Как доказать что точки лежат в одной плоскости через координаты

Лежат ли точки в одной плоскости? Как это проверить?

Проверить, лежат ли в одной плоскости точки A,B,C,D
Проверить, лежат ли в одной плоскости точки A,B,C,D, и найти линейную зависимость векторов AB от AC.

Как доказать что точки лежат в одной плоскости через координаты. Смотреть фото Как доказать что точки лежат в одной плоскости через координаты. Смотреть картинку Как доказать что точки лежат в одной плоскости через координаты. Картинка про Как доказать что точки лежат в одной плоскости через координаты. Фото Как доказать что точки лежат в одной плоскости через координатыДве точки на плоскости заданы своими координатами. Проверить, лежат ли они в одной координатной четверти
две точки на плоскости А(х1;у1) и В(х2;у2) задано своими координатами. Проверить, лежат ли эти.

Как доказать что точки лежат в одной плоскости через координаты. Смотреть фото Как доказать что точки лежат в одной плоскости через координаты. Смотреть картинку Как доказать что точки лежат в одной плоскости через координаты. Картинка про Как доказать что точки лежат в одной плоскости через координаты. Фото Как доказать что точки лежат в одной плоскости через координатыКак пользуясь рангом матрицы определить лежат ли четыре точки трёхмерного пространства в одной плоскости
Как пользуясь рангом матрицы определить лежат ли четыре точки трёхмерного пространства в одной.

Лежат ли точки на одной плоскости
У тривимірному просторі задається n точок(3 9

Добавлено через 11 минут
Получится система уравнений:

Она вроде бы не совместна, направляющие вектора не параллельны, значит прямые не лежат в одной плоскости.

woldemas, вы пишете, что определитель из координат трех точек — это то же самое, что вычислить смешанное произведение векторов. Каких именно векторов? Ведь векторы в сообщении 2 строятся по четырем точкам. А три точки всегда лежат на одной плоскости.

Jessy James, чтобы определить, лежат ли четыре точки в трехмерном пространстве на одной плоскости, можно вычислить определитель 4×4, составленный из координат точек, к которым добавлена четвертая координата 1. Например, для точки A(1; 0; 2) используется строчка 1 0 2 1. Точки лежат на одной плоскости тогда и только тогда, когда определитель равено нулю.

Там одна из точек имеет нулевые координаты, если принять ее за начало для трех векторов проведенных к остальным точкам, можно просчитать определитель, в котором стоят координаты точек (но на самом деле это координаты радиус-векторов). Я думал это очевидно, поэтому и не стал особо расписывать.

Добавлено через 20 минут
А что касается условия принадлежности прямых одной плоскости, то определитель матрицы 3 на 3 составленной из направляющих векторов прямых и вектора соединяющего две любые точки на прямых должен равняться 0.

Как доказать что точки лежат в одной плоскости через координаты. Смотреть фото Как доказать что точки лежат в одной плоскости через координаты. Смотреть картинку Как доказать что точки лежат в одной плоскости через координаты. Картинка про Как доказать что точки лежат в одной плоскости через координаты. Фото Как доказать что точки лежат в одной плоскости через координатыЛежат ли точки в одной плоскости?
На плоскости XOY даны три точки A(x1, y1), B(x2, y2), C(x3, y3). Выяснить, лежат ли они в одной и.

Лежат ли 4 точки в одной плоскости.
Помогите пожалуйста решить, лежат ли точки А(5,3,1), В(-3,2,3), С(3,8,6) и D(-3,1,2) в одной.

Определить, лежат ли три точки плоскости на одной прямой
Задача: Написать программу, определяющую, лежат ли три точки плоскости на одной прямой! Точки и.

Как доказать что точки лежат в одной плоскости через координаты. Смотреть фото Как доказать что точки лежат в одной плоскости через координаты. Смотреть картинку Как доказать что точки лежат в одной плоскости через координаты. Картинка про Как доказать что точки лежат в одной плоскости через координаты. Фото Как доказать что точки лежат в одной плоскости через координатыОпределить, лежат ли три точки плоскости на одной прямой
Помогите, пожалуйста с задачей! Написать программу, определяющую, лежат ли три точки плоскости на.

Источник

Вычислительная геометрия, или как я стал заниматься олимпиадным программированием. Часть 2

Вступление

Это вторая часть моей статьи посвящена вычислительной геометрии. Думаю, эта статья будет интереснее предыдущей, поскольку задачки будут чуть сложнее.

Начнем с взаимного расположения точки относительно прямой, луча и отрезка.

Задача №1

Определить взаимное расположении точки и прямой: лежит выше прямой, на прямой, под прямой.

Решение
Понятно, что если прямая задана своим уравнением ax + by + c = 0, то тут и решать нечего. Достаточно подставить координаты точки в уравнение прямой и проверить чему оно равно. Если больше нуля, то точка находится в верхней полуплоскости, если равна нулю, то точка находится на прямой и если меньше нуля, то точка находится в нижней полуплоскости. Интереснее случай, когда прямая задана, задана координатами двух точек назовем их P1(x1, y1), P2(x2, y2). В этом случае можно спокойно найти коэффициенты a, b и c и применить предыдущее рассуждение. Но надо сначала подумать, оно нам надо? Конечно, нет! Как я говорил косое произведения — это просто жемчужина вычислительной геометрии. Давайте применим его. Известно, что косое произведение двух векторов положительно, если поворот от первого вектора ко второму идет против часовой стрелки, равно нулю, если векторы коллинеарны и отрицательно, если поворот идет по часовой стрелки. Поэтому нам достаточно посчитать косое произведение векторов P1P2 и P1M и по его знаку сделать вывод.

Как доказать что точки лежат в одной плоскости через координаты. Смотреть фото Как доказать что точки лежат в одной плоскости через координаты. Смотреть картинку Как доказать что точки лежат в одной плоскости через координаты. Картинка про Как доказать что точки лежат в одной плоскости через координаты. Фото Как доказать что точки лежат в одной плоскости через координаты

Задача №2

Определить принадлежит ли точка лучу.

Решение
Давайте вспомним, что такое луч: луч — это прямая, ограниченная точкой с одной стороны, а с другой стороны бесконечная. То есть луч задается некоторой начальной точкой и любой точкой лежащей на нем. Пусть точка P1(x1, y1) — начало луча, а P2(x2, y2) — любая точка принадлежащая лучу. Понятно, что если точка принадлежит лучу, то она принадлежит и прямой проходящей через эти точки, но не наоборот. Поэтому принадлежность прямой является необходимым, но не достаточным условием для принадлежности лучу. Поэтому от проверки косового произведения нам никуда не деться. Для достаточного условия нужно вычислить еще и скалярное произведение тех же векторов. Если оно меньше нуля, то точка не принадлежит лучу, если же оно не отрицательно, то точка лежит на луче. Почему так? Давайте посмотрим на рисунок.

Как доказать что точки лежат в одной плоскости через координаты. Смотреть фото Как доказать что точки лежат в одной плоскости через координаты. Смотреть картинку Как доказать что точки лежат в одной плоскости через координаты. Картинка про Как доказать что точки лежат в одной плоскости через координаты. Фото Как доказать что точки лежат в одной плоскости через координаты

Итак, для того чтобы точка M(x, y) лежала на луче с начальной точкой P1(x1, y1), где P2(x2, y2) лежит на луче необходимо и достаточно выполнения двух условий:
1. [P1P2, P1M] = 0 – косое произведение (точка лежит на прямой)
2. (P1P2, P1M) ≥ 0 – скалярное произведение (точка лежит на луче)

Задача №3

Определить принадлежит ли точка отрезку.

Решение
Пусть точки P1(x1, y1), P2(x2, y2) концы заданного отрезка. Опять-таки необходимым условием принадлежности точки отрезку является ее принадлежность прямой проходящей через P1, P2. Далее нам нужно определить лежит ли точка между точками P1 и P2, для этого нам на помощь приходит скалярное произведение векторов только на этот раз других: (MP1, MP2). Если оно меньше либо равно нуля, то точка лежит на отрезке, иначе вне отрезка. Почему так? Посмотрим на рисунок.

Как доказать что точки лежат в одной плоскости через координаты. Смотреть фото Как доказать что точки лежат в одной плоскости через координаты. Смотреть картинку Как доказать что точки лежат в одной плоскости через координаты. Картинка про Как доказать что точки лежат в одной плоскости через координаты. Фото Как доказать что точки лежат в одной плоскости через координаты

Итак, для того чтобы точка M(x, y) лежала на отрезке с концами P1(x1, y1), P2(x2, y2) необходимо и достаточно выполнения условий:
1. [P1P2, P1M] = 0 – косое произведение (точка лежит на прямой)
2. (MP1,MP2) ≤ 0 – скалярное произведение (точка лежит между P1 и P2)

Задача №4

Взаимное расположение двух точек относительно прямой.

Решение
В этой задаче необходимо определить по одну или по разные стороны относительно прямой находятся две точки.

Как доказать что точки лежат в одной плоскости через координаты. Смотреть фото Как доказать что точки лежат в одной плоскости через координаты. Смотреть картинку Как доказать что точки лежат в одной плоскости через координаты. Картинка про Как доказать что точки лежат в одной плоскости через координаты. Фото Как доказать что точки лежат в одной плоскости через координаты

Если точки находятся по разные стороны относительно прямой, то косые произведения имеют разные знаки, а значит их произведение отрицательно. Если же точки лежат по одну сторону относительно прямой, то знаки косых произведений совпадают, значит, их произведение положительно.
Итак:
1. [P1P2, P1M1] * [P1P2, P1M2] 0 – точки лежат по одну сторону.
3. [P1P2, P1M1] * [P1P2, P1M2] = 0 – одна (или две) из точек лежит на прямой.

Кстати, задача об определении наличия точки пересечения у прямой и отрезка решается точно также. Точнее, это и есть эта же задача: отрезок и прямая пересекаются, когда концы отрезка находятся по разные стороны относительно прямой или когда концы отрезка лежат на прямой, то есть необходимо потребовать [P1P2, P1M1] * [P1P2, P1M2] ≤ 0.

Задача №5

Определить пересекаются ли две прямые.

Решение
Будем считать, что прямые не совпадают. Понятно, что прямые не пересекаются, только если они параллельны. Поэтому, найдя условие параллельности, мы можем, определить пересекаются ли прямые.
Допустим прямые заданы своими уравнениями a1x + b1y + c1 = 0 и a2x + b2y + c2 = 0. Тогда условие параллельности прямых заключается в том, что a1b2 — a2b1 = 0.
Если же прямые заданы точками P1(x1, y1), P2(x2, y2), M1(x3, y3), M2(x4, y4), то условие их параллельности заключается в проверки косого произведения векторов P1P2 и M1M2: если оно равно нулю, то прямые параллельны.

Как доказать что точки лежат в одной плоскости через координаты. Смотреть фото Как доказать что точки лежат в одной плоскости через координаты. Смотреть картинку Как доказать что точки лежат в одной плоскости через координаты. Картинка про Как доказать что точки лежат в одной плоскости через координаты. Фото Как доказать что точки лежат в одной плоскости через координаты

В общем, то когда прямые заданы своими уравнениями мы тоже проверяем косое произведение векторов (-b1, a1), (-b2, a2) которые называются направляющими векторами.

Задача №6

Определить пересекаются ли два отрезка.

Решение
Вот эта задача мне, действительно, нравится. Отрезки пересекаются тогда, когда, концы каждого отрезка лежат по разные стороны от другого отрезка. Посмотрим на рисунок:

Как доказать что точки лежат в одной плоскости через координаты. Смотреть фото Как доказать что точки лежат в одной плоскости через координаты. Смотреть картинку Как доказать что точки лежат в одной плоскости через координаты. Картинка про Как доказать что точки лежат в одной плоскости через координаты. Фото Как доказать что точки лежат в одной плоскости через координаты

Итак, нам нужно проверить, чтобы концы каждого из отрезков лежали по разные стороны относительного концов другого отрезка. Пользуемся косым произведением векторов. Посмотрите на первый рисунок: [P1P2, P1M2] > 0, [P1P2, P1M1] [P1P2, P1M2] * [P1P2, P1M1] 2 + b 2 ).

Задача №8

Расстояние от точки до луча.

Решение
Эта задача отличается от предыдущей тем, что в этом случае может получиться, так что перпендикуляр из точки не падает на луч, а падает на его продолжение.

Как доказать что точки лежат в одной плоскости через координаты. Смотреть фото Как доказать что точки лежат в одной плоскости через координаты. Смотреть картинку Как доказать что точки лежат в одной плоскости через координаты. Картинка про Как доказать что точки лежат в одной плоскости через координаты. Фото Как доказать что точки лежат в одной плоскости через координаты

В случае, когда перпендикуляр не падает на луч необходимо найти расстояние от точки до начала луча – это и будет ответом на задачу.

Теперь рассмотрим случай, когда центр второго круга O2 находится между точками O1 и C. В этом случае получим отрицательное значение величины d2. Использование отрицательного значения d2 приводит к отрицательному значению α. В этом случае необходимо для правильного ответа прибавить к α 2π.
Как доказать что точки лежат в одной плоскости через координаты. Смотреть фото Как доказать что точки лежат в одной плоскости через координаты. Смотреть картинку Как доказать что точки лежат в одной плоскости через координаты. Картинка про Как доказать что точки лежат в одной плоскости через координаты. Фото Как доказать что точки лежат в одной плоскости через координаты

Заключение

Ну вот и все. Мы рассмотрели не все, но наиболее часто встречаемые задачи вычислительной геометрии касающиеся взаимного расположения объектов.

Источник

2.3. Типовые задачи

В разделе 1 было получено уравнение плоскости проходящей через точку М0(x0,y0,z0) и с вектором нормали Как доказать что точки лежат в одной плоскости через координаты. Смотреть фото Как доказать что точки лежат в одной плоскости через координаты. Смотреть картинку Как доказать что точки лежат в одной плоскости через координаты. Картинка про Как доказать что точки лежат в одной плоскости через координаты. Фото Как доказать что точки лежат в одной плоскости через координаты, где A2+B2+C2>0:

A(x – x0) + B(y – y0) + C(z – z0)=0. (*)

Рассмотрим теперь другие способы задания плоскости в пространстве.

Задача 1. Написать уравнение плоскости π, проходящей через три заданные точки М1(x1,y1,z1), М2(x2,y2,z2) и М3(x3,y3,z3) (рис. 5).

Как доказать что точки лежат в одной плоскости через координаты. Смотреть фото Как доказать что точки лежат в одной плоскости через координаты. Смотреть картинку Как доказать что точки лежат в одной плоскости через координаты. Картинка про Как доказать что точки лежат в одной плоскости через координаты. Фото Как доказать что точки лежат в одной плоскости через координаты

Решение: Чтобы написать уравнение искомой плоскости, достаточно знать координаты какой-либо точки на плоскости и координаты вектора нормали Как доказать что точки лежат в одной плоскости через координаты. Смотреть фото Как доказать что точки лежат в одной плоскости через координаты. Смотреть картинку Как доказать что точки лежат в одной плоскости через координаты. Картинка про Как доказать что точки лежат в одной плоскости через координаты. Фото Как доказать что точки лежат в одной плоскости через координаты(уравнение (*). Точкой на плоскости может быть любая из заданных точек М1, М2 или М3, а вектором нормали Как доказать что точки лежат в одной плоскости через координаты. Смотреть фото Как доказать что точки лежат в одной плоскости через координаты. Смотреть картинку Как доказать что точки лежат в одной плоскости через координаты. Картинка про Как доказать что точки лежат в одной плоскости через координаты. Фото Как доказать что точки лежат в одной плоскости через координатыможет быть векторное произведение векторов [Как доказать что точки лежат в одной плоскости через координаты. Смотреть фото Как доказать что точки лежат в одной плоскости через координаты. Смотреть картинку Как доказать что точки лежат в одной плоскости через координаты. Картинка про Как доказать что точки лежат в одной плоскости через координаты. Фото Как доказать что точки лежат в одной плоскости через координаты].

Как доказать что точки лежат в одной плоскости через координаты. Смотреть фото Как доказать что точки лежат в одной плоскости через координаты. Смотреть картинку Как доказать что точки лежат в одной плоскости через координаты. Картинка про Как доказать что точки лежат в одной плоскости через координаты. Фото Как доказать что точки лежат в одной плоскости через координаты. (21)

Пример. Написать уравнение плоскости, проходящей через точки М1(1,1,1), М2(3,2,-1) и М3(4,1,0).

Для решения задачи воспользуемся вторым способом. Уравнение плоскости запишем в виде (21)

Как доказать что точки лежат в одной плоскости через координаты. Смотреть фото Как доказать что точки лежат в одной плоскости через координаты. Смотреть картинку Как доказать что точки лежат в одной плоскости через координаты. Картинка про Как доказать что точки лежат в одной плоскости через координаты. Фото Как доказать что точки лежат в одной плоскости через координаты.

Разложив определитель по первой строке, получим

Как доказать что точки лежат в одной плоскости через координаты. Смотреть фото Как доказать что точки лежат в одной плоскости через координаты. Смотреть картинку Как доказать что точки лежат в одной плоскости через координаты. Картинка про Как доказать что точки лежат в одной плоскости через координаты. Фото Как доказать что точки лежат в одной плоскости через координатыИли

Как доказать что точки лежат в одной плоскости через координаты. Смотреть фото Как доказать что точки лежат в одной плоскости через координаты. Смотреть картинку Как доказать что точки лежат в одной плоскости через координаты. Картинка про Как доказать что точки лежат в одной плоскости через координаты. Фото Как доказать что точки лежат в одной плоскости через координаты– уравнение искомой плоскости с Как доказать что точки лежат в одной плоскости через координаты. Смотреть фото Как доказать что точки лежат в одной плоскости через координаты. Смотреть картинку Как доказать что точки лежат в одной плоскости через координаты. Картинка про Как доказать что точки лежат в одной плоскости через координаты. Фото Как доказать что точки лежат в одной плоскости через координаты.

Заметим, что векторное произведение векторов Как доказать что точки лежат в одной плоскости через координаты. Смотреть фото Как доказать что точки лежат в одной плоскости через координаты. Смотреть картинку Как доказать что точки лежат в одной плоскости через координаты. Картинка про Как доказать что точки лежат в одной плоскости через координаты. Фото Как доказать что точки лежат в одной плоскости через координаты=(2,1,–2) и Как доказать что точки лежат в одной плоскости через координаты. Смотреть фото Как доказать что точки лежат в одной плоскости через координаты. Смотреть картинку Как доказать что точки лежат в одной плоскости через координаты. Картинка про Как доказать что точки лежат в одной плоскости через координаты. Фото Как доказать что точки лежат в одной плоскости через координаты=(3,0,–1) коллинеарно вектору нормали Как доказать что точки лежат в одной плоскости через координаты. Смотреть фото Как доказать что точки лежат в одной плоскости через координаты. Смотреть картинку Как доказать что точки лежат в одной плоскости через координаты. Картинка про Как доказать что точки лежат в одной плоскости через координаты. Фото Как доказать что точки лежат в одной плоскости через координаты.

Как доказать что точки лежат в одной плоскости через координаты. Смотреть фото Как доказать что точки лежат в одной плоскости через координаты. Смотреть картинку Как доказать что точки лежат в одной плоскости через координаты. Картинка про Как доказать что точки лежат в одной плоскости через координаты. Фото Как доказать что точки лежат в одной плоскости через координаты.

Задача 2. Написать уравнение плоскости π, проходящей через точку М0(x0,y0,z0) и прямую L (рис. 6): Как доказать что точки лежат в одной плоскости через координаты. Смотреть фото Как доказать что точки лежат в одной плоскости через координаты. Смотреть картинку Как доказать что точки лежат в одной плоскости через координаты. Картинка про Как доказать что точки лежат в одной плоскости через координаты. Фото Как доказать что точки лежат в одной плоскости через координаты, если точка M0 не лежит на прямой L (иначе плоскость однозначно не определена). Точка М1(x1,y1,z1) принадлежит L, вектор Как доказать что точки лежат в одной плоскости через координаты. Смотреть фото Как доказать что точки лежат в одной плоскости через координаты. Смотреть картинку Как доказать что точки лежат в одной плоскости через координаты. Картинка про Как доказать что точки лежат в одной плоскости через координаты. Фото Как доказать что точки лежат в одной плоскости через координаты– направляющий вектор.

Как доказать что точки лежат в одной плоскости через координаты. Смотреть фото Как доказать что точки лежат в одной плоскости через координаты. Смотреть картинку Как доказать что точки лежат в одной плоскости через координаты. Картинка про Как доказать что точки лежат в одной плоскости через координаты. Фото Как доказать что точки лежат в одной плоскости через координаты

Решение: Заданной точкой в уравнении (*) может быть любая из точек М1 или М0. Вектором нормали Как доказать что точки лежат в одной плоскости через координаты. Смотреть фото Как доказать что точки лежат в одной плоскости через координаты. Смотреть картинку Как доказать что точки лежат в одной плоскости через координаты. Картинка про Как доказать что точки лежат в одной плоскости через координаты. Фото Как доказать что точки лежат в одной плоскости через координатыможет служить векторное произведение векторов Как доказать что точки лежат в одной плоскости через координаты. Смотреть фото Как доказать что точки лежат в одной плоскости через координаты. Смотреть картинку Как доказать что точки лежат в одной плоскости через координаты. Картинка про Как доказать что точки лежат в одной плоскости через координаты. Фото Как доказать что точки лежат в одной плоскости через координатыи Как доказать что точки лежат в одной плоскости через координаты. Смотреть фото Как доказать что точки лежат в одной плоскости через координаты. Смотреть картинку Как доказать что точки лежат в одной плоскости через координаты. Картинка про Как доказать что точки лежат в одной плоскости через координаты. Фото Как доказать что точки лежат в одной плоскости через координаты:

Как доказать что точки лежат в одной плоскости через координаты. Смотреть фото Как доказать что точки лежат в одной плоскости через координаты. Смотреть картинку Как доказать что точки лежат в одной плоскости через координаты. Картинка про Как доказать что точки лежат в одной плоскости через координаты. Фото Как доказать что точки лежат в одной плоскости через координаты=(A, B,C).

Задача 3. Написать уравнение плоскости, проходящей через две параллельные прямые.

Как доказать что точки лежат в одной плоскости через координаты. Смотреть фото Как доказать что точки лежат в одной плоскости через координаты. Смотреть картинку Как доказать что точки лежат в одной плоскости через координаты. Картинка про Как доказать что точки лежат в одной плоскости через координаты. Фото Как доказать что точки лежат в одной плоскости через координатыи Как доказать что точки лежат в одной плоскости через координаты. Смотреть фото Как доказать что точки лежат в одной плоскости через координаты. Смотреть картинку Как доказать что точки лежат в одной плоскости через координаты. Картинка про Как доказать что точки лежат в одной плоскости через координаты. Фото Как доказать что точки лежат в одной плоскости через координаты

Т. M1 (x1,y1,z1)Как доказать что точки лежат в одной плоскости через координаты. Смотреть фото Как доказать что точки лежат в одной плоскости через координаты. Смотреть картинку Как доказать что точки лежат в одной плоскости через координаты. Картинка про Как доказать что точки лежат в одной плоскости через координаты. Фото Как доказать что точки лежат в одной плоскости через координаты,

Т. M2 (x2,y2,z2) Как доказать что точки лежат в одной плоскости через координаты. Смотреть фото Как доказать что точки лежат в одной плоскости через координаты. Смотреть картинку Как доказать что точки лежат в одной плоскости через координаты. Картинка про Как доказать что точки лежат в одной плоскости через координаты. Фото Как доказать что точки лежат в одной плоскости через координаты,

Вектор Как доказать что точки лежат в одной плоскости через координаты. Смотреть фото Как доказать что точки лежат в одной плоскости через координаты. Смотреть картинку Как доказать что точки лежат в одной плоскости через координаты. Картинка про Как доказать что точки лежат в одной плоскости через координаты. Фото Как доказать что точки лежат в одной плоскости через координаты– направляющий вектор прямых L1,L2 (рис. 7).

Как доказать что точки лежат в одной плоскости через координаты. Смотреть фото Как доказать что точки лежат в одной плоскости через координаты. Смотреть картинку Как доказать что точки лежат в одной плоскости через координаты. Картинка про Как доказать что точки лежат в одной плоскости через координаты. Фото Как доказать что точки лежат в одной плоскости через координаты

Вновь используем уравнение (*).

Точка на плоскости – любая из точек М1 или М2; вектором нормали Как доказать что точки лежат в одной плоскости через координаты. Смотреть фото Как доказать что точки лежат в одной плоскости через координаты. Смотреть картинку Как доказать что точки лежат в одной плоскости через координаты. Картинка про Как доказать что точки лежат в одной плоскости через координаты. Фото Как доказать что точки лежат в одной плоскости через координаты=(A, B,C) может быть векторное произведение [Как доказать что точки лежат в одной плоскости через координаты. Смотреть фото Как доказать что точки лежат в одной плоскости через координаты. Смотреть картинку Как доказать что точки лежат в одной плоскости через координаты. Картинка про Как доказать что точки лежат в одной плоскости через координаты. Фото Как доказать что точки лежат в одной плоскости через координаты,Как доказать что точки лежат в одной плоскости через координаты. Смотреть фото Как доказать что точки лежат в одной плоскости через координаты. Смотреть картинку Как доказать что точки лежат в одной плоскости через координаты. Картинка про Как доказать что точки лежат в одной плоскости через координаты. Фото Как доказать что точки лежат в одной плоскости через координаты].

Задача 4. Доказать, что две прямые L1, L2 лежат в одной плоскости (пересекаются) и составить уравнение этой плоскости.

Решение задачи рассмотрим на примере.

Пусть Как доказать что точки лежат в одной плоскости через координаты. Смотреть фото Как доказать что точки лежат в одной плоскости через координаты. Смотреть картинку Как доказать что точки лежат в одной плоскости через координаты. Картинка про Как доказать что точки лежат в одной плоскости через координаты. Фото Как доказать что точки лежат в одной плоскости через координатыи Как доказать что точки лежат в одной плоскости через координаты. Смотреть фото Как доказать что точки лежат в одной плоскости через координаты. Смотреть картинку Как доказать что точки лежат в одной плоскости через координаты. Картинка про Как доказать что точки лежат в одной плоскости через координаты. Фото Как доказать что точки лежат в одной плоскости через координаты.

1. Проверим, лежат ли прямые L1 и L2 в одной плоскости. Для этого убедимся, что векторы Как доказать что точки лежат в одной плоскости через координаты. Смотреть фото Как доказать что точки лежат в одной плоскости через координаты. Смотреть картинку Как доказать что точки лежат в одной плоскости через координаты. Картинка про Как доказать что точки лежат в одной плоскости через координаты. Фото Как доказать что точки лежат в одной плоскости через координаты, Как доказать что точки лежат в одной плоскости через координаты. Смотреть фото Как доказать что точки лежат в одной плоскости через координаты. Смотреть картинку Как доказать что точки лежат в одной плоскости через координаты. Картинка про Как доказать что точки лежат в одной плоскости через координаты. Фото Как доказать что точки лежат в одной плоскости через координатыи Как доказать что точки лежат в одной плоскости через координаты. Смотреть фото Как доказать что точки лежат в одной плоскости через координаты. Смотреть картинку Как доказать что точки лежат в одной плоскости через координаты. Картинка про Как доказать что точки лежат в одной плоскости через координаты. Фото Как доказать что точки лежат в одной плоскости через координатыкомпланарны.

Запишем параметрически заданную прямую L2 в каноническом виде

Как доказать что точки лежат в одной плоскости через координаты. Смотреть фото Как доказать что точки лежат в одной плоскости через координаты. Смотреть картинку Как доказать что точки лежат в одной плоскости через координаты. Картинка про Как доказать что точки лежат в одной плоскости через координаты. Фото Как доказать что точки лежат в одной плоскости через координаты,

здесь М2(7,2,1) – точка на прямой L2, Как доказать что точки лежат в одной плоскости через координаты. Смотреть фото Как доказать что точки лежат в одной плоскости через координаты. Смотреть картинку Как доказать что точки лежат в одной плоскости через координаты. Картинка про Как доказать что точки лежат в одной плоскости через координаты. Фото Как доказать что точки лежат в одной плоскости через координаты– ее направляющий вектор.

На прямой L1: М1(1,-2,5); Как доказать что точки лежат в одной плоскости через координаты. Смотреть фото Как доказать что точки лежат в одной плоскости через координаты. Смотреть картинку Как доказать что точки лежат в одной плоскости через координаты. Картинка про Как доказать что точки лежат в одной плоскости через координаты. Фото Как доказать что точки лежат в одной плоскости через координаты. Вектор Как доказать что точки лежат в одной плоскости через координаты. Смотреть фото Как доказать что точки лежат в одной плоскости через координаты. Смотреть картинку Как доказать что точки лежат в одной плоскости через координаты. Картинка про Как доказать что точки лежат в одной плоскости через координаты. Фото Как доказать что точки лежат в одной плоскости через координаты=(6,4,–4) (рис. 8).

Как доказать что точки лежат в одной плоскости через координаты. Смотреть фото Как доказать что точки лежат в одной плоскости через координаты. Смотреть картинку Как доказать что точки лежат в одной плоскости через координаты. Картинка про Как доказать что точки лежат в одной плоскости через координаты. Фото Как доказать что точки лежат в одной плоскости через координаты

Условием компланарности является равенство нулю смешанного произведения

Как доказать что точки лежат в одной плоскости через координаты. Смотреть фото Как доказать что точки лежат в одной плоскости через координаты. Смотреть картинку Как доказать что точки лежат в одной плоскости через координаты. Картинка про Как доказать что точки лежат в одной плоскости через координаты. Фото Как доказать что точки лежат в одной плоскости через координаты,

Т. к. в полученном определителе две строки совпадают (при вычислении определителя общие множители первой строки и последнего столбца вынесены за знак определителя).

Итак, мы убедились, что прямые L1 и L2 пересекаются.

Точка плоскости π – любая из точек М1, М2 (возьмем, например, точку М1(1,–2,5)).

Вектор нормали Как доказать что точки лежат в одной плоскости через координаты. Смотреть фото Как доказать что точки лежат в одной плоскости через координаты. Смотреть картинку Как доказать что точки лежат в одной плоскости через координаты. Картинка про Как доказать что точки лежат в одной плоскости через координаты. Фото Как доказать что точки лежат в одной плоскости через координаты=(А, B,C)= [Как доказать что точки лежат в одной плоскости через координаты. Смотреть фото Как доказать что точки лежат в одной плоскости через координаты. Смотреть картинку Как доказать что точки лежат в одной плоскости через координаты. Картинка про Как доказать что точки лежат в одной плоскости через координаты. Фото Как доказать что точки лежат в одной плоскости через координаты]=Как доказать что точки лежат в одной плоскости через координаты. Смотреть фото Как доказать что точки лежат в одной плоскости через координаты. Смотреть картинку Как доказать что точки лежат в одной плоскости через координаты. Картинка про Как доказать что точки лежат в одной плоскости через координаты. Фото Как доказать что точки лежат в одной плоскости через координаты= – 2Как доказать что точки лежат в одной плоскости через координаты. Смотреть фото Как доказать что точки лежат в одной плоскости через координаты. Смотреть картинку Как доказать что точки лежат в одной плоскости через координаты. Картинка про Как доказать что точки лежат в одной плоскости через координаты. Фото Как доказать что точки лежат в одной плоскости через координаты+16Как доказать что точки лежат в одной плоскости через координаты. Смотреть фото Как доказать что точки лежат в одной плоскости через координаты. Смотреть картинку Как доказать что точки лежат в одной плоскости через координаты. Картинка про Как доказать что точки лежат в одной плоскости через координаты. Фото Как доказать что точки лежат в одной плоскости через координаты+13Как доказать что точки лежат в одной плоскости через координаты. Смотреть фото Как доказать что точки лежат в одной плоскости через координаты. Смотреть картинку Как доказать что точки лежат в одной плоскости через координаты. Картинка про Как доказать что точки лежат в одной плоскости через координаты. Фото Как доказать что точки лежат в одной плоскости через координаты.

Уравнение искомой плоскости π:

– 2(x – 1) + 16(y + 2) + 13(z – 5) = 0, или

2x – 16y – 13z + 31 = 0.

Задача 5. Определить взаимное расположение прямой L, заданной как пересечение двух непараллельных плоскостей:

L:Как доказать что точки лежат в одной плоскости через координаты. Смотреть фото Как доказать что точки лежат в одной плоскости через координаты. Смотреть картинку Как доказать что точки лежат в одной плоскости через координаты. Картинка про Как доказать что точки лежат в одной плоскости через координаты. Фото Как доказать что точки лежат в одной плоскости через координаты

И плоскости π: A3x+B3y+C3z+D3=0.

Решение: Возможны следующие случаи:

А) прямая L и плоскость π не пересекаются (прямая параллельна плоскости и не имеет общих точек с плоскостью);

Б) прямая L пересекается с плоскостью в единственной точке;

В) прямая L лежит в плоскости – бесчисленное множество общих точек.

Эти задачи фактически были рассмотрены в разделе 2, когда прямая задавалась параметрическими или каноническими уравнениями.

Вообще говоря, нет надобности переходить от общего уравнения прямой к каноническому. Алгебраически задача сводится к исследованию и решению (если это возможно) системы уравнений

Как доказать что точки лежат в одной плоскости через координаты. Смотреть фото Как доказать что точки лежат в одной плоскости через координаты. Смотреть картинку Как доказать что точки лежат в одной плоскости через координаты. Картинка про Как доказать что точки лежат в одной плоскости через координаты. Фото Как доказать что точки лежат в одной плоскости через координаты. (22)

Решение этой системы определяет координаты общих точек прямой и плоскости.

Воспользуемся методом Крамера. Обозначим определитель системы (22)

Как доказать что точки лежат в одной плоскости через координаты. Смотреть фото Как доказать что точки лежат в одной плоскости через координаты. Смотреть картинку Как доказать что точки лежат в одной плоскости через координаты. Картинка про Как доказать что точки лежат в одной плоскости через координаты. Фото Как доказать что точки лежат в одной плоскости через координаты

А определитель Δ1, Δ2, Δ3, полученные из Δ с помощью столбца свободных членов, соответственно:

Как доказать что точки лежат в одной плоскости через координаты. Смотреть фото Как доказать что точки лежат в одной плоскости через координаты. Смотреть картинку Как доказать что точки лежат в одной плоскости через координаты. Картинка про Как доказать что точки лежат в одной плоскости через координаты. Фото Как доказать что точки лежат в одной плоскости через координаты.

Если определитель Как доказать что точки лежат в одной плоскости через координаты. Смотреть фото Как доказать что точки лежат в одной плоскости через координаты. Смотреть картинку Как доказать что точки лежат в одной плоскости через координаты. Картинка про Как доказать что точки лежат в одной плоскости через координаты. Фото Как доказать что точки лежат в одной плоскости через координаты, то система (22) имеет единственное решение, и оно определяется по формулам Крамера:

Как доказать что точки лежат в одной плоскости через координаты. Смотреть фото Как доказать что точки лежат в одной плоскости через координаты. Смотреть картинку Как доказать что точки лежат в одной плоскости через координаты. Картинка про Как доказать что точки лежат в одной плоскости через координаты. Фото Как доказать что точки лежат в одной плоскости через координаты,

Имеет место случай (б).

Если определитель Как доказать что точки лежат в одной плоскости через координаты. Смотреть фото Как доказать что точки лежат в одной плоскости через координаты. Смотреть картинку Как доказать что точки лежат в одной плоскости через координаты. Картинка про Как доказать что точки лежат в одной плоскости через координаты. Фото Как доказать что точки лежат в одной плоскости через координаты, а хотя бы один из определителей Δ1, Δ2 или Δ3 отличен от нуля, система (22) не имеет решения (не совместна). Геометрически это означает, что прямая и плоскость не имеют общих точек (параллельны) – случай (а).

Если же все определители Δ =Δ1=Δ2=Δ3=0, то система (22) имеет бесчисленное множество решений. Прямая L целиком лежит на плоскости π (случай в)).

Задача 6. Определить точку Q, симметричную точке M0(x0,y0,z0), относительно плоскости

Решение. Запишем алгоритм решения задачи.

1. Составим уравнение прямой L, проходящей через точку M0(x0,y0,z0) и перпендикулярной плоскости π. Направляющим вектором Как доказать что точки лежат в одной плоскости через координаты. Смотреть фото Как доказать что точки лежат в одной плоскости через координаты. Смотреть картинку Как доказать что точки лежат в одной плоскости через координаты. Картинка про Как доказать что точки лежат в одной плоскости через координаты. Фото Как доказать что точки лежат в одной плоскости через координатыэтой прямой послужит вектор нормали Как доказать что точки лежат в одной плоскости через координаты. Смотреть фото Как доказать что точки лежат в одной плоскости через координаты. Смотреть картинку Как доказать что точки лежат в одной плоскости через координаты. Картинка про Как доказать что точки лежат в одной плоскости через координаты. Фото Как доказать что точки лежат в одной плоскости через координаты

Как доказать что точки лежат в одной плоскости через координаты. Смотреть фото Как доказать что точки лежат в одной плоскости через координаты. Смотреть картинку Как доказать что точки лежат в одной плоскости через координаты. Картинка про Как доказать что точки лежат в одной плоскости через координаты. Фото Как доказать что точки лежат в одной плоскости через координаты.

2. Найдём точку пересечения M1(x1,y1,z1) прямой L и плоскости π (см. раздел 2).

3. Точка M1 является серединой отрезка M0Q, и координаты точек M0, M1 и Q связаны формулами: x1=Как доказать что точки лежат в одной плоскости через координаты. Смотреть фото Как доказать что точки лежат в одной плоскости через координаты. Смотреть картинку Как доказать что точки лежат в одной плоскости через координаты. Картинка про Как доказать что точки лежат в одной плоскости через координаты. Фото Как доказать что точки лежат в одной плоскости через координаты,y1=Как доказать что точки лежат в одной плоскости через координаты. Смотреть фото Как доказать что точки лежат в одной плоскости через координаты. Смотреть картинку Как доказать что точки лежат в одной плоскости через координаты. Картинка про Как доказать что точки лежат в одной плоскости через координаты. Фото Как доказать что точки лежат в одной плоскости через координаты,z1=Как доказать что точки лежат в одной плоскости через координаты. Смотреть фото Как доказать что точки лежат в одной плоскости через координаты. Смотреть картинку Как доказать что точки лежат в одной плоскости через координаты. Картинка про Как доказать что точки лежат в одной плоскости через координаты. Фото Как доказать что точки лежат в одной плоскости через координаты, откуда найдем координаты точки Q(x0,y0,z0)
(рис. 9):

XQ=2×1 – x0, yQ=2y1 – y0, zQ=2z1 – z0.

Как доказать что точки лежат в одной плоскости через координаты. Смотреть фото Как доказать что точки лежат в одной плоскости через координаты. Смотреть картинку Как доказать что точки лежат в одной плоскости через координаты. Картинка про Как доказать что точки лежат в одной плоскости через координаты. Фото Как доказать что точки лежат в одной плоскости через координаты

Аналогично решается и следующая задача.

Задача 7. Найти точку Q, симметричную точке M0(x0,y0,z0) относительно прямой

Как доказать что точки лежат в одной плоскости через координаты. Смотреть фото Как доказать что точки лежат в одной плоскости через координаты. Смотреть картинку Как доказать что точки лежат в одной плоскости через координаты. Картинка про Как доказать что точки лежат в одной плоскости через координаты. Фото Как доказать что точки лежат в одной плоскости через координаты.

1. Составим уравнение плоскости, проходящей через точку M0(x0,y0,z0) перпендикулярно прямой L. Вектором нормали к этой плоскости Как доказать что точки лежат в одной плоскости через координаты. Смотреть фото Как доказать что точки лежат в одной плоскости через координаты. Смотреть картинку Как доказать что точки лежат в одной плоскости через координаты. Картинка про Как доказать что точки лежат в одной плоскости через координаты. Фото Как доказать что точки лежат в одной плоскости через координаты(A, B,C) возьмем направляющий вектор Как доказать что точки лежат в одной плоскости через координаты. Смотреть фото Как доказать что точки лежат в одной плоскости через координаты. Смотреть картинку Как доказать что точки лежат в одной плоскости через координаты. Картинка про Как доказать что точки лежат в одной плоскости через координаты. Фото Как доказать что точки лежат в одной плоскости через координаты=(l, m,n) прямой L.

π: l(x – x0) + m(y – y0) + n(z – z0)=0.

2. Найдем точку пересечения M1(x1,y1,z1) прямой L и плоскости π (см. раздел 2).

3. Точка M1 – середина отрезка M0Q, координаты точки Q определяются так же, как и в задаче 6.

Источник

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *