Как доказать что прямая касается окружности

Касательная к окружности

Определение 1. Прямая, которая имеет с окружностью только одну общую точку, называется касательной к окружности, а их общая точка называется точкой касания прямой и окружности.

На рисунке 1 прямая l является касательной к окружности с центром O, а точка M является точкой касания прямой и окружности.

Как доказать что прямая касается окружности. Смотреть фото Как доказать что прямая касается окружности. Смотреть картинку Как доказать что прямая касается окружности. Картинка про Как доказать что прямая касается окружности. Фото Как доказать что прямая касается окружности

Свойство касательной

Теорема 1 (Теорема о свойстве касательной). Касательная к окружности перпендикулярна к радиусу, проведенному из центра окружности к точке касания прямой и окружности.

Предположим, что радиус OM является наклонной к прямой l. Поскольку перпендикуляр, проведенной из точки O к прямой l меньше наклонной OM, от центра окружности до прямой l меньше радиуса окружности. Тогда прямая l и окружность имеют две общие точки (см. статью Взаимное расположение прямой и окружности). Но касательная не может иметь с окружностью две общие точки. Получили противоречие. Следовательно прямая l пенрпендикулярна к радиусу OM.Как доказать что прямая касается окружности. Смотреть фото Как доказать что прямая касается окружности. Смотреть картинку Как доказать что прямая касается окружности. Картинка про Как доказать что прямая касается окружности. Фото Как доказать что прямая касается окружности

Рассмотрим две касательные к окружности с центром O, которые проходят через точку A и касаются окружности в точках B и C (Рис.2). Отрезки AB и AC называются отрезками касательных, проведенных из точки A.

Как доказать что прямая касается окружности. Смотреть фото Как доказать что прямая касается окружности. Смотреть картинку Как доказать что прямая касается окружности. Картинка про Как доказать что прямая касается окружности. Фото Как доказать что прямая касается окружности

Теорема 2. Отрезки касательных к окружности, проведенные из одной точки, равны и составляют равные углы с прямой, проходящей через данную точку и центр окружности.

Теорема, обратная теореме о свойстве касательной

Теорема 3. Если прямая проходит через конец радиуса, лежащей на окружности и перпенжикулярна к этому радиусу, то эта прямая является касательной.

Доказательство. По условию теоремы данный радиус является перпендикуляром от центра окружности к данной прямой. То есть расстояние от центра окружности до прямой равно радиусу окружности, и, следовательно, прямая и окружность имеют только одну общую точку (теорема 2 статьи Взаимное расположение прямой и окружности). Но это означает, что данная прямая является касательной к окружности (Определение 1).

Построение касательной к окружности

Задача 1. Через точку M окружности с центром O провести касательную этой окружности (Рис.3).

Как доказать что прямая касается окружности. Смотреть фото Как доказать что прямая касается окружности. Смотреть картинку Как доказать что прямая касается окружности. Картинка про Как доказать что прямая касается окружности. Фото Как доказать что прямая касается окружностиКак доказать что прямая касается окружности. Смотреть фото Как доказать что прямая касается окружности. Смотреть картинку Как доказать что прямая касается окружности. Картинка про Как доказать что прямая касается окружности. Фото Как доказать что прямая касается окружности

Решение. Проведем прямую p через точки O и M. На прямой p из точки M отложим отрезок MN равной OM. Построим две окружности с центрами O и N и одинаковыми радиусами ON. Через точки пересечения этих окружностей проведем прямую l. Полученная прямая является касательным к окружности с центром O и радиусом OM.

Задача 2. Через точку A не принадлежащая к окружности с центром O провести касательную этой окружности (Рис.5).

Как доказать что прямая касается окружности. Смотреть фото Как доказать что прямая касается окружности. Смотреть картинку Как доказать что прямая касается окружности. Картинка про Как доказать что прямая касается окружности. Фото Как доказать что прямая касается окружностиКак доказать что прямая касается окружности. Смотреть фото Как доказать что прямая касается окружности. Смотреть картинку Как доказать что прямая касается окружности. Картинка про Как доказать что прямая касается окружности. Фото Как доказать что прямая касается окружности

Решение. Проведем прямую p через точки O и A (Рис.6). Найдем среднюю точку отрезка OA и обозначим буквой K. Постоим окружность с центром K радиусом KO=KA. Найдем точки пересечения этой окружности с окружностью с центром O. Получим точки B и C. Через точки A и C проведем прямую m. Через точки A и B проведем прямую n. Прямые m и n являются касательными к окружности с центром O.

Источник

Касательная к окружности

Как доказать что прямая касается окружности. Смотреть фото Как доказать что прямая касается окружности. Смотреть картинку Как доказать что прямая касается окружности. Картинка про Как доказать что прямая касается окружности. Фото Как доказать что прямая касается окружности

Статья находится на проверке у методистов Skysmart.
Если вы заметили ошибку, сообщите об этом в онлайн-чат
(в правом нижнем углу экрана).

Касательная к окружности, секущая и хорда — в чем разница

В самом названии касательной отражается суть понятия — это прямая, которая не пересекает окружность, а лишь касается ее в одной точке. Взглянув на рисунок окружности ниже, несложно догадаться, что точку касания от центра отделяет расстояние, в точности равное радиусу.

Как доказать что прямая касается окружности. Смотреть фото Как доказать что прямая касается окружности. Смотреть картинку Как доказать что прямая касается окружности. Картинка про Как доказать что прямая касается окружности. Фото Как доказать что прямая касается окружности

Касательная к окружности — это прямая, имеющая с ней всего одну общую точку.

Если мы проведем прямую поближе к центру окружности — так, чтобы расстояние до него было меньше радиуса — неизбежно получится две точки пересечения. Такая прямая называется секущей, а отрезок, расположенный между точками пересечения, будет хордой (на рисунке ниже это ВС ).

Как доказать что прямая касается окружности. Смотреть фото Как доказать что прямая касается окружности. Смотреть картинку Как доказать что прямая касается окружности. Картинка про Как доказать что прямая касается окружности. Фото Как доказать что прямая касается окружности

Секущая к окружности — это прямая, которая пересекает ее в двух местах, т. е. имеет с ней две общие точки. Часть секущей, расположенная внутри окружности, будет называться хордой.

Свойства касательной к окружности

Выделяют четыре свойства касательной, которые необходимо знать для решения задач. Два из них достаточно просты и легко доказуемы, а вот еще над двумя придется немного подумать. Рассмотрим все по порядку.

Касательная к окружности и радиус, проведенный в точку касания, перпендикулярны.

Не будем принимать это на веру, попробуем доказать. Итак, у нас даны:

Докажем, что касательная и радиус АВ перпендикулярны, т.е. аАВ.

Пойдем от противного — предположим, что между прямой а и радиусом АВ нет прямого угла и проведем настоящий перпендикуляр к касательной, назвав его АС.

В таком случае наш радиус АВ будет считаться наклонной, а наклонная, как известно, всегда длиннее перпендикуляра. Получается, что АВ > АС. Но если бы это было на самом деле так, наша прямая а пересекалась бы с окружностью два раза, ведь расстояние от центра А до нее — меньше радиуса. Но по условию задачи а — это касательная, а значит, она может иметь лишь одну точку касания.

Итак, мы получили противоречие. Делаем вывод, что настоящим перпендикуляром к прямой а будет вовсе не АС, а АВ.

Как доказать что прямая касается окружности. Смотреть фото Как доказать что прямая касается окружности. Смотреть картинку Как доказать что прямая касается окружности. Картинка про Как доказать что прямая касается окружности. Фото Как доказать что прямая касается окружности

Задача

У нас есть окружность, центр которой обозначен О. Из точки С проведена прямая, и она касается этой окружности в точке А. Известно, что ∠АСО = 28°. Найдите величину дуги АВ.

Мы знаем, что касательная АС ⟂ АО, следовательно ∠САО = 90°.

Поскольку нам известны величины двух углов треугольника ОАС, не составит труда найти величину и третьего угла.

Поскольку ∠АОС лежит в центре окружности, можно вспомнить свойство центрального угла — как известно, он равен дуге, на которую опирается. Следовательно, ⌒АВ = 62°.

Как доказать что прямая касается окружности. Смотреть фото Как доказать что прямая касается окружности. Смотреть картинку Как доказать что прямая касается окружности. Картинка про Как доказать что прямая касается окружности. Фото Как доказать что прямая касается окружности

Если провести две касательных к окружности из одной точки, то их отрезки от этой начальной точки до точки касания будут равны.

Как доказать что прямая касается окружности. Смотреть фото Как доказать что прямая касается окружности. Смотреть картинку Как доказать что прямая касается окружности. Картинка про Как доказать что прямая касается окружности. Фото Как доказать что прямая касается окружности

Итак, у нас есть два прямоугольных треугольника с общей гипотенузой AD. Учитывая, что радиусы окружности всегда равны, мы понимаем, что катеты AB и AC у этих треугольников тоже одинаковой длины. Следовательно, ΔABD = ΔACD. Значит, оставшиеся катеты, а это как раз наши BD и CD (отрезки касательных к окружности), аналогично должны быть равны.

Важно: прямая, проложенная из стартовой точки до центра окружности (в нашем примере это AD), делит угол между касательными пополам.

Задача 1

У нас есть окружность с радиусом 4,5 см. К ней из точки D, удаленной от центра на 9 см, провели две прямые, которые касаются окружности в точках B и C. Определите градусную меру угла, под которым пересекаются касательные.

Решение

sin BDA = AB : AD = 4,5 : 9 = 0,5

Мы знаем, что прямая, проложенная из точки до центра окружности, делит угол между касательными, проложенными из этой же точки, пополам. Другими словами:

∠BDC = ∠BDA × 2 = 30° × 2 = 60°

Итак, угол между касательными составляет 60°.

Как доказать что прямая касается окружности. Смотреть фото Как доказать что прямая касается окружности. Смотреть картинку Как доказать что прямая касается окружности. Картинка про Как доказать что прямая касается окружности. Фото Как доказать что прямая касается окружности

Задача 2

К окружности с центром О провели две касательные КМ и КN. Известно, что ∠МКN между ними равен 50°. Требуется определить величину угла ∠NМК.

Решение

Согласно вышеуказанному свойству мы знаем, что КМ = КN. Следовательно, треугольник МNК является равнобедренным.

Углы при его основании будут равны, т.е. ∠МNК = ∠NМК.

Как доказать что прямая касается окружности. Смотреть фото Как доказать что прямая касается окружности. Смотреть картинку Как доказать что прямая касается окружности. Картинка про Как доказать что прямая касается окружности. Фото Как доказать что прямая касается окружности

Соотношение между касательной и секущей: если они проведены к окружности из одной точки, то квадрат расстояния до точки касания равен произведению длины всей секущей на ее внешнюю часть.

Данное свойство намного сложнее предыдущих, и его лучше записать в виде уравнения.

Начертим окружность и проведем из точки А за ее пределами касательную и секущую. Точку касания обозначим В, а точки пересечения — С и D. Тогда CD будет хордой, а отрезок AC — внешней частью секущей.

Как доказать что прямая касается окружности. Смотреть фото Как доказать что прямая касается окружности. Смотреть картинку Как доказать что прямая касается окружности. Картинка про Как доказать что прямая касается окружности. Фото Как доказать что прямая касается окружности

Задача 1

Из точки М к окружности опускаются две прямые, пусть одна из них будет касательной МA, а вторая — секущей МB. Известно, что хорда ВС = 12 см, а длина всей секущей МB составляет 16 см. Найдите длину касательной к окружности МA.

Решение

Исходя из соотношения касательной и секущей МА 2 = МВ × МС.

Найдем длину внешней части секущей:

МА 2 = МВ × МС = 16 х 4 = 64

Как доказать что прямая касается окружности. Смотреть фото Как доказать что прямая касается окружности. Смотреть картинку Как доказать что прямая касается окружности. Картинка про Как доказать что прямая касается окружности. Фото Как доказать что прямая касается окружности

Задача 2

Решение

Допустим, что МО = у, а радиус окружности обозначим как R.

В таком случае МВ = у + R, а МС = у – R.

Поскольку МВ = 2 МА, значит:

МА = МВ : 2 = (у + R) : 2

Согласно теореме о касательной и секущей, МА 2 = МВ × МС.

Сократим уравнение на (у + R) и получим:

Поскольку R = 6, у = 5R : 3 = 30 : 3 = 10 (см).

Как доказать что прямая касается окружности. Смотреть фото Как доказать что прямая касается окружности. Смотреть картинку Как доказать что прямая касается окружности. Картинка про Как доказать что прямая касается окружности. Фото Как доказать что прямая касается окружности

Угол между хордой и касательной, проходящей через конец хорды, равен половине дуги, расположенной между ними.

Это свойство тоже стоит проиллюстрировать на примере: допустим, у нас есть касательная к окружности, точка касания В и проведенная из нее хорда . Отметим на касательной прямой точку C, чтобы получился угол AВC.

Как доказать что прямая касается окружности. Смотреть фото Как доказать что прямая касается окружности. Смотреть картинку Как доказать что прямая касается окружности. Картинка про Как доказать что прямая касается окружности. Фото Как доказать что прямая касается окружности

Задача 1

Угол АВС между хордой АВ и касательной ВС составляет 32°. Найдите градусную величину дуги между касательной и хордой.

Решение

Согласно свойствам угла между касательной и хордой, ∠АВС = ½ ⌒АВ.

⌒АВ = ∠АВС × 2 = 32° × 2 = 64°

Как доказать что прямая касается окружности. Смотреть фото Как доказать что прямая касается окружности. Смотреть картинку Как доказать что прямая касается окружности. Картинка про Как доказать что прямая касается окружности. Фото Как доказать что прямая касается окружности

Задача 2

У нас есть окружность с центром О, к которой идет прямая, касаясь окружности в точке K. Из этой точки проводим хорду KM, и она образует с касательной угол MKB, равный 84°. Давайте найдем величину угла ОMK.

Решение

Поскольку ∠МКВ равен половине дуги между KM и КВ, следовательно:

⌒КМ = 2 ∠МКВ = 2 х 84° = 168°

Обратите внимание, что ОМ и ОK по сути являются радиусами, а значит, ОМ = ОК. Из этого следует, что треугольник ОMK равнобедренный.

Так как центральный угол окружности равен угловой величине дуги, на которую он опирается, то:

Источник

Окружность. Касательная к окружности.

Прямая (MN), имеющая с окружностью только одну общую точку (A), называется касательной к окружности.

Как доказать что прямая касается окружности. Смотреть фото Как доказать что прямая касается окружности. Смотреть картинку Как доказать что прямая касается окружности. Картинка про Как доказать что прямая касается окружности. Фото Как доказать что прямая касается окружности

Общая точка называется в этом случае точкой касания.

Возможность существования касательной, и притом проведенной через любую точку окружности, как точку касания, доказывается следующей теоремой.

Теорема.

Если прямая перпендикулярна к радиусу в его конце, лежащем на окружности, то эта прямая — касательная.

Как доказать что прямая касается окружности. Смотреть фото Как доказать что прямая касается окружности. Смотреть картинку Как доказать что прямая касается окружности. Картинка про Как доказать что прямая касается окружности. Фото Как доказать что прямая касается окружности

Допустим противное: пусть MN имеет с окружностью еще другую общую точку, например B. Тогда прямая OB была бы радиусом и, следовательно, равнялась бы OA.

Обратная теорема.

Если прямая касательная к окружности, то радиус, проведенный в точку касания, перпендикулярен к ней.

Следствие.

Через всякую данную на окружности точку можно провести касательную к этой окружности и притом только одну, так как через эту точку можно провести перпендикуляр, и притом только один, к радиусу, проведенному в нее.

Теорема.

Касательная параллельная хорде, делит в точке касания дугу, стягиваемую хордой, пополам.

Пусть прямая AB касается окружности в точке M и параллельна хорде СD. Требуется доказать, что ∪CM= ∪MD.

Проведя через точку касания диаметр ME, получаем: EMAB и следовательно, EMСD. Поэтому СM=MD.

Через данную точку провести касательную к данной окружности.

Если данная точка находится на окружности, то проводят через нее радиус и через конец радиуса перпендикулярную прямую. Эта прямая будет искомой касательной.

Рассмотрим тот случай, когда точка дана вне круга.

Как доказать что прямая касается окружности. Смотреть фото Как доказать что прямая касается окружности. Смотреть картинку Как доказать что прямая касается окружности. Картинка про Как доказать что прямая касается окружности. Фото Как доказать что прямая касается окружности

Пусть требуется провести к окружности с центром O касательную через точку A. Для этого из точки A, как из центра, описываем дугу радиусом AO, а из точки O, как центра, пересекаем эту дугу в точках B и С раствором циркуля, равным диаметру данного круга.

Следствие.

Две касательные, проведенные из одной точки к окружности, равны и образуют равные углы с прямой, соединяющей эту точку с центром.

Так AD=AE и ∠OAD = ∠OAE потому, что прямоугольные треугольники AOD и AOE, имеющие общую гипотенузу AO и равные катеты OD и OE (как радиусы), равны. Заметим, что здесь под словом “касательная” подразумевается собственно “отрезок касательной” от данной точки до точки касания.

Источник

Касательные к окружности

В обычной жизни ты очень хорошо представляешь себе, что значит слово «коснуться».

И вот представь себе, в математике тоже существует такое понятие.

В этой теме мы разберёмся с выражениями «прямая касается окружности» и «две окружности касаются».

Касательные к окружности. Коротко о главном

Касательная – прямая, которая имеет с окружностью только одну общую точку.

Касательная окружности перпендикулярна радиусу, проведённому в точку касания.

Как доказать что прямая касается окружности. Смотреть фото Как доказать что прямая касается окружности. Смотреть картинку Как доказать что прямая касается окружности. Картинка про Как доказать что прямая касается окружности. Фото Как доказать что прямая касается окружности

Угол между касательной и хордой равен половине градусной меры дуги, которая находится внутри угла: \( \displaystyle \angle CAB=\frac<1><2>\angle AOB\), где:

Как доказать что прямая касается окружности. Смотреть фото Как доказать что прямая касается окружности. Смотреть картинку Как доказать что прямая касается окружности. Картинка про Как доказать что прямая касается окружности. Фото Как доказать что прямая касается окружности

Как доказать что прямая касается окружности. Смотреть фото Как доказать что прямая касается окружности. Смотреть картинку Как доказать что прямая касается окружности. Картинка про Как доказать что прямая касается окружности. Фото Как доказать что прямая касается окружности

Как доказать что прямая касается окружности. Смотреть фото Как доказать что прямая касается окружности. Смотреть картинку Как доказать что прямая касается окружности. Картинка про Как доказать что прямая касается окружности. Фото Как доказать что прямая касается окружности

Касание окружностей: если две окружности касаются, то точка касания лежит на прямой, соединяющей их центры. Кроме того, эта прямая перпендикулярна касательной, проведённой в точку касания окружностей:

Внешнее касание

Как доказать что прямая касается окружности. Смотреть фото Как доказать что прямая касается окружности. Смотреть картинку Как доказать что прямая касается окружности. Картинка про Как доказать что прямая касается окружности. Фото Как доказать что прямая касается окружности

Внутреннее касание

Как доказать что прямая касается окружности. Смотреть фото Как доказать что прямая касается окружности. Смотреть картинку Как доказать что прямая касается окружности. Картинка про Как доказать что прямая касается окружности. Фото Как доказать что прямая касается окружности

Для двух окружностей с центрами \( \displaystyle <>\) и \( \displaystyle <_<1>>\), и радиусами \( \displaystyle R=OA\) и \( \displaystyle r=<_<1>>A\):

Касательные к окружности. Определения и основная теорема

Прямая касается окружности, если имеет с ней ровно одну общую точку.

Как доказать что прямая касается окружности. Смотреть фото Как доказать что прямая касается окружности. Смотреть картинку Как доказать что прямая касается окружности. Картинка про Как доказать что прямая касается окружности. Фото Как доказать что прямая касается окружности

Такая прямая называется касательной к данной окружности.

Посмотри-ка внимательно: очень похоже на жизнь, не правда ли? Прямая на картинке лишь чуть-чуть дотрагивается до окружности, касается ее.

Ну вот, и точно так же:

Две окружности касаются, если имеют ровно одну общую точку.

Как доказать что прямая касается окружности. Смотреть фото Как доказать что прямая касается окружности. Смотреть картинку Как доказать что прямая касается окружности. Картинка про Как доказать что прямая касается окружности. Фото Как доказать что прямая касается окружности

Что же тебе нужно знать о касательных и касающихся окружности?

Самая важная теорема гласит, что:

Радиус, проведённый в точку касания, перпендикулярен касательной.

Как доказать что прямая касается окружности. Смотреть фото Как доказать что прямая касается окружности. Смотреть картинку Как доказать что прямая касается окружности. Картинка про Как доказать что прямая касается окружности. Фото Как доказать что прямая касается окружности

Запомни это прямо как таблицу умножения! Все остальные факты о касательных и касающихся окружностях основаны именно на этой теореме.

Доказывать её мы здесь не будем, а вот как эта самая важная теорема работает, увидим сейчас несколько раз.

Угол между касательной и хордой

Угол между касательной и хордой равен половине градусной меры дуги, которая находится внутри угла.

Как доказать что прямая касается окружности. Смотреть фото Как доказать что прямая касается окружности. Смотреть картинку Как доказать что прямая касается окружности. Картинка про Как доказать что прямая касается окружности. Фото Как доказать что прямая касается окружности

Прежде всего: как это понимать? Подробнее о том, что такое «градусная мера дуги», написано в теме «Окружность. Вписанный угол».

Здесь напомним только, что в дуге столько же градусов, сколько в центральном угле, заключающем эту дугу.

То есть «градусная мера дуги» – это «сколько градусов в центральном угле» – и всё!

Как доказать что прямая касается окружности. Смотреть фото Как доказать что прямая касается окружности. Смотреть картинку Как доказать что прямая касается окружности. Картинка про Как доказать что прямая касается окружности. Фото Как доказать что прямая касается окружности

Ну вот, как говорит Карлсон, продолжаем разговор. Рисуем ещё раз теорему об угле между касательной и хордой.

Смотри, хорда \( \displaystyle AB\) разбила окружность на две дуги. Одна дуга находится ВНУТРИ угла \( \displaystyle BAC\), а другая дуга – внутри угла \( \displaystyle BAD\).

Как доказать что прямая касается окружности. Смотреть фото Как доказать что прямая касается окружности. Смотреть картинку Как доказать что прямая касается окружности. Картинка про Как доказать что прямая касается окружности. Фото Как доказать что прямая касается окружности

И теорема об угле между касательной и хордой говорит, что \( \displaystyle \angle CAB\) равен ПОЛОВИНЕ угла \( \displaystyle AOB\), \( \displaystyle \angle DAB\) равен ПОЛОВИНЕ большего (на рисунке — зеленого) угла \( \displaystyle AOB\).

При чем же тут тот факт, что радиус, проведенный в точку касания, перпендикулярен касательной?

Сейчас и увидим. \( \displaystyle OA\) – радиус, \( \displaystyle AC\) – касательная.

Значит, \( \displaystyle \angle OAC=90<>^\circ \).

Как доказать что прямая касается окружности. Смотреть фото Как доказать что прямая касается окружности. Смотреть картинку Как доказать что прямая касается окружности. Картинка про Как доказать что прямая касается окружности. Фото Как доказать что прямая касается окружности

И осталось вспомнить, что сумма углов треугольника \( \displaystyle AOB\) равна \( \displaystyle 180<>^\circ \).

Как доказать что прямая касается окружности. Смотреть фото Как доказать что прямая касается окружности. Смотреть картинку Как доказать что прямая касается окружности. Картинка про Как доказать что прямая касается окружности. Фото Как доказать что прямая касается окружности

Как доказать что прямая касается окружности. Смотреть фото Как доказать что прямая касается окружности. Смотреть картинку Как доказать что прямая касается окружности. Картинка про Как доказать что прямая касается окружности. Фото Как доказать что прямая касается окружности

Здорово, правда? И самым главным оказалось то, что \( \displaystyle \angle OAC=90<>^\circ \).

Равенство отрезков касательных

Задумывался ли ты над вопросом «а сколько касательных можно провести из одной точки к одной окружности»? Вот, представь себе, ровно две! Вот так:

Как доказать что прямая касается окружности. Смотреть фото Как доказать что прямая касается окружности. Смотреть картинку Как доказать что прямая касается окружности. Картинка про Как доказать что прямая касается окружности. Фото Как доказать что прямая касается окружности

А ещё более удивительный факт состоит в том, что:

Отрезки касательных, проведённых из одной точки к одной окружности, равны.

То есть, на нашем рисунке, \( \displaystyle AB=AC\).

И для этого факта тоже самым главным является то, что радиус, проведённый в точку касания, перпендикулярен касательной.

Проведём радиусы \( \displaystyle OB\) и \( \displaystyle OC\) и соединим \( \displaystyle O\) и \( \displaystyle A\).

\( \displaystyle OB\) – радиус.

\( \displaystyle AB\) – касательная, значит, \( \displaystyle OB\bot AB\).
Ну, и так же \( \displaystyle OC\bot AC\).

Как доказать что прямая касается окружности. Смотреть фото Как доказать что прямая касается окружности. Смотреть картинку Как доказать что прямая касается окружности. Картинка про Как доказать что прямая касается окружности. Фото Как доказать что прямая касается окружности

Получилось два прямоугольных треугольника \( \displaystyle AOB\) и \( \displaystyle AOC\), у которых:

(заглядываем в тему «Прямоугольный треугольник«, если не помним, когда бывают равны прямоугольные треугольники).

Но раз \( \displaystyle \Delta AOB=\Delta AOC,\) то\( \displaystyle AB=AC\). УРА!

Как доказать что прямая касается окружности. Смотреть фото Как доказать что прямая касается окружности. Смотреть картинку Как доказать что прямая касается окружности. Картинка про Как доказать что прямая касается окружности. Фото Как доказать что прямая касается окружности

И ещё раз повторим – этот факт тоже очень важный:

Отрезки касательных, проведённых из одной точки, – равны.

И есть ещё один факт, который мы здесь не будем доказывать, но он может оказаться тебе полезен при решении задач.

Для любой прямой \( \displaystyle AD\), пересекающей окружность,\( \displaystyle AD\cdot AC=A<^<2>>\), где \( \displaystyle AB\) – отрезок касательной.

Как доказать что прямая касается окружности. Смотреть фото Как доказать что прямая касается окружности. Смотреть картинку Как доказать что прямая касается окружности. Картинка про Как доказать что прямая касается окружности. Фото Как доказать что прямая касается окружности

Хитроумными словами об этом говорят так:

«Квадрат длины отрезка касательной равен произведению секущей на её внешнюю часть».

Страшно? Не бойся, помни только, что в буквах это:

Как доказать что прямая касается окружности. Смотреть фото Как доказать что прямая касается окружности. Смотреть картинку Как доказать что прямая касается окружности. Картинка про Как доказать что прямая касается окружности. Фото Как доказать что прямая касается окружности

Общая касательная к двум окружностям

Прямая, которая касается двух окружностей, называется их общей касательной.

Как доказать что прямая касается окружности. Смотреть фото Как доказать что прямая касается окружности. Смотреть картинку Как доказать что прямая касается окружности. Картинка про Как доказать что прямая касается окружности. Фото Как доказать что прямая касается окружности

Общие касательные бывают внешние и внутренние. Смотри на картинки.

Две внутренние общие касательные:

Как доказать что прямая касается окружности. Смотреть фото Как доказать что прямая касается окружности. Смотреть картинку Как доказать что прямая касается окружности. Картинка про Как доказать что прямая касается окружности. Фото Как доказать что прямая касается окружности

Две внешние общие касательные:

Как доказать что прямая касается окружности. Смотреть фото Как доказать что прямая касается окружности. Смотреть картинку Как доказать что прямая касается окружности. Картинка про Как доказать что прямая касается окружности. Фото Как доказать что прямая касается окружности

А всего – четыре! Не больше, но может быть меньше.

Есть только две внешние общие касательные.

Как доказать что прямая касается окружности. Смотреть фото Как доказать что прямая касается окружности. Смотреть картинку Как доказать что прямая касается окружности. Картинка про Как доказать что прямая касается окружности. Фото Как доказать что прямая касается окружности

Или так: одна внутренняя и две внешних.

Как доказать что прямая касается окружности. Смотреть фото Как доказать что прямая касается окружности. Смотреть картинку Как доказать что прямая касается окружности. Картинка про Как доказать что прямая касается окружности. Фото Как доказать что прямая касается окружности

А может быть вообще так:

Только одна общая касательная.

Как доказать что прямая касается окружности. Смотреть фото Как доказать что прямая касается окружности. Смотреть картинку Как доказать что прямая касается окружности. Картинка про Как доказать что прямая касается окружности. Фото Как доказать что прямая касается окружности

И снова факты:

Длины отрезков двух внутренних общих касательных равны

Длины отрезков двух внешних общих касательных равны.

НО! При этом: внешние и внутренние касательные – разные! (а некоторых, может, и вообще нет…)

Касающиеся окружности

Касание окружностей бывает внешним и внутренним.

Вот такая картинка называется «окружности касаются внешним образом»:

Как доказать что прямая касается окружности. Смотреть фото Как доказать что прямая касается окружности. Смотреть картинку Как доказать что прямая касается окружности. Картинка про Как доказать что прямая касается окружности. Фото Как доказать что прямая касается окружности

А вот такая картинка называется «окружности касаются внутренним образом»:

Как доказать что прямая касается окружности. Смотреть фото Как доказать что прямая касается окружности. Смотреть картинку Как доказать что прямая касается окружности. Картинка про Как доказать что прямая касается окружности. Фото Как доказать что прямая касается окружности

Что же самое главное нужно знать?

Если две окружности касаются, то точка касания лежит на прямой, соединяющей центры. Кроме того, эта прямая перпендикулярна касательной, проведённой в точку касания окружностей.

Как доказать что прямая касается окружности. Смотреть фото Как доказать что прямая касается окружности. Смотреть картинку Как доказать что прямая касается окружности. Картинка про Как доказать что прямая касается окружности. Фото Как доказать что прямая касается окружности

Если тебе показалось слишком длинно – посмотри картинку. Может быть ещё так:

Как доказать что прямая касается окружности. Смотреть фото Как доказать что прямая касается окружности. Смотреть картинку Как доказать что прямая касается окружности. Картинка про Как доказать что прямая касается окружности. Фото Как доказать что прямая касается окружности

Ура, теперь ты полностью вооружён на борьбу с касательными – дерзай! 🙂

Источник

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *