Как доказать что сумма делится на число

Делимость суммы и произведения

Разделы: Математика

Оборудование: доска, таблица, учебная литература, компьютер, проектор, экран.

1. Организационный момент

2. Актуализация опорных знаний

а) если число а делится на 6, то оно делится на 12*;

б) если число а не делится на 6, то оно не делится на 121. Какие из высказываний верные:

а) если число а делится на 12, то оно делится на 6;

б) если число а не делится на 12, то оно не делится на 62. Пусть F – множество чисел, кратных 33. Принадлежит ли множеству F:

а) любое число, кратное 902. Пусть F – множество чисел, кратных 33. Принадлежит ли множеству F:

а) любое число, кратное 113. Найдите пересечения:

а) множества четных чисел и множества чисел, кратных 43. Найдите пересечения:

а) множества чисел, кратных 3, и множества чисел, кратных 7

3. Усвоение новых знаний

Учащиеся делятся на 4 группы. Каждая группа изучает одно из свойств, доказательство этого свойства.

Рассмотрим некоторые свойства делимости суммы и произведения.

1. Если в сумме целых чисел каждое слагаемое делится на некоторое число, то и сумма делится на это число.

Доказательство проведем для трех слагаемых. Если числа a, b, и c делятся на p, то a=pk, b=pm, c=pn, где k,m и n – целые числа. Тогда

и так как k +m+n – целое число, то a+b+c делится на p.

В случае произвольного числа слагаемых прием доказательства остается тем же. Очевидно, что обратное утверждение неверно.

2. Если два целых числа делятся на некоторое число, то их разность делится на это число.

3. Если в сумме целых чисел все слагаемые, кроме одного делятся на некоторое число, то сумма не делится на это число.

Пусть числа a и b делятся на p, а число c не делится на p. Докажем, что сумма a+b+c не делится p. Предположим противное: пусть a+b+c делится на p. Тогда в разности (a+b+c)-(a+b) уменьшаемое делится на p по предположению, а вычитаемое делится на p по свойству 1, и поэтому по свойству 2 разность делится на p. Однако эта разность равна c и на p по условию не делится. Мы пришли к противоречию. Следовательно, сделанное нами предположение неверно и сумма a+b+c делится на р, что и требовалось доказать.

Заметим, что так как разность a-b можно рассматривать как сумму a+(-b), то доказанные свойства суммы относятся к любой алгебраической сумме чисел.

4. Если в произведении целых чисел один из множителей делится на некоторое число, то произведение делится на это число.

Если а делится на с, то a=ck, где k –целое число. Тогда ab=(ck)b т.е ab=c(kb), причем kb – целое число, так как произведение целых чисел является целым числом. Значит ab делится на с.

При решении задач на делимость часто бывают полезными свойства, связанные с последовательным расположением целых чисел. Например:

Одно из п последовательных целых чисел делится на п;

Одно из двух последовательных четных чисел делится на 4;

Произведение трех последовательных целых чисел делится на 6;

Произведение двух последовательных четных чисел делится на 8.

Решение задач с применением свойств делимости суммы и произведения.

Пример 1

Докажите, что сумма 333 555 + 555 333 делится на 37.

333 555 + 555 333 = (3*111) 555 +(5*111) 333 = 111*(3 555 *111 554 + 5 333 *111 332 ). Так как 111 делится на 37, то данное выражение делится на 37.

Пример 2

Выясним, принадлежит ли графику уравнения 15х + 25 y= 114 хотя бы одна точка, координатами которой являются целые числа.

Допустим, что график проходит через точку М (а; в), где а и в целые числа. Тогда верным является равенство 15а + 25в =114. В левой части этого равенства записана сумма, которая делится на 5, так как каждое слагаемое 15а и 25в делятся на 5. ТО число 114 на 5 не делится. Полученное противоречие показывает, что предположение неверно и на графике уравнения 15х + 25y = 114 нет ни одной точки с целочисленными координатами.

Пример 3

Допустим, что а – целый корень уравнения. Тогда верно равенство

17а 3 – 10а 2 – 6а + 240 =0.

Левая часть представляет собой сумму, в которой каждое слагаемое, кроме одного, делится на а, и поэтому эта сумма не делится на а. Правая часть этого равенства делится на а, так как 0 делится на любое число, отличное от нуля. Полученное противоречие показывает, что предположение неверно и число а не может быть корнем данного уравнения.

Пример 4

Решение №108, 110, 111(а),116(а), 119, 123.

Источник

Как доказать что сумма делится на число

Предмет изучения этой статьи – целые числа.

Такие арифметические операции, как сложение, вычитание и умножение целых чисел в результате дают так же целое число. Особое внимание следует обратить на деление двух целых чисел, т.к. результатом такого деления может быть и не целое число.

Определение: Натуральными называются целые неотрицательные числа такие, как 0,1,2…

Замечание: В пределах этой статьи под «числом» следует понимать «целое число».

Определение: Число a делится на число b (или, что то же самое, число b делит число a), если существует такое число c, что верно равенство
.
Запись факта делимости числа a на число b :
.

Этот знак, три точки, обозначает лишь то, что число делится на другое число, и совсем не проводит какое либо действие с этими числами, как например, знак +, который производит сложение двух чисел и выдает результат этого действия.

Всегда, когда при прочтении текста встречается запись , следует читать «число а делится на число b«.

Важное замечание: В формулировке некоторых теорем, утверждений и т.п. часто встречается фраза «…тогда и только тогда, когда…».

Например: «Свойство a выполняется тогда и только тогда, когда выполняется свойство b.»

Эту длинную разу можно разбить на две:
1) «Свойство a выполняется тогда, когда выполняется свойство b.»
2) «Свойство a выполняется только тогда, когда выполняется свойство b.»

Первое обозначает, что если есть b, то из него следует a, а второе обозначает обратное, что если есть a, то есть и b. При доказательстве теорем и утверждений для этих случаев используется терминология «туда» и «обратно». Фраза «необходимо и достаточно» имеет абсолютно аналогичное значение.

Встречается обозначение: , т.е. туда: и обратно: .

Замечание: При доказательстве теорем на делимость требуется посимвольное представление многозначного числа. Например, число 543. У него количество единиц – 3 шт., количество десятков – 4 шт., и 5 сотен, т.е. 5,4 и 3 – это цифры, то есть символы, и из них уже составляется число 543.

Теперь перейдем к переменным. Пусть . Как же записать число 543? Если записать , то возникает проблемка – в математике зачастую не пишется знак умножения, и в этом случае получится, что , а совсем не 543.

В случае, если требуется именно символьная запись, над числом ставят черту: . Она и говорит, что эти буквы надо воспринимать именно как символы.

Пример: Число можно представить несколькими способами:

1) Если , то
.
2) Если , то
.
3) Если , то
.

Простейшие свойства делимости:

1) (рефлексивность делимости).
2) Если и , то (транзитивность).
3) Если и , то либо , либо (антисимметричность).
4) Если и , то
.
5) Для того, чтобы необходимо и достаточно, чтобы .
6) Если , то
.

Но, если не вдаваться в тонкости, то для доказательств признаков делимости будут использоваться две теоремы:

Теорема 1:

Пусть — натуральные числа. Если и , то .
(Если каждое из слагаемых делится на какое-либо число, то и все сумма делится на это число.)

Доказательство:

Если и , то, по определению делимости, существуют такие числа и , что верны равенства:
.

Складываем равенства (левую часть первого равенства складываем с левой частью второго, а правую – с правой):
.
Получили, что существует такое число , что верно равенство
.

Это и означает по определению делимости, что (сумма делится на с ).

Теорема доказана.
Теорема 2:
Пусть — натуральные числа. Если , то и .
(Если в произведении хотя бы один сомножитель делится на какое-либо число, то и все произведение делится на это число.)
Доказательство:
Пусть дано произведение и , т.е. a можно представить как , где p — натуральное число.
Исходное произведение получается в виде:
.
Это, по определению делимости, и обозначает делимость произведения . на c.

Источник

Делимость произведения, суммы и разности чисел

Рассмотрим произведение чисел 24 ⋅ 73 = 1752. Один из множителей в этом произведении делится на 3, т.е. 24 : 3. Можно убедиться, что и всё произведение делится на 3, т.е. 1752 : 3 = 584.

Итак, признак делимости произведения:

если хотя бы один из множителей делится на некоторое число, то и произведение делится на это число.

Значит, если a делится на некоторое число с, то и ab также делится на это число с.

Рассмотрим сумму чисел 12 и 21. В этой сумме каждое из слагаемых делится на 3. Проверяя делимость суммы на 3, получим, что сумма 33 тоже делится на 3.

Признаки делимости суммы и разности чисел

Примеры

Пример #1. Можно ли утвержадать, что число 6 — делитель числа 55?

Решение:

По определению делителем натурального числа a называют натуральное число, на которое число a делится без остатка.

Значит, чтобы число 6 было делителем числа 55, нужно, чтобы число 55 делилось на число 6 без остатка.

В данно случае деление получается с остатком, т. к. число 55 не делится нацело на число 6, т.е. число 6 не является делителем числа 55.

Ответ: нет.

Пример #2. Назови все двузначные числа, кратные числу 48.
Решение:
По определению кратным натуральному числу a называют натуральное число, которое делится без остатка на число a.

Значит, чтобы двузначное число было бы кратным числу 48, оно должно делиться на число 48 без остатка.

Таких двузначных чисел, делящихся на число 48 без остатка, два: 48; 96.

Ответ: 48;96.

Пример #3. Не выполняя вычислений, определи, какому числу из предложенных в ответе (3, 2 или 7) кратно данное произведение 29 ⋅ 27.
Решение:
Известно, что кратным натуральному числу a называют натуральное число, которое делится без остатка на число a.

Также знаем, что если хотя бы один из множителей делится на некоторое число, то и произведение делится на это число.

В данном произведении 29 ⋅ 27 множитель 27 делится без остатка на число 3, значит, и произведение 29 ⋅ 27 делится без остатка на число 3, т.е. кратно числу 3.

Ответ: 3.

Пример #4. В каждой коробке лежат 8 чайных ложек. Возможно ли, взять определённое количество коробок, чтобы в них лежало ровно 13 ложки(-ек)?
Решение:
Анализируя условие задачи, можно сделать вывод, что утвердительный ответ возможен, если число ложек, которое мы хотим взять, кратно числу ложек, находящихся в каждой коробке.

Это следует из определения: кратным натуральному числу a называют натуральное число, которое делится без остатка на число a. Значит, нельзя, не вскрывая коробок, взять 13 шт. ложек, т. к. число 13 не делится на число 8 без остатка, т. е. 13 : 8 ≠ целому числу.

Ответ: нет.

Пример #5. Сократи дробь:

Решение:

Для сокращения дроби заметим, что один из множителей в числителе дроби и один из множителей в знаменателе дроби делится на число 5, значит, и произведения в числителе и знаменателе делятся на число 5.

Поэтому, если сократим эти множители на 5, останется дробь с такими множителями в числителе и знаменателе.

Ответ:

Пример #6. В одном букете было 16 роз, а в другом — 49. Можно ли эти розы поставить в 6 ваз так, чтобы в каждой вазе цветов было поровну?
Решение:
1. Определим общее количество роз в двух букетах вместе: 16 + 49 = 65 шт.

2. Можно ли эти розы поставить в 6 ваз так, чтобы в каждой вазе цветов было поровну? Для ответа на этот вопрос нужно проверить делимость полученной суммы на число 6.

Получим, что розы поставить в 6 ваз так, чтобы в каждой вазе цветов было поровну нельзя, потому что числа не делятся нацело, т. к. 65 : 6 ≠ целому числу.

Ответ: разделить поровну нельзя, потому что числа не делятся нацело.

Пример #7. Укажи натуральное значение x, чтобы сумма 42 + x не делилась на 7. Выбери из следующих вариантов: 5, 21, 7.

Решение:
Для того, чтобы сумма 42 + x не делилась на 7, выбираем значение x = 5, т.к. известно, что если каждое слагаемое делится на некоторое число, то и сумма делится на это число.

Имеем, что число 42 делится на 7, значит, число x не должно делиться на 7, чтобы сумма не делилась на 7.

Значение x = 5 не делится на 7.

Ответ: 5.

Пример #8. Известно, что c и d — натуральные числа и 5c + d = 42. Каким может быть число c?

Решение:
Известно, что c и d — натуральные числа и 5c + d = 42. Выражение 5c = 42 − d должно быть кратно числу 5.

Поэтому число c может быть равно 1;2;3;4;5;6;7;8, тогда 5c = 5; 10; 15; 20; 25; 30; 35; 40, а d = 37; 32; 27; 22; 17; 12; 7; 2, т. е. сумма будет равна 5c + d = 42.
Ответ: 1;2;3;4;5;6;7;8.

Пример #9. Определи натуральные значения, которые может принимать выражение

Пример #10. Выполни деление: (39b + 24) : 3.

Решение:
Известно, что если каждое слагаемое делится на некоторое число, то и вся сумма делится на это число.

Выполняя действие деления суммы на число 3, необходимо разделить на 3 как первое слагаемое, так и второе слагаемое.

Получим: (39b + 24) : 3 = 39b : 3 + 24 : 3 = 13b + 8.
Ответ: 13b + 8.

Пример #11. Выполни деление: 6xy : 3x.

Решение:
Выполняя деление (6xy):(3x), разделим сначала числовые множители, затем одинаковые буквенные множители, полученные результаты перемножим.

Получим: 6xy : 3x = 6:3 ⋅ (x:x) ⋅ y = 2 ⋅ 1 ⋅ y = 2y.

В результате деления получаем ответ: 2y.
Ответ: 2y.

Источник

Признаки делимости. Делимость суммы, разности, произведения

Понятие отношения делимости

Определение. Число а делится на число в тогда и только тогда, когда существует такое число q, что а = в × q. а в ( q N₀) [а = вq].

Обозначают: а в. Читают: «число а кратно числу в», «число в – делитель числа а», «а кратно в».

Равенство а=вq называют формулой кратности числа а числу в.

Число а, кратное 2, называют четным. Общий вид четного числа: а = 2n, n N₀.

Число, кратное 3 имеет формулу: а = 3n, n N₀.

Определение. Отношение делимости на множестве N₀ N содержит те и только те пары чисел (а, в), у которых первая координата кратна второй. Обозначают: « ».

« » = <(а, в)| (а, в) N₀ N а в>.

Если отношение делимости обозначить , то N₀ N = <(а, в)| (а, в) N₀ N а=вq>.

Теорема. Делитель в данного числа а не превышает этого числа, то есть, если а в в а.

Доказательство. Так как а в, то ( q N₀) [а = вq] а – в=вq-в=в(q – 1), так как q N q 1.

Тогда в (q – 1) 0 в а. Из определения отношения делимости и равенства а = 1 × а, следует, что 1 является делителем для любого натурального числа.

Следствие. Множество делителей данного числа конечно.

Например, делители числа 18 является конечное множество: <1, 2, 3, 6, 9, 18>.

Свойства отношения делимости

1. Отношение делимости рефлексивно, то есть любое натуральное число делится само на себя: ( а N) [(а,а) ], то есть а : а = 1.

Доказательство. ( а N)[а = а × 1] по определению отношения делимости а : а.

2. Отношение делимости антисимметрично, то есть для различных чисел а и в из того, что а в, следует, что в не кратно а. ( а, в N₀ N)[а в а в ].

Доказательство. Допустим, что в а, тогда в а. Но по условию а в, так как а в.

Неравенства в а а в истины только в том случае, если а = в. пришли к противоречию с условием. Следовательно, допущение, что в а Л. Таким образом, отношение делимости антисимметрично.

3. Отношение делимости транзитивно. ( а,в,с N₀ N)[а в в с а с].

Доказательство. Если а в ( q N)[а = вq] (1) Из того, что в с ( t N)[в = сt] (2)

Подставим в = сt в равенство (1), получим: а = (сt)q = c(tq), t,q N tq N tq = р а = ср, р N. А это значит, что а с.

Признаки делимости. Делимость суммы, разности, произведения

Определение. Признаком делимости называется предложение, в котором доказывается как можно предсказать делимость одного числа на другое, не выполняя деления этих чисел.

Теорема (признак делимости суммы). Если числа а и в делится на число n, то их сумма делится на это число, ( а,в,n N₀ N)[а n в n (а + в) n].

Доказательство. Из того что а n в n (по определению отношения делимости)

а=nq₁ (1), q₁ N. в=nq₂ (2), q₂ N. Преобразуем сумму (а + в) к виду:

а + в = nq₁ + nq₂ = n (q₁ + q₂) = nq,q = q₁ + q₂. а + в = nq.

Следовательно, по определению отношения делимости, что (а + в) n.

Теорема (признак делимости разности). Если числа а и в делятся на число n и а в, то их разность а – в делится на число n, то есть

( а,в,n N₀ N)[а n в n а в (а – в) n].

Теорема (признак делимости произведения). Если один из множителей произведения делится на число n, то и все произведение делится на число n.

( а,в,n N₀ N)[а n (ав) n].

Доказательство. Из того, что а n а = nq (1). Умножим обе части равенства (1) на в N, получим: ав = nqв (по ассоциативности умножения) ав = n(qв) = nt, где t = qв ав = nt. А это значит, что ав n (по определению отношения делимости). Таким образом, для делимости произведения на число достаточно чтобы на данное число делился хотя бы один из множителей этого произведения.

Теорема. Если в произведении ав множитель а делится на натуральное число m, а множитель в делится на натуральное число n, то ав делится на mn.

( а,в,m,n N)[а m в n ав mn].

Доказательство. Из того, что а m а = mq₁, q₁ N; в n в = nq₂, q₂ N

ав = mq₁ × nq₂, = mn(q₁ × q₂) = mnq, q₁ × q₂ = q N. ав = mnq ав mn.

Теорема (признак делимости на 2). Для того, чтобы число х делилось на 2 необходимо и достаточно, чтобы его десятичная запись оканчивалась одной из цифр: 0, 2, 4, 6, 8.

Доказательство. Пусть число х записано в десятичной системе счисления, то есть:

х = а_n10 n + a_n–110 n –1 + …+a₁10 + a₀, где а_n, a_n–1, …, а₁ – цифры, принимающие значения 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 и а_n 0, а₀ – принимает значения 0, 2, 4, 6, 8.

Докажем, что число х 2. Так как 10 2, то любая степень числа 10 2. Десятичную запись числа х представим в виде: х = (а_n10 n + a_n–110 n –1 + …+a₁10) + a₀

I слагаемое II слагаемое

В этой сумме первое слагаемое по признаку делимости суммы делится на 2. Второе слагаемое а₀ 2 (по условию). Следовательно, по признаку делимости суммы на число х делится на 2.

Обратно, если число х делится на 2, то его десятичная запись оканчивается цифрой 0, 2, 4, 6, 8.

В этой разности число х 2 (по условию), вычитаемое (а_n10 n + a_n–110 n –1 + …+a₁10) 2 (по признаку делимости суммы). Следовательно, по теореме о делимости разности а₀ 2. Чтобы однозначное число а₀ делилось на 2, оно должно принимать значения 0, 2, 4, 6, 8.

Признак делимости на 2. На 2 делятся те и только те числа, в разряде единиц которых содержится число, делящееся на 2 или на 2 делятся те и только те числа, десятичная запись которых оканчивается одной из цифр 0, 2, 4, 6, 8.

Теорема (признак делимости на 5). Для того, чтобы число х делилось на 5, необходимо и достаточно, чтобы его десятичная запись оканчивалась цифрой 0 или 5.

Лемма. ( n N) [n > 1 10 n 4].

Доказательство. Так как 100 = 4 × 25, то по признаку делимости произведения

100 4. Тогда ( n N n > 1)[10 n = 10 2 × 10 n–2 ] 10 n = 100 × 10 n–2 и по признаку делимости произведения 10 n 4.

Теорема (признак делимости на 4). Натуральное число х делится на 4 тогда и только тогда, когда две последние цифры его десятичной записи образуют двузначное число, делящееся на 4.

Пусть х = а_n10 n + a_n–110 n –1 + …+a₁10 + a₀ и пусть десятичная запись двух последних цифр a₁10 + a₀ выражает число , которое делится на 4.

Доказательство. Представим число х в виде суммы двух слагаемых:

х = (а_n10 n + a_n–110 n –1 + …+a₂10 2 ) + (а₁10 + а₀),

I слагаемое II слагаемое

где первое слагаемое, по доказанной выше Лемме, делится на 4, второе слагаемое делится на 4 по условию. Следовательно, согласно признака делимости суммы на число, число х делится на 4.

Обратно, если число х 4, то – двузначное число, образованное последними цифрами его десятичной записи, делится на 4.

По условию х 4. Докажем, что (а₁10 + а₀) 4.

Доказательство. Десятичная запись числа х имеет вид:

х = а_n10 n + a_n–110 n –1 + …+а₂ 10 2 + a₁10 + a₀, представим число х в виде суммы двух слагаемых:

х – (а_n10 n + a_n–110 n –1 + …+a₂10 2 ) = а₁10 + а₀, где х 4 (а_n10 n + a_n–110 n –1 + …+a₂10 2 ) 4 (по лемме).

Следовательно, по признаку делимости разности а₁10 + а₀ 4. выражение а₁10 + а₀ = – есть запись двузначного числа, образованного последними цифрами записи числа х.

Признак делимости на 4. На 4 делятся те и только те числа, две последние цифры десятичной записи которых образуют число, делящееся на 4.

Теорема. Для того чтобы число х делилось на 25 необходимо и достаточно, чтобы на 25 делилось двузначное число, образованное последними двумя цифрами десятичной записи числа х.

Признак делимости на 25. На 25 делятся те и только те числа, у которых две последние цифры в записи числа 00, 25, 50, 75.

Лемма. ( n N) [(10 n – 1) 9].

Докажем методом математической индукции.

1. Проверим справедливость утверждения для n = 1,

имеем: 10 1 – 1 = 9 9 9. А(1) И.

2. Допустим, что утверждение справедливо для n = k,

имеем: 10 k – 1 9 А(k) И – индукционное допущение.

1. Докажем справедливость утверждения для n = k + 1, имеем:

2. 10 k + 1 – 1 = 10 k × 10 – 1 = 10 k (9 + 1) – 1 = 10 k × 9 + 10 k × 1 – 1 = 10 k × 9 + 10 k – 1, где первое слагаемое 10 k × 9 9 (по признаку делимости произведения), второе слагаемое 10 k – 1 9 (по допущению индукции). Следовательно, по признаку делимости суммы вся сумма делится на 9.

Таким образом, А (1) И А(k) И А(k + 1) И.

Следовательно, лемма доказана, то есть (10 n – 1) 9.

Теорема (признак делимости на 9). Для того чтобы число х делилось на 9, необходимо и достаточно, чтобы сумма цифр его десятичной записи делалась на 9.

Пусть х = а_n10 n + a_n–110 n –1 + …+a₁10 + a₀ (1), где где а_n, a_n–1, …, а₁, а₀ – цифры, принимающие значения 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 и а_n 0 и (а_n + a_n–1 + … + а₁ + а₀) 9.

Докажем, что число х 9. Доказательство. Преобразуем сумму (1), прибавив и вычтя из нее выражение а_n + a_n–1 + … + а₁ + а₀, получим:

В полученной сумме каждое слагаемое делится на 9 (по признаку делимости произведения):

а_n (10 n – 1) 9, так как (10 n – 1) 9; a_n–1 (10 n –1 – 1) 9, так как (10 – 1) 9; а_n + a_n–1 + … + а₁ + а₀ 9 (по условию). Следовательно, х 9.

Обратно, если х 9, то сумма цифр десятичной записи числа х делится на 9.

Так как х 9 (по условию) и вычитаемое (а_n (10 n – 1) + a_n–1 (10 n –1 – 1) + … + a₁ (10 –1)) 9 (по признаку делимости суммы), то по теореме о делимости разности (а_n + a_n–1 + … + а₁ + а₀) 9, то есть сумма цифр десятичной записи числа х делится на 9.

Лемма. ( n N) [(10 n – 1) 3].

Доказательство проведем методом математической индукции по n.

1. Проверим справедливость утверждения для n = 1,

имеем: 10 1 – 1 = 9 9 3. А(1) И.

2. Допустим, что утверждение справедливо для n = k,

имеем: 10 k – 1 3 А(k) И – индукционное допущение.

3. Докажем справедливость утверждения для n = k + 1, имеем: 10 k + 1 – 1 = 10 k × 10 – 1 = 10 k (9 + 1) – 1 = 10 k × 9 + 10 k × 1 – 1 = 10 k × 9 + 10 k – 1, где первое слагаемое 10 k × 9 3 (по признаку делимости произведения), второе слагаемое 10 k – 1 3 (по допущению индукции). Следовательно, по признаку делимости суммы вся сумма делится на 3.

Таким образом, А (1) И А(k) И А(k + 1) И. Следовательно, (10 n – 1) 3

Признак делимости на 3. На 3 делятся те и только те числа, сумма цифр которых делится на 3.

Источник