Как доказать что это параллелограмм 8 класс геометрия
Параллелограмм. Свойства и признаки параллелограмма
Определение параллелограмма
Параллелограмм – четырехугольник, у которого противоположные стороны попарно параллельны.
Свойства параллелограмма
1. Противоположные стороны параллелограмма попарно равны
2. Противоположные углы параллелограмма попарно равны
3. Сумма смежных (соседних) углов параллелограмма равна 180 градусов
4. Сумма всех углов равна 360°
5. Диагонали параллелограмма пересекаются и точкой пересечения делятся пополам
6. Точка пересечения диагоналей является центром симметрии параллелограмма
7. Диагонали 
параллелограмма и стороны
связаны следующим соотношением: 
8. Биссектриса отсекает от параллелограмма равнобедренный треугольник
Признаки параллелограмма
Четырехугольник 
является параллелограммом, если выполняется хотя бы одно из следующих условий:
1. Противоположные стороны попарно равны: 
2. Противоположные углы попарно равны: 
3. Диагонали пересекаются и в точке пересечения делятся пополам
4. Противоположные стороны равны и параллельны: 
5. 
Небольшой видеоролик о свойствах параллелограмма (в том числе ромба, прямоугольника, квадрата) и о том, как эти свойства применяются в задачах:
Формулы площади параллелограмма смотрите здесь.Хорошую подборку задач на нахождение углов и длин в параллелограмме смотрите здесь.
Параллелограмм
Определение
Параллелограмм – это четырехугольник, у которого противоположные стороны попарно параллельны.
Теорема (первый признак параллелограмма)
Если в четырехугольнике две стороны равны и параллельны, то этот четырехугольник – параллелограмм.
Доказательство
Теорема (второй признак параллелограмма)
Если в четырехугольнике противоположные стороны попарно равны, то этот четырехугольник – параллелограмм.
Доказательство
Теорема (третий признак параллелограмма)
Если в четырехугольнике диагонали пересекаются и точкой пересечения делятся пополам, то этот четырехугольник – параллелограмм.
Доказательство
Итак, в четырехугольнике \(ABCD\) стороны \(AB\) и \(CD\) равны и параллельны, значит, по первому признаку параллелограмма четырехугольник \(ABCD\) – параллелограмм.
Свойства параллелограмма:
1. В параллелограмме противоположные стороны равны и противоположные углы равны.
2. Диагонали параллелограмма точкой пересечения делятся пополам.
Свойства биссектрисы параллелограмма:
1. Биссектриса параллелограмма отсекает от него равнобедренный треугольник.
2. Биссектрисы смежных углов параллелограмма пересекаются под прямым углом.
3. Отрезки биссектрис противоположных углов равны и параллельны.
Доказательство
2) Пусть \(ABCD\) – параллелограмм, \(AN\) и \(BM\) – биссектрисы углов \(BAD\) и \(ABC\) соответственно.
Признаки параллелограмма
Доказательство:
Дано: АВСD — четырехугольник, АD = ВС, АD
ВС.
Доказать: АВСD — параллелограмм.
Доказательство:
1. Проведем диагональ АС четырехугольника АВСD.
Доказательство:
Доказать: АВСD — параллелограмм.
Доказательство:
1. Проведем диагональ АС четырехугольника АВСD.
3. Итак, АD = ВC, АDВС, 
по 1 0 признаку параллелограмма, четырехугольник АВСD — параллелограмм. Что и требовалось доказать.
Доказательство:
Доказать: АВСD — параллелограмм.
Доказательство:
1. Рассмотрим 
АОD и ВОС: по условию АО = ОС, DО = ОВ, 
АОD и ВОС (как вертикальные углы), АОD =ВОС (по 1 признаку равенства треугольников), АD = ВC и 1 = 2.
2. 1 и 2 накрест лежащие при пересечении прямых АD и ВC секущей АС, при этом 1 = 2, по признаку параллельности двух прямых АDВС.
3. Итак, АD = ВC, АDВС, по 1 0 признаку параллелограмма, четырехугольник АВСD — параллелограмм. Что и требовалось доказать.
Поделись с друзьями в социальных сетях:
Параллелограмм и его свойства
Урок 3. Геометрия 8 класс ФГОС
В данный момент вы не можете посмотреть или раздать видеоурок ученикам
Чтобы получить доступ к этому и другим видеоурокам комплекта, вам нужно добавить его в личный кабинет, приобрев в каталоге.
Получите невероятные возможности
Конспект урока «Параллелограмм и его свойства»
На предыдущем уроке мы говорили о четырёхугольнике. Напомним, что четырёхугольником называется геометрическая фигура, которая состоит из четырёх точек и четырёх последовательно соединяющих их отрезков. Причём никакие три точки не лежат на одной прямой, а соединяющие их отрезки не пересекаются.
На этом уроке мы познакомимся с новой геометрической фигурой, которую называют параллелограммом.
Сформулируем определение: параллелограммом называется четырёхугольник, у которого противоположные стороны попарно параллельны.
Любой параллелограмм является выпуклым четырёхугольником.
Давайте посмотрим на следующие четырёхугольники.
Первый является параллелограммом, так как у него противоположные стороны попарно параллельны. Следующий четырёхугольник также является параллелограммом, ведь у него противоположные стороны попарно параллельны. А вот четырёхугольник в пункте в не является параллелограммом, так как у него две стороны параллельны, а две другие – нет. У четырёхугольника в пункте г противоположные стороны попарно параллельны, а значит, он – параллелограмм. И последний четырёхугольник не является параллелограммом, так как у него стороны не параллельны.
Поговорим о свойствах параллелограмма.
Свойство 1. Сумма углов при соседних вершинах параллелограмма равна 
.
Рассмотрим параллелограмм ABCD.
По определению параллелограмма стороны AB и CD параллельны, то есть лежат на параллельных прямых. Прямая AD, которая проходит через две соседние вершины, является секущей. А тогда углы BAD и ADC – внутренние односторонние.
Нам известно, что если две параллельные прямые пересечены секущей, то сумма односторонних углов равна ста восьмидесяти градусам. Следовательно, 
.
А так как эти углы являются углами при соседних вершинах параллелограмма, то свойство доказано.
Свойство 2. Диагональ разбивает параллелограмм на два равных треугольника.
Рассмотрим 
и 
.
Сторона 
– общая,
как накр. лежащие при 
и секущей ,
как накр. лежащие при 
и секущей .
по второму признаку.
Что и требовалось доказать.
Свойство 3. У параллелограмма противоположные стороны равны.
Рассмотрим параллелограмм ABCD.
Диагональ AC разделяет его на два треугольника: ABC и CDA. Доказывая предыдущее свойство, мы выяснили, что эти треугольники равны, то есть у них соответствующие стороны равны. И сторона AB = DC, а сторона AD = BC.
Свойство 4. У параллелограмма противоположные углы равны.
Доказательство. Рассмотрим параллелограмм ABCD. Проведём диагональ AC.
как накр. лежащие при и секущей ,как накр. лежащие при и секущей ,
,
,
следовательно, 
.
Что и требовалось доказать.
Также равенство противоположных углов параллелограмма следует из равенства треугольников ABC и CDA, которое мы доказали в предыдущем свойстве.
Свойство 5. Диагонали параллелограмма точкой пересечения делятся пополам.
Доказательство. Рассмотрим параллелограмм ABCD. Пусть точка О – точка пересечения диагоналей AC и BD.
Рассмотрим 
и 
.
как противоположные стороны,как накр. лежащие при
и секущей ,как накр. лежащие при и секущей 
.
по второму признаку.
Следовательно, 
,
.
Что и требовалось доказать.
Теперь для закрепления материала решим несколько задач.
Задача. Докажите, что биссектриса угла параллелограмма отсекает от него равнобедренный треугольник.
Доказательство. Пусть ABCD – некоторый параллелограмм. Проведём, например, из вершины А биссектрису АМ.
,так как 
– биссектриса.
как накр. лежащие при и секущей .
Следовательно, 
.
Тогда 
– равнобедренный.
Задача. У параллелограмма 
диагональ равна 16 см, диагональ – 10 см, а сторона 
– 8 см. Найдите периметр треугольника 
.
Рассмотрим 
.
(см), 
(см), 
(см).
(см).