Как доказать что геометрическая прогрессия является бесконечно убывающей
Бесконечная убывающая геометрическая прогрессия и парадокс Зенона
Когда в общеобразовательных школах изучают свойства упорядоченных последовательностей чисел, то в обязательном порядке рассматривают так называемую убывающую бесконечную геометрическую прогрессию. Раскроем подробнее этот вопрос в статье.
Что такое геометрическая прогрессия?
Вам будет интересно: Future in the Past: правила речи, склонение, время, понятие, определения, особенности изучения и нюансы произношения
Исходя из определения этого вида прогрессии, можно n-й ее член найти, используя следующее выражение: an = a1*r(n-1), то есть достаточно знать знаменатель и первый член числового ряда.
Например, найдем 8-е число в геометрической прогрессии, приведенной выше. Имеем: a8 = a1*r7 = 1*47 = 16384.
Еще одной важной формулой для геометрической прогрессии является выражение для нахождения суммы ее n первых членов. Эта формула имеет вид: Sn = a1*(rn-1)/(r-1). Применим ее для нахождения суммы 8-ми чисел из последовательности выше. Получаем: S8 = 1*(48-1)/(4-1) = 21845.
Какие бывают геометрические прогрессии
В зависимости от знака и модуля знаменателя r выделяют 4 вида геометрической прогрессии:
Черепаха и Ахиллес (парадокс Зенона)
Где можно использовать результат, полученный в пункте выше? Например, при объяснении парадокса древнегреческого философа Зенона. Суть этого парадокса заключается в том, что Ахиллес (с древнегреческого языка это имя переводится, как «тот, кто обладает «легкими» ногами»), будучи самым быстрым воином, не может догнать черепаху.
Зенон рассуждал следующим образом: если черепаха будет впереди Ахиллеса, и они одновременно начнут движение, то когда воин достигнет места, откуда взяла старт черепаха, последняя уже отползет на некоторое расстояние, поэтому Ахиллесу придется снова его преодолевать (хотя оно и меньше, чем первоначальное). Пробежав новый отрезок пути, воин все равно окажется позади черепахи, ведь она опять проползет некоторую дистанцию. Так способом можно рассуждать до бесконечности.
Каждый из нас знает, что не только Ахиллес, но и любой человек, двигаясь пешком, обгонит черепаху. В чем же ошибся философ? Он не учел, что хотя сумма отрезков является бесконечной, она приводит к конечному числу S∞. Как только Ахиллес преодолеет расстояние S∞, он сразу же обгонит черепаху.
Любопытно отметить, что сам философ объяснял тот факт, что Ахиллес на практике все же обгоняет черепаху, тем, что движение и время являются иллюзией, и в реальности не существуют.