
49. Перед началом футбольного матча судья бросает монетку, чтобы определить, какая из команд начнёт игру с мячом. Команда «Биолог» играет три матча с разными командами. Найдите вероятность того, что в этих матчах команда «Биолог» начнёт игру с мячом все три раза.
50. Перед началом волейбольного матча капитаны команд тянут честный жребий, чтобы определить, какая из команд начнёт игру с мячом. Команда «Статор» по очереди играет с командами «Ротор», «Мотор» и «Стартер». Найдите вероятность того, что «Статор» будет начинать только первую и последнюю игры.
51. Перед началом футбольного матча судья бросает монетку, чтобы определить, какая из команд начнёт игру с мячом. Команда «Физик» играет три матча с разными командами. Найдите вероятность того, что в этих играх «Физик» выиграет жребий ровно два раза.
52. Перед началом футбольного матча судья бросает монетку, чтобы определить, какая из команд начнёт игру с мячом. Команда «Сапфир» играет три матча с разными командами. Найдите вероятность того, что в этих матчах команда «Сапфир» начнёт игру с мячом не более одного раза.
53. В случайном эксперименте симметричную монету бросают дважды. Найдите вероятность того, что орёл не выпадет ни разу.
54. В случайном эксперименте симметричную монету бросают дважды. Найдите вероятность того, что орёл выпадет ровно один раз.
55. В случайном эксперименте симметричную монету бросают трижды. Найдите вероятность того, что решка выпадет все три раза.
56. В случайном эксперименте симметричную монету бросают четырежды. Найдите вероятность того, что орёл выпадет ровно два раза.
57. В случайном эксперименте симметричную монету бросают дважды. Найдите вероятность того, что количество выпавших орлов меньше 2.
58. В случайном эксперименте симметричную монету бросают трижды. Найдите вероятность того, что орлов выпало больше, чем решек.
59. В случайном эксперименте бросают две игральные кости (кубика). Найдите вероятность того, что в сумме выпадет 7 очков. Результат округлите до сотых.
60. В случайном эксперименте бросают две игральные кости. Найдите вероятность того, что сумма выпавших очков равна 5 или 6.
61. В случайном эксперименте бросают две игральные кости. Найдите вероятность того, что произведение выпавших очков делится на 5, но не делится на 30.
62. В случайном эксперименте бросают две игральные кости. Найдите вероятность того, что разница выпавших очков равна 1 или 2.
63. В случайном эксперименте бросают две игральные кости. Найдите вероятность того, что произведение выпавших очков — чётное число.
64. Два игральных кубика бросают одновременно один раз. Найдите вероятность того, что выпадет не дубль (одинаковые очки на двух кубиках). Ответ округлите до сотых.
65. Игральный кубик бросают 2 раза. С какой вероятностью выпавшие числа будут отличаться на 3? Ответ округлите до сотых.
66. Игральный кубик бросают 2 раза. С какой вероятностью сумма выпавших очков будет меньше 5? Ответ округлите до сотых.
67. За круглый стол на 9 стульев в случайном порядке рассаживаются 7 мальчиков и 2 девочки. Найдите вероятность того, что обе девочки будут сидеть рядом.
68. За круглый стол на 5 стульев в случайном порядке рассаживаются 3 мальчиков и 2 девочки. Найдите вероятность того, что обе девочки не будут сидеть рядом.
69. В торговом центре два одинаковых автомата продают кофе. Вероятность того, что к концу дня в автомате закончится кофе, равна 0,3. Вероятность того, что кофе закончится в обоих автоматах, равна 0,12. Найдите вероятность того, что к концу дня кофе останется в обоих автоматах.
70. В Волшебной стране бывает два типа погоды: хорошая и отличная, причём погода, установившись утром, держится неизменной весь день. Известно, что с вероятностью 0,8 погода завтра будет такой же, как и сегодня. Сегодня 3 июля, погода в Волшебной стране хорошая. Найдите вероятность того, что 5 июля в Волшебной стране будет хорошая погода.
71. На рок-фестивале выступают группы — по одной от каждой из заявленных стран. Порядок выступления определяется жребием. Какова вероятность того, что группа из Дании будет выступать после группы из Швеции и после группы из Норвегии? Результат округлите до сотых.
72. Автоматическая линия изготавливает батарейки. Вероятность того, что готовая батарейка неисправна, равна 0,02. Перед упаковкой каждая батарейка проходит систему контроля. Вероятность того, что система забракует неисправную батарейку, равна 0,99. Вероятность того, что система по ошибке забракует исправную батарейку, равна 0,01. Найдите вероятность того, что случайно выбранная изготовленная батарейка будет забракована системой контроля.
73. Две фабрики выпускают одинаковые стёкла для автомобильных фар. Первая фабрика выпускает 45% этих стёкол, вторая –– 55%. Первая фабрика выпускает 3% бракованных стёкол, а вторая –– 1%. Найдите вероятность того, что случайно купленное в магазине стекло окажется бракованным.
74. Ковбой Джон попадает в муху на стене с вероятностью 0,9, если стреляет из пристрелянного револьвера. Если Джон стреляет из не пристрелянного револьвера, то он попадает в муху с вероятностью 0,2. На столе лежит 10 револьверов, из них только 4 пристрелянные. Ковбой Джон видит на стене муху, наудачу хватает первый попавшийся револьвер и стреляет в муху. Найдите вероятность того, что Джон промахнётся.
75. Всем пациентам с подозрением на гепатит делают анализ крови. Если анализ выявляет гепатит, то результат анализа называется положительным. У больных гепатитом пациентов анализ даёт положительный результат с вероятностью 0,9. Если пациент не болен гепатитом, то анализ может дать ложный положительный результат с вероятностью 0,01. Известно, что 5% пациентов, поступающих с подозрением на гепатит, действительно больны гепатитом. Найдите вероятность того, что результат анализа у пациента, поступившего в клинику с подозрением на гепатит, будет положительным.
76. При артиллерийской стрельбе автоматическая система делает выстрел по цели. Если цель не уничтожена, то система делает повторный выстрел. Выстрелы повторяются до тех пор, пока цель не будет уничтожена. Вероятность уничтожения некоторой цели при первом выстреле равна 0,4, а при каждом последующем — 0,6. Сколько выстрелов потребуется для того, чтобы вероятность уничтожения цели была не менее 0,8?
77. Чтобы поступить в институт на специальность «Лингвистика», абитуриент должен набрать на ЕГЭ не менее 70 баллов по каждому из трёх предметов — математика, русский язык и иностранный язык. Чтобы поступить на специальность «Коммерция», нужно набрать не менее 70 баллов по каждому из трёх предметов — математика, русский язык и обществознание. Вероятность того, что абитуриент З. получит не менее 70 баллов по математике, равна 0,6, по русскому языку — 0,8, по иностранному языку — 0,7 и по обществознанию — 0,5. Найдите вероятность того, что З. сможет поступить хотя бы на одну из двух упомянутых специальностей.
78. На фабрике керамической посуды 10% произведённых тарелок имеют дефект. При контроле качества продукции выявляется 80% дефектных тарелок. Остальные тарелки поступают в продажу. Найдите вероятность того, что случайно выбранная при покупке тарелка не имеет дефектов. Ответ округлите до сотых.
79. Агрофирма закупает куриные яйца в двух домашних хозяйствах. 40% яиц из первого хозяйства — яйца высшей категории, а из второго хозяйства — 20% яиц высшей категории. Всего высшую категорию получает 35% яиц. Найдите вероятность того, что яйцо, купленное у этой агрофирмы, окажется из первого хозяйства.