Найти матрицу х если известно что
Решение матричных уравнений
Финальная глава саги.
Линейная алгебра и, в частности, матрицы — это основа математики нейросетей. Когда говорят «машинное обучение», на самом деле говорят «перемножение матриц», «решение матричных уравнений» и «поиск коэффициентов в матричных уравнениях».
Понятно, что между простой матрицей в линейной алгебре и нейросетью, которая генерирует котов, много слоёв усложнений, дополнительной логики, обучения и т. д. Но здесь мы говорим именно о фундаменте. Цель — чтобы стало понятно, из чего оно сделано.
Краткое содержание прошлых частей:
И вот наконец мы здесь: если мы можем перемножать матрицы, то мы можем и решить матричное уравнение.
❌ Никакого практического применения следующего материала в народном хозяйстве вы не увидите. Это чистая алгебра в несколько упрощённом виде. Отсюда до практики далёкий путь, поэтому, если нужно что-то практическое, — посмотрите, как мы генерим Чехова на цепях Маркова.
Что такое матричное уравнение
Матричное уравнение — это когда мы умножаем известную матрицу на матрицу Х и получаем новую матрицу. Наша задача — найти неизвестную матрицу Х.
Шаг 1. Упрощаем уравнение
Вместо известных числовых матриц вводим в уравнение буквы: первую матрицу обозначаем буквой A, вторую — буквой B. Неизвестную матрицу X оставляем. Это упрощение поможет составить формулу и выразить X через известную матрицу.
Приводим матричное уравнение к упрощённому виду
Шаг 2. Вводим единичную матрицу
В линейной алгебре есть два вспомогательных понятия: обратная матрица и единичная матрица. Единичная матрица состоит из нулей, а по диагонали у неё единицы. Обратная матрица — это такая, которая при умножении на исходную даёт единичную матрицу.
Можно представить, что есть число 100 — это «сто в первой степени», 100 1
Вот такое, только в мире матриц.
Добавляем единичную матрицу и упрощаем запись:
После введения единичной матрицы мы нашли способ выражения неизвестной матрицы X через известные матрицы A и B.
Шаг 3. Находим обратную матрицу
Вспоминаем формулу и порядок расчёта обратной матрицы:
Собираем формулу и получаем обратную матрицу. Для удобства умышленно оставляем перед матрицей дробное число, чтобы было проще считать.
Третье действие: получаем обратную матрицу
Шаг 4. Вычисляем неизвестную матрицу
Решаем матричное уравнение и находим неизвестную матрицу X. Мы получили кратные числа и внесли дробь в матрицу
Шаг 5. Проверяем уравнение
Мы решили матричное уравнение и получили красивый ответ с целыми числами. Выглядит правильно, но в случае с матрицами этого недостаточно. Чтобы проверить ответ, нам нужно вернуться к условию и умножить исходную матрицу A на матрицу X. В результате должна появиться матрица B. Если расчёты совпадут — мы всё сделали правильно. Если будут отличия — придётся решать заново.
👉 Часто начинающие математики пренебрегают финальной проверкой и считают её лишней тратой времени. Сегодня мы разобрали простое уравнение с двумя квадратными матрицами с четырьмя элементами в каждой. Когда элементов будет больше, в них легко запутаться и допустить ошибку.
Проверяем ответ и получаем матрицу B — наши расчёты верны
Ну и что
Алгоритм решения матричных уравнений несложный, если знать отдельные его компоненты. Дальше на основе этих компонентов математики переходят в более сложные пространства: работают с многомерными матрицами, решают более сложные уравнения, постепенно выходят на всё более и более абстрактные уровни. И дальше, в конце пути, появляется датасет из миллионов котиков. Этот датасет раскладывается на пиксели, каждый пиксель оцифровывается, цифры подставляются в матрицы, и уже огромный алгоритм в автоматическом режиме генерирует изображение нейрокотика:
Матричный калькулятор онлайн
Предупреждение
Инструкция матричного онлайн калькулятора
Кнопка 
в верхем левом углу матрицы открывает меню (Рис.1) для преобразования исходной матрицы (создание единичной матрицы 
, нулевой матрицы 
, очищать содержимое ячеек 
) и т.д.
При вычислениях пустая ячейка воспринимается как нуль.
Кнопки Fn1, Fn2 и Fn3 переключают разные группы функциий.
Нажимая на вычисленных матрицах открывается меню (Рис.2), что позволяет записать данную матрицу в исходные матрицы 
и 
, а также преобразовать на месте элементы матрицы в обыкновенную дробь, смешанную дробь или в десятичное число.
Вычисление суммы, разности, произведения матриц онлайн
Матричным онлайн калькулятором можно вычислить сумму, разность или произведение матриц. Для вычисления суммы или разности матриц, необходимо, чтобы они были одинаковой размерности, а для вычисления произведения матриц, количество столбцов первой матрицы должен быть равным количеству строк второй матрицы.
Для вычисления суммы, разности или произведения матриц:
Вычисление обратной матрицы онлайн
Матричным онлайн калькулятором можно вычислить обратную матрицу. Для того, чтобы существовала обратная матрица, исходная матрица должна быть невырожденной квадратной матрицей.
Для вычисления обратной матрицы:
Для подробного вычисления обратной матрицы по шагам, пользуйтесь этим калькулятором для вычисления обратной матрицы. Теорию вычисления обратной матрицы смотрите здесь.
Вычисление определителя матрицы онлайн
Матричным онлайн калькулятором можно вычислить определитель матрицы. Для того, чтобы существовал определитель матрицы, исходная матрица должна быть невырожденной квадратной матрицей.
Для вычисления определителя матрицы:
Для подробного вычисления определителя матрицы по шагам, пользуйтесь этим калькулятором для вычисления определителя матрицы. Теорию вычисления определителя матрицы смотрите здесь.
Вычисление ранга матрицы онлайн
Матричным онлайн калькулятором можно вычислить ранг матрицы.
Для вычисления ранга матрицы:
Для подробного вычисления ранга матрицы по шагам, пользуйтесь этим калькулятором для вычисления ранга матрицы. Теорию вычисления ранга матрицы смотрите здесь.
Вычисление псевдообратной матрицы онлайн
Матричным онлайн калькулятором можно вычислить псевдообратную матрицу. Псевдообратная к данной матрице всегда существует.
Для вычисления псевдообратной матрицы:
Удаление линейно зависимых строк или столбцов матрицы онлайн
Матричным онлайн калькулятор позволяет удалить из матрицы линейно зависимые строки или столбцы, т.е. создать матрицу полного ранга.
Для удаления линейно зависимых строк или столбцов матрицы:
Скелетное разложение матрицы онлайн
Для проведения скелетного разложения матрицы онлайн
Решение матричного уравнения или системы линейных уравнений AX=B онлайн
Для решения матричного уравнения:
Исключение Гаусса или приведение матрицы к треугольному (ступенчатому) виду онлайн
Матричный онлайн калькулятор проводит исключение Гаусса как для квадратных матриц, так и прямоугольных матриц любого ранга. Сначала проводится обычный метод Гаусса. Если на каком то этапе ведущий элемент равен нулю, то выбирается другой вариант исключения Гаусса с выбором наибольшего ведущего элемента в столбце.
Для исключения Гаусса или приведения матрицы к треугольному виду
LU-разложение или LUP-разложение матрицы онлайн
Построение ядра (нуль-пространства) матрицы онлайн
С помощью матричного калькулятора можно построить нуль-пространство (ядро) матрицы.
Для построения нуль-пространства (ядра) матрицы:
Ортогонализация Грамма-Шмидта и Ортонормализация Грамма-Шмидта онлайн
С помощью матричного калькулятора можно сделать ортогонализацию и ортонормализацию Грамма-Шмидта матрицы онлайн.
Для ортогонализации или ортонормализации матрицы: