Как доказать что прямые перпендикулярны

Перпендикулярные прямые, условие перпендикулярности прямых.

В этой статье подробно рассмотрим перпендикулярные прямые на плоскости и в трехмерном пространстве. Начнем с определения перпендикулярных прямых, покажем обозначения и приведем примеры. После этого приведем необходимое и достаточное условие перпендикулярности двух прямых и детально разберем решения характерных задач.

Навигация по странице.

Перпендикулярные прямые – основные сведения.

Угол между пересекающимися прямыми на плоскости и в трехмерном пространстве может быть равен девяноста градусам. В этом случае говорят, что прямые пересекаются под прямым углом, а прямые называют перпендикулярными. Если угол между скрещивающимися прямыми в трехмерном пространстве равен Как доказать что прямые перпендикулярны. Смотреть фото Как доказать что прямые перпендикулярны. Смотреть картинку Как доказать что прямые перпендикулярны. Картинка про Как доказать что прямые перпендикулярны. Фото Как доказать что прямые перпендикулярны, то скрещивающиеся прямые также называют перпендикулярными. Таким образом, перпендикулярные прямые на плоскости являются пересекающимися, перпендикулярные прямые в пространстве могут быть как пересекающимися, так и скрещивающимися.

Отметим, что фразы «прямые a и b перпендикулярны» и «прямые b и a перпендикулярны» равноправны. Поэтому можно слышать, что перпендикулярные прямые называют взаимно перпендикулярными.

Учитывая все сказанное, дадим общее определение перпендикулярных прямых.

Две прямые называются перпендикулярными, если угол между ними равен Как доказать что прямые перпендикулярны. Смотреть фото Как доказать что прямые перпендикулярны. Смотреть картинку Как доказать что прямые перпендикулярны. Картинка про Как доказать что прямые перпендикулярны. Фото Как доказать что прямые перпендикулярны.

Для обозначения перпендикулярных прямых используют знак перпендикулярности вида «Как доказать что прямые перпендикулярны. Смотреть фото Как доказать что прямые перпендикулярны. Смотреть картинку Как доказать что прямые перпендикулярны. Картинка про Как доказать что прямые перпендикулярны. Фото Как доказать что прямые перпендикулярны». То есть, если прямые a и b перпендикулярны, то кратко записывают Как доказать что прямые перпендикулярны. Смотреть фото Как доказать что прямые перпендикулярны. Смотреть картинку Как доказать что прямые перпендикулярны. Картинка про Как доказать что прямые перпендикулярны. Фото Как доказать что прямые перпендикулярны. На чертежах угол между перпендикулярными прямыми отмечают значком прямого угла вида «Как доказать что прямые перпендикулярны. Смотреть фото Как доказать что прямые перпендикулярны. Смотреть картинку Как доказать что прямые перпендикулярны. Картинка про Как доказать что прямые перпендикулярны. Фото Как доказать что прямые перпендикулярны».

Как доказать что прямые перпендикулярны. Смотреть фото Как доказать что прямые перпендикулярны. Смотреть картинку Как доказать что прямые перпендикулярны. Картинка про Как доказать что прямые перпендикулярны. Фото Как доказать что прямые перпендикулярны

Перпендикулярные прямые фигурируют чуть ли не в каждой геометрической задаче. Иногда перпендикулярность прямых известна из условия, а в других случаях перпендикулярность прямых приходится доказывать. Для доказательства перпендикулярности двух прямых достаточно показать, используя любые геометрические методы, что угол между прямыми равен девяноста градусам.

А как ответить на вопрос «перпендикулярны ли прямые», если известны уравнения, задающие эти прямые в прямоугольной системе координат на плоскости или в трехмерном пространстве?

Для этого следует воспользоваться необходимым и достаточным условием перпендикулярности двух прямых. Сформулируем его в виде теоремы.

Доказательство этого условия перпендикулярности прямых основано на определении направляющего вектора прямой и на определении перпендикулярных прямых.

Итак, необходимое и достаточное условие перпендикулярности прямых a и b в прямоугольной системе координат Oxy на плоскости имеет вид Как доказать что прямые перпендикулярны. Смотреть фото Как доказать что прямые перпендикулярны. Смотреть картинку Как доказать что прямые перпендикулярны. Картинка про Как доказать что прямые перпендикулярны. Фото Как доказать что прямые перпендикулярны, где Как доказать что прямые перпендикулярны. Смотреть фото Как доказать что прямые перпендикулярны. Смотреть картинку Как доказать что прямые перпендикулярны. Картинка про Как доказать что прямые перпендикулярны. Фото Как доказать что прямые перпендикулярныи Как доказать что прямые перпендикулярны. Смотреть фото Как доказать что прямые перпендикулярны. Смотреть картинку Как доказать что прямые перпендикулярны. Картинка про Как доказать что прямые перпендикулярны. Фото Как доказать что прямые перпендикулярны— направляющие векторы прямых a и b соответственно.

Это условие удобно использовать, когда легко находятся координаты направляющих векторов прямых, а также когда прямым a и b соответствуют канонические уравнения прямой на плоскости или параметрические уравнения прямой на плоскости.

да, прямые перпендикулярны.

Являются ли прямые Как доказать что прямые перпендикулярны. Смотреть фото Как доказать что прямые перпендикулярны. Смотреть картинку Как доказать что прямые перпендикулярны. Картинка про Как доказать что прямые перпендикулярны. Фото Как доказать что прямые перпендикулярныи Как доказать что прямые перпендикулярны. Смотреть фото Как доказать что прямые перпендикулярны. Смотреть картинку Как доказать что прямые перпендикулярны. Картинка про Как доказать что прямые перпендикулярны. Фото Как доказать что прямые перпендикулярныперпендикулярными?

Как доказать что прямые перпендикулярны. Смотреть фото Как доказать что прямые перпендикулярны. Смотреть картинку Как доказать что прямые перпендикулярны. Картинка про Как доказать что прямые перпендикулярны. Фото Как доказать что прямые перпендикулярны— направляющий вектор прямой Как доказать что прямые перпендикулярны. Смотреть фото Как доказать что прямые перпендикулярны. Смотреть картинку Как доказать что прямые перпендикулярны. Картинка про Как доказать что прямые перпендикулярны. Фото Как доказать что прямые перпендикулярны, а Как доказать что прямые перпендикулярны. Смотреть фото Как доказать что прямые перпендикулярны. Смотреть картинку Как доказать что прямые перпендикулярны. Картинка про Как доказать что прямые перпендикулярны. Фото Как доказать что прямые перпендикулярны— направляющий вектор прямой Как доказать что прямые перпендикулярны. Смотреть фото Как доказать что прямые перпендикулярны. Смотреть картинку Как доказать что прямые перпендикулярны. Картинка про Как доказать что прямые перпендикулярны. Фото Как доказать что прямые перпендикулярны. Вычислим скалярное произведение векторов Как доказать что прямые перпендикулярны. Смотреть фото Как доказать что прямые перпендикулярны. Смотреть картинку Как доказать что прямые перпендикулярны. Картинка про Как доказать что прямые перпендикулярны. Фото Как доказать что прямые перпендикулярныи Как доказать что прямые перпендикулярны. Смотреть фото Как доказать что прямые перпендикулярны. Смотреть картинку Как доказать что прямые перпендикулярны. Картинка про Как доказать что прямые перпендикулярны. Фото Как доказать что прямые перпендикулярны: Как доказать что прямые перпендикулярны. Смотреть фото Как доказать что прямые перпендикулярны. Смотреть картинку Как доказать что прямые перпендикулярны. Картинка про Как доказать что прямые перпендикулярны. Фото Как доказать что прямые перпендикулярны. Оно отлично от нуля, следовательно, направляющие векторы прямых не перпендикулярны. То есть, не выполняется условие перпендикулярности прямых, поэтому, исходные прямые не перпендикулярны.

нет, прямые не перпендикулярны.

Аналогично, необходимое и достаточное условие перпендикулярности прямых a и b в прямоугольной системе координат Oxyz в трехмерном пространстве имеет вид Как доказать что прямые перпендикулярны. Смотреть фото Как доказать что прямые перпендикулярны. Смотреть картинку Как доказать что прямые перпендикулярны. Картинка про Как доказать что прямые перпендикулярны. Фото Как доказать что прямые перпендикулярны, где Как доказать что прямые перпендикулярны. Смотреть фото Как доказать что прямые перпендикулярны. Смотреть картинку Как доказать что прямые перпендикулярны. Картинка про Как доказать что прямые перпендикулярны. Фото Как доказать что прямые перпендикулярныи Как доказать что прямые перпендикулярны. Смотреть фото Как доказать что прямые перпендикулярны. Смотреть картинку Как доказать что прямые перпендикулярны. Картинка про Как доказать что прямые перпендикулярны. Фото Как доказать что прямые перпендикулярны— направляющие векторы прямых a и b соответственно.

Перпендикулярны ли прямые, заданные в прямоугольной системе координат Oxyz в трехмерном пространстве уравнениями Как доказать что прямые перпендикулярны. Смотреть фото Как доказать что прямые перпендикулярны. Смотреть картинку Как доказать что прямые перпендикулярны. Картинка про Как доказать что прямые перпендикулярны. Фото Как доказать что прямые перпендикулярныи Как доказать что прямые перпендикулярны. Смотреть фото Как доказать что прямые перпендикулярны. Смотреть картинку Как доказать что прямые перпендикулярны. Картинка про Как доказать что прямые перпендикулярны. Фото Как доказать что прямые перпендикулярны?

Числа, стоящие в знаменателях канонических уравнений прямой в пространстве, являются соответствующими координатами направляющего вектора прямой. А координатами направляющего вектора прямой, которая задана параметрическими уравнениями прямой в пространстве, являются коэффициенты при параметре. Таким образом, Как доказать что прямые перпендикулярны. Смотреть фото Как доказать что прямые перпендикулярны. Смотреть картинку Как доказать что прямые перпендикулярны. Картинка про Как доказать что прямые перпендикулярны. Фото Как доказать что прямые перпендикулярныи Как доказать что прямые перпендикулярны. Смотреть фото Как доказать что прямые перпендикулярны. Смотреть картинку Как доказать что прямые перпендикулярны. Картинка про Как доказать что прямые перпендикулярны. Фото Как доказать что прямые перпендикулярны— направляющие векторы заданных прямых. Выясним, перпендикулярны ли они: Как доказать что прямые перпендикулярны. Смотреть фото Как доказать что прямые перпендикулярны. Смотреть картинку Как доказать что прямые перпендикулярны. Картинка про Как доказать что прямые перпендикулярны. Фото Как доказать что прямые перпендикулярны. Так как скалярное произведение равно нулю, то эти векторы перпендикулярны. Значит, выполняется условие перпендикулярности заданных прямых.

Для проверки перпендикулярности двух прямых на плоскости существуют другие необходимые и достаточные условия перпендикулярности.

Озвученное условие перпендикулярности прямых удобно использовать, если по заданным уравнениям прямых легко находятся координаты нормальных векторов прямых. Этому утверждению отвечает общее уравнение прямой вида Как доказать что прямые перпендикулярны. Смотреть фото Как доказать что прямые перпендикулярны. Смотреть картинку Как доказать что прямые перпендикулярны. Картинка про Как доказать что прямые перпендикулярны. Фото Как доказать что прямые перпендикулярны, уравнение прямой в отрезках Как доказать что прямые перпендикулярны. Смотреть фото Как доказать что прямые перпендикулярны. Смотреть картинку Как доказать что прямые перпендикулярны. Картинка про Как доказать что прямые перпендикулярны. Фото Как доказать что прямые перпендикулярныи уравнение прямой с угловым коэффициентом Как доказать что прямые перпендикулярны. Смотреть фото Как доказать что прямые перпендикулярны. Смотреть картинку Как доказать что прямые перпендикулярны. Картинка про Как доказать что прямые перпендикулярны. Фото Как доказать что прямые перпендикулярны.

Убедитесь, что прямые Как доказать что прямые перпендикулярны. Смотреть фото Как доказать что прямые перпендикулярны. Смотреть картинку Как доказать что прямые перпендикулярны. Картинка про Как доказать что прямые перпендикулярны. Фото Как доказать что прямые перпендикулярныи Как доказать что прямые перпендикулярны. Смотреть фото Как доказать что прямые перпендикулярны. Смотреть картинку Как доказать что прямые перпендикулярны. Картинка про Как доказать что прямые перпендикулярны. Фото Как доказать что прямые перпендикулярныперпендикулярны.

По заданным уравнениям прямых легко найти координаты нормальных векторов этих прямых. Как доказать что прямые перпендикулярны. Смотреть фото Как доказать что прямые перпендикулярны. Смотреть картинку Как доказать что прямые перпендикулярны. Картинка про Как доказать что прямые перпендикулярны. Фото Как доказать что прямые перпендикулярны– нормальный вектор прямой Как доказать что прямые перпендикулярны. Смотреть фото Как доказать что прямые перпендикулярны. Смотреть картинку Как доказать что прямые перпендикулярны. Картинка про Как доказать что прямые перпендикулярны. Фото Как доказать что прямые перпендикулярны. Перепишем уравнение Как доказать что прямые перпендикулярны. Смотреть фото Как доказать что прямые перпендикулярны. Смотреть картинку Как доказать что прямые перпендикулярны. Картинка про Как доказать что прямые перпендикулярны. Фото Как доказать что прямые перпендикулярныв виде Как доказать что прямые перпендикулярны. Смотреть фото Как доказать что прямые перпендикулярны. Смотреть картинку Как доказать что прямые перпендикулярны. Картинка про Как доказать что прямые перпендикулярны. Фото Как доказать что прямые перпендикулярны, откуда видны координаты нормального вектора этой прямой: Как доказать что прямые перпендикулярны. Смотреть фото Как доказать что прямые перпендикулярны. Смотреть картинку Как доказать что прямые перпендикулярны. Картинка про Как доказать что прямые перпендикулярны. Фото Как доказать что прямые перпендикулярны.

Векторы Как доказать что прямые перпендикулярны. Смотреть фото Как доказать что прямые перпендикулярны. Смотреть картинку Как доказать что прямые перпендикулярны. Картинка про Как доказать что прямые перпендикулярны. Фото Как доказать что прямые перпендикулярныи Как доказать что прямые перпендикулярны. Смотреть фото Как доказать что прямые перпендикулярны. Смотреть картинку Как доказать что прямые перпендикулярны. Картинка про Как доказать что прямые перпендикулярны. Фото Как доказать что прямые перпендикулярныперпендикулярны, так как их скалярное произведение равно нулю: Как доказать что прямые перпендикулярны. Смотреть фото Как доказать что прямые перпендикулярны. Смотреть картинку Как доказать что прямые перпендикулярны. Картинка про Как доказать что прямые перпендикулярны. Фото Как доказать что прямые перпендикулярны. Таким образом, выполняется необходимое и достаточное условие перпендикулярности заданных прямых, то есть, они действительно перпендикулярны.

В частности, если прямую a на плоскости определяет уравнение прямой с угловым коэффициентом вида Как доказать что прямые перпендикулярны. Смотреть фото Как доказать что прямые перпендикулярны. Смотреть картинку Как доказать что прямые перпендикулярны. Картинка про Как доказать что прямые перпендикулярны. Фото Как доказать что прямые перпендикулярны, а прямую b – вида Как доказать что прямые перпендикулярны. Смотреть фото Как доказать что прямые перпендикулярны. Смотреть картинку Как доказать что прямые перпендикулярны. Картинка про Как доказать что прямые перпендикулярны. Фото Как доказать что прямые перпендикулярны, то нормальные векторы этих прямых имеют координаты Как доказать что прямые перпендикулярны. Смотреть фото Как доказать что прямые перпендикулярны. Смотреть картинку Как доказать что прямые перпендикулярны. Картинка про Как доказать что прямые перпендикулярны. Фото Как доказать что прямые перпендикулярныи Как доказать что прямые перпендикулярны. Смотреть фото Как доказать что прямые перпендикулярны. Смотреть картинку Как доказать что прямые перпендикулярны. Картинка про Как доказать что прямые перпендикулярны. Фото Как доказать что прямые перпендикулярнысоответственно, а условие перпендикулярности этих прямых сводится к следующему соотношению между угловыми коэффициентами Как доказать что прямые перпендикулярны. Смотреть фото Как доказать что прямые перпендикулярны. Смотреть картинку Как доказать что прямые перпендикулярны. Картинка про Как доказать что прямые перпендикулярны. Фото Как доказать что прямые перпендикулярны.

Перпендикулярны ли прямые Как доказать что прямые перпендикулярны. Смотреть фото Как доказать что прямые перпендикулярны. Смотреть картинку Как доказать что прямые перпендикулярны. Картинка про Как доказать что прямые перпендикулярны. Фото Как доказать что прямые перпендикулярныи Как доказать что прямые перпендикулярны. Смотреть фото Как доказать что прямые перпендикулярны. Смотреть картинку Как доказать что прямые перпендикулярны. Картинка про Как доказать что прямые перпендикулярны. Фото Как доказать что прямые перпендикулярны?

Угловой коэффициент прямой Как доказать что прямые перпендикулярны. Смотреть фото Как доказать что прямые перпендикулярны. Смотреть картинку Как доказать что прямые перпендикулярны. Картинка про Как доказать что прямые перпендикулярны. Фото Как доказать что прямые перпендикулярныравен Как доказать что прямые перпендикулярны. Смотреть фото Как доказать что прямые перпендикулярны. Смотреть картинку Как доказать что прямые перпендикулярны. Картинка про Как доказать что прямые перпендикулярны. Фото Как доказать что прямые перпендикулярны, а угловой коэффициент прямой Как доказать что прямые перпендикулярны. Смотреть фото Как доказать что прямые перпендикулярны. Смотреть картинку Как доказать что прямые перпендикулярны. Картинка про Как доказать что прямые перпендикулярны. Фото Как доказать что прямые перпендикулярныравен Как доказать что прямые перпендикулярны. Смотреть фото Как доказать что прямые перпендикулярны. Смотреть картинку Как доказать что прямые перпендикулярны. Картинка про Как доказать что прямые перпендикулярны. Фото Как доказать что прямые перпендикулярны. Произведение угловых коэффициентов равно минус единице Как доказать что прямые перпендикулярны. Смотреть фото Как доказать что прямые перпендикулярны. Смотреть картинку Как доказать что прямые перпендикулярны. Картинка про Как доказать что прямые перпендикулярны. Фото Как доказать что прямые перпендикулярны, следовательно, прямые перпендикулярны.

заданные прямые перпендикулярны.

Можно озвучить еще одно условие перпендикулярности прямых на плоскости.

Для перпендикулярности прямых a и b на плоскости необходимо и достаточно, чтобы направляющий вектор одной прямой и нормальный вектор второй прямой были коллинеарны.

Этим условием, очевидно, удобно пользоваться, когда легко находятся координаты направляющего вектора одной прямой и координаты нормального вектора второй прямой, то есть, когда одна прямая задана каноническим уравнением или параметрическими уравнениями прямой на плоскости, а вторая – или общим уравнением прямой, или уравнением прямой в отрезках, или уравнением прямой с угловым коэффициентом.

Являются ли прямые Как доказать что прямые перпендикулярны. Смотреть фото Как доказать что прямые перпендикулярны. Смотреть картинку Как доказать что прямые перпендикулярны. Картинка про Как доказать что прямые перпендикулярны. Фото Как доказать что прямые перпендикулярныи Как доказать что прямые перпендикулярны. Смотреть фото Как доказать что прямые перпендикулярны. Смотреть картинку Как доказать что прямые перпендикулярны. Картинка про Как доказать что прямые перпендикулярны. Фото Как доказать что прямые перпендикулярныперпендикулярными?

Источник

Как доказать что прямые перпендикулярны

Углы бывают острые, прямые и тупые.

Как доказать что прямые перпендикулярны. Смотреть фото Как доказать что прямые перпендикулярны. Смотреть картинку Как доказать что прямые перпендикулярны. Картинка про Как доказать что прямые перпендикулярны. Фото Как доказать что прямые перпендикулярны

Угол с градусной мерой 90° называется прямым. Если угол меньше 90°, его называют острым, а если больше 90° — тупым. Угол, равный 180° (то есть образующий прямую линию), называют развёрнутым.

Как доказать что прямые перпендикулярны. Смотреть фото Как доказать что прямые перпендикулярны. Смотреть картинку Как доказать что прямые перпендикулярны. Картинка про Как доказать что прямые перпендикулярны. Фото Как доказать что прямые перпендикулярны

Два угла с одной общей стороной называются смежными.

Как доказать что прямые перпендикулярны. Смотреть фото Как доказать что прямые перпендикулярны. Смотреть картинку Как доказать что прямые перпендикулярны. Картинка про Как доказать что прямые перпендикулярны. Фото Как доказать что прямые перпендикулярны

На рисунке луч ОС делит развёрнутый AOB =180° на две части, образуя тупой 1 и острый 2.

Поэтому если один из смежных углов прямой, то второй также оказывается прямым: 180° – 90° = 90°

Как доказать что прямые перпендикулярны. Смотреть фото Как доказать что прямые перпендикулярны. Смотреть картинку Как доказать что прямые перпендикулярны. Картинка про Как доказать что прямые перпендикулярны. Фото Как доказать что прямые перпендикулярны

При пересечении двух прямых образуются четыре угла:

Как доказать что прямые перпендикулярны. Смотреть фото Как доказать что прямые перпендикулярны. Смотреть картинку Как доказать что прямые перпендикулярны. Картинка про Как доказать что прямые перпендикулярны. Фото Как доказать что прямые перпендикулярны

Обе стороны 1 также являются сторонами 3, а стороны 2 продолжают стороны 4. Такие углы называют вертикальными.

∡1 и ∡2 — смежные, как и ∡1 и ∡4. Следовательно:
∡1 + ∡2 = 180°
∡1 + ∡4 = 180°
∡2 = ∡4

То же справедливо и для ∡1 и ∡3.

Прямые, пересекающиеся под прямым углом, называются перпендикулярными.

Как доказать что прямые перпендикулярны. Смотреть фото Как доказать что прямые перпендикулярны. Смотреть картинку Как доказать что прямые перпендикулярны. Картинка про Как доказать что прямые перпендикулярны. Фото Как доказать что прямые перпендикулярны

1 равен 90°, остальные углы оказываются для него либо смежными, либо вертикальными, а значит, тоже равными 90°.

Перпендикулярность прямых принято обозначать так: a⟂b

Изучайте математику вместе с преподавателями домашней онлайн-школы «Фоксфорда»! По промокоду GEOM72021 вы получите неделю бесплатного доступа к курсу геометрии 7 класса, в котором изучаются перпендикулярные прямые!

Теорема о перпендикулярных прямых

Через каждую точку прямой можно провести перпендикулярную ей прямую, притом только одну.

Построим доказательство теоремы о перпендикулярных прямых «от противного», то есть для начала предположим, что утверждение неверно.

Возьмём прямую a, отметим на ней точки О и B. От луча OB отложим ∡BOA = 90°. Таким образом, отрезок OA будет находиться на прямой, перпендикулярной а.

Как доказать что прямые перпендикулярны. Смотреть фото Как доказать что прямые перпендикулярны. Смотреть картинку Как доказать что прямые перпендикулярны. Картинка про Как доказать что прямые перпендикулярны. Фото Как доказать что прямые перпендикулярны

Теперь предположим, что в той же полуплоскости существует другой перпендикуляр к а, проходящий через О. Назовём его OK. ∡BOK и ∡BOA, равны 90° и лежат в одной полуплоскости относительно луча OB. Но от луча OB в данной полуплоскости можно отложить только один прямой угол. Поэтому другой прямой, проходящей через О и перпендикулярной a, не существует. Теорема доказана.

Свойство перпендикулярных прямых

Две прямые, перпендикулярные третьей, не пересекаются.

Как доказать что прямые перпендикулярны. Смотреть фото Как доказать что прямые перпендикулярны. Смотреть картинку Как доказать что прямые перпендикулярны. Картинка про Как доказать что прямые перпендикулярны. Фото Как доказать что прямые перпендикулярны

Пусть a⟂b и a⟂c. b и с не пересекаются, ведь если бы существовала точка их пересечения, значит, через неё проходили бы две прямые, перпендикулярные a, что невозможно согласно теореме о перпендикулярных прямых. Следовательно, b||с.

Как доказать что прямые перпендикулярны. Смотреть фото Как доказать что прямые перпендикулярны. Смотреть картинку Как доказать что прямые перпендикулярны. Картинка про Как доказать что прямые перпендикулярны. Фото Как доказать что прямые перпендикулярны

Как доказать что прямые перпендикулярны. Смотреть фото Как доказать что прямые перпендикулярны. Смотреть картинку Как доказать что прямые перпендикулярны. Картинка про Как доказать что прямые перпендикулярны. Фото Как доказать что прямые перпендикулярны

Как доказать что прямые перпендикулярны. Смотреть фото Как доказать что прямые перпендикулярны. Смотреть картинку Как доказать что прямые перпендикулярны. Картинка про Как доказать что прямые перпендикулярны. Фото Как доказать что прямые перпендикулярны

Как доказать что прямые перпендикулярны. Смотреть фото Как доказать что прямые перпендикулярны. Смотреть картинку Как доказать что прямые перпендикулярны. Картинка про Как доказать что прямые перпендикулярны. Фото Как доказать что прямые перпендикулярны

Как доказать что прямые перпендикулярны. Смотреть фото Как доказать что прямые перпендикулярны. Смотреть картинку Как доказать что прямые перпендикулярны. Картинка про Как доказать что прямые перпендикулярны. Фото Как доказать что прямые перпендикулярны

У нас вы сможете учиться в удобном темпе, делать упор на любимые предметы и общаться со сверстниками по всему миру.

Как доказать что прямые перпендикулярны. Смотреть фото Как доказать что прямые перпендикулярны. Смотреть картинку Как доказать что прямые перпендикулярны. Картинка про Как доказать что прямые перпендикулярны. Фото Как доказать что прямые перпендикулярныКак доказать что прямые перпендикулярны. Смотреть фото Как доказать что прямые перпендикулярны. Смотреть картинку Как доказать что прямые перпендикулярны. Картинка про Как доказать что прямые перпендикулярны. Фото Как доказать что прямые перпендикулярныПопробовать бесплатно

Как доказать что прямые перпендикулярны. Смотреть фото Как доказать что прямые перпендикулярны. Смотреть картинку Как доказать что прямые перпендикулярны. Картинка про Как доказать что прямые перпендикулярны. Фото Как доказать что прямые перпендикулярны

Как доказать что прямые перпендикулярны. Смотреть фото Как доказать что прямые перпендикулярны. Смотреть картинку Как доказать что прямые перпендикулярны. Картинка про Как доказать что прямые перпендикулярны. Фото Как доказать что прямые перпендикулярны

Интересное по рубрике

Найдите необходимую статью по тегам

Как доказать что прямые перпендикулярны. Смотреть фото Как доказать что прямые перпендикулярны. Смотреть картинку Как доказать что прямые перпендикулярны. Картинка про Как доказать что прямые перпендикулярны. Фото Как доказать что прямые перпендикулярны

Подпишитесь на нашу рассылку

Мы в инстаграм

Домашняя онлайн-школа
Помогаем ученикам 5–11 классов получать качественные знания в любой точке мира, совмещать учёбу со спортом и творчеством

Как доказать что прямые перпендикулярны. Смотреть фото Как доказать что прямые перпендикулярны. Смотреть картинку Как доказать что прямые перпендикулярны. Картинка про Как доказать что прямые перпендикулярны. Фото Как доказать что прямые перпендикулярныПосмотреть

Рекомендуем прочитать

Реальный опыт семейного обучения

Как доказать что прямые перпендикулярны. Смотреть фото Как доказать что прямые перпендикулярны. Смотреть картинку Как доказать что прямые перпендикулярны. Картинка про Как доказать что прямые перпендикулярны. Фото Как доказать что прямые перпендикулярны

Как доказать что прямые перпендикулярны. Смотреть фото Как доказать что прямые перпендикулярны. Смотреть картинку Как доказать что прямые перпендикулярны. Картинка про Как доказать что прямые перпендикулярны. Фото Как доказать что прямые перпендикулярны

Как доказать что прямые перпендикулярны. Смотреть фото Как доказать что прямые перпендикулярны. Смотреть картинку Как доказать что прямые перпендикулярны. Картинка про Как доказать что прямые перпендикулярны. Фото Как доказать что прямые перпендикулярны

Как доказать что прямые перпендикулярны. Смотреть фото Как доказать что прямые перпендикулярны. Смотреть картинку Как доказать что прямые перпендикулярны. Картинка про Как доказать что прямые перпендикулярны. Фото Как доказать что прямые перпендикулярны

Звонок по России бесплатный

Как доказать что прямые перпендикулярны. Смотреть фото Как доказать что прямые перпендикулярны. Смотреть картинку Как доказать что прямые перпендикулярны. Картинка про Как доказать что прямые перпендикулярны. Фото Как доказать что прямые перпендикулярны

Как доказать что прямые перпендикулярны. Смотреть фото Как доказать что прямые перпендикулярны. Смотреть картинку Как доказать что прямые перпендикулярны. Картинка про Как доказать что прямые перпендикулярны. Фото Как доказать что прямые перпендикулярны

Посмотреть на карте

Если вы не нашли ответ на свой вопрос на нашем сайте, включая раздел «Вопросы и ответы», закажите обратный звонок. Мы скоро свяжемся с вами.

Источник

Стереометрия. Страница 3

Как доказать что прямые перпендикулярны. Смотреть фото Как доказать что прямые перпендикулярны. Смотреть картинку Как доказать что прямые перпендикулярны. Картинка про Как доказать что прямые перпендикулярны. Фото Как доказать что прямые перпендикулярны

Главная > Учебные материалы > Математика: Стереометрия. Страница 3
Как доказать что прямые перпендикулярны. Смотреть фото Как доказать что прямые перпендикулярны. Смотреть картинку Как доказать что прямые перпендикулярны. Картинка про Как доказать что прямые перпендикулярны. Фото Как доказать что прямые перпендикулярны
Как доказать что прямые перпендикулярны. Смотреть фото Как доказать что прямые перпендикулярны. Смотреть картинку Как доказать что прямые перпендикулярны. Картинка про Как доказать что прямые перпендикулярны. Фото Как доказать что прямые перпендикулярны
1.Перпендикулярность прямых в пространстве.
2.Признак перпендикулярности прямой и плоскости.
3.Теорема о трех перпендикулярах.
4.Признак перпендикулярности плоскостей.
5.Расстояние между скрещивающимися прямыми.
6.Примеры.

1. Перпендикулярность прямых в пространстве

Теорема. Если две пересекающиеся прямые параллельны двум перпендикулярным прямым, то они перпендикулярны и между собой.

Как доказать что прямые перпендикулярны. Смотреть фото Как доказать что прямые перпендикулярны. Смотреть картинку Как доказать что прямые перпендикулярны. Картинка про Как доказать что прямые перпендикулярны. Фото Как доказать что прямые перпендикулярны

Рис. 1 Перпендикулярность прямых в пространстве.

2.Признак перпендикулярности прямой и плоскости

Теорема. Прямая, перпендикулярная двум пересекающимся прямым на плоскости, перпендикулярна данной плоскости.

Доказательство. Пусть прямые k и b две пересекающиеся прямые на плоскости α. Прямая а перпендикулярна прямым k и b. Доказать, что прямая а перпендикулярна плоскости α. (Рис.2)

Проведем произвольную прямую х от точки А и прямую АВ, которая пересечет прямые k и b в точках К и В на плоскости α. Отложим на прямой а два равных отрезка в разные стороны АА’ и AA». Тогда треугольники АА’K и AA»K будут равны по двум сторонам и углу между ними. Так же как и треугольники АА’В и AA»В. Отсюда следует, что треугольники А’BK и А»BK равны по третьему признаку равенства треугольников. И следовательно, треугольники А’BE и A»BE равны, т.к. одна сторона у них общая ВЕ, стороны А’B и А»B равны из предыдущих рассуждений. Углы между этими сторонами также равны. Следовательно мы приходим к выводу, что треугольники А’AE и A»AE равны по трем сторонам. АЕ является медианой, биссектрисой и высотой, так как стороны А’Е и A»Е у них равные. И следовательно, угол между сторонами АА’ и АЕ равен 90°. Это значит, что прямая а перпендикулярна плоскости α.

Как доказать что прямые перпендикулярны. Смотреть фото Как доказать что прямые перпендикулярны. Смотреть картинку Как доказать что прямые перпендикулярны. Картинка про Как доказать что прямые перпендикулярны. Фото Как доказать что прямые перпендикулярны

Рис.2 Признак перпендикулярности прямой и плоскости

3. Теорема о трех перпендикулярах

Теорема: если прямая, проведенная на плоскости и проходящая через основание наклонной, перпендикулярна ее проекции, то она перпендикулярна и наклонной.

Доказательство.

Проведем прямую через основание наклонной AD и параллельную прямой СВ. Тогда прямая AD также перпендикулярна плоскости α и соответственно прямой а. Проведем плоскость β через прямые АD и CB. Тогда, если прямая а перпендикулярна проекции наклонной АВ, то она перпендикулярна плоскости β. А следовательно, любой прямой в этой плоскости, т.е. самой наклонной АС.

Следует отметить, что верно и обратное утверждение. Если прямая, проведенная на плоскости через основание наклонной ей перпендикулярна, то она перпендикулярна и проекции наклонной на эту плоскость.

Как доказать что прямые перпендикулярны. Смотреть фото Как доказать что прямые перпендикулярны. Смотреть картинку Как доказать что прямые перпендикулярны. Картинка про Как доказать что прямые перпендикулярны. Фото Как доказать что прямые перпендикулярны

Рис. 3 Теорема отрех перпендикулярах.

4. Признак перпендикулярности плоскостей

Теорема: Две пересекающиеся плоскости называются перпендикулярными, если третья плоскость перпендикулярна их прямой пересечения и пересекает их по перпендикулярным прямым.

Пусть даны две плоскости α и β, которые пересекаются по прямой с (Рис.4). Проведем плоскость γ, которая пересекает плоскости α и β по прямым а и b. Плоскость γ перпендикулярна прямой с. Прямые а и b также перпендикулярны прямой с. Следовательно плоскости α и β перпендикулярны.

Если взять другую плоскость, параллельную плоскости γ, например плоскость γ’, которая пересекает прямую с под прямым углом, она пересечет плоскости α и β по прямым a’ и b’, которые будут параллельны прямым а и b. По теореме о перпендикулярности прямых в пространстве прямые a’ и b’ также будут перпендикулярны, как и прямые а и b. Что и требовалось доказать.

Как доказать что прямые перпендикулярны. Смотреть фото Как доказать что прямые перпендикулярны. Смотреть картинку Как доказать что прямые перпендикулярны. Картинка про Как доказать что прямые перпендикулярны. Фото Как доказать что прямые перпендикулярны

Рис. 4 Признак перпендикулярности плоскостей.

Теорема: Если плоскость проходит через прямую, перпендикулярную другой плоскости, то эти плоскости перпендикулярны.

Проведем через точку А на плоскости α прямую b, перпендикулярную прямой а. Через прямые b и с проведем плоскость γ. Она перпендикулярна прямой а, так как прямая а перпендикулярна двум прямым b и с. Тогда плоскость β пересекает две плоскости α и γ по двум перпендикулярным прямым а и с. И пересекает прямую пересечения b под прямым углом. Следовательно плоскости α и β перпендикулярны.

Как доказать что прямые перпендикулярны. Смотреть фото Как доказать что прямые перпендикулярны. Смотреть картинку Как доказать что прямые перпендикулярны. Картинка про Как доказать что прямые перпендикулярны. Фото Как доказать что прямые перпендикулярны

Рис. 4.1 Перпендикулярность плоскостей.

5. Расстояние между скрещивающимися прямыми

Теорема. Две скрещивающиеся прямые имеют только один общий перпендикуляр, который также является перпендикуляром между параллельными плоскостями, проведенными через эти прямые.

Доказательство. Пусть а и b две скрещивающиеся прямые (Рис.5). Проведем через них две плоскости α и β, параллельные друг другу. А от прямой а проведем перпендикуляры на плоскость β. Таким образом, получим плоскость γ, которая перпендикулярна обоим плоскостям α и β и пересекает плоскость β по прямой a’. Прямые а и a’ параллельны. Прямая a’ пересекает прямую b в точке А. Следовательно, один из перпендикуляров, проведенных от каждой точки прямой а на плоскость β, т.е. отрезок АВ и есть общий перпендикуляр между прямыми а и b.

Допустим, что существует еще один общий перпендикуляр между прямыми а и b это CD. Тогда два перпендикуляра пересекают прямые а и b в точках А,В,С,D, которые в свою очередь параллельны между собой. Следовательно через них можно провести плоскость. А в этой плоскости лежат и две прямые а и b, которые также будут параллельны между собой. А это противоречит условию, т.к. прямые а и b являются скрещивающимися. Следовательно у двух скрещивающихся прямых может быть только один общий перпендикуляр.

Отсюда следует, что расстояние между двумя скрещивающимися прямыми равно длине их общего перпендикуляра.

Как доказать что прямые перпендикулярны. Смотреть фото Как доказать что прямые перпендикулярны. Смотреть картинку Как доказать что прямые перпендикулярны. Картинка про Как доказать что прямые перпендикулярны. Фото Как доказать что прямые перпендикулярны

Рис. 5 Расстояние между скрещивающимися прямыми.

Как доказать что прямые перпендикулярны. Смотреть фото Как доказать что прямые перпендикулярны. Смотреть картинку Как доказать что прямые перпендикулярны. Картинка про Как доказать что прямые перпендикулярны. Фото Как доказать что прямые перпендикулярны

5. Пример 1

Докажите, что через точку, не лежащую в данной плоскости, можно провести только одну прямую, перпендикулярную данной плоскости.

Доказательство:

Пусть дана плоскость α и точка А, не лежащая на данной плоскости. Проведем в плоскости α две пересекающиеся прямые d и c. А через их точку пересечения О проведем прямую f, перпендикулярную d и с (Рис.6).

Тогда по признаку перпендикулярности прямой и плоскости, прямая f будет перпендикулярна плоскости α. Теперь проведем прямую АВ, параллельную прямой f. Тогда АВ будет перпендикуляром к плоскости α также.

Возьмем на прямой b произвольную точку С и проведем в плоскости β прямую а, перпендикулярную прямой b. Тогда согласно аксиоме, (через точку, не лежащую на данной прямой, можно провести только одну прямую, параллельную данной), прямая АВ, параллельная прямой а, единственная. Т.е. перпендикуляр АВ к прямой b. Таким образом, перпендикуляр АВ единственный.

Как доказать что прямые перпендикулярны. Смотреть фото Как доказать что прямые перпендикулярны. Смотреть картинку Как доказать что прямые перпендикулярны. Картинка про Как доказать что прямые перпендикулярны. Фото Как доказать что прямые перпендикулярны

Рис.6 Задача. Докажите, что через точку, не лежащую в данной плоскости.

Пример 2

Через точку А прямой а проведены перпендикулярные ей плоскость β и прямая b. Докажите, что прямая b лежит в плоскости β.

Доказательство:

Пусть дана прямая а, перпендикулярные ей плоскость β и прямая b. Плоскость β и прямая b проходят через точку А прямой а (Рис.7). Необходимо доказать, что прямая b принадлежит плоскости β.

Проведем через две пересекающиеся прямые а и b плоскость α. Тогда две плоскости α и β пересекаются по прямой b’. Так как точка А принадлежит обоим плоскостям, то она лежит на прямой b’.

Таким образом, получается, что через точку А проходят две прямые b и b’, которые принадлежат плоскости α. Плоскость β перпендикулярна прямой а по условию задачи. А следовательно, прямая а перпендикулярна прямой b’. Отсюда следует, что через точку А проходят две прямые, лежащие в одной плоскости α, и перпендикулярные прямой а. А это невозможно. Так как через точку прямой можно провести только одну перпендикулярную ей прямую. Следовательно, прямые b и b’ совпадают. А отсюда следует, что прямая b полностью принадлежит плоскости β.

Как доказать что прямые перпендикулярны. Смотреть фото Как доказать что прямые перпендикулярны. Смотреть картинку Как доказать что прямые перпендикулярны. Картинка про Как доказать что прямые перпендикулярны. Фото Как доказать что прямые перпендикулярны

Рис.7 Задача. Через точку А прямой а проведены перпендикулярные ей плоскость β.

Пример 3

Через центр описанной около треугольника окружности проведена прямая, перпендикулярная плоскости треугольника. Докажите, что каждая точка этой прямой равноудалена от вершин треугольника.

Доказательство:

Пусть дан треугольник АВС и описанная вокруг него окружность с центром в точке О. Прямая а перпендикулярна плоскости треугольника (Рис.8). Необходимо доказать, что каждая точка прямой а равноудалена от вершин треугольника А, В и С.

Рассмотрим треугольник АВС. Вокруг него описана окружность с центром в точке О, поэтому отрезки АО, ВО и СО равны как радиусы. Теперь возьмем произвольную точку Х на прямой а. Так как прямая а перпендикулярна плоскости треугольника, то треугольники АОХ, ВОХ и СОХ равны по первому признаку равенства треугольников, т.е. по двум сторонам и углу между ними. У них сторона ОХ общая, а стороны АО, ВО и СО равны как радиусы. И углы между этими сторонами составляют 90°.

Отсюда можно сделать вывод, что стороны АХ, ВХ и СХ этих треугольников равны. Т.е. расстояние от вершин треугольника АВС до любой точки прямой а одинаковые.

Как доказать что прямые перпендикулярны. Смотреть фото Как доказать что прямые перпендикулярны. Смотреть картинку Как доказать что прямые перпендикулярны. Картинка про Как доказать что прямые перпендикулярны. Фото Как доказать что прямые перпендикулярны

Рис.8 Задача. Через центр описанной около треугольника окружности.

Пример 4

Через вершину А прямоугольника ABCD проведена прямая АК, перпендикулярная его плоскости. Расстояние от точки К до других вершин прямоугольника равны 9 см, 13 см и 15 см. Найдите АК.

Решение:

Пусть дан прямоугольник АВСD и прямая АК, перпендикулярная плоскости прямоугольника. ВК = 9 см, СК = 15 см, DK = 13 см (Рис.9). Необходимо найти АК.

Так как прямая АК перпендикулярна плоскости прямоугольника, то она перпендикулярна прямым АВ, AD и АС. Отсюда следует, что по теореме Пифагора можно составить следующие соотношения:

АВ 2 + AD 2 + AK 2 = CK 2

AK 2 = 25 или АК = 5 см.

Как доказать что прямые перпендикулярны. Смотреть фото Как доказать что прямые перпендикулярны. Смотреть картинку Как доказать что прямые перпендикулярны. Картинка про Как доказать что прямые перпендикулярны. Фото Как доказать что прямые перпендикулярны

Рис.9 Задача. Через вершину А прямоугольника ABCD.

Пример 5

Через основание трапеции проведена плоскость, отстоящая от другого основания на расстоянии 2 см. Найдите расстояние от точки пересечения диагоналей трапеции до этой плоскости, если основания трапеции относятся как 4:5 (верхнее к нижнему).

Решение:

Пусть дана трапеция АВСD. Плоскость α проведена через основание AD (Рис.10). ВС / AD = 4 / 5. Необходимо найти OO’.

Рассмотрим треугольники ВОС и AOD. Они подобны по трем углам. Коэффициент подобия составляет 4 / 5. Отсюда следует, что высоты ОЕ и ОF также относятся как 4 / 5.

Теперь рассмотрим треугольники FOO’ и FEE’. Они также подобны по трем углам. Коэффициент подобия у них составляет 5 / 9.

Таким образом, OO’ = EE’ 5 / 9 = 2*5 / 9 = 10 / 9 см.

Как доказать что прямые перпендикулярны. Смотреть фото Как доказать что прямые перпендикулярны. Смотреть картинку Как доказать что прямые перпендикулярны. Картинка про Как доказать что прямые перпендикулярны. Фото Как доказать что прямые перпендикулярны

Рис.10 Задача. Через основание трапеции проведена плоскость.

Источник

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *