Как доказать что равнобедренный треугольник прямоугольный треугольник

Прямоугольный равнобедренный треугольник

Определение прямоугольного равнобедренного треугольника

Прямоугольный равнобедренный треугольник – это прямоугольный треугольник, у которого равны катеты.

Как доказать что равнобедренный треугольник прямоугольный треугольник. Смотреть фото Как доказать что равнобедренный треугольник прямоугольный треугольник. Смотреть картинку Как доказать что равнобедренный треугольник прямоугольный треугольник. Картинка про Как доказать что равнобедренный треугольник прямоугольный треугольник. Фото Как доказать что равнобедренный треугольник прямоугольный треугольник

Прямоугольный равнобедренный треугольник

Свойств углов равнобедренного прямоугольного треугольника

Углы при основании прямоугольного равнобедренного треугольника равны по 45 градусов:

Как доказать что равнобедренный треугольник прямоугольный треугольник. Смотреть фото Как доказать что равнобедренный треугольник прямоугольный треугольник. Смотреть картинку Как доказать что равнобедренный треугольник прямоугольный треугольник. Картинка про Как доказать что равнобедренный треугольник прямоугольный треугольник. Фото Как доказать что равнобедренный треугольник прямоугольный треугольник

Доказательство

Как доказать что равнобедренный треугольник прямоугольный треугольник. Смотреть фото Как доказать что равнобедренный треугольник прямоугольный треугольник. Смотреть картинку Как доказать что равнобедренный треугольник прямоугольный треугольник. Картинка про Как доказать что равнобедренный треугольник прямоугольный треугольник. Фото Как доказать что равнобедренный треугольник прямоугольный треугольник

Как доказать что равнобедренный треугольник прямоугольный треугольник. Смотреть фото Как доказать что равнобедренный треугольник прямоугольный треугольник. Смотреть картинку Как доказать что равнобедренный треугольник прямоугольный треугольник. Картинка про Как доказать что равнобедренный треугольник прямоугольный треугольник. Фото Как доказать что равнобедренный треугольник прямоугольный треугольник

Как доказать что равнобедренный треугольник прямоугольный треугольник. Смотреть фото Как доказать что равнобедренный треугольник прямоугольный треугольник. Смотреть картинку Как доказать что равнобедренный треугольник прямоугольный треугольник. Картинка про Как доказать что равнобедренный треугольник прямоугольный треугольник. Фото Как доказать что равнобедренный треугольник прямоугольный треугольник

Что и требовалось доказать.

Как доказать что равнобедренный треугольник прямоугольный треугольник. Смотреть фото Как доказать что равнобедренный треугольник прямоугольный треугольник. Смотреть картинку Как доказать что равнобедренный треугольник прямоугольный треугольник. Картинка про Как доказать что равнобедренный треугольник прямоугольный треугольник. Фото Как доказать что равнобедренный треугольник прямоугольный треугольник

Свойств углов равнобедренного прямоугольного треугольника

Теорема Пифагора для прямоугольного равнобедренного треугольника

В равнобедренном прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен удвоенному квадрату катета:

Как доказать что равнобедренный треугольник прямоугольный треугольник. Смотреть фото Как доказать что равнобедренный треугольник прямоугольный треугольник. Смотреть картинку Как доказать что равнобедренный треугольник прямоугольный треугольник. Картинка про Как доказать что равнобедренный треугольник прямоугольный треугольник. Фото Как доказать что равнобедренный треугольник прямоугольный треугольник

Доказательство

По теореме Пифагора, квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов:

Как доказать что равнобедренный треугольник прямоугольный треугольник. Смотреть фото Как доказать что равнобедренный треугольник прямоугольный треугольник. Смотреть картинку Как доказать что равнобедренный треугольник прямоугольный треугольник. Картинка про Как доказать что равнобедренный треугольник прямоугольный треугольник. Фото Как доказать что равнобедренный треугольник прямоугольный треугольник

Так как в равнобедренном прямоугольном треугольнике катеты равны:

Как доказать что равнобедренный треугольник прямоугольный треугольник. Смотреть фото Как доказать что равнобедренный треугольник прямоугольный треугольник. Смотреть картинку Как доказать что равнобедренный треугольник прямоугольный треугольник. Картинка про Как доказать что равнобедренный треугольник прямоугольный треугольник. Фото Как доказать что равнобедренный треугольник прямоугольный треугольник

Как доказать что равнобедренный треугольник прямоугольный треугольник. Смотреть фото Как доказать что равнобедренный треугольник прямоугольный треугольник. Смотреть картинку Как доказать что равнобедренный треугольник прямоугольный треугольник. Картинка про Как доказать что равнобедренный треугольник прямоугольный треугольник. Фото Как доказать что равнобедренный треугольник прямоугольный треугольник

Перепишем в других обозначениях:

Как доказать что равнобедренный треугольник прямоугольный треугольник. Смотреть фото Как доказать что равнобедренный треугольник прямоугольный треугольник. Смотреть картинку Как доказать что равнобедренный треугольник прямоугольный треугольник. Картинка про Как доказать что равнобедренный треугольник прямоугольный треугольник. Фото Как доказать что равнобедренный треугольник прямоугольный треугольник

Что и требовалось доказать.

Как доказать что равнобедренный треугольник прямоугольный треугольник. Смотреть фото Как доказать что равнобедренный треугольник прямоугольный треугольник. Смотреть картинку Как доказать что равнобедренный треугольник прямоугольный треугольник. Картинка про Как доказать что равнобедренный треугольник прямоугольный треугольник. Фото Как доказать что равнобедренный треугольник прямоугольный треугольник

Теорема Пифагора для прямоугольного равнобедренного треугольника

Площадь равнобедренного прямоугольного треугольника

Площадь равнобедренного прямоугольного треугольника равна половине квадрата катета:

Как доказать что равнобедренный треугольник прямоугольный треугольник. Смотреть фото Как доказать что равнобедренный треугольник прямоугольный треугольник. Смотреть картинку Как доказать что равнобедренный треугольник прямоугольный треугольник. Картинка про Как доказать что равнобедренный треугольник прямоугольный треугольник. Фото Как доказать что равнобедренный треугольник прямоугольный треугольник

Доказательство

Как доказать что равнобедренный треугольник прямоугольный треугольник. Смотреть фото Как доказать что равнобедренный треугольник прямоугольный треугольник. Смотреть картинку Как доказать что равнобедренный треугольник прямоугольный треугольник. Картинка про Как доказать что равнобедренный треугольник прямоугольный треугольник. Фото Как доказать что равнобедренный треугольник прямоугольный треугольник

Так как катеты равны AB = BC, то получим:

Как доказать что равнобедренный треугольник прямоугольный треугольник. Смотреть фото Как доказать что равнобедренный треугольник прямоугольный треугольник. Смотреть картинку Как доказать что равнобедренный треугольник прямоугольный треугольник. Картинка про Как доказать что равнобедренный треугольник прямоугольный треугольник. Фото Как доказать что равнобедренный треугольник прямоугольный треугольник

Перепишем в других обозначениях:

Как доказать что равнобедренный треугольник прямоугольный треугольник. Смотреть фото Как доказать что равнобедренный треугольник прямоугольный треугольник. Смотреть картинку Как доказать что равнобедренный треугольник прямоугольный треугольник. Картинка про Как доказать что равнобедренный треугольник прямоугольный треугольник. Фото Как доказать что равнобедренный треугольник прямоугольный треугольник

Что и требовалось доказать.

Как доказать что равнобедренный треугольник прямоугольный треугольник. Смотреть фото Как доказать что равнобедренный треугольник прямоугольный треугольник. Смотреть картинку Как доказать что равнобедренный треугольник прямоугольный треугольник. Картинка про Как доказать что равнобедренный треугольник прямоугольный треугольник. Фото Как доказать что равнобедренный треугольник прямоугольный треугольник

Площадь равнобедренного прямоугольного треугольника

Свойство высот равнобедренного прямоугольного треугольника

Две высоты равнобедренного прямоугольного треугольника совпадают с его катетами:

Третья высота, проведенная из прямого угла, является медианой, биссектрисой, а также радиусом описанной окружности:

ВК – высота, медиана и биссектриса.

Как доказать что равнобедренный треугольник прямоугольный треугольник. Смотреть фото Как доказать что равнобедренный треугольник прямоугольный треугольник. Смотреть картинку Как доказать что равнобедренный треугольник прямоугольный треугольник. Картинка про Как доказать что равнобедренный треугольник прямоугольный треугольник. Фото Как доказать что равнобедренный треугольник прямоугольный треугольник

Высоты равнобедренного прямоугольного треугольника

Свойства описанной вокруг равнобедренного прямоугольного треугольника окружности

Центр описанной окружности вокруг равнобедренного прямоугольного треугольника лежит на середине гипотенузы:

К – центр описанной вокруг прямоугольного равнобедренного треугольника окружности;

Как доказать что равнобедренный треугольник прямоугольный треугольник. Смотреть фото Как доказать что равнобедренный треугольник прямоугольный треугольник. Смотреть картинку Как доказать что равнобедренный треугольник прямоугольный треугольник. Картинка про Как доказать что равнобедренный треугольник прямоугольный треугольник. Фото Как доказать что равнобедренный треугольник прямоугольный треугольник

Радиусом описанной окружности является высота, опущенная из прямого угла на гипотенузу:

Как доказать что равнобедренный треугольник прямоугольный треугольник. Смотреть фото Как доказать что равнобедренный треугольник прямоугольный треугольник. Смотреть картинку Как доказать что равнобедренный треугольник прямоугольный треугольник. Картинка про Как доказать что равнобедренный треугольник прямоугольный треугольник. Фото Как доказать что равнобедренный треугольник прямоугольный треугольник

Как доказать что равнобедренный треугольник прямоугольный треугольник. Смотреть фото Как доказать что равнобедренный треугольник прямоугольный треугольник. Смотреть картинку Как доказать что равнобедренный треугольник прямоугольный треугольник. Картинка про Как доказать что равнобедренный треугольник прямоугольный треугольник. Фото Как доказать что равнобедренный треугольник прямоугольный треугольник

Описанная вокруг равнобедренного прямоугольного треугольника окружность

Свойства вписанной в равнобедренный прямоугольный треугольник окружности

В равнобедренном прямоугольном треугольнике высота, проведенная к гипотенузе равна радиусу вписанной окружности, умноженному на серебряное сечение (серебряное сечение равно единице плюс корень квадратный из двух):

Как доказать что равнобедренный треугольник прямоугольный треугольник. Смотреть фото Как доказать что равнобедренный треугольник прямоугольный треугольник. Смотреть картинку Как доказать что равнобедренный треугольник прямоугольный треугольник. Картинка про Как доказать что равнобедренный треугольник прямоугольный треугольник. Фото Как доказать что равнобедренный треугольник прямоугольный треугольник

Как доказать что равнобедренный треугольник прямоугольный треугольник. Смотреть фото Как доказать что равнобедренный треугольник прямоугольный треугольник. Смотреть картинку Как доказать что равнобедренный треугольник прямоугольный треугольник. Картинка про Как доказать что равнобедренный треугольник прямоугольный треугольник. Фото Как доказать что равнобедренный треугольник прямоугольный треугольник

Вписанная в равнобедренный прямоугольный треугольник окружность

Источник

Равнобедренный прямоугольный треугольник

Как доказать что равнобедренный треугольник прямоугольный треугольник. Смотреть фото Как доказать что равнобедренный треугольник прямоугольный треугольник. Смотреть картинку Как доказать что равнобедренный треугольник прямоугольный треугольник. Картинка про Как доказать что равнобедренный треугольник прямоугольный треугольник. Фото Как доказать что равнобедренный треугольник прямоугольный треугольник Как доказать что равнобедренный треугольник прямоугольный треугольник. Смотреть фото Как доказать что равнобедренный треугольник прямоугольный треугольник. Смотреть картинку Как доказать что равнобедренный треугольник прямоугольный треугольник. Картинка про Как доказать что равнобедренный треугольник прямоугольный треугольник. Фото Как доказать что равнобедренный треугольник прямоугольный треугольник

Всего получено оценок: 252.

Всего получено оценок: 252.

И равнобедренный, и прямоугольный треугольник достаточно привычны любому, кто знаком с геометрией. Сочетание этих признаков встречается довольно редко и плохо поддается визуальному восприятию. Не всегда можно представить полный набор свойств такого треугольника, поэтому поговорим о нем более подробно.

Как доказать что равнобедренный треугольник прямоугольный треугольник. Смотреть фото Как доказать что равнобедренный треугольник прямоугольный треугольник. Смотреть картинку Как доказать что равнобедренный треугольник прямоугольный треугольник. Картинка про Как доказать что равнобедренный треугольник прямоугольный треугольник. Фото Как доказать что равнобедренный треугольник прямоугольный треугольник

Определение

Равнобедренный треугольник – это треугольник, боковые стороны которого равны. Прямоугольный треугольник содержит в себе прямой угол. Значит равнобедренный прямоугольный треугольник – это прямоугольный треугольник, катеты которого равны.

Гипотенуза прямоугольного треугольника всегда больше катета. Это следует из теоремы о соотношениях сторон и углов треугольника. Значит, в прямоугольном треугольнике только гипотенуза может быть основанием, а величина гипотенузы будет соответствовать длине основания.

Свойства

Поговорим подробнее о свойствах и формулах. Не совсем ясно, как будут проходить высоты в таком треугольнике, все привыкли пользоваться свойством, которое говорит о том, что в равнобедренном треугольнике высота, проведенная к основанию, совпадает с медианой и биссектрисой.

В равнобедренном прямоугольном треугольнике такая высота всегда будет направлена из прямого угла к гипотенузе. А две другие высоты будут совпадать с катетами.

Как доказать что равнобедренный треугольник прямоугольный треугольник. Смотреть фото Как доказать что равнобедренный треугольник прямоугольный треугольник. Смотреть картинку Как доказать что равнобедренный треугольник прямоугольный треугольник. Картинка про Как доказать что равнобедренный треугольник прямоугольный треугольник. Фото Как доказать что равнобедренный треугольник прямоугольный треугольникРис. 2. Высота прямоугольного равнобедренного треугольника

Если к гипотенузе прямоугольного равнобедренного треугольника провести высоту, то она разделит треугольник на два, равных между собой, равнобедренных прямоугольных треугольника.

Теорема Пифагора для равнобедренного треугольника выглядит немного упрощенной:

Квадрат гипотенузы равен удвоенному квадрату катета. Это значительно упрощает решение.

Вообще, любые задачи, связанные с прямоугольными равнобедренными треугольниками, решаются очень просто. Любого значения достаточно, чтобы определить все остальное. Значения любого из катетов достаточно, чтобы определить гипотенузу через упрощенную теорему Пифагора, а затем найти периметр и площадь прямоугольного равнобедренного треугольника.

Через гипотенузу можно найти катет и через тригонометрическую функцию, так как все углы прямоугольного равнобедренного треугольника заранее известны: один угол 90 градусов и два по 45.

Как доказать что равнобедренный треугольник прямоугольный треугольник. Смотреть фото Как доказать что равнобедренный треугольник прямоугольный треугольник. Смотреть картинку Как доказать что равнобедренный треугольник прямоугольный треугольник. Картинка про Как доказать что равнобедренный треугольник прямоугольный треугольник. Фото Как доказать что равнобедренный треугольник прямоугольный треугольникРис. 3. Углы прямоугольного равнобедренного треугольника

Разберем подробно, почему известны все углы. В любом прямоугольном треугольнике сумма острых углов равна 90 градусам. Это следует из общей суммы углов в треугольнике, которая всегда равна 180 градусам.

При этом углы при основании равнобедренного треугольника, а в нашем случае это всегда гипотенуза, всегда равны. Значит, чтобы найти каждый из острых углов при гипотенузе, нужно их сумму, т.е. 90 градусов, разделить пополам. Получается, что каждый из углов при гипотенузе прямоугольного равнобедренного треугольника будет равен 45 градусам.

Можно рассмотреть это свойство и с другой стороны: если сумма двух углов треугольника равняется 90 градусам и эти углы равны между собой, то этот треугольник является равнобедренным и прямоугольным.

Из этого же свойства вытекает равенство синусов и косинусов острых углов прямоугольного равнобедренного треугольника между собой, а также равенство их тангенсов и котангенсов.

Как доказать что равнобедренный треугольник прямоугольный треугольник. Смотреть фото Как доказать что равнобедренный треугольник прямоугольный треугольник. Смотреть картинку Как доказать что равнобедренный треугольник прямоугольный треугольник. Картинка про Как доказать что равнобедренный треугольник прямоугольный треугольник. Фото Как доказать что равнобедренный треугольник прямоугольный треугольник

Что мы узнали?

Мы подробно поговорили о всех взаимосвязях свойств прямоугольного и равнобедренного треугольника. А также о том, как эти связи проявляются в равнобедренном прямоугольном треугольнике. Разобрали в подробностях, почему любые задачи на нахождение параметров прямоугольного равнобедренного треугольника легко решаются и выделили основную и единственную проблему в решениях таких задач: трудность визуального восприятия.

Источник

Равнобедренный треугольник: свойства, признаки и формулы

Как доказать что равнобедренный треугольник прямоугольный треугольник. Смотреть фото Как доказать что равнобедренный треугольник прямоугольный треугольник. Смотреть картинку Как доказать что равнобедренный треугольник прямоугольный треугольник. Картинка про Как доказать что равнобедренный треугольник прямоугольный треугольник. Фото Как доказать что равнобедренный треугольник прямоугольный треугольник

Статья находится на проверке у методистов Skysmart.
Если вы заметили ошибку, сообщите об этом в онлайн-чат
(в правом нижнем углу экрана).

Определение равнобедренного треугольника

Какой треугольник называется равнобедренным?

Давайте посмотрим на такой треугольник:

Как доказать что равнобедренный треугольник прямоугольный треугольник. Смотреть фото Как доказать что равнобедренный треугольник прямоугольный треугольник. Смотреть картинку Как доказать что равнобедренный треугольник прямоугольный треугольник. Картинка про Как доказать что равнобедренный треугольник прямоугольный треугольник. Фото Как доказать что равнобедренный треугольник прямоугольный треугольник

На рисунке хорошо видно, что боковые стороны равны. Это равенство и делает треугольник равнобедренным.

А вот как называются стороны равнобедренного треугольника:

AB и BC — боковые стороны,

AC — основание треугольника.

Признаки равнобедренного треугольника

Вот несколько нехитрых правил, по которым легко определить, что перед вами не что иное, как его величество равнобедренный треугольник.

Свойства равнобедренного треугольника

Чтобы понять суть равнобедренного треугольника, нужно думать как равнобедренный треугольник, стать равнобедренным треугольником — и выучить 4 теоремы о его свойствах.

Теорема 1. В равнобедренном треугольнике углы при основании равны.

Как доказать что равнобедренный треугольник прямоугольный треугольник. Смотреть фото Как доказать что равнобедренный треугольник прямоугольный треугольник. Смотреть картинку Как доказать что равнобедренный треугольник прямоугольный треугольник. Картинка про Как доказать что равнобедренный треугольник прямоугольный треугольник. Фото Как доказать что равнобедренный треугольник прямоугольный треугольник

Пусть AС — основание равнобедренного треугольника. Проведем биссектрису DK. Треугольник ADK равен треугольнику CDK по двум сторонам и углу между ними (AD = DC, DK — общая, а так как DK — биссектриса, то угол ADK равен углу CDK). Из равенства треугольников следует равенство всех соответствующих элементов, значит угол A равен углу C. Изи!

Для доказательства следующих теорем нам придется вспомнить, что такое биссектриса, медиана и высота, если вы вдруг забыли.

Биссектриса — луч, который исходит из вершины угла и делит этот угол на два равных угла.

Даже если вы не знаете определения, то про крысу, бегающую по углам и делящую их пополам, наверняка слышали. Она не даст вам забыть, что такое биссектриса. А если вам не очень приятны крысы, то вместо нее бегать может кто угодно. Биссектриса — это киса. Биссектриса — это лИса. Никаких правил для воображения нет. Все правила — для геометрии.

Обратите внимание на рисунок. В представленном равнобедренном треугольнике биссектрисой будет отрезок BH.

Как доказать что равнобедренный треугольник прямоугольный треугольник. Смотреть фото Как доказать что равнобедренный треугольник прямоугольный треугольник. Смотреть картинку Как доказать что равнобедренный треугольник прямоугольный треугольник. Картинка про Как доказать что равнобедренный треугольник прямоугольный треугольник. Фото Как доказать что равнобедренный треугольник прямоугольный треугольник

Медиана — отрезок, который соединяет вершину треугольника с серединой противолежащей стороны.

Для медианы не придумали веселого правила, как с биссектрисой, но можно его придумать. Например, буддийская запоминалка: «Медиана — это Лама, бредущий из вершины треугольника к середине его основания и обратно».

В данном треугольнике медианой является отрезок BH.

Высота треугольника — перпендикуляр, опущенный из вершины треугольника на противоположную сторону или на прямую, содержащую сторону треугольника.

Высотой в представленном равнобедренном треугольнике является отрезок BH.

В каждом из доказательств мы пользуемся признаком равенства треугольников, вот и повод их повторить.

Как доказать что равнобедренный треугольник прямоугольный треугольник. Смотреть фото Как доказать что равнобедренный треугольник прямоугольный треугольник. Смотреть картинку Как доказать что равнобедренный треугольник прямоугольный треугольник. Картинка про Как доказать что равнобедренный треугольник прямоугольный треугольник. Фото Как доказать что равнобедренный треугольник прямоугольный треугольник

Теорема 2: В равнобедренном треугольнике биссектриса, проведенная к основанию, является медианой и высотой.

Δ ABH = Δ CBH по двум сторонам и углу между ними (углы ABH и CBH равны, потому что BH биссектриса, AB = BC, потому что Δ ABC равнобедренный, BH — общая сторона).

Значит, во-первых, AH = HC и BH — медиана.

Во-вторых, углы BHA и BHC равны, а ещё они смежные, т. е. в сумме дают 180 градусов. Значит, они равны по 90 градусов и BH — высота.

Как доказать что равнобедренный треугольник прямоугольный треугольник. Смотреть фото Как доказать что равнобедренный треугольник прямоугольный треугольник. Смотреть картинку Как доказать что равнобедренный треугольник прямоугольный треугольник. Картинка про Как доказать что равнобедренный треугольник прямоугольный треугольник. Фото Как доказать что равнобедренный треугольник прямоугольный треугольник

Теорема 3: В равнобедренном треугольнике медиана, проведенная к основанию, является биссектрисой и высотой.

Δ ABH = Δ CBH по трём сторонам (AH = CH равны, потому что BH медиана, AB = BC, потому что Δ ABC равнобедренный, BH — общая сторона).

Значит, во-первых, углы ABH и CBH равны и BH — биссектриса.

Во-вторых, углы BHA и BHC равны, а ещё они смежные, т. е. в сумме дают 180 градусов. Значит они равны по 90 градусов и BH — высота.

Как доказать что равнобедренный треугольник прямоугольный треугольник. Смотреть фото Как доказать что равнобедренный треугольник прямоугольный треугольник. Смотреть картинку Как доказать что равнобедренный треугольник прямоугольный треугольник. Картинка про Как доказать что равнобедренный треугольник прямоугольный треугольник. Фото Как доказать что равнобедренный треугольник прямоугольный треугольник

Теорема 4: В равнобедренном треугольнике высота, проведенная к основанию, является биссектрисой и медианой.

Δ ABH = Δ CBH по признаку прямоугольных треугольников, равенство гипотенуз и соответствующих катетов (AB = BC, потому что Δ ABC равнобедренный, BH — общая сторона).

Значит, во-первых, углы ABH и CBH равны и BH — биссектриса.

Во-вторых, AH = HC и BH — медиана.

Примеры решения задач

Нет ничего приятнее, чем поупражняться и поискать углы и стороны в равнобедренном треугольнике. Ну… почти ничего.

Как доказать что равнобедренный треугольник прямоугольный треугольник. Смотреть фото Как доказать что равнобедренный треугольник прямоугольный треугольник. Смотреть картинку Как доказать что равнобедренный треугольник прямоугольный треугольник. Картинка про Как доказать что равнобедренный треугольник прямоугольный треугольник. Фото Как доказать что равнобедренный треугольник прямоугольный треугольник

Задачка раз. Дан ΔABC с основанием AC: ∠C = 80°, AB = BC. Найдите ∠B.

Поскольку вы уже знакомы с различными теоремами, то для вас не секрет, что углы при основании в равнобедренном треугольнике равны, а треугольник ABC — равнобедренный, так как AB = BC.

Не должно вас удивить и то, что сумма углов треугольника равна 180°.

∠B = 180° − 80° − 80° = 20°.

Задачка два. В треугольнике ABC провели высоту BH, угол CAB равен 50°, угол HBC равен 40°. Найдите сторону BC, если BA = 5 см.

Сумма углов треугольника равна 180°, а значит в Δ ABH мы можем узнать угол ABH, который будет равен 180° − 50° − 90° = 40°.

А ведь получается, что углы ABH и HBC оба равны по 40° и BH — биссектриса.

Ну и раз уж BH является и биссектрисой, и высотой, то Δ ABC — равнобедренный, а значит BC = BA = 5 см.

Изучать свойства и признаки равнобедренного треугольника лучше всего на курсах по математике с опытными преподавателями в Skysmart.

Источник

Как доказать что равнобедренный треугольник прямоугольный треугольник

В учебнике доказаны три признака равенства треугольников.

Первый признак: по двум сторонам и углу между ними.

Второй признак: по стороне и прилежащим к ней углам.

Третий признак: по трём сторонам.

Мы напомнили их краткую формулировку.

Как доказать что равнобедренный треугольник прямоугольный треугольник. Смотреть фото Как доказать что равнобедренный треугольник прямоугольный треугольник. Смотреть картинку Как доказать что равнобедренный треугольник прямоугольный треугольник. Картинка про Как доказать что равнобедренный треугольник прямоугольный треугольник. Фото Как доказать что равнобедренный треугольник прямоугольный треугольник
Рис. 3Рис. 4Рис. 5

Приведём ещё пример (рис. 6), который показывает, что слова «прилежащим к стороне» чрезвычайно важны в формулировке второго признака равенства треугольников.

Как доказать что равнобедренный треугольник прямоугольный треугольник. Смотреть фото Как доказать что равнобедренный треугольник прямоугольный треугольник. Смотреть картинку Как доказать что равнобедренный треугольник прямоугольный треугольник. Картинка про Как доказать что равнобедренный треугольник прямоугольный треугольник. Фото Как доказать что равнобедренный треугольник прямоугольный треугольник
Рис. 6

(Сторона одного треугольника равна стороне другого, два угла первого равны двум углам второго).

При доказательстве мы рисуем треугольники, о которых идёт речь, в наиболее удобном положении (см. рис. 7), что возможно по аксиоме «перемещения треугольника», иначе называемой аксиомой «существования треугольника, равного данному».

Как доказать что равнобедренный треугольник прямоугольный треугольник. Смотреть фото Как доказать что равнобедренный треугольник прямоугольный треугольник. Смотреть картинку Как доказать что равнобедренный треугольник прямоугольный треугольник. Картинка про Как доказать что равнобедренный треугольник прямоугольный треугольник. Фото Как доказать что равнобедренный треугольник прямоугольный треугольник
Рис. 7

$$ BM=DM$$ (по построению),

$$ \angle AMB=\angle CMD$$ (как вертикальные).

Аналогичное построение осуществим с треугольником `A^’B^’C^’` получим, что `A^’B^’=C^’D^’` и `/_C^’D^’M^’=alpha`.

Как доказать что равнобедренный треугольник прямоугольный треугольник. Смотреть фото Как доказать что равнобедренный треугольник прямоугольный треугольник. Смотреть картинку Как доказать что равнобедренный треугольник прямоугольный треугольник. Картинка про Как доказать что равнобедренный треугольник прямоугольный треугольник. Фото Как доказать что равнобедренный треугольник прямоугольный треугольник
Рис. 8

$$ \angle KAC=\angle MAC=60°+45°=105°$$

II. Равнобедренный треугольник.

В учебнике доказаны теоремы:

Т1. В равнобедренном треугольнике углы при основании равны.

Т2. В равнобедренном треугольнике медиана, проведённая к основанию, является высотой и биссектрисой.

Т3. (Признак равнобедренного треугольника). Если два угла в треугольнике равны, то он равнобедренный.

а) если в треугольнике высота является медианой, то треугольник равнобедренный;

б) если в треугольнике высота является биссектрисой, то треугольник равнобедренный;

в) если в треугольнике медиана является биссектрисой, то треугольник равнобедренный.

Как доказать что равнобедренный треугольник прямоугольный треугольник. Смотреть фото Как доказать что равнобедренный треугольник прямоугольный треугольник. Смотреть картинку Как доказать что равнобедренный треугольник прямоугольный треугольник. Картинка про Как доказать что равнобедренный треугольник прямоугольный треугольник. Фото Как доказать что равнобедренный треугольник прямоугольный треугольникКак доказать что равнобедренный треугольник прямоугольный треугольник. Смотреть фото Как доказать что равнобедренный треугольник прямоугольный треугольник. Смотреть картинку Как доказать что равнобедренный треугольник прямоугольный треугольник. Картинка про Как доказать что равнобедренный треугольник прямоугольный треугольник. Фото Как доказать что равнобедренный треугольник прямоугольный треугольник
Рис. 9Рис. 10

Доказательство признака б) Столь же простое, докажите его самостоятельно.

В следующем примере применяются признак параллельности прямых и две теоремы об углах треугольника (и следствия этих теорем):

Т. Внешний угол треугольника равен сумме двух внутренних углов, не
смежных с ним.

III. Для прямоугольных треугольников справедливы признаки равенства (их надо уметь доказывать):

2. по гипотенузе и катету;

3. по гипотенузе и острому углу;

4. по катету и острому углу.

Применяя признаки равенства прямоугольных треугольников, докажем ещё один признак равнобедренного треугольника:

Доказать, что если две высоты треугольника равны, то он равнобедренный.

Рис. 12в

Доказать, что медиана прямоугольного треугольника, проведённая из вершины прямого угла, равна половине гипотенузы.

Как доказать что равнобедренный треугольник прямоугольный треугольник. Смотреть фото Как доказать что равнобедренный треугольник прямоугольный треугольник. Смотреть картинку Как доказать что равнобедренный треугольник прямоугольный треугольник. Картинка про Как доказать что равнобедренный треугольник прямоугольный треугольник. Фото Как доказать что равнобедренный треугольник прямоугольный треугольникКак доказать что равнобедренный треугольник прямоугольный треугольник. Смотреть фото Как доказать что равнобедренный треугольник прямоугольный треугольник. Смотреть картинку Как доказать что равнобедренный треугольник прямоугольный треугольник. Картинка про Как доказать что равнобедренный треугольник прямоугольный треугольник. Фото Как доказать что равнобедренный треугольник прямоугольный треугольникКак доказать что равнобедренный треугольник прямоугольный треугольник. Смотреть фото Как доказать что равнобедренный треугольник прямоугольный треугольник. Смотреть картинку Как доказать что равнобедренный треугольник прямоугольный треугольник. Картинка про Как доказать что равнобедренный треугольник прямоугольный треугольник. Фото Как доказать что равнобедренный треугольник прямоугольный треугольник
Рис. 12aРис. 12б
Как доказать что равнобедренный треугольник прямоугольный треугольник. Смотреть фото Как доказать что равнобедренный треугольник прямоугольный треугольник. Смотреть картинку Как доказать что равнобедренный треугольник прямоугольный треугольник. Картинка про Как доказать что равнобедренный треугольник прямоугольный треугольник. Фото Как доказать что равнобедренный треугольник прямоугольный треугольник
Рис. 13

Дополнение. Для многих учащихся при решении задач возникает проблема: с чего начать? С рисунка! В геометрической задаче очень важен рисунок, он должен отвечать условиям задачи, быть наглядной формой их записи.

Как доказать что равнобедренный треугольник прямоугольный треугольник. Смотреть фото Как доказать что равнобедренный треугольник прямоугольный треугольник. Смотреть картинку Как доказать что равнобедренный треугольник прямоугольный треугольник. Картинка про Как доказать что равнобедренный треугольник прямоугольный треугольник. Фото Как доказать что равнобедренный треугольник прямоугольный треугольникКак доказать что равнобедренный треугольник прямоугольный треугольник. Смотреть фото Как доказать что равнобедренный треугольник прямоугольный треугольник. Смотреть картинку Как доказать что равнобедренный треугольник прямоугольный треугольник. Картинка про Как доказать что равнобедренный треугольник прямоугольный треугольник. Фото Как доказать что равнобедренный треугольник прямоугольный треугольник
Рис. 14aРис. 14б

Например, в задаче рассматривается равнобедренный треугольник. Его можно нарисовать по-разному (рис. 14а и 14б), поэтому сначала рисуют на черновике, от руки, и из других условий определяют вид треугольника.

Если сказано, что один отрезок в два раза длиннее другого, – отразите это на рисунке; если какие-то прямые параллельны – так и рисуйте, т. е. после таких рассмотрений делаете чёткий хороший рисунок, отвечающий условиям задачи.

Хороший рисунок – помощник в решении, особенно если на нём Вы отмечаете равные углы, перпендикулярность отрезков, отношение длин и т. п. и ставите данные задачи. Посмотрите, например, на рис. 7, 8, 11 и подумайте, как рисунок помогает в решении.

Как доказать что равнобедренный треугольник прямоугольный треугольник. Смотреть фото Как доказать что равнобедренный треугольник прямоугольный треугольник. Смотреть картинку Как доказать что равнобедренный треугольник прямоугольный треугольник. Картинка про Как доказать что равнобедренный треугольник прямоугольный треугольник. Фото Как доказать что равнобедренный треугольник прямоугольный треугольник
Рис. 15

Источник

Равнобедренный треугольник (ЕГЭ 2022)

Среди всех треугольников есть два особенных вида: прямоугольные и равнобедренные.

Чем же эти виды треугольников такие уж особенные?

Ну, во-первых, такие треугольники чрезвычайно часто оказываются главными «действующими лицами» задач ЕГЭ первой части.

А во-вторых, задачи про прямоугольные и равнобедренные треугольники решаются гораздо легче, чем другие задачи по геометрии.

Нужно всего лишь знать несколько правил и свойств. Все самое интересное о прямоугольных треугольниках обсуждается в соответствующей теме, а сейчас рассмотрим равнобедренные треугольники.

Равнобедренный треугольник — коротко о главном

Определение равнобедренного треугольника

Равнобедренный треугольник – треугольник, у которого есть две равные стороны.

Как доказать что равнобедренный треугольник прямоугольный треугольник. Смотреть фото Как доказать что равнобедренный треугольник прямоугольный треугольник. Смотреть картинку Как доказать что равнобедренный треугольник прямоугольный треугольник. Картинка про Как доказать что равнобедренный треугольник прямоугольный треугольник. Фото Как доказать что равнобедренный треугольник прямоугольный треугольник

Свойства равнобедренного треугольника

Углы при основании равнобедренного треугольника равны: \( \displaystyle \angle A\ =\angle C\);

Высота, проведённая к основанию равнобедренного треугольника, совпадает с медианой и биссектрисой: \( \displaystyle BH\) — высота, медиана и биссектриса.

Как доказать что равнобедренный треугольник прямоугольный треугольник. Смотреть фото Как доказать что равнобедренный треугольник прямоугольный треугольник. Смотреть картинку Как доказать что равнобедренный треугольник прямоугольный треугольник. Картинка про Как доказать что равнобедренный треугольник прямоугольный треугольник. Фото Как доказать что равнобедренный треугольник прямоугольный треугольник

Признаки равнобедренного треугольника

Если в некотором треугольнике два угла равны, то он – равнобедренный;

Если в некотором треугольнике совпадают высота и биссектриса или высота и медиана или медиана и биссектриса, проведённые к одной стороне, то такой треугольник – равнобедренный.

Определение равнобедренного треугольника

Треугольник называется равнобедренным, если у него есть две равные стороны.

Посмотри как это выглядит:

Как доказать что равнобедренный треугольник прямоугольный треугольник. Смотреть фото Как доказать что равнобедренный треугольник прямоугольный треугольник. Смотреть картинку Как доказать что равнобедренный треугольник прямоугольный треугольник. Картинка про Как доказать что равнобедренный треугольник прямоугольный треугольник. Фото Как доказать что равнобедренный треугольник прямоугольный треугольник

Как и у прямоугольного треугольника, у равнобедренного треугольника есть специальные названия для сторон.

Две равные стороны называются боковыми сторонами, а третья сторона – основанием.

И снова внимание на картинку:

Как доказать что равнобедренный треугольник прямоугольный треугольник. Смотреть фото Как доказать что равнобедренный треугольник прямоугольный треугольник. Смотреть картинку Как доказать что равнобедренный треугольник прямоугольный треугольник. Картинка про Как доказать что равнобедренный треугольник прямоугольный треугольник. Фото Как доказать что равнобедренный треугольник прямоугольный треугольник

Может быть, конечно, и так:

Как доказать что равнобедренный треугольник прямоугольный треугольник. Смотреть фото Как доказать что равнобедренный треугольник прямоугольный треугольник. Смотреть картинку Как доказать что равнобедренный треугольник прямоугольный треугольник. Картинка про Как доказать что равнобедренный треугольник прямоугольный треугольник. Фото Как доказать что равнобедренный треугольник прямоугольный треугольник

Так что будь внимательным: боковая сторона – одна из двух равных сторон в равнобедренном треугольнике, а основание – третья сторона.

Чем же так уж хорош равнобедренный треугольник?

Чтобы это понять, давай проведём высоту к основанию. Ты помнишь, что такое высота?

Высота равнобедренного треугольника

Высота — это просто линия, проведённая из вершины треугольника перпендикулярно противоположной стороне.

Как доказать что равнобедренный треугольник прямоугольный треугольник. Смотреть фото Как доказать что равнобедренный треугольник прямоугольный треугольник. Смотреть картинку Как доказать что равнобедренный треугольник прямоугольный треугольник. Картинка про Как доказать что равнобедренный треугольник прямоугольный треугольник. Фото Как доказать что равнобедренный треугольник прямоугольный треугольник

Итак, провели высоту. Что же получилось?

Из одного равнобедренного треугольника получилось два прямоугольных.

Это уже хорошо, но так получится в любом, даже самом «кособедренном» треугольнике.

Как доказать что равнобедренный треугольник прямоугольный треугольник. Смотреть фото Как доказать что равнобедренный треугольник прямоугольный треугольник. Смотреть картинку Как доказать что равнобедренный треугольник прямоугольный треугольник. Картинка про Как доказать что равнобедренный треугольник прямоугольный треугольник. Фото Как доказать что равнобедренный треугольник прямоугольный треугольник

Тоже два прямоугольных….

Чем же отличается картинка для равнобедренного треугольника? Смотри ещё раз:

Как доказать что равнобедренный треугольник прямоугольный треугольник. Смотреть фото Как доказать что равнобедренный треугольник прямоугольный треугольник. Смотреть картинку Как доказать что равнобедренный треугольник прямоугольный треугольник. Картинка про Как доказать что равнобедренный треугольник прямоугольный треугольник. Фото Как доказать что равнобедренный треугольник прямоугольный треугольник

Видишь, два прямоугольных треугольника (Δ𝐴𝐵𝐻 и Δ𝐶𝐵𝐻) – одинаковые!

Или, как математики любят говорить? Равные!

Ну, во-первых, конечно, этим странным математикам мало просто видеть – нужно непременно доказывать. А то вдруг эти треугольники чуть-чуть разные, а мы будем считать их одинаковыми.

Но не переживай: в данном случае доказывать почти так же просто, как и видеть.

Доказательство равенства треугольников

Посмотри внимательно, у нас есть:

Как доказать что равнобедренный треугольник прямоугольный треугольник. Смотреть фото Как доказать что равнобедренный треугольник прямоугольный треугольник. Смотреть картинку Как доказать что равнобедренный треугольник прямоугольный треугольник. Картинка про Как доказать что равнобедренный треугольник прямоугольный треугольник. Фото Как доказать что равнобедренный треугольник прямоугольный треугольник

И, значит, \( \displaystyle AH\text< >=\text< >CH\)!

Да мы просто найдём и \( \displaystyle AH\), и \( \displaystyle CH\) из теоремы Пифагора (помня ещё при этом, что \( \displaystyle AB=BC\))

Удостоверились? Ну вот, теперь у нас

А уж по трём сторонам – самый легкий (третий) признак равенства треугольников.

Ну вот, наш равнобедренный треугольник разделился на два одинаковых прямоугольных.

Отметим на картинке все одинаковые элементы (углы и стороны).

Как доказать что равнобедренный треугольник прямоугольный треугольник. Смотреть фото Как доказать что равнобедренный треугольник прямоугольный треугольник. Смотреть картинку Как доказать что равнобедренный треугольник прямоугольный треугольник. Картинка про Как доказать что равнобедренный треугольник прямоугольный треугольник. Фото Как доказать что равнобедренный треугольник прямоугольный треугольник

Видишь, как интересно? Получилось, что:

Вспоминаем тут, что медиана – линия, проведённая из вершины, которая делит сторону пополам, а биссектриса – делит угол.)

Ну вот, здесь мы обсудили, что хорошего можно увидеть, если дан равнобедренный треугольник.

Мы вывели, что у равнобедренного треугольника углы при основании равны, а высота, биссектриса и медиана, проведенные к основанию, совпадают.

И теперь возникает другой вопрос: а как узнать, равнобедренный ли треугольник?

То есть, как говорят математики, каковы признаки равнобедренного треугольника?

Признаки равнобедренного треугольника

И оказывается, что нужно просто «перевернуть» все высказывания наоборот. Так, конечно, не всегда бывает, но равнобедренный треугольник всё-таки отличная штука! Что же получится после «переворачивания»?

Если в каком-то треугольнике есть два равных угла, то такой треугольник –равнобедренный (ну и естественно, углы эти окажутся при основании).

Как доказать что равнобедренный треугольник прямоугольный треугольник. Смотреть фото Как доказать что равнобедренный треугольник прямоугольный треугольник. Смотреть картинку Как доказать что равнобедренный треугольник прямоугольный треугольник. Картинка про Как доказать что равнобедренный треугольник прямоугольный треугольник. Фото Как доказать что равнобедренный треугольник прямоугольный треугольник

Если в каком-то треугольнике высота и медиана, или высота и биссектриса, или биссектриса и медиана, проведённые к какой-то стороне, совпадут, то такой треугольник – равнобедренный, а сторона эта – основание.

Ну вот смотри:
Если совпадают высота и медиана, то:

Как доказать что равнобедренный треугольник прямоугольный треугольник. Смотреть фото Как доказать что равнобедренный треугольник прямоугольный треугольник. Смотреть картинку Как доказать что равнобедренный треугольник прямоугольный треугольник. Картинка про Как доказать что равнобедренный треугольник прямоугольный треугольник. Фото Как доказать что равнобедренный треугольник прямоугольный треугольник

Если совпадают высота и биссектриса, то:

Как доказать что равнобедренный треугольник прямоугольный треугольник. Смотреть фото Как доказать что равнобедренный треугольник прямоугольный треугольник. Смотреть картинку Как доказать что равнобедренный треугольник прямоугольный треугольник. Картинка про Как доказать что равнобедренный треугольник прямоугольный треугольник. Фото Как доказать что равнобедренный треугольник прямоугольный треугольник

Если совпадают биссектриса и медиана, то:

Как доказать что равнобедренный треугольник прямоугольный треугольник. Смотреть фото Как доказать что равнобедренный треугольник прямоугольный треугольник. Смотреть картинку Как доказать что равнобедренный треугольник прямоугольный треугольник. Картинка про Как доказать что равнобедренный треугольник прямоугольный треугольник. Фото Как доказать что равнобедренный треугольник прямоугольный треугольник

Ну вот, не забывай и пользуйся:

Как пользоваться признаками равнобедренного треугольника при решении задач

Давай посмотрим, как это выглядит в задачах.

2 задачи на равнобедренный треугольник

Задача 1 (самая простая)

В треугольнике \( \displaystyle ABC\) стороны \( \displaystyle AB\) и \( \displaystyle AC\) равны, а \( \displaystyle \angle BAC=70<>^\circ \).

Найти \( \displaystyle \angle ABC\).

Решение

Как доказать что равнобедренный треугольник прямоугольный треугольник. Смотреть фото Как доказать что равнобедренный треугольник прямоугольный треугольник. Смотреть картинку Как доказать что равнобедренный треугольник прямоугольный треугольник. Картинка про Как доказать что равнобедренный треугольник прямоугольный треугольник. Фото Как доказать что равнобедренный треугольник прямоугольный треугольник

Что здесь основание? Конечно, \( \displaystyle BC\).

Вспоминаем, что если \( \displaystyle AB=AC\), то и \( \displaystyle \angle B=\angle C\).

Источник

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *