Как доказать что параллелограмм выпуклый четырехугольник

Параллелограмм, его свойства и признаки с примерами решения

Параллелограммом называют четырехугольник, у которого противолежащие стороны попарно параллельны.

На рисунке 16 изображен параллелограмм

Рассмотрим свойства параллелограмма.

1. Сумма двух любых соседних углов параллелограмма равна 180°.

Действительно, углы и параллелограмма (рис. 16) являются внутренними односторонними углами для параллельных прямых и и секущей Поэтому Аналогично это свойство можно доказать для любой другой пары соседних углов параллелограмма.

2. Параллелограмм является выпуклым четырехугольником.

3. В параллелограмме противолежащие стороны равны и противолежащие углы равны.

Доказательство:

Диагональ разбивает параллелограмм на два треугольника и (рис. 17). -их общая сторона, и (как внутренние накрест лежащие углы для каждой из пар параллельных прямых и и и секущей Тогда (по стороне и двум прилежащим углам). Откуда, и (как соответственные элементы равных треугольников). Так как то

4. Периметр параллелограмма

5. Диагонали параллелограмма точкой пересечения делятся пополам.

Доказательство:

Пусть — точка пересечения диагоналей и параллелограмма (рис. 18). (как противолежащие стороны параллелограмма), (как внутренние накрест лежащие углы для параллельных прямых и и секущих и соответственно). Следовательно, (по стороне и двум прилежащим углам). Тогда (как соответственные стороны равных треугольников).

Пример:

Дано: параллелограмм, — биссектриса угла (рис. 19). Найдите:

Решение:

1)

2) (как внутренние накрест лежащие углы для параллельных прямых и и секущей

3) (по условию), тогда Тогда — равнобедренный (по признаку равнобедренного треугольника),

4)

Высотой параллелограмма называют перпендикуляр, проведенный из любой точки стороны параллелограмма к прямой, содержащей противолежащую сторону.

На рисунке 20 — высота параллелограмма,

Из каждой вершины параллелограмма можно провести две высоты. Например, на рисунке 21 и — высоты параллелограмма, проведенные соответственно к сторонам и

Рассмотрим признаки параллелограмма.

Теорема (признаки параллелограмма). Если в четырехугольнике: 1) две стороны параллельны и равны, или 2) противолежащие стороны попарно равны, или 3) диагонали точкой пересечения делятся пополам, или 4) противолежащие углы попарно равны, — то четырехугольник является параллелограммом.

Доказательство:

1) Пусть в четырехугольнике и (рис. 22). Проведем диагональ Рассмотрим и (как внутренние накрест лежащие при параллельных прямых и и секущей — общая сторона, (по условию). Следовательно, (по двум сторонам и углу между ними). Тогда (как соответственные). Но это накрест лежащие углы при пересечении прямых и секущей Поэтому (по признаку параллельности прямых). Следовательно, в четырехугольнике противолежащие стороны попарно параллельны. Поэтому -параллелограмм.

2) Пусть в четырехугольнике и (рис. 22). Проведем диагональ Тогда (по трем сторонам). Поэтому и следовательно, (по признаку параллельности прямых). Аналогично доказываем, что Следовательно, — параллелограмм.

3) Пусть в четырехугольнике диагонали и пересекаются в точке и (рис. 23). (как вертикальные). Поэтому (по двум сторонам и углу между ними). Отсюда Аналогично доказываем, что Принимая во внимание п. 2) этой теоремы, приходим к выводу, что — параллелограмм.

4) Пусть в параллелограмме (рис. 16). Так как то т. е. откуда Но и — внутренние накрест лежащие углы для прямых и и секущей Поэтому

по признаку параллельности прямых). Аналогично доказываем, что Следовательно, — параллелограмм.

Пример:

В четырехугольнике Докажите, что — параллелограмм.

Доказательство:

Пусть — данный четырехугольник (рис. 22). Рассмотрим и — их общая сторона, (по условию). Тогда, (по двум сторонам и углу между ними). Следовательно, Но тогда в четырехугольнике противолежащие стороны попарно равны, поэтому он является параллелограммом.

О некоторых видах четырехугольников (квадраты, прямоугольники, равнобокие и прямоугольные трапеции) знали еще древнеегипетские и вавилонские математики.

Термин «параллелограмм» греческого происхождения, считают, что он был введен Евклидом (около 300 г. до н. э.). Также известно, что еще раньше о параллелограмме и некоторых его свойствах уже знали ученики школы Пифагора («пифагорейцы»).

В «Началах» Евклида доказана следующая теорема: в параллелограмме противолежащие стороны равны и противолежащие углы равны, а диагональ делит его пополам, но не упоминается о том, что точка пересечения диагоналей параллелограмма делит каждую из них пополам.

Евклид также не упоминает ни о прямоугольнике, ни о ромбе.

Полная теория параллелограммов была разработана лишь в конце Средневековья, а в учебниках она появилась в XVII в. Все теоремы и свойства параллелограмма в этих учебниках основывались на аксиоме параллельности Евклида.

При копировании любых материалов с сайта evkova.org обязательна активная ссылка на сайт www.evkova.org

Сайт создан коллективом преподавателей на некоммерческой основе для дополнительного образования молодежи

Сайт пишется, поддерживается и управляется коллективом преподавателей

Whatsapp и логотип whatsapp являются товарными знаками корпорации WhatsApp LLC.

Cайт носит информационный характер и ни при каких условиях не является публичной офертой, которая определяется положениями статьи 437 Гражданского кодекса РФ. Анна Евкова не оказывает никаких услуг.

Источник

Параллелограмм

Параллелограмм — это выпуклый четырехугольник, у которого
две любые стороны равны и параллельны.

На рисунке 1 изображен выпуклый четырехугольник MNPQ, со сторонами MN, PQ, MQ, NP. Чтобы доказать, что это параллелограмм, посмотрим
какие у него стороны. Итак, по рисунку 1 видно, что у этого выпуклого четырехугольника в первую очередь противоположные стороны равны: MN = PQ и NP = MQ.
Но нам этого еще недостаточно,так как равные противоположные стороны могут быть и у прямоугольника. Для того, чтобы можно было окончательно сказать,
что этот выпуклый четырехугольник — параллелограмм, надо во вторую очередь посмотреть параллельны, ли эти стороны. Сторона MN параллельна стороне PQ,
а сторона NP параллельна стороне MQ. Следовательно, у этого выпуклого четырехугольника две стороны равны и параллельны,а это значит, что это параллелограмм.

Докажем признак, который мы использовали для доказательства — о том, что если в четырехугольнике
две любые стороны равны и параллельны, то это параллелограмм.

На рисунке 2 изобразим выпуклый четырехугольник CPED. По условию CP = ED, CP || ED. Докажем, что CPED — параллелограмм.

5) PE || CD, CP || ED и PE = CD, CP = ED, следовательно CPED — параллелограмм, ч.т.д.

Признак доказан.

Кроме признака параллелограмма, который мы сейчас доказали, существует еще несколько признаков,
которые мы рассмотрим и докажем в следующих статьях.

Источник

Понятие выпуклого четырехугольника, его свойства и признаки

Выпуклый четырехугольник — это фигура, состоящая из четырех сторон, соединенных между собой в вершинах, образующих вместе со сторонами четыре угла, при этом сам четырехугольник всегда находится в одной плоскости относительно прямой, на которой лежит одна из его сторон. Другими словами, вся фигура находится по одну сторону от любой из ее сторон.

Как видно, определение довольно легко запоминающееся.

Выпуклый четырехугольник

Основные свойства и виды

К выпуклым четырехугольникам можно отнести практически все известные нам фигуры, состоящие из четырех углов и сторон. Можно выделить следующие:

Это интересно: что микроэкономика изучает, кратко об основателях и основах науки.

Все эти фигуры объединяет не только то, что они четырехугольные, но и то, что они еще и выпуклые. Достаточно просто рассмотреть схему:

На рисунке изображена выпуклая трапеция. Тут видно, что трапеция находится на одной плоскости или по одну сторону от отрезка [AB]. Если провести аналогичные действия, можно выяснить, что и в случае со всеми остальными сторонами трапеция является выпуклой.

Является ли параллелограмм выпуклым четырехугольником?

Выше показано изображение параллелограмма. Как видно из рисунка, параллелограмм также является выпуклым. Если посмотреть на фигуру относительно прямых, на которых лежат отрезки AB, BC, CD и AD, то становится понятно, что она всегда находится на одной плоскости от этих прямых. Основными же признаками параллелограмма является то, что его стороны попарно параллельны и равны так же, как и противоположные углы равны между собой.

Теперь, представьте себе квадрат или прямоугольник. По своим основным свойствам они являются еще и параллелограммами, то есть все их стороны расположены попарно параллельно. Только в случае с прямоугольником длина сторон может быть разной, а углы прямые (равные 90 градусам), квадрат — это прямоугольник, у которого все стороны равны и углы также прямые, а у параллелограмма длины сторон и углы могут быть разными.

В итоге, сумма всех четырех углов четырехугольника должна быть равна 360 градусам. Легче всего это определить по прямоугольнику: все четыре угла прямоугольника прямые, то есть равны 90 градусам. Сумма этих 90-градусных углов дает 360 градусов, другими словами, если сложить 90 градусов 4 раза, получится необходимый результат.

Свойство диагоналей выпуклого четырехугольника

Диагонали выпуклого четырехугольника пересекаются. Действительно, это явление можно наблюдать визуально, достаточно взглянуть на рисунок:

На рисунке слева изображен невыпуклый четырехугольник или четырехсторонник. Как угодно. Как видно, диагонали не пересекаются, по крайней мере, не все. Справа изображен выпуклый четырехугольник. Тут уже наблюдается свойство диагоналей пересекаться. Это же свойство можно считать признаком выпуклости четырехугольника.

Другие свойства и признаки выпуклости четырехугольника

Конкретно по этому термину очень сложно назвать какие-то определенные свойства и признаки. Легче обособить по различным видам четырехугольников такого типа. Начать можно с параллелограмма. Мы уже знаем, что это четырехугольная фигура, стороны которой попарно параллельны и равны. При этом, сюда же включается свойство диагоналей параллелограмма пересекаться между собой, а также сам по себе признак выпуклости фигуры: параллелограмм находится всегда в одной плоскости и по одну сторону относительно любой из своих сторон.

Итак, известны основные признаки и свойства:

Далее рассмотрим каждый четырехугольник по отдельности.

Прямоугольник. Эта фигура имеет все те же свойства и признаки, что и параллелограмм, но при этом все углы его равны 90 градусам. Отсюда и название — прямоугольник.

Квадрат, тот же параллелограмм, но углы его прямые как у прямоугольника. Из-за этого квадрат в редких случаях называют прямоугольником. Но главным отличительным признаком квадрата помимо уже перечисленных выше, является то, что все четыре его стороны равны.

Трапеция — очень интересная фигура. Это тоже четырехугольник и тоже выпуклый. В этой статье трапеция уже рассматривалась на примере рисунка. Понятно, что она тоже выпуклая. Главным отличием, а соответственно признаком трапеции является то, что ее стороны могут быть абсолютно не равны друг другу по длине, а также ее углы по значению. При этом фигура всегда остается на одной плоскости относительно любой из прямых, которая соединяет любые две ее вершины по образующим фигуру отрезкам.

Ромб — не менее интересная фигура. Отчасти ромбом можно считать квадрат. Признаком ромба является тот факт, что его диагонали не только пересекаются, но и делят углы ромба пополам, а сами диагонали пересекаются под прямым углом, то есть, они перпендикулярны. В случае, если длины сторон ромба равны, то диагонали тоже делятся пополам при пересечении.

Дельтоиды или выпуклые ромбоиды (ромбы) могут иметь разную длину сторон. Но при этом все равно сохраняются как основные свойства и признаки самого ромба, так и признаки и свойства выпуклости. То есть, мы можем наблюдать, что диагонали делят углы пополам и пересекаются под прямым углом.

Сегодняшней задачей было рассмотреть и понять, что такое выпуклые четырехугольники, какие они бывают и их основные признаки и свойства. Внимание! Стоит напомнить еще раз, что сумма углов выпуклого четырехугольника равна 360 градусам. Периметр фигур, например, равен сумме длин всех образующих фигуру отрезков. Формулы расчета периметра и площади четырехугольников будут рассмотрены в следующих статьях.

Источник