Как доказать что число кратно числу

Применение метода математической индукции к решению задач на делимость натуральных чисел

Рубрика: Математика: алгебра и начала анализа, геометрия

Дата публикации: 02.05.2015 2015-05-02

Статья просмотрена: 9469 раз

Библиографическое описание:

Баданин, А. С. Применение метода математической индукции к решению задач на делимость натуральных чисел / А. С. Баданин, М. Ю. Сизова. — Текст : непосредственный // Юный ученый. — 2015. — № 2 (2). — С. 84-86. — URL: https://moluch.ru/young/archive/2/128/ (дата обращения: 13.12.2021).

В математических олимпиадах часто встречаются достаточно трудные задачи на доказательство делимости натуральных чисел. Перед школьниками возникает проблема: как найти универсальный математический метод, позволяющий решать подобные задачи?

Оказывается, большинство задач на доказательство делимости можно решать методом математической индукции, но в школьных учебниках уделяется очень мало внимания этому методу, чаще всего приводится краткое теоретическое описание и разбирается несколько задач.

Метод математической индукции мы находим в теории чисел. На заре теории чисел математики открыли многие факты индуктивным путем: Л. Эйлер и К. Гаусс рассматривали подчас тысячи примеров, прежде чем подметить числовую закономерность и поверить в нее. Но одновременно они понимали, сколь обманчивыми могут быть гипотезы, прошедшие «конечную» проверку. Для индуктивного перехода от утверждения, проверенного для конечного подмножества, к аналогичному утверждению для всего бесконечного множества необходимо доказательство. Такой способ предложил Блез Паскаль, который нашел общий алгоритм для нахождения признаков делимости любого целого числа на любое другое целое число (трактат «О характере делимости чисел).

Метод математической индукции используется, чтобы доказать путем рассуждений истинность некоего утверждения для всех натуральных чисел или истинность утверждения начиная с некоторого числа n.

Решение задач на доказательство истинности некоторого утверждения методом математической индукции состоит из четырех этапов (рис. 1):

Рис. 1. Схема решения задачи

1. Базис индукции. Проверяют справедливость утверждения для наименьшего из натуральных чисел, при котором утверждение имеет смысл.

2. Индукционное предположение. Предполагаем, что утверждение верно для некоторого значения k.

3. Индукционный переход. Доказываем, что утверждение справедливо для k+1.

4. Вывод. Если такое доказательство удалось довести до конца, то, на основе принципа математической индукции можно утверждать, что утверждение верно для любого натурального числа n.

Рассмотрим применение метода математической индукции к решению задач на доказательство делимости натуральных чисел.

Пример 1. Доказать, что число 5 кратно 19, где n — натуральное число.

1) Проверим, что эта формула верна при n = 1: число =19 кратно 19.

2) Пусть эта формула верна для n = k, т. е. число кратно 19.

3) Докажем, что формула верна и для n = k + 1, т. е.

кратно 19. Действительно, первое слагаемое делится на 19 в силу предположения (2); второе слагаемое тоже делится на 19, потому что содержит множитель 19.

4) Оба условия принципа математической индукции выполнены, следовательно, предложение истинно при всех значениях n.

Пример 2. Доказать, что сумма кубов трех последовательных натуральных чисел делится на 9.

Докажем утверждение: «Для любого натурального числа n выражение n 3 +(n+1) 3 +(n+2) 3 кратно 9.

1) Проверим, что эта формула верна при n = 1: 1₃+2₃+3₃=1+8+27=36 кратно 9.

2) Пусть эта формула верна для n = k, т. е. k 3 +(k+1) 3 +(k+2) 3 кратно 9.

3) Докажем, что формула верна и для n = k + 1, т. е. (k+1) 3 +(k+2) 3 +(k+3) 3 кратно 9. (k+1) 3 +(k+2) 3 +(k+3) 3 =(k+1) 3 +(k+2) 3 + k 3 + 9k 2 +27 k+ 27=(k 3 +(k+1) 3 +(k+2) 3 )+9(k 2 +3k+ 3).

Полученное выражение содержит два слагаемых, каждое из которых делится на 9, таким образом, сумма делится на 9.

4) Оба условия принципа математической индукции выполнены, следовательно, предложение истинно при всех значениях n.

Пример 3. Доказать, что при любом натуральном n число 3 2n+1 +2 n+2 делится на 7.

1) Проверим, что эта формула верна при n = 1: 3 2*1+1 +2 1+2 = 3 3 +2 3 =35, 35 кратно 7.

2) Пусть эта формула верна для n = k, т. е. 3 2 k +1 +2 k +2 делится на 7.

3) Докажем, что формула верна и для n = k + 1, т. е.

4) Оба условия принципа математической индукции выполнены, следовательно, предложение истинно при всех значениях n.

Многие задачи на доказательство в теории делимости натуральных чисел удобно решать с применением метода математической индукции, можно даже сказать, что решение задач данным методом вполне алгоритмизировано, достаточно выполнить 4 основных действия. Но универсальным этот метод назвать нельзя, т. к. присутствуют и недостатки: во-первых, доказывать можно только на множестве натуральных чисел, а во-вторых, доказывать можно только для одной переменной.

Для развития логического мышления, математической культуры этот метод является необходимым инструментом, ведь ещё великий русский математик А. Н. Колмогоров говорил: «Понимание и умение правильно применять принцип математической индукции, является хорошим критерием логической зрелости, которая совершенно необходима математику».

1. Виленкин Н. Я. Индукция. Комбинаторика. — М.: Просвещение, 1976. — 48 с.

2. Генкин Л. О математической индукции. — М., 1962. — 36 с.

3. Соломинский И. С. Метод математической индукции. — М.: Наука, 1974. — 63с.

4. Шарыгин И. Ф. Факультативный курс по математике: Решение задач: Учеб.пособие для 10 кл. сред.шк. — М.: Просвещение, 1989. — 252 с.

5. Шень А. Математическая индукция. — М.: МЦНМО,2007.- 32 с.

Источник

Доказательство кратности и уравнение

Существует обратная задача – разложить многочлен на множители, она решается также с помощью формул сокращенного умножения.

Пример 6: доказать что число кратно 25:

Очевидно, что если мы будем выполнять все вычисления, это будет сложно и долго, но если заметить формулу, то работа значительно упрощается. Итак, мы видим разность кубов. Распишем выражение:

В результате преобразований мы получили выражение, один из множителей которого равен 25, очевидно, что это выражение кратно 25.

Пример 7: решить уравнение:

Напомним, что решить уравнение – означает найти такие значения х, которые обращают выражение в верное числовое равенство. Распишем в уравнении квадрат суммы и разность квадратов:

Соберем неизвестные слева, а свободные члены справа и приведем подобные:

Из полученного элементарного уравнения найдем значение х:

Запишем еще несколько формул, которые можно вывести:

– куб суммы (разности)

Чтобы вывести данные формулы, нужно выполнить умножение скобок, и вы убедитесь в их справедливости.

Итоги урока

Вывод: мы рассмотрели формулы сокращенного умножения, записали вид основных из них и некоторые доказали. Мы рассмотрели примеры различной сложности, чтобы окончательно закрепить данный материал.

1. Преобразовать выражение в многочлен:

а) (а – 2)(а + 2); б) (7а + 8в)²; в) (с³ – 0,1)².

2. Решить уравнение:

3. Упростить выражение и найдите его значение:

Урок 5:Повторение. Разложение многочленов на множители.

На данном уроке мы вспомним все изученные методы разложения многочлена на множители, рассмотрим примеры к ним.

1. Методы разложения многочленов на множители.

Напомним, что многочлен есть алгебраическая сумма одночленов, а одночлен – это произведение чисел и степеней.

Вспомним способы разложения многочлена на множители.

1. В каждом члене многочлена может быть общий множитель, отсюда первый способ – метод вынесения общего множителя за скобки, то есть такого множителя, который присутствует во всех членах многочлена. Рассмотрим пример 1, вынесем общий множитель за скобки, для этого определим, какие переменные представлены во всех членах, и вынесем их в минимальной степени:

;

Напомним, что, перемножив вынесенный множитель на скобку, можно проверить правильность вынесения.

В обоих членах есть скобка , в одном в первой, а в другом во второй степени, вынесем минимальную ее степень – первую:

2. Метод группировки. Не всегда в многочлене можно вынести общий множитель. В таком случае нужно его члены разбить на группы таким образом, чтобы в каждой группе можно было вынести общий множитель, и постараться разбить так, чтобы после вынесения множителей в группах появился общий множитель у всего выражения, и можно было бы продолжить разложение. Рассмотрим пример 3:

;

Сгруппируем первый член со вторым, третий с четвертым и вынесем общие множители в группах:

У выражения появился общий множитель. Вынесем его:

;

3. Применение формул сокращенного умножения. Рассмотрим пример 4:

Мы расписали заданный многочлен по известной формуле разности кубов.

Комментарий: мы увидели в заданном многочлене формулу суммы кубов и разложили его.

4. Метод выделения полного квадрата. Он базируется на формулах квадрата суммы и квадрата разности. Напомним их:

– формула квадрата суммы (разности);

Особенность этих формул в том, что в них есть квадраты двух выражений и их удвоенное произведение. Рассмотрим пример 6:

;

Итак, первое выражение – это , а второе должно быть , но не хватает удвоенного произведения. Прибавим и вычтем его:

Свернем полный квадрат разности:

;

Преобразуем полученное выражение, применяя формулу разности квадратов, напомним, что разность квадратов двух выражений есть произведение суммы на их разность:

;

Напомним, что, перемножив скобки, можно проверить правильность разложения.

Подведение итогов урока

Вывод: мы вспомнили все изученные методы разложения многочленов на множители и рассмотрели примеры. Вспомнили определение и некоторые свойства алгебраических дробей, решили несколько типовых задач, с ними связанных.

1. Вынести общий множитель за скобки:

а) 8х – 8у; б) 5ху – 7х; в) 25х³ – 10х² + 5х;

2. Решить уравнение:

а) (7х – 10)(х + 5) = 0; б) 12у² – 60у = 0; в) х³ + х² – 4х – 4 = 0.

3. Докажите, что выражение:

а) 5¹³ – 5¹¹ делится на 24; б) 125³ + 625² делится на 6.

4. Разложите на множители способом группировки:

а) 3(а + с) + х(а + с); б) 6х – 6у + ах – ау;

Урок 6: Повторение. Сис­те­мы двух ли­ней­ных урав­не­ний с двумя пе­ре­мен­ны­ми.

1. Определение системы уравнений с двумя переменными

На­пом­ним, что из себя пред­став­ля­ет си­сте­ма двух ли­ней­ных урав­не­ний с двумя пе­ре­мен­ны­ми. Это си­сте­ма вида:

Из пер­во­го урав­не­ния можно по­лу­чить ли­ней­ную функ­цию, в слу­чае если : . Гра­фик дан­но­го урав­не­ния – пря­мая линия.

Bто­рое ли­ней­ное урав­не­ние:

, из него также можно по­лу­чить ли­ней­ную функ­цию, при усло­вии, что : . Гра­фик дан­но­го урав­не­ния – также пря­мая линия.

За­пи­шем си­сте­му в дру­гом виде:

Мы знаем, что мно­же­ством ре­ше­ний пер­во­го урав­не­ния яв­ля­ет­ся мно­же­ство точек, ле­жа­щих на со­от­вет­ству­ю­щей ему пря­мой, ана­ло­гич­но и для вто­ро­го урав­не­ния мно­же­ство ре­ше­ний – это мно­же­ство точек на дру­гой пря­мой. Две пря­мые могут пе­ре­се­кать­ся – и тогда у си­сте­мы будет един­ствен­ное ре­ше­ние, един­ствен­ная пара чисел х и у будет удо­вле­тво­рять од­но­вре­мен­но обоим урав­не­ни­ям. Это про­ис­хо­дит, если . Две пря­мые также при неко­то­рых зна­че­ни­ях чис­лен­ных па­ра­мет­ров могут быть па­рал­лель­ны, в таком слу­чае они ни­ко­гда не пе­ре­се­кут­ся и не будут иметь ни одной общей точки, зна­чит в этом слу­чае си­сте­ма не будет иметь ре­ше­ний. Для этого долж­ны вы­пол­нять­ся усло­вия: и . Кроме того, две пря­мые могут сов­па­дать, и тогда каж­дая точка будет ре­ше­ни­ем обоих урав­не­ний, а зна­чит си­сте­ма будет иметь бес­чис­лен­ное мно­же­ство ре­ше­ний. Для этого долж­ны вы­пол­нять­ся усло­вия: и .

2. Спо­соб под­ста­нов­ки

На дан­ном урав­не­нии можно про­де­мон­стри­ро­вать сразу несколь­ко спо­со­бов ре­ше­ния си­стем урав­не­ний.

1 спо­соб – спо­соб под­ста­нов­ки: вы­ра­зим во вто­ром урав­не­нии х и под­ста­вим по­лу­чен­ное вы­ра­же­ние в пер­вое урав­не­ние:

Под­ста­вим най­ден­ное зна­че­ние у во вто­рое урав­не­ние и най­дем зна­че­ние х:

3. Спо­соб ал­геб­ра­и­че­ско­го сло­же­ния

2 спо­соб – спо­соб ал­геб­ра­и­че­ско­го сло­же­ния: вы­пол­ним сло­же­ние урав­не­ний:

Из по­лу­чен­но­го урав­не­ния най­дем х:

Те­перь вы­чтем из пер­во­го урав­не­ния си­сте­мы вто­рое:

Таким об­ра­зом, мы по­лу­чи­ли ре­ше­ние си­сте­мы двумя спо­со­ба­ми, и это ре­ше­ние – точка с ко­ор­ди­на­та­ми (2; 1).

4. Си­сте­мы урав­не­ний с одним ре­ше­ни­ем

В дан­ном слу­чае удоб­нее при­ме­нить спо­соб ал­геб­ра­и­че­ско­го сло­же­ния, вы­чтем из вто­ро­го урав­не­ния пер­вое. По­лу­ча­ем:

Под­ста­вим зна­че­ние у во вто­рое урав­не­ние и най­дем х:

В дан­ной си­сте­ме нет пе­ре­мен­ных с оди­на­ко­вы­ми ко­эф­фи­ци­ен­та­ми, но мы можем их урав­нять са­мо­сто­я­тель­но, для этого вы­пол­ним пре­об­ра­зо­ва­ния:

Вы­пол­ним сло­же­ние урав­не­ний:

Под­ста­вим по­лу­чен­ное зна­че­ние у в пер­вое урав­не­ние и опре­де­лим зна­че­ние х:

5. Си­сте­мы, име­ю­щее бес­ко­неч­ное мно­же­ство или не име­ю­щие ре­ше­ний

Раз­де­лим вто­рое урав­не­ние на два:

Вы­чтем из пер­во­го урав­не­ния вто­рое:

Оче­вид­но, что по­лу­чен­ное вы­ра­же­ние не за­ви­сит от зна­че­ний пе­ре­мен­ных си­сте­мы и не яв­ля­ет­ся вер­ным чис­ло­вым ра­вен­ством, зна­чит, си­сте­ма не имеет ре­ше­ний. В дан­ном слу­чае ре­ко­мен­ду­ет­ся гра­фи­че­ски до­ка­зать, что си­сте­ма не имеет ре­ше­ний, для этого из урав­не­ний за­пи­сать ли­ней­ные функ­ции, по­стро­ить их и по­ка­зать, что пря­мые па­рал­лель­ны.

Оче­вид­но, что, если раз­де­лить вто­рое урав­не­ние на два, по­лу­чим пер­вое урав­не­ние:

Мы по­лу­чи­ли два оди­на­ко­вых урав­не­ния, зна­чит, чтобы до­ве­сти ре­ше­ние си­сте­мы до конца, можем оста­вить одно: ; это ли­ней­ное урав­не­ние с двумя пе­ре­мен­ны­ми, гра­фик его – пря­мая линия, и оно имеет бес­чис­лен­ное мно­же­ство ре­ше­ний, а зна­чит и си­сте­ма имеет бес­чис­лен­ное мно­же­ство ре­ше­ний. Чтобы за­пи­сать ре­ше­ния, вы­ра­зим у: , таким об­ра­зом, дадим ответ: х – любое число,

Гра­фи­че­ская ил­лю­стра­ция (рис. 1):

6. Под­ве­де­ние ито­гов урока

Вывод: мы рас­смот­ре­ли си­сте­мы двух ли­ней­ных урав­не­ний с двумя пе­ре­мен­ны­ми, ва­ри­ан­ты и спо­со­бы их ре­ше­ния. Мы вспом­ни­ли неко­то­рые тер­ми­ны, по­ня­тия и свой­ства и ре­ши­ли при­ме­ры для за­креп­ле­ния тех­ни­ки.

1. Решите систему тремя способами: сложением, подстановки, графическим:

2. Сколько решений имеет система:

3. Решите систему любым способом:

Урок 7:Алгебраические дроби. Арифметические операции над алгебраическими дробями.Основные понятия.

На данном уроке рассматривается понятие алгебраической дроби. С дробями человек встречается в самых простых жизненных ситуациях: когда необходимо разделить некий объект на несколько частей, например, разрезать торт поровну на десять человек. Очевидно, что каждому достанется по части торта. В указанном случае мы сталкиваемся с понятием числовой дроби, однако возможна ситуация, когда объект делится на неизвестное количество частей, например, на x. В таком случае возникает понятие дробного выражения. С целыми выражениями (не содержащими деление на выражения с переменными) и их свойствами вы уже познакомились в 7 классе. Далее мы рассмотрим понятие рациональной дроби, а также допустимых значений переменных.

1. Определение и примеры алгебраических дробей

Рациональные выражения делятся на целые и дробные выражения.

Определение.Рациональная дробь – дробное выражение вида , где – многочлены. – числитель, – знаменатель.

Примерырациональных выражений: – дробные выражения; – целые выражения. В первом выражении, к примеру, в роли числителя выступает , а знаменателя – .

Значение алгебраической дроби, как и любого алгебраического выражения, зависит от численного значения тех переменных, которые в него входят. В частности, в первом примере значение дроби зависит от значений переменных и , а во втором только от значения переменной .

Организация стока поверхностных вод: Наибольшее количество влаги на земном шаре испаряется с поверхности морей и океанов (88‰).

Общие условия выбора системы дренажа: Система дренажа выбирается в зависимости от характера защищаемого.

Поперечные профили набережных и береговой полосы: На городских территориях берегоукрепление проектируют с учетом технических и экономических требований, но особое значение придают эстетическим.

Механическое удерживание земляных масс: Механическое удерживание земляных масс на склоне обеспечивают контрфорсными сооружениями различных конструкций.

Источник