Как доказать что равнобедренный треугольник равносторонний

Равнобедренный треугольник: свойства, признаки и формулы

Статья находится на проверке у методистов Skysmart.
Если вы заметили ошибку, сообщите об этом в онлайн-чат
(в правом нижнем углу экрана).

Определение равнобедренного треугольника

Какой треугольник называется равнобедренным?

Давайте посмотрим на такой треугольник:

На рисунке хорошо видно, что боковые стороны равны. Это равенство и делает треугольник равнобедренным.

А вот как называются стороны равнобедренного треугольника:

AB и BC — боковые стороны,

AC — основание треугольника.

Признаки равнобедренного треугольника

Вот несколько нехитрых правил, по которым легко определить, что перед вами не что иное, как его величество равнобедренный треугольник.

Свойства равнобедренного треугольника

Чтобы понять суть равнобедренного треугольника, нужно думать как равнобедренный треугольник, стать равнобедренным треугольником — и выучить 4 теоремы о его свойствах.

Теорема 1. В равнобедренном треугольнике углы при основании равны.

Пусть AС — основание равнобедренного треугольника. Проведем биссектрису DK. Треугольник ADK равен треугольнику CDK по двум сторонам и углу между ними (AD = DC, DK — общая, а так как DK — биссектриса, то угол ADK равен углу CDK). Из равенства треугольников следует равенство всех соответствующих элементов, значит угол A равен углу C. Изи!

Для доказательства следующих теорем нам придется вспомнить, что такое биссектриса, медиана и высота, если вы вдруг забыли.

Биссектриса — луч, который исходит из вершины угла и делит этот угол на два равных угла.

Даже если вы не знаете определения, то про крысу, бегающую по углам и делящую их пополам, наверняка слышали. Она не даст вам забыть, что такое биссектриса. А если вам не очень приятны крысы, то вместо нее бегать может кто угодно. Биссектриса — это киса. Биссектриса — это лИса. Никаких правил для воображения нет. Все правила — для геометрии.

Обратите внимание на рисунок. В представленном равнобедренном треугольнике биссектрисой будет отрезок BH.

Медиана — отрезок, который соединяет вершину треугольника с серединой противолежащей стороны.

Для медианы не придумали веселого правила, как с биссектрисой, но можно его придумать. Например, буддийская запоминалка: «Медиана — это Лама, бредущий из вершины треугольника к середине его основания и обратно».

В данном треугольнике медианой является отрезок BH.

Высота треугольника — перпендикуляр, опущенный из вершины треугольника на противоположную сторону или на прямую, содержащую сторону треугольника.

Высотой в представленном равнобедренном треугольнике является отрезок BH.

В каждом из доказательств мы пользуемся признаком равенства треугольников, вот и повод их повторить.

Теорема 2: В равнобедренном треугольнике биссектриса, проведенная к основанию, является медианой и высотой.

Δ ABH = Δ CBH по двум сторонам и углу между ними (углы ABH и CBH равны, потому что BH биссектриса, AB = BC, потому что Δ ABC равнобедренный, BH — общая сторона).

Значит, во-первых, AH = HC и BH — медиана.

Во-вторых, углы BHA и BHC равны, а ещё они смежные, т. е. в сумме дают 180 градусов. Значит, они равны по 90 градусов и BH — высота.

Теорема 3: В равнобедренном треугольнике медиана, проведенная к основанию, является биссектрисой и высотой.

Δ ABH = Δ CBH по трём сторонам (AH = CH равны, потому что BH медиана, AB = BC, потому что Δ ABC равнобедренный, BH — общая сторона).

Значит, во-первых, углы ABH и CBH равны и BH — биссектриса.

Во-вторых, углы BHA и BHC равны, а ещё они смежные, т. е. в сумме дают 180 градусов. Значит они равны по 90 градусов и BH — высота.

Теорема 4: В равнобедренном треугольнике высота, проведенная к основанию, является биссектрисой и медианой.

Δ ABH = Δ CBH по признаку прямоугольных треугольников, равенство гипотенуз и соответствующих катетов (AB = BC, потому что Δ ABC равнобедренный, BH — общая сторона).

Значит, во-первых, углы ABH и CBH равны и BH — биссектриса.

Во-вторых, AH = HC и BH — медиана.

Примеры решения задач

Нет ничего приятнее, чем поупражняться и поискать углы и стороны в равнобедренном треугольнике. Ну… почти ничего.

Задачка раз. Дан ΔABC с основанием AC: ∠C = 80°, AB = BC. Найдите ∠B.

Поскольку вы уже знакомы с различными теоремами, то для вас не секрет, что углы при основании в равнобедренном треугольнике равны, а треугольник ABC — равнобедренный, так как AB = BC.

Не должно вас удивить и то, что сумма углов треугольника равна 180°.

∠B = 180° − 80° − 80° = 20°.

Задачка два. В треугольнике ABC провели высоту BH, угол CAB равен 50°, угол HBC равен 40°. Найдите сторону BC, если BA = 5 см.

Сумма углов треугольника равна 180°, а значит в Δ ABH мы можем узнать угол ABH, который будет равен 180° − 50° − 90° = 40°.

А ведь получается, что углы ABH и HBC оба равны по 40° и BH — биссектриса.

Ну и раз уж BH является и биссектрисой, и высотой, то Δ ABC — равнобедренный, а значит BC = BA = 5 см.

Изучать свойства и признаки равнобедренного треугольника лучше всего на курсах по математике с опытными преподавателями в Skysmart.

Источник

Геометрия. 7 класс

Конспект урока

Перечень рассматриваемых вопросов:

Биссектриса угла треугольника – это отрезок биссектрисы угла треугольника, соединяющий вершину треугольника с точкой противоположной стороны.

Медиана треугольника – это отрезок, соединяющий вершину треугольника с серединой противоположной стороны.

Высота треугольника – это перпендикуляр, проведённый из вершины треугольника к прямой, содержащей противоположную сторону.

Равнобедренный треугольник – треугольник, у которого две стороны равны.

Равносторонний треугольник – треугольник, у которого все стороны равны.

Любой равносторонний треугольник является равнобедренным, обратное не верно.

Теоретический материал для самостоятельного изучения.

Вы уже познакомились с такими понятиями как треугольник, рассмотрели его виды.

Рассмотрим такие виды треугольников: как равнобедренные и равносторонние, более подробно. Начнём с описания равнобедренного треугольника. Но для начала, дадим ему определение.

Треугольник называется равнобедренным, если две его стороны равны.

В равнобедренном треугольнике равные стороны называются боковыми, а третья сторона – основанием.

AB и BC – боковые стороны ∆ABC.

Если третья сторона равна двум другим, то любая сторона может быть основанием.

Теперь рассмотрим треугольник, у которого все стороны равны. Такой треугольник называется равносторонним.

Докажем две теоремы о свойствах равнобедренного треугольника.

Теорема: В равнобедренном треугольнике углы при основании равны.

Теперь сформулируем теорему о биссектрисе, медиане и высоте равнобедренного треугольника, проведённых к основанию.

В равнобедренном треугольнике биссектриса, проведённая к основанию, является медианой и высотой треугольника.

AF– биссектриса ΔABC

Доказать: AF – медиана и высота.

Справедливы и следующие утверждения.

Высота равнобедренного треугольника, проведённая к основанию, является медианой и биссектрисой.

А медиана равнобедренного треугольника, проведённая к основанию, является высотой и биссектрисой.

AF – медиана ∠ВАС ΔABC

Доказать: AF – биссектриса и высота ΔABC.

∆ABF = ∆ACF т. к. ∠В = ∠С (по свойству равнобедренного треугольника); BF = CF (по определению медианы треугольника); AB = AC (∆ABC – по определению равнобедренного треугольника) → ∠BАF = ∠FАC (как соответствующие элементы равных треугольников) => AF ‑ биссектриса ΔABC (по определению биссектрисы треугольника).

∠AFB = ∠AFC как соответствующие элементы равных треугольников, но их сумма равна 180 (по свойству развернутого угла).

∠AFB = ∠AFC = 90° →AF – высота треугольника (по определению высоты треугольника).

Сегодня мы узнали, что такое равнобедренный, равносторонний треугольник, рассмотрели свойства равнобедренного треугольника.

Разберем задачу на доказательство.

Рассмотрим, как можно решить задачу на доказательство, используя понятие: «медиана равнобедренного треугольника».

На рисунке изображён треугольник ABC, при этом AM – медиана, при этом AM = BM. Докажем, что угол А равен сумме двух других углов ∆ABC.

По условию AМ = ВМ → ∆АВМ – равнобедренный (по определению равнобедренного треугольника)→ ∠МВА = ∠ВАМ (по свойству равнобедренного треугольника).

Т. к. АМ – медиана ∆ABC и AМ = ВМ → AМ = ВМ = СМ → ∆АМС – равнобедренный (по определению равнобедренного треугольника) → ∠МСА = ∠ВАС (по свойству равнобедренного треугольника).

Получаем, что ∠А = ∠ВАС + ∠ВАМ = ∠МВА + ∠МСА = ∠В + ∠С.

Что и требовалось доказать.

Разбор решения заданий тренировочного модуля.

Периметр равнобедренного треугольника ABC равен 50 см, боковая сторона AC на 4 см больше основания BC. Найдите основание треугольника.

Решение: Пусть х – основание ВС треугольника АВС, тогда АС = АВ (как боковые стороны равнобедренного треугольника).

АС = АВ = х + 4 (по условию).

Периметр треугольника АВС равен сумме всех его сторон, т. е. 50 см = АС + ВС + АВ,

х = 14 см – основание BC.

На рисунке изображён равнобедренный треугольник ABC. AC – основание треугольника, ∠1 = 120. Найдите ∠2.

Решение: ∠1 и ∠АСВ – смежные →∠1 + ∠АСВ = 180, значит:

АВС – равнобедренный, значит: ∠ВАС = ∠АСВ = 60 (углы при основании равнобедренного треугольника равны).

Источник

Равносторонний треугольник, свойства, признаки и формулы

Равносторонний треугольник, свойства, признаки и формулы.

Равносторонний треугольник – это треугольник, у которого все стороны равны между собой по длине, все углы также равны и составляют 60°.

Равносторонний треугольник (понятие, определение):

Равносторонний треугольник – это треугольник, у которого все стороны равны между собой по длине, все углы также равны и составляют 60°.

Равносторонний треугольник называется также правильным или равноугольным треугольником.

По определению, каждый правильный (равносторонний) треугольник также является равнобедренным, но не каждый равнобедренный треугольник – правильным (равносторонним). Иными словами, правильный (равносторонний) треугольник является частным случаем равнобедренного треугольника.

Рис. 1. Равносторонний треугольник

АВ = ВС = АС – стороны треугольника, ∠ АВС = ∠ BАC = ∠ BСA = 60° – углы треугольника

Свойства равностороннего треугольника:

1. В равностороннем треугольнике все стороны равны между собой.

2. В равностороннем треугольнике углы равны и составляют 60°.

3. В равностороннем треугольнике каждая медиана, проведенная к каждой стороне, является биссектрисой и высотой, и они равны между собой.

В равностороннем треугольнике биссектриса, проведенная к каждой стороне, является медианой и высотой, и они равны между собой.

В равностороннем треугольнике высота, проведенная к каждой стороне, является биссектрисой и медианой, и они равны между собой.

Рис. 2. Равносторонний треугольник

4. В равностороннем треугольнике высоты, биссектрисы, медианы и серединные перпендикуляры пересекаются в одной точке, которая называется центром равностороннего треугольника. Она же является центром вписанной и описанной окружностей.

Рис. 3. Равносторонний треугольник

R – радиус описанной окружности, r – радиус вписанной окружности

5. В равностороннем треугольнике радиус описанной окружности в два раза больше радиуса вписанной.

6. Точка пересечения высот, биссектрис и медиан правильного треугольника делит каждую из них в отношении 2:1, если считать от вершин.

Рис. 4. Равносторонний треугольник

AO : OK = BO : OА = CO : OD = 2 : 1

Признаки равностороннего треугольника:

– если в треугольнике три угла равны, то он равносторонний;

– если в треугольнике три стороны равны, то он равносторонний.

Формулы равностороннего треугольника:

Пусть a – длина стороны равностороннего треугольника, h – высота (l – биссектриса, m – медиана) равностороннего треугольника, проведенная к каждой стороне, α – угол равностороннего треугольника, α = 60°, R – радиус описанной окружности, r – радиус вписанной окружности (см. Рис. 6).

Рис. 6. Равносторонний треугольник

Формула радиуса вписанной окружности (r):

.

Формула радиуса описанной окружности (R):

,

.

Формулы периметра (Р) равностороннего треугольника:

.

Формулы площади (S) равностороннего треугольника:

.

Формулы высоты (h), медианы (m) и биссектрисы (l) треугольника:

.

Источник

Равнобедренный треугольник: свойства, признаки и формулы

Содержание:

Равнобедренным называется треугольник, у которого две стороны равны. Эти стороны называются боковыми, а третья сторона — основанием.

АВ = ВС — боковые стороны

Свойства равнобедренного треугольника

Свойства равнобедренного треугольника выражаются через 5 теорем:

Теорема 1. В равнобедренном треугольнике углы при основании равны.

Доказательство теоремы:

Рассмотрим равнобедренный Δ ABC с основанием АС.

Боковые стороны равны АВ = ВС,

Следовательно углы при основании ∠ BАC = ∠ BСA.

Теорема о биссектрисе, медиане, высоте, проведенной к основанию равнобедренного треугольника

Доказательство теоремы:

Вывод:

Запомни! При решении таких задач опусти высоту на основание равнобедренного треугольника. Чтобы разделить его на два равных прямоугольных треугольника.

Доказательство теоремы:

Доказательство от противного.

Признаки равнобедренного треугольника

Формулы равнобедренного треугольника

Формулы сторон равнобедренного треугольника

Формулы длины стороны (основания — b):

Формулы длины равных сторон — (а):

Формулы высоты, медианы, биссектрисы равнобедренного треугольника

Формулы высоты, биссектрисы и медианы, через сторону и угол, (L):

Формула высоты, биссектрисы и медианы, через стороны, (L):

Площадь равнобедренного треугольника

Формула площади треугольника через высоту h и основание b, (S):

Источник

Равносторонний треугольник (ЕГЭ 2022)

И вот мы снова изучаем треугольники. Это всё больше похоже на заговор…

Не волнуйся: после прочтения этой статьи тайн не останется, ведь ты будешь знать всё о равностороннем треугольнике!

Тема простая, но очень важная!

Равносторонний треугольник — коротко о главном

Равносторонний треугольник —треугольник, у которого все стороны равны. \(AB=BC=AC=a\)

В равностороннем треугольнике все углы равны между собой и равны \(<<60>^>\).

В равностороннем треугольнике каждая медиана совпадает с биссектрисой и высотой, которые проведены из той же вершины;

Точки пересечения высот, биссектрис, медиан и серединных перпендикуляров равностороннего треугольника совпадают.

Центры вписанной и описанной окружностей равностороннего треугольника совпадают: точка \(O\);

В равностороннем треугольнике длины всех элементов «хорошо» выражаются через длину стороны \(a\):

Определение равностороннего треугольника

Равносторонний треугольник —треугольник, у которого все стороны равны.

Какие же особенные свойства присущи равностороннему треугольнику?

Свойства равностороннего треугольника

Свойство 1. В равностороннем треугольнике все углы равны между собой и равны \(<<60>^>\)

Естественно, не правда ли? Три одинаковых угла, в сумме \(<<180>^>\), значит, каждый по \(<<60>^>\)

Свойство 2. В равностороннем треугольнике точки пересечения высот, биссектрис, медиан и серединных перпендикуляров совпадают – оказываются одной и той же точкой. И эта точка называется центром треугольника (равностороннего!).

Почему так? А посмотрим-ка на равносторонний треугольник.

Он является равнобедренным, какую бы его сторону ни принять за основание – так сказать, со всех сторон равнобедренный.

Значит, любая высота в равностороннем треугольнике является также и биссектрисой, и медианой, и серединным перпендикуляром!

В равностороннем треугольнике оказалось не \(12\) особенных линий, как во всяком обычном треугольнике, а всего три!

Центр равностороннего треугольника является центром вписанной и описанной окружности, а также точкой пересечения высот и медиан.

Свойство 3. В равностороннем треугольнике радиус описанной окружности в два раза больше, чем радиус вписанной. \(R=2\cdot r\)

Уже должно быть очевидно, отчего так.

Посмотри на рисунок: точка\( O\) – центр треугольника.

Значит, \(OB\) – радиус описанной окружности (обозначили его \(R\)), а \(OK\) – радиус вписанной окружности (обозначим \(r\)).

Но ведь точка \(O\) – ещё и точка пересечения медиан! Вспоминаем, что медианы точкой пересечения делятся в отношении \(2:1\), считая от вершины.

Поэтому \(OB=2\cdot OK\), то есть \(R=2\cdot r\).

Свойство 4. В равностороннем треугольнике длины всех элементов «хорошо» выражаются через длину стороны.

Давай удостоверимся в этом.

Высота равностороннего треугольника

Рассмотрим \(\Delta ABK\) – он прямоугольный.

Радиус описанной окружности равностороннего треугольника

Читать далее…

Чтобы пользоваться учебником ЮКлэва без ограничений, зарегистрируйтесь один раз:

Радиус вписанной окружности равностороннего треугольника

Это уже теперь должно быть совсем ясно:

Читать далее…

Чтобы пользоваться учебником ЮКлэва без ограничений, зарегистрируйтесь один раз:

Бонус 1. Статьи о других треугольниках

Подробная информация о других треугольниках в следующих статьях:

А в нашем учебнике по подготовке к ЕГЭ по математике вы найдете подробную информацию о других разделах математики:

Бонус 2: Вебинары о треугольниках, чтобы набить руку в решении задач

А в этих видео из нашего курса подготовки к ЕГЭ по математике вы можете потренироваться, решая задачи вместе с нашим репетитором Алексеем Шевчуком.

Это не просто вебинары, «бла-бла-бла» о теории математики. Это разбор задач в режиме реального времени.

Вы точно научитесь решать любые задачи на эти темы, если их прослушаете.

Хотите получить максимум от этих вебинаров? Берите ручку и бумагу и решайте вместе с Алексеем Шевчуком.

ЕГЭ 6. Прямоугольный треугольник: свойства, теорема Пифагора, тригонометрия

Подавляющее большинство задач в планиметрии решается через прямоугольные треугольники.

Как это так? Ведь далеко не в каждой задаче речь идёт о треугольниках вообще, не то что прямоугольных.

Но в этом видео мы убедимся, что это действительно так. Дело в том, что редкая сложная задача решается какой-то одной теоремой — почти всегда она разбивается на несколько задач поменьше. И в итоге мы имеем дело с треугольниками, зачастую — прямоугольными.

На этом уроке мы научимся решать задачи о прямоугольных треугольниках из ЕГЭ, выучим все необходимые теоремы и затронем основы тригонометрии.

ЕГЭ 6. Равнобедренный треугольник, произвольный треугольник

В этом видео мы вспомним все свойства равнобедренных треугольников и научимся их применять в задачах из ЕГЭ. Также мы научимся решать и «обычные» треугольники. Убедимся в утверждении из прошлого урока — очень часто решение задач сводится к нескольким прямоугольным треугольникам.

ЕГЭ 16. Подобие треугольников. Задачи на доказательство

Итак, задача 16 профильного ЕГЭ. Подобие треугольников. Это одна из самых сложных задачи в профильном ЕГЭ.

Полные 3 балла за эту задачу получают менее 1% выпускников! Основная сложность – построение доказательств. Баллы здесь снимают за любой пропущенный шаг доказательства.

Например, нам часто кажется очевидным, что треугольники на рисунке подобны и мы забываем указать, по какому признаку. И за это нам снимут баллы.

В этом видео вы научитесь применять подобие треугольников для доказательств, указывать признаки подобия и доказывать каждое умозаключение.

Вы научитесь правильно записывать решение задачи, сокращать записи чтобы не тратить время на выписывание всех своих мыслей или полных названий теорем.

Вы научитесь также применять подобие треугольников не только для доказательств, а и для расчётных задач.

Источник