Как доказать что точки лежат в одной плоскости

Вычислительная геометрия, или как я стал заниматься олимпиадным программированием. Часть 2

Вступление

Это вторая часть моей статьи посвящена вычислительной геометрии. Думаю, эта статья будет интереснее предыдущей, поскольку задачки будут чуть сложнее.

Начнем с взаимного расположения точки относительно прямой, луча и отрезка.

Задача №1

Определить взаимное расположении точки и прямой: лежит выше прямой, на прямой, под прямой.

Решение
Понятно, что если прямая задана своим уравнением ax + by + c = 0, то тут и решать нечего. Достаточно подставить координаты точки в уравнение прямой и проверить чему оно равно. Если больше нуля, то точка находится в верхней полуплоскости, если равна нулю, то точка находится на прямой и если меньше нуля, то точка находится в нижней полуплоскости. Интереснее случай, когда прямая задана, задана координатами двух точек назовем их P₁(x₁, y₁), P₂(x₂, y₂). В этом случае можно спокойно найти коэффициенты a, b и c и применить предыдущее рассуждение. Но надо сначала подумать, оно нам надо? Конечно, нет! Как я говорил косое произведения — это просто жемчужина вычислительной геометрии. Давайте применим его. Известно, что косое произведение двух векторов положительно, если поворот от первого вектора ко второму идет против часовой стрелки, равно нулю, если векторы коллинеарны и отрицательно, если поворот идет по часовой стрелки. Поэтому нам достаточно посчитать косое произведение векторов P₁P₂ и P₁M и по его знаку сделать вывод.

Задача №2

Определить принадлежит ли точка лучу.

Решение
Давайте вспомним, что такое луч: луч — это прямая, ограниченная точкой с одной стороны, а с другой стороны бесконечная. То есть луч задается некоторой начальной точкой и любой точкой лежащей на нем. Пусть точка P₁(x₁, y₁) — начало луча, а P₂(x₂, y₂) — любая точка принадлежащая лучу. Понятно, что если точка принадлежит лучу, то она принадлежит и прямой проходящей через эти точки, но не наоборот. Поэтому принадлежность прямой является необходимым, но не достаточным условием для принадлежности лучу. Поэтому от проверки косового произведения нам никуда не деться. Для достаточного условия нужно вычислить еще и скалярное произведение тех же векторов. Если оно меньше нуля, то точка не принадлежит лучу, если же оно не отрицательно, то точка лежит на луче. Почему так? Давайте посмотрим на рисунок.

Итак, для того чтобы точка M(x, y) лежала на луче с начальной точкой P₁(x₁, y₁), где P₂(x₂, y₂) лежит на луче необходимо и достаточно выполнения двух условий:
1. [P₁P₂, P₁M] = 0 – косое произведение (точка лежит на прямой)
2. (P₁P₂, P₁M) ≥ 0 – скалярное произведение (точка лежит на луче)

Задача №3

Определить принадлежит ли точка отрезку.

Решение
Пусть точки P₁(x₁, y₁), P₂(x₂, y₂) концы заданного отрезка. Опять-таки необходимым условием принадлежности точки отрезку является ее принадлежность прямой проходящей через P₁, P₂. Далее нам нужно определить лежит ли точка между точками P₁ и P₂, для этого нам на помощь приходит скалярное произведение векторов только на этот раз других: (MP₁, MP₂). Если оно меньше либо равно нуля, то точка лежит на отрезке, иначе вне отрезка. Почему так? Посмотрим на рисунок.

Итак, для того чтобы точка M(x, y) лежала на отрезке с концами P₁(x₁, y₁), P₂(x₂, y₂) необходимо и достаточно выполнения условий:
1. [P₁P₂, P₁M] = 0 – косое произведение (точка лежит на прямой)
2. (MP₁,MP₂) ≤ 0 – скалярное произведение (точка лежит между P₁ и P₂)

Задача №4

Взаимное расположение двух точек относительно прямой.

Решение
В этой задаче необходимо определить по одну или по разные стороны относительно прямой находятся две точки.

Если точки находятся по разные стороны относительно прямой, то косые произведения имеют разные знаки, а значит их произведение отрицательно. Если же точки лежат по одну сторону относительно прямой, то знаки косых произведений совпадают, значит, их произведение положительно.
Итак:
1. [P₁P₂, P₁M₁] * [P₁P₂, P₁M₂] 0 – точки лежат по одну сторону.
3. [P₁P₂, P₁M₁] * [P₁P₂, P₁M₂] = 0 – одна (или две) из точек лежит на прямой.

Кстати, задача об определении наличия точки пересечения у прямой и отрезка решается точно также. Точнее, это и есть эта же задача: отрезок и прямая пересекаются, когда концы отрезка находятся по разные стороны относительно прямой или когда концы отрезка лежат на прямой, то есть необходимо потребовать [P₁P₂, P₁M₁] * [P₁P₂, P₁M₂] ≤ 0.

Задача №5

Определить пересекаются ли две прямые.

Решение
Будем считать, что прямые не совпадают. Понятно, что прямые не пересекаются, только если они параллельны. Поэтому, найдя условие параллельности, мы можем, определить пересекаются ли прямые.
Допустим прямые заданы своими уравнениями a₁x + b₁y + c₁ = 0 и a₂x + b₂y + c₂ = 0. Тогда условие параллельности прямых заключается в том, что a₁b₂ — a₂b₁ = 0.
Если же прямые заданы точками P₁(x₁, y₁), P₂(x₂, y₂), M₁(x₃, y₃), M₂(x₄, y₄), то условие их параллельности заключается в проверки косого произведения векторов P₁P₂ и M₁M₂: если оно равно нулю, то прямые параллельны.

В общем, то когда прямые заданы своими уравнениями мы тоже проверяем косое произведение векторов (-b₁, a₁), (-b₂, a₂) которые называются направляющими векторами.

Задача №6

Определить пересекаются ли два отрезка.

Решение
Вот эта задача мне, действительно, нравится. Отрезки пересекаются тогда, когда, концы каждого отрезка лежат по разные стороны от другого отрезка. Посмотрим на рисунок:

Итак, нам нужно проверить, чтобы концы каждого из отрезков лежали по разные стороны относительного концов другого отрезка. Пользуемся косым произведением векторов. Посмотрите на первый рисунок: [P₁P₂, P₁M₂] > 0, [P₁P₂, P₁M₁] [P₁P₂, P₁M₂] * [P₁P₂, P₁M₁] 2 + b 2 ).

Задача №8

Расстояние от точки до луча.

Решение
Эта задача отличается от предыдущей тем, что в этом случае может получиться, так что перпендикуляр из точки не падает на луч, а падает на его продолжение.

В случае, когда перпендикуляр не падает на луч необходимо найти расстояние от точки до начала луча – это и будет ответом на задачу.

Теперь рассмотрим случай, когда центр второго круга O₂ находится между точками O₁ и C. В этом случае получим отрицательное значение величины d₂. Использование отрицательного значения d₂ приводит к отрицательному значению α. В этом случае необходимо для правильного ответа прибавить к α 2π.

Заключение

Ну вот и все. Мы рассмотрели не все, но наиболее часто встречаемые задачи вычислительной геометрии касающиеся взаимного расположения объектов.

Источник

Стереометрия. Страница 1

1. Основные фигуры стереометрии

Аксиомы планиметрии описывают свойства простейших геометрических фигур на плоскости. Так как стереометрия изучает фигуры в пространстве и в пространстве может быть великое множество плоскостей, то аксиомы стереометрии состоят из аксиом планиметрии с уточнением «на» или «в заданной плоскости» и 3-х дополнительных аксиом.

2. Группа дополнительных аксиом стереометрии

1. Для любой плоскости в пространстве, существуют точки принадлежащие данной плоскости и точки не принадлежащие ей.

2. Две различные плоскости, имеющие одну общую точку, пересекаются по прямой, проходящей через эту точку.

3. Через две различные прямые, имеющие общую точку, можно провести только одну плоскость.

Рис. 1. Аксиомы стереометрии.

Пример

Даны три попарно пересекающиеся плоскости. Две прямые пересечения из них пересекаются. Доказать, что три прямые пересечения этих плоскостей пересекаются в одной точке.

Пусть даны три попарно пересекающиеся плоскости α, β и γ. Плоскость α пересекает плоскость β по прямой а. А плоскость β пересекает плоскость γ по прямой с (Рис. 2 а).

точка Е ∈ а,с (прямые пересекаются в точке Е по условию задачи)

Тогда плоскости α и γ пересекаются по прямой b.

Отсюда следует, что, т.к. прямые b,с ∈ γ, то они либо параллельны, либо пересекаются в какой-то точке Е₁.

Если они параллельны, то у них нет общих точек, а следовательно, плоскости α и β пересекаются по прямой а, параллельной b и с (Рис. 2 б). А это противоречит условию задачи. Следовательно, прямые b и с пересекаются в какой-то точке Е₁.

Отсюда можно сделать вывод, что точка Е₁ принадлежит трем плоскостям α,β,γ и, следовательно, она лежит одновременно на трех прямых а, b и с. А это возможно только, если три прямые пересекаются в одной точке. И, следовательно, прямая b пересекает прямую с в точке Е₁, которая является точкой пересечения прямых а и с. Таким образом, точки Е и Е₁ совпадают.

Рис.2. Даны три попарно пересекающиеся плоскости.

3. Плоскость, проходящая через данную прямую и точку

Теорема: Через прямую и не лежащую на ней точку можно провести только одну плоскость.

Доказательство.

Пусть АВ данная прямая и Е не принадлежащая ей точка. (Рис.3) Проведем через точки А и Е прямую. Тогда прямые АВ и АЕ пересекаются в точке А. Согласно аксиоме: через две пересекающиеся прямые можно провести только одну плоскость, плоскость α, проведенная через эти прямые, единственная. Т.к. точка Е принадлежит прямой АЕ, то она принадлежит плоскости α.

Если допустить, что существует еще одна плоскость α’, проходящая через прямую АВ и точку Е, то эта плоскость пересекает плоскость α по прямой, на которой лежат точки А, В, и Е согласно аксиоме 2. А это противоречит условию, т.к. точки А, В, и Е не лежат на одной прямой. Следовательно, плоскость α единственная.

Рис. 3 Плоскость, проходящая через данную прямую и точку.

4. Пересечение прямой с плоскостью

Теорема: Если две точки прямой принадлежат плоскости, то и вся прямая принадлежит данной плоскости.

Доказательство.

Проведем через прямую а и точку С плоскость β. Тогда, если плоскости α и β совпадают, то прямая а принадлежит плоскости α, что и утверждает данная теорема. Если плоскости α и β не совпадают, то они пересекаются по прямой а’. Таким образом, имеем:

точки А и В ∈ а, α
прямая а ∈ β
следовательно, точки А и В ∈β

Отсюда следует, что две точки А и В принадлежат двум плоскостям: α и β. И, согласно аксиоме, они могут лежать только на прямой а’, которая является прямой пересечения этих плоскостей. Т.к. через две точки можно провести только одну прямую, и по условию теоремы эта прямая есть а, то следовательно, она и является прямой пересечения двух плоскостей. Т.е. прямые а и а’ совпадают. А следовательно, прямая а принадлежит плоскости α.

Из данной теоремы следует, что плоскость и не принадлежащая ей прямая, либо не пересекаются, либо пересекаются в одной точке.

Рис. 4 Пересечение прямой с плоскостью.

5. Существование плоскости, проходящей через три данные точки

Теорема. Через три точки, не лежащие на данной прямой, можно провести только одну плоскость. Рис.5

Доказательство. Пусть А, В, С три точки, не лежащие на одной прямой. Проведем через точки А,С и В,С прямые. Тогда они пересекаются в точке С. Согласно аксиоме: через две пересекающиеся прямые можно провести только одну плоскость, плоскость, проведенная через эти прямые, единственная. По теореме о пересечении прямой с плоскостью, обе прямые целиком принадлежат данной плоскости.

Рис. 5 Существование плоскости, проходящей через три данные точки.

6.Пример 1

Докажите, что все прямые, пересекающие данную прямую и проходящие через данную точку вне прямой, лежат в одной плоскости.

Доказательство:

Пусть дана данная прямая а и точка О, не принадлежащая прямой а. И даны пересекающие ее прямые b, c, d в точках B, C, D, которые пересекаются в точке О. Проведем через прямую а и точку О плоскость α (Рис.6).

По теореме о пересечении прямой и плоскости, если провести прямую b, проходящую через точку О и точку В прямой а, то она целиком будет принадлежать плоскости α, так как две точки прямой b принадлежат плоскости α.

Если допустить, что прямая b не принадлежит плоскости α, то в этом случае мы можем провести плоскость α’, проходящую через точки В и О. Тогда плоскости α и α’ пересекаются по прямой b’, проходящей через точки В и О. А так как через две точки можно провести только одну прямую, то прямые b и b’ совпадают. Следовательно, прямая b целиком принадлежит плоскости α.

Точно так же доказывается, что прямые с и d принадлежат плоскости α. Отсюда можно сделать вывод, что все прямые, пересекающие данную прямую и проходящие через данную точку вне прямой, лежат в одной плоскости.

Рис.6 Задача. Докажите, что все прямые, пересекающие данную прямую.

Пример 2

Даны две непересекающиеся плоскости. Докажите, что прямая, пересекающая одну из этих плоскостей, пересекает и другую.

Доказательство:

Пусть даны две непересекающиеся плоскости α и α’. И прямая а, которая пересекает плоскость α в точке В (Рис.7). Необходимо доказать, что прямая а пересекает плоскость α’ в точке В’.

Возьмем на плоскости α’ точку А и проведем через нее и прямую а плоскость β. Тогда плоскость β будет пересекать плоскости α и α’ по параллельным прямым b и b’. Точка В принадлежит прямой b, так как она принадлежит плоскости α и лежит на прямой а. И следовательно, она принадлежит двум плоскостям α и β.

Таким образом получается, что на плоскости β лежат две параллельные прямые b и b’. Одну из них пересекает прямая а в точке В. Следовательно, прямая а пересекает и вторую прямую b’. Так как согласно аксеоме, через точку В, не лежащей на данной прямой b’, можно провести только одну, параллельную прямой b’, прямую b. Отсюда следует, что прямая а не параллельна прямой b’, она ее пересекает в точке B’.

Рис.7 Задача. Даны две непересекающиеся плоскости.

Пример 3

Даны две плоскости, пересекающиеся по прямой а. И прямая b, которая лежит в одной из этих плоскостей и пересекает другую. Докажите, что прямые а и b пересекаются.

Доказательство:

Пусть даны две пересекающиеся плоскости α и β. Прямая а, является их прямой пересечения. Прямая b лежит в плоскости β и пересекает плоскость α в точке А (Рис.8). Необходимо доказать, что прямая b пересекает прямую а.

По условию задачи, прямая b лежит в плоскости β и пересекает плоскость α в точке А. Следовательно, точка А принадлежит двум плоскостям α и β.

Согласно аксиоме стереометрии, если две плоскости имеют одну общую точку, то они пересекаются по прямой, проходящей через эту точку. Отсюда следует, что, так как точка А принадлежит двум плоскостям, то она лежит на прямой а, потому что прямая а является прямой пересечения двух плоскостей α и β.

Таким образом, точка А принадлежит двум прямым а и b. А следовательно, эти прямые пересекаются.

Рис.8 Задача. Даны две плоскости, пересекающиеся по прямой а.

Пример 4

Точки А, В, С лежат в каждой из двух различных плоскостей. Докажите, что эти точки лежат на одной прямой.

Доказательство:

Пусть даны две пересекающиеся плоскости α и β. Прямая а, является их прямой пересечения. Точки А, В, С одновременно принадлежат двум плоскостям α и β (Рис.9). Необходимо доказать, что все три точки принадлежат прямой а.

Согласно аксиоме стереометрии, если две плоскости имеют одну общую точку, то они пересекаются по прямой, проходящей через эту точку. Отсюда следует, что все три точки А, В и С лежат на прямой пересечения двух плоскостей, т.е. прямой а, так как они принадлежат обоим плоскостям α и β.

Пусть дана точка D, принадлежащая только плоскости β. Тогда она не может лежать на прямой а, так как она не принадлежит плоскости α. Точно так же точка Е не может принадлежать прямой а, так как она принадлежит только плоскости α. Точка F не принадлежит плоскостям α и β, а следовательно, и прямой а.

Рис.9 Задача. Точки А, В, С лежат в каждой из двух различных плоскостей.

Пример 5

Даны четыре точки. Известно, что прямая, проходящая через любые две из этих точек, не пересекается с прямой, проходящей через другие две точки. Докажите, что данные четыре точки не лежат в одной плоскости.

Доказательство:

Пусть даны четыре точки А, В, С, D. Допустим, что все четыре точки лежат в одной плоскости α.

Прямая АВ не пересекается с прямой CD. Прямая АС также не пересекается с прямой BD. Если провести прямую AD, то точки В и С окажутся в разных полуплоскостях. Следовательно, прямая AD пересекается с прямой ВС в точке О (Рис.10 а).

Допустим, что прямая AB не пересекает прямую DС (Рис.10 б). АD не пересекает прямую BC. Тогда, если провести прямую АС, то точки B и D окажутся в разных полуплоскостях. И прямая АС будет пересекать прямую BD в точке О.

Теперь допустим, что прямая AC не пересекает прямую ВD (Рис.10 в). АD не пересекает прямую ВC. Тогда, если провести прямую АВ, то точки D и C окажутся в разны полуплоскостях. А следовательно, прямая АВ будет пересекать прямую СD в точке О.

Отсюда можно сделать вывод, для того, чтобы выполнялось условие, при котором прямые АВ, АС, АD, одновременно не пересекали бы прямые CD, BD, BC, необходимо чтобы четыре точки А, В, С и D лежали в разных плоскостях.

Рис.10 Задача. Даны четыре точки. Известно, что прямая.

Источник

Как доказать что точки лежат в одной плоскости

Дана правильная треугольная призма ABCA₁B₁C₁, в которой сторона основания AB = 8, боковое ребро Точка Q — точка пересечения диагоналей грани ABB₁А₁, точки M, N и K — середины ВС, СC₁ и А₁C₁ cответственно.

а) Докажите, что точки Q, M, N и K лежат в одной плоскости.

б) Найдите площадь сечения QMN.

а) Пусть точка T — середина ребра AB. Отметим сразу, что прямые QT и AB перпендикулярны, причем Заметим, что

Таким образом, прямые KN и QM параллельны, а значит, они лежат в одной плоскости.

б) Построим сечение QMN. Продлим KN до пересечения с продолжением AC в точке P, тогда треугольники KC₁N и PCN равны по катету и острому углу, откуда

Теперь продлим отрезок PM до пересечения с AB в точке S. По теореме Менелая для треугольника ABC и прямой SMP получим:

откуда AS : SB = 3. Далее, продлим SQ до пересечения с A₁B₁ в точке L. Эта точка симметрична S относительно Q, поэтому A₁L : LB₁ = 1 : 3. Пятиугольник LKNMS — искомое сечение. Найдем его площадь.

Продлим SL и PK до пересечения в точке Z, лежащей на AA₁. Тогда S_LKNMS = S_SZP − S_MNP − S_LZK. Заметим, что откуда следует, что SP : MP = 3 : 2, то есть Рассмотрим треугольники LA₁K и SBM — они равны по двум сторонам и углу между ними, поэтому Кроме того LK параллельно SP как прямые, по которым плоскость пересекает параллельные основания призмы. Тогда треугольники ZKL и ZPS подобны с коэффициентом 3. Таким образом, потому ZK = KN. Аналогично ZL = LQ = QS и треугольники ZPS и QMS подобны по трем сторонам с коэффициентом 3 — в пункте a) уже было доказано, что QM = KN.

Найдем площадь треугольника QMS. Вычислим для этого треугольника стороны:

Отсюда видно, что таким образом, треугольник MSQ прямоугольный. Найдем его площадь:

Ответ: б)

Треугольник MSQ всегда прямоугольный, поскольку прямые SM и TC параллельны, а прямая TC и плоскость A₁B₁BA перпендикулярны. Поэтому прямые TC и QS перпендикулярны, и прямые SM и QS тоже перпендикулярны.

Приведем решение Анны Букиной.

Тогда KN || QM, следовательно, они лежат в одной плоскости.

Пусть плоскость сечения α пересекает плоскость AA₁B₁ по прямой LS, где L — точка пересечения плоскости α и ребра A₁B₁, S — точка пересечения плоскости α и ребра AB.

Аналогично MS || QN || TC, MS перпендикулярна прямой LS.

Таким образом, QLKN и QNMS — прямоугольные трапеции.

Главная > Учебные материалы > Математика: Стереометрия. Страница 1