Как доказать что трапеции подобны

Узнать ещё

Знание — сила. Познавательная информация

Подобные треугольники в трапеции

Рассмотрим базовые задачи на подобные треугольники в трапеции.

I. Точка пересечения диагоналей трапеции — вершина подобных треугольников.

Как доказать что трапеции подобны. Смотреть фото Как доказать что трапеции подобны. Смотреть картинку Как доказать что трапеции подобны. Картинка про Как доказать что трапеции подобны. Фото Как доказать что трапеции подобны

Рассмотрим треугольники AOD и COB.

Как доказать что трапеции подобны. Смотреть фото Как доказать что трапеции подобны. Смотреть картинку Как доказать что трапеции подобны. Картинка про Как доказать что трапеции подобны. Фото Как доказать что трапеции подобны

Визуализация облегчает решение задач на подобие. Поэтому подобные треугольники в трапеции выделим разными цветами.

1) ∠AOD= ∠ COB (как вертикальные);

2) ∠DAO= ∠ BCO (как внутренние накрест лежащие при AD ∥ BC и секущей AC).

Следовательно, треугольники AOD и COB подобны (по двум углам).

Из подобия треугольников следует пропорциональность соответствующих сторон:

Как доказать что трапеции подобны. Смотреть фото Как доказать что трапеции подобны. Смотреть картинку Как доказать что трапеции подобны. Картинка про Как доказать что трапеции подобны. Фото Как доказать что трапеции подобны

Одна из диагоналей трапеции равна 28 см и делит другую диагональ на отрезки длиной 5 см и 9 см. Найти отрезки, на которые точка пересечения диагоналей делит первую диагональ.

Доказываем подобие треугольников AOD и COB. Отсюда

Как доказать что трапеции подобны. Смотреть фото Как доказать что трапеции подобны. Смотреть картинку Как доказать что трапеции подобны. Картинка про Как доказать что трапеции подобны. Фото Как доказать что трапеции подобны

Выбираем нужные отношения:

Как доказать что трапеции подобны. Смотреть фото Как доказать что трапеции подобны. Смотреть картинку Как доказать что трапеции подобны. Картинка про Как доказать что трапеции подобны. Фото Как доказать что трапеции подобны

Пусть BO=x см, тогда DO=28-x см. Следовательно,

Как доказать что трапеции подобны. Смотреть фото Как доказать что трапеции подобны. Смотреть картинку Как доказать что трапеции подобны. Картинка про Как доказать что трапеции подобны. Фото Как доказать что трапеции подобны

Как доказать что трапеции подобны. Смотреть фото Как доказать что трапеции подобны. Смотреть картинку Как доказать что трапеции подобны. Картинка про Как доказать что трапеции подобны. Фото Как доказать что трапеции подобны

Как доказать что трапеции подобны. Смотреть фото Как доказать что трапеции подобны. Смотреть картинку Как доказать что трапеции подобны. Картинка про Как доказать что трапеции подобны. Фото Как доказать что трапеции подобны

Как доказать что трапеции подобны. Смотреть фото Как доказать что трапеции подобны. Смотреть картинку Как доказать что трапеции подобны. Картинка про Как доказать что трапеции подобны. Фото Как доказать что трапеции подобны

BO=10 см, DO=28-10=18 см.

Известно, что О — точка пересечения диагоналей трапеции ABCD (AD ∥ BC). Найти длину отрезка BO, если AO:OC=7:6 и BD=39 см.

Аналогичн0, доказываем подобие треугольников AOD и COB и

Как доказать что трапеции подобны. Смотреть фото Как доказать что трапеции подобны. Смотреть картинку Как доказать что трапеции подобны. Картинка про Как доказать что трапеции подобны. Фото Как доказать что трапеции подобны

Пусть BO=x см, тогда DO=39-x см. Таким образом,

Как доказать что трапеции подобны. Смотреть фото Как доказать что трапеции подобны. Смотреть картинку Как доказать что трапеции подобны. Картинка про Как доказать что трапеции подобны. Фото Как доказать что трапеции подобны

Как доказать что трапеции подобны. Смотреть фото Как доказать что трапеции подобны. Смотреть картинку Как доказать что трапеции подобны. Картинка про Как доказать что трапеции подобны. Фото Как доказать что трапеции подобны

Как доказать что трапеции подобны. Смотреть фото Как доказать что трапеции подобны. Смотреть картинку Как доказать что трапеции подобны. Картинка про Как доказать что трапеции подобны. Фото Как доказать что трапеции подобны

II. Продолжения боковых сторон трапеции пересекаются в точке.

Как доказать что трапеции подобны. Смотреть фото Как доказать что трапеции подобны. Смотреть картинку Как доказать что трапеции подобны. Картинка про Как доказать что трапеции подобны. Фото Как доказать что трапеции подобны

Аналогично задаче I, рассмотрим треугольники AFD и BFC:

2) ∠ DAF= ∠ CBF (как соответственные углы при BC ∥ AD и секущей AF).

Следовательно, треугольники AFD и BFC подобны (по двум углам).

Из подобия треугольников следует пропорциональность соответствующих сторон:

Как доказать что трапеции подобны. Смотреть фото Как доказать что трапеции подобны. Смотреть картинку Как доказать что трапеции подобны. Картинка про Как доказать что трапеции подобны. Фото Как доказать что трапеции подобны

Продолжения боковых сторон AB и CD трапеции ABCD пересекаются в точке F. Меньшее основание BC равно 4 см, BF=5 см, AB=15 см. Найти большее основание трапеции.

Доказываем, треугольники AFD и BFC — подобны.

Как доказать что трапеции подобны. Смотреть фото Как доказать что трапеции подобны. Смотреть картинку Как доказать что трапеции подобны. Картинка про Как доказать что трапеции подобны. Фото Как доказать что трапеции подобны

Как доказать что трапеции подобны. Смотреть фото Как доказать что трапеции подобны. Смотреть картинку Как доказать что трапеции подобны. Картинка про Как доказать что трапеции подобны. Фото Как доказать что трапеции подобны

Как доказать что трапеции подобны. Смотреть фото Как доказать что трапеции подобны. Смотреть картинку Как доказать что трапеции подобны. Картинка про Как доказать что трапеции подобны. Фото Как доказать что трапеции подобны

Как доказать что трапеции подобны. Смотреть фото Как доказать что трапеции подобны. Смотреть картинку Как доказать что трапеции подобны. Картинка про Как доказать что трапеции подобны. Фото Как доказать что трапеции подобны

Как доказать что трапеции подобны. Смотреть фото Как доказать что трапеции подобны. Смотреть картинку Как доказать что трапеции подобны. Картинка про Как доказать что трапеции подобны. Фото Как доказать что трапеции подобны

В следующий раз рассмотрим задачи на отношение площадей подобных треугольников.

Источник

Трапеция

Определения

Трапеция – это выпуклый четырехугольник, у которого две стороны параллельны, а две другие стороны не параллельны.

Параллельные стороны трапеции называются её основаниями, а две другие стороны – боковыми сторонами.

Высота трапеции – это перпендикуляр, опущенный из любой точки одного основания к другому основанию.

Теоремы: свойства трапеции

2) Диагонали делят трапецию на четыре треугольника, два из которых подобны, а два другие – равновелики.

Как доказать что трапеции подобны. Смотреть фото Как доказать что трапеции подобны. Смотреть картинку Как доказать что трапеции подобны. Картинка про Как доказать что трапеции подобны. Фото Как доказать что трапеции подобны

Доказательство

Определение

Средняя линия трапеции – отрезок, соединяющий середины боковых сторон.

Теорема

Средняя линия трапеции параллельна основаниям и равна их полусумме.

Как доказать что трапеции подобны. Смотреть фото Как доказать что трапеции подобны. Смотреть картинку Как доказать что трапеции подобны. Картинка про Как доказать что трапеции подобны. Фото Как доказать что трапеции подобны

Доказательство*
С доказательством рекомендуется ознакомиться после изучения темы “Подобие треугольников”.

1) Докажем параллельность.

Как доказать что трапеции подобны. Смотреть фото Как доказать что трапеции подобны. Смотреть картинку Как доказать что трапеции подобны. Картинка про Как доказать что трапеции подобны. Фото Как доказать что трапеции подобны

Как доказать что трапеции подобны. Смотреть фото Как доказать что трапеции подобны. Смотреть картинку Как доказать что трапеции подобны. Картинка про Как доказать что трапеции подобны. Фото Как доказать что трапеции подобны

\[MN=MM’+M’N’+N’N=\dfrac12 AB’+B’C’+\dfrac12 C’D=\] \[=\dfrac12 \left(AB’+B’C’+BC+C’D\right)=\dfrac12\left(AD+BC\right)\]

Теорема: свойство произвольной трапеции

Середины оснований, точка пересечения диагоналей трапеции и точка пересечения продолжений боковых сторон лежат на одной прямой.

Как доказать что трапеции подобны. Смотреть фото Как доказать что трапеции подобны. Смотреть картинку Как доказать что трапеции подобны. Картинка про Как доказать что трапеции подобны. Фото Как доказать что трапеции подобны

Доказательство*
С доказательством рекомендуется ознакомиться после изучения темы “Подобие треугольников”.

Как доказать что трапеции подобны. Смотреть фото Как доказать что трапеции подобны. Смотреть картинку Как доказать что трапеции подобны. Картинка про Как доказать что трапеции подобны. Фото Как доказать что трапеции подобны

2) Докажем, что точки \(N, O, M\) лежат на одной прямой.

Как доказать что трапеции подобны. Смотреть фото Как доказать что трапеции подобны. Смотреть картинку Как доказать что трапеции подобны. Картинка про Как доказать что трапеции подобны. Фото Как доказать что трапеции подобны

\(\triangle BNO\sim \triangle DMO\) по двум углам ( \(\angle OBN=\angle ODM\) как накрест лежащие при \(BC\parallel AD\) и \(BD\) секущей; \(\angle BON=\angle DOM\) как вертикальные). Значит: \[\dfrac=\dfrac\]

Определения

Трапеция называется прямоугольной, если один из ее углов – прямой.

Трапеция называется равнобедренной, если ее боковые стороны равны.

Теоремы: свойства равнобедренной трапеции

1) У равнобедренной трапеции углы при основании равны.

2) Диагонали равнобедренной трапеции равны.

3) Два треугольника, образованные диагоналями и основанием, являются равнобедренными.

Доказательство

Как доказать что трапеции подобны. Смотреть фото Как доказать что трапеции подобны. Смотреть картинку Как доказать что трапеции подобны. Картинка про Как доказать что трапеции подобны. Фото Как доказать что трапеции подобны

2) Как доказать что трапеции подобны. Смотреть фото Как доказать что трапеции подобны. Смотреть картинку Как доказать что трапеции подобны. Картинка про Как доказать что трапеции подобны. Фото Как доказать что трапеции подобны

Теоремы: признаки равнобедренной трапеции

1) Если у трапеции углы при основании равны, то она равнобедренная.

2) Если у трапеции диагонали равны, то она равнобедренная.

Доказательство

Как доказать что трапеции подобны. Смотреть фото Как доказать что трапеции подобны. Смотреть картинку Как доказать что трапеции подобны. Картинка про Как доказать что трапеции подобны. Фото Как доказать что трапеции подобны

Как доказать что трапеции подобны. Смотреть фото Как доказать что трапеции подобны. Смотреть картинку Как доказать что трапеции подобны. Картинка про Как доказать что трапеции подобны. Фото Как доказать что трапеции подобны

Источник

Трапеция. Свойства трапеции

Трапеция – четырехугольник, у которого только одна пара сторон параллельна (а другая пара сторон не параллельна).

Как доказать что трапеции подобны. Смотреть фото Как доказать что трапеции подобны. Смотреть картинку Как доказать что трапеции подобны. Картинка про Как доказать что трапеции подобны. Фото Как доказать что трапеции подобны

Как доказать что трапеции подобны. Смотреть фото Как доказать что трапеции подобны. Смотреть картинку Как доказать что трапеции подобны. Картинка про Как доказать что трапеции подобны. Фото Как доказать что трапеции подобны

Как доказать что трапеции подобны. Смотреть фото Как доказать что трапеции подобны. Смотреть картинку Как доказать что трапеции подобны. Картинка про Как доказать что трапеции подобны. Фото Как доказать что трапеции подобны

Как доказать что трапеции подобны. Смотреть фото Как доказать что трапеции подобны. Смотреть картинку Как доказать что трапеции подобны. Картинка про Как доказать что трапеции подобны. Фото Как доказать что трапеции подобны

Свойства трапеции

1. Средняя линия трапеции параллельна основаниям и равна их полусумме.

Как доказать что трапеции подобны. Смотреть фото Как доказать что трапеции подобны. Смотреть картинку Как доказать что трапеции подобны. Картинка про Как доказать что трапеции подобны. Фото Как доказать что трапеции подобны

2. Биссектриса любого угла трапеции отсекает на её основании (или продолжении) отрезок, равный боковой стороне.

Как доказать что трапеции подобны. Смотреть фото Как доказать что трапеции подобны. Смотреть картинку Как доказать что трапеции подобны. Картинка про Как доказать что трапеции подобны. Фото Как доказать что трапеции подобны

3. Треугольники Как доказать что трапеции подобны. Смотреть фото Как доказать что трапеции подобны. Смотреть картинку Как доказать что трапеции подобны. Картинка про Как доказать что трапеции подобны. Фото Как доказать что трапеции подобныи Как доказать что трапеции подобны. Смотреть фото Как доказать что трапеции подобны. Смотреть картинку Как доказать что трапеции подобны. Картинка про Как доказать что трапеции подобны. Фото Как доказать что трапеции подобны, образованные отрезками диагоналей и основаниями трапеции, подобны.

Коэффициент подобия – Как доказать что трапеции подобны. Смотреть фото Как доказать что трапеции подобны. Смотреть картинку Как доказать что трапеции подобны. Картинка про Как доказать что трапеции подобны. Фото Как доказать что трапеции подобны

Отношение площадей этих треугольников есть Как доказать что трапеции подобны. Смотреть фото Как доказать что трапеции подобны. Смотреть картинку Как доказать что трапеции подобны. Картинка про Как доказать что трапеции подобны. Фото Как доказать что трапеции подобны.

Как доказать что трапеции подобны. Смотреть фото Как доказать что трапеции подобны. Смотреть картинку Как доказать что трапеции подобны. Картинка про Как доказать что трапеции подобны. Фото Как доказать что трапеции подобны

4. Треугольники Как доказать что трапеции подобны. Смотреть фото Как доказать что трапеции подобны. Смотреть картинку Как доказать что трапеции подобны. Картинка про Как доказать что трапеции подобны. Фото Как доказать что трапеции подобныи Как доказать что трапеции подобны. Смотреть фото Как доказать что трапеции подобны. Смотреть картинку Как доказать что трапеции подобны. Картинка про Как доказать что трапеции подобны. Фото Как доказать что трапеции подобны, образованные отрезками диагоналей и боковыми сторонами трапеции, имеют одинаковую площадь.

Как доказать что трапеции подобны. Смотреть фото Как доказать что трапеции подобны. Смотреть картинку Как доказать что трапеции подобны. Картинка про Как доказать что трапеции подобны. Фото Как доказать что трапеции подобны

5. В трапецию можно вписать окружность, если сумма оснований трапеции равна сумме её боковых сторон.

Как доказать что трапеции подобны. Смотреть фото Как доказать что трапеции подобны. Смотреть картинку Как доказать что трапеции подобны. Картинка про Как доказать что трапеции подобны. Фото Как доказать что трапеции подобны

6. Отрезок, соединяющий середины диагоналей, равен полуразности оснований и лежит на средней линии.

Как доказать что трапеции подобны. Смотреть фото Как доказать что трапеции подобны. Смотреть картинку Как доказать что трапеции подобны. Картинка про Как доказать что трапеции подобны. Фото Как доказать что трапеции подобны

7. Точка пересечения диагоналей трапеции, точка пересечения продолжений её боковых сторон и середины оснований лежат на одной прямой.

Как доказать что трапеции подобны. Смотреть фото Как доказать что трапеции подобны. Смотреть картинку Как доказать что трапеции подобны. Картинка про Как доказать что трапеции подобны. Фото Как доказать что трапеции подобны

8. Если сумма углов при любом основании трапеции равна 90°, то отрезок, соединяющий середины оснований, равен их полуразности.

Как доказать что трапеции подобны. Смотреть фото Как доказать что трапеции подобны. Смотреть картинку Как доказать что трапеции подобны. Картинка про Как доказать что трапеции подобны. Фото Как доказать что трапеции подобны

Свойства и признаки равнобедренной трапеции

1. В равнобедренной трапеции углы при любом основании равны.

Как доказать что трапеции подобны. Смотреть фото Как доказать что трапеции подобны. Смотреть картинку Как доказать что трапеции подобны. Картинка про Как доказать что трапеции подобны. Фото Как доказать что трапеции подобны

2. В равнобедренной трапеции длины диагоналей равны.

3. Если трапецию можно вписать в окружность, то трапеция – равнобедренная.

Как доказать что трапеции подобны. Смотреть фото Как доказать что трапеции подобны. Смотреть картинку Как доказать что трапеции подобны. Картинка про Как доказать что трапеции подобны. Фото Как доказать что трапеции подобны

4. Около равнобедренной трапеции можно описать окружность.

5. Если в равнобедренной трапеции диагонали перпендикулярны, то высота равна полусумме оснований.

Как доказать что трапеции подобны. Смотреть фото Как доказать что трапеции подобны. Смотреть картинку Как доказать что трапеции подобны. Картинка про Как доказать что трапеции подобны. Фото Как доказать что трапеции подобны

Вписанная окружность

Если в трапецию вписана окружность с радиусом Как доказать что трапеции подобны. Смотреть фото Как доказать что трапеции подобны. Смотреть картинку Как доказать что трапеции подобны. Картинка про Как доказать что трапеции подобны. Фото Как доказать что трапеции подобныи она делит боковую сторону точкой касания на два отрезка — Как доказать что трапеции подобны. Смотреть фото Как доказать что трапеции подобны. Смотреть картинку Как доказать что трапеции подобны. Картинка про Как доказать что трапеции подобны. Фото Как доказать что трапеции подобныи Как доказать что трапеции подобны. Смотреть фото Как доказать что трапеции подобны. Смотреть картинку Как доказать что трапеции подобны. Картинка про Как доказать что трапеции подобны. Фото Как доказать что трапеции подобны, то Как доказать что трапеции подобны. Смотреть фото Как доказать что трапеции подобны. Смотреть картинку Как доказать что трапеции подобны. Картинка про Как доказать что трапеции подобны. Фото Как доказать что трапеции подобны

Как доказать что трапеции подобны. Смотреть фото Как доказать что трапеции подобны. Смотреть картинку Как доказать что трапеции подобны. Картинка про Как доказать что трапеции подобны. Фото Как доказать что трапеции подобны

Площадь

Как доказать что трапеции подобны. Смотреть фото Как доказать что трапеции подобны. Смотреть картинку Как доказать что трапеции подобны. Картинка про Как доказать что трапеции подобны. Фото Как доказать что трапеции подобныили Как доказать что трапеции подобны. Смотреть фото Как доказать что трапеции подобны. Смотреть картинку Как доказать что трапеции подобны. Картинка про Как доказать что трапеции подобны. Фото Как доказать что трапеции подобныгде Как доказать что трапеции подобны. Смотреть фото Как доказать что трапеции подобны. Смотреть картинку Как доказать что трапеции подобны. Картинка про Как доказать что трапеции подобны. Фото Как доказать что трапеции подобны– средняя линия

Как доказать что трапеции подобны. Смотреть фото Как доказать что трапеции подобны. Смотреть картинку Как доказать что трапеции подобны. Картинка про Как доказать что трапеции подобны. Фото Как доказать что трапеции подобны

Смотрите хорошую подборку задач с трапецией (входят в ГИА и часть В ЕГЭ) здесь и здесь.

Чтобы не потерять страничку, вы можете сохранить ее у себя:

Помогите, пожалуйста
Дана трапеция ABCD (верхнее основание BC меньше AD) с заданной S=27 и (AD/BC)=4/3. Диагонали трапеции пересекаются в точке О. Средняя линия трапеции пересекает диагонали в точке М и N.
а) Докажите, что треугольники АВО и СОD равновелики;
б) Найдите площадь треугольника MNO.

1) Как доказать что трапеции подобны. Смотреть фото Как доказать что трапеции подобны. Смотреть картинку Как доказать что трапеции подобны. Картинка про Как доказать что трапеции подобны. Фото Как доказать что трапеции подобны
Как доказать что трапеции подобны. Смотреть фото Как доказать что трапеции подобны. Смотреть картинку Как доказать что трапеции подобны. Картинка про Как доказать что трапеции подобны. Фото Как доказать что трапеции подобны
При этом Как доказать что трапеции подобны. Смотреть фото Как доказать что трапеции подобны. Смотреть картинку Как доказать что трапеции подобны. Картинка про Как доказать что трапеции подобны. Фото Как доказать что трапеции подобныгде Как доказать что трапеции подобны. Смотреть фото Как доказать что трапеции подобны. Смотреть картинку Как доказать что трапеции подобны. Картинка про Как доказать что трапеции подобны. Фото Как доказать что трапеции подобны– высота трапеции.
Потому и Как доказать что трапеции подобны. Смотреть фото Как доказать что трапеции подобны. Смотреть картинку Как доказать что трапеции подобны. Картинка про Как доказать что трапеции подобны. Фото Как доказать что трапеции подобны
2) Пусть Как доказать что трапеции подобны. Смотреть фото Как доказать что трапеции подобны. Смотреть картинку Как доказать что трапеции подобны. Картинка про Как доказать что трапеции подобны. Фото Как доказать что трапеции подобны
Как доказать что трапеции подобны. Смотреть фото Как доказать что трапеции подобны. Смотреть картинку Как доказать что трапеции подобны. Картинка про Как доказать что трапеции подобны. Фото Как доказать что трапеции подобныоткуда Как доказать что трапеции подобны. Смотреть фото Как доказать что трапеции подобны. Смотреть картинку Как доказать что трапеции подобны. Картинка про Как доказать что трапеции подобны. Фото Как доказать что трапеции подобны
Коэффициент подобия треугольников Как доказать что трапеции подобны. Смотреть фото Как доказать что трапеции подобны. Смотреть картинку Как доказать что трапеции подобны. Картинка про Как доказать что трапеции подобны. Фото Как доказать что трапеции подобныКак доказать что трапеции подобны. Смотреть фото Как доказать что трапеции подобны. Смотреть картинку Как доказать что трапеции подобны. Картинка про Как доказать что трапеции подобны. Фото Как доказать что трапеции подобныТогда и высоты этих треугольников находятся в оношении Как доказать что трапеции подобны. Смотреть фото Как доказать что трапеции подобны. Смотреть картинку Как доказать что трапеции подобны. Картинка про Как доказать что трапеции подобны. Фото Как доказать что трапеции подобныТо есть равны Как доказать что трапеции подобны. Смотреть фото Как доказать что трапеции подобны. Смотреть картинку Как доказать что трапеции подобны. Картинка про Как доказать что трапеции подобны. Фото Как доказать что трапеции подобныи Как доказать что трапеции подобны. Смотреть фото Как доказать что трапеции подобны. Смотреть картинку Как доказать что трапеции подобны. Картинка про Как доказать что трапеции подобны. Фото Как доказать что трапеции подобнысоответственно.
Высота треугольника Как доказать что трапеции подобны. Смотреть фото Как доказать что трапеции подобны. Смотреть картинку Как доказать что трапеции подобны. Картинка про Как доказать что трапеции подобны. Фото Как доказать что трапеции подобны
Как доказать что трапеции подобны. Смотреть фото Как доказать что трапеции подобны. Смотреть картинку Как доказать что трапеции подобны. Картинка про Как доказать что трапеции подобны. Фото Как доказать что трапеции подобны
Как доказать что трапеции подобны. Смотреть фото Как доказать что трапеции подобны. Смотреть картинку Как доказать что трапеции подобны. Картинка про Как доказать что трапеции подобны. Фото Как доказать что трапеции подобны

Источник

Трапеция. Иллюстрированный гид

Перед тобой лучший гид по трапеции! Только то, что нужно. Без воды.

Основные определения, формулы и свойства.

Помни о своей цели!

Тебе нужно подготовиться к ЕГЭ по математике так, чтобы поступить в ВУЗ мечты!

Трапеция — коротко о главном

Что такое трапеция:

Трапеция – четырёхугольник, у которого две стороны параллельны (они называются основания), а две другие – нет (это боковые стороны).

Сумма углов при каждой боковой стороне трапеции равна 180°

\( \displaystyle \angle 1+\angle 2=180<>^\circ \) и \( \displaystyle \angle 3+\angle 4=180<>^\circ \)

Как доказать что трапеции подобны. Смотреть фото Как доказать что трапеции подобны. Смотреть картинку Как доказать что трапеции подобны. Картинка про Как доказать что трапеции подобны. Фото Как доказать что трапеции подобны

Средняя линия трапеции:

Средняя линия трапеции (\( \displaystyle MN\)) – отрезок, соединяющий середины боковых сторон: \( \displaystyle AM=MB,\ \ CN=ND\).

Средняя линия параллельна основаниям: \( \displaystyle MN\parallel BC\parallel AD\).

Длина средней линии трапеции равна полусумме длин оснований: \( \displaystyle MN=\frac<2>\).

Как доказать что трапеции подобны. Смотреть фото Как доказать что трапеции подобны. Смотреть картинку Как доказать что трапеции подобны. Картинка про Как доказать что трапеции подобны. Фото Как доказать что трапеции подобны

Диагонали трапеции:

Диагонали любой трапеции пересекаются в точке О.

Треугольники, образованные основаниями трапеции и отрезками диагоналей
(\( \displaystyle BOC\) и \( \displaystyle AOD\)) подобны по двум углам с коэффициентом подобия равным отношению оснований: \( \displaystyle k=\frac\).

Площади треугольников, образованных боковыми сторонами и отрезками диагоналей трапеции, равны: \( \displaystyle <_<\Delta AOB>>=<_<\Delta COD>>\).

Как доказать что трапеции подобны. Смотреть фото Как доказать что трапеции подобны. Смотреть картинку Как доказать что трапеции подобны. Картинка про Как доказать что трапеции подобны. Фото Как доказать что трапеции подобны

Равнобедренная (равнобокая трапеция)

Равнобедренная (равнобокая) трапеция – это трапеция, у которой боковые стороны равны: \( \displaystyle AB=CD\).

Свойства равнобедренной трапеции:

Углы при основании равны: \( \displaystyle \angle A=\angle D,\text< >\angle B=\angle C\);

Сумма противолежащих углов равна \( \displaystyle 180<>^\circ \): \( \displaystyle \angle A+\angle C=\angle B+\angle D=180<>^\circ \).

Стороны и диагональ равнобокой трапеции связаны соотношением: \( \displaystyle A<^<2>>=B<^<2>>=AD\cdot BC+A<^<2>>\).

Как доказать что трапеции подобны. Смотреть фото Как доказать что трапеции подобны. Смотреть картинку Как доказать что трапеции подобны. Картинка про Как доказать что трапеции подобны. Фото Как доказать что трапеции подобны

Если трапецию можно вписать в окружность…

Если трапецию можно вписать в окружность, то она – равнобокая.

Как доказать что трапеции подобны. Смотреть фото Как доказать что трапеции подобны. Смотреть картинку Как доказать что трапеции подобны. Картинка про Как доказать что трапеции подобны. Фото Как доказать что трапеции подобны

Площадь трапеции

Площадь трапеции равна полусумме оснований, умноженной на высоту: \( \displaystyle <_>=\frac<2>\cdot h\).

Для справки: В нашем учебнике для подготовки к ЕГЭ по математике есть все темы планиметрии и стереометрии (да и алгебры тоже есть).

Что такое трапеция?

Трапеция – такой четырехугольник, у которого две стороны параллельны, а две другие – нет.

Как доказать что трапеции подобны. Смотреть фото Как доказать что трапеции подобны. Смотреть картинку Как доказать что трапеции подобны. Картинка про Как доказать что трапеции подобны. Фото Как доказать что трапеции подобны

Параллельные стороны называются – основания, а непараллельные стороны называются боковые стороны.

Как доказать что трапеции подобны. Смотреть фото Как доказать что трапеции подобны. Смотреть картинку Как доказать что трапеции подобны. Картинка про Как доказать что трапеции подобны. Фото Как доказать что трапеции подобны

Оказывается, трапеция (как и треугольник) бывает равнобедренная.

Если боковые стороны трапеции равны, то она называется равнобедренной (или равнобокой).

Как доказать что трапеции подобны. Смотреть фото Как доказать что трапеции подобны. Смотреть картинку Как доказать что трапеции подобны. Картинка про Как доказать что трапеции подобны. Фото Как доказать что трапеции подобны

И тут возникает вопрос: а могут ли у трапеции быть равными ОСНОВАНИЯ?

А вот и нет. Тогда это получится не трапеция, а параллелограмм, потому что две стороны окажутся параллельны и равны (вспоминаем признаки параллелограмма)

Свойства трапеции

Итак, что ты должен знать о свойствах трапеции…

Сумма углов при каждой боковой стороне трапеции равна 180°. (у нас на рисунке \( \displaystyle \angle 1+\angle 2=180<>^\circ \) и \( \displaystyle \angle 3+\angle 4=180<>^\circ \))

Как доказать что трапеции подобны. Смотреть фото Как доказать что трапеции подобны. Смотреть картинку Как доказать что трапеции подобны. Картинка про Как доказать что трапеции подобны. Фото Как доказать что трапеции подобны

Ну, конечно, просто потому, что основания – параллельны, а боковая сторона – секущая.

Вот и получается, что \( \displaystyle \angle 1\) и \( \displaystyle \angle 2\) – внутренние односторонние углы при параллельных \( \displaystyle AD\) и \( \displaystyle BC\) и секущей \( \displaystyle AB\).

Поэтому \( \displaystyle \angle 1+\angle 2=180<>^\circ \).

И точно так же \( \displaystyle \angle 3\) и \( \displaystyle \angle 4\) – внутренние односторонние углы при тех же параллельных \( \displaystyle AD\) и \( \displaystyle BC\), но секущая теперь – \( \displaystyle CD\).

Видишь: главное, что играет роль – это параллельность оснований. Давай разберем еще некоторые свойства трапеции.

Как у всякого четырехугольника, у трапеции есть диагонали. Их две – посмотри на рисунки:

Источник

Как доказать что трапеции подобны

Напомним свойства трапеции, которые часто используются при решении задач. Некоторые из этих свойств были доказаны в заданиях для 9-го класса, другие попробуйте доказать самостоятельно. Приведённые рисунки напоминают ход доказательства.

$$ 4.<2>^<○>$$. В любой трапеции середины оснований, точка пересечения диагоналей и точка пересечения продолжении боковых сторон, лежат на одной прямой (на рис. 21 точки `M`, `N`, `O` и `K`).

Как доказать что трапеции подобны. Смотреть фото Как доказать что трапеции подобны. Смотреть картинку Как доказать что трапеции подобны. Картинка про Как доказать что трапеции подобны. Фото Как доказать что трапеции подобны

$$ 4.<3>^<○>$$. В равнобокой трапеции углы при основании равны (рис. 22).

$$ 4.<4>^<○>$$. В равнобокой трапеции прямая, проходящая через середины оснований, перпендикулярна основаниям и является осью симметрии трапеции (рис. 23).

$$ 4.<5>^<○>$$. В равнобокой трапеции диагонали равны (рис. 24).

$$ 4.<6>^<○>$$. В равнобокой трапеции высота, опущенная на большее основание из конца меньшего основания, делит его на два отрезка, один из которых равен полуразности оснований, а другой – их полусумме

(рис. 25, основания равны `a` и `b`, `a>b`).

Как доказать что трапеции подобны. Смотреть фото Как доказать что трапеции подобны. Смотреть картинку Как доказать что трапеции подобны. Картинка про Как доказать что трапеции подобны. Фото Как доказать что трапеции подобны

$$ 4.<7>^<○>$$. Во всякой трапеции середины боковых сторон и середины диагоналей лежат на одной прямой (рис. 26).

$$ 4.<8>^<○>$$. Во всякой трапеции отрезок, соединяющий середины диагоналей, параллелен основаниям и равен полуразности оснований (рис. 27).

Как доказать что трапеции подобны. Смотреть фото Как доказать что трапеции подобны. Смотреть картинку Как доказать что трапеции подобны. Картинка про Как доказать что трапеции подобны. Фото Как доказать что трапеции подобны

Во всякой трапеции сумма квадратов диагоналей равна сумме квадратов боковых сторон и удвоенного произведения оснований, т. е. `d_1^2+d_2^2=c_1^2+c_2^2+2*ab`.

$$ 4.<10>^<○>$$. Во всякой трапеции с основаниями `a` и `b` отрезок с концами на боковых сторонах, проходящий через точку пересечения диагоналей параллельно основаниям, равен `(2ab)/(a+b)` (на рис. 28 отрезок `MN`).

$$ 4.<11>^<○>$$. Трапецию можно вписать в окружность тогда и только тогда, когда она равнобокая.

Применяем теорему косинусов (см. рис. 29а и б):

`ul(DeltaACD):` `d_1^2=a^2+c_2^2-2a*c_2*cos varphi`,

`ul(DeltaBCD):` `d_2^2=b^2+c_2^2+2b*c_2*cos varphi` (т. к. `cos(180^@-varphi)=-cos varphi`).

Проводим `CK«|\|«BA` (рис. 29в), рассматриваем треугольник `ul(KCD):` `c_1^2=c_2^2+(a-b)^2-2c_2*(a-b)*cos varphi`. Используя последнее равенство, заменяем выражение в скобках в (2), получаем:

`d_1^2+d_2^2=c_1^2+c_2^2+2ab`.

В случае равнобокой трапеции `d_1=d_2`, `c_1=c_2=c`, поэтому получаем

Как доказать что трапеции подобны. Смотреть фото Как доказать что трапеции подобны. Смотреть картинку Как доказать что трапеции подобны. Картинка про Как доказать что трапеции подобны. Фото Как доказать что трапеции подобны

Отрезок, соединяющий середины оснований трапеции, равен `5`, одна из диагоналей равна `6`. Найти площадь трапеции, если её диагонали перпендикулярны.

Как доказать что трапеции подобны. Смотреть фото Как доказать что трапеции подобны. Смотреть картинку Как доказать что трапеции подобны. Картинка про Как доказать что трапеции подобны. Фото Как доказать что трапеции подобны

Прямоугольный треугольник `ul(BDK)` с гипотенузой `BK=BC+AD=2MN=10` и катетом `DK=6` имеет площадь `S=1/2DK*BD=1/2DKsqrt(BK^2-DK^2)=24`. Но площадь треугольника `BDK` равна площади трапеции, т. к. если `DP_|_BK`, то

Диагонали трапеции, пересекаясь, разбивают её на четыре треугольника с общей вершиной. Найти площадь трапеции, если площади треугольников, прилежащих к основаниям, равны `S_1` и `S_2`.

Далее, треугольники `BOC` и `DOA` подобны, площади подобных треугольников относятся как квадраты соответствующих сторон, значит, `(S_1)/(S_2)=(a/b)^2`. Таким образом, `(S_0+S_1)/(S_0+S_2)=sqrt((S_1)/(S_2))`.Отсюда находим `S_0=sqrt(S_1S_2)`, и поэтому площадь трапеции будет равна

Как доказать что трапеции подобны. Смотреть фото Как доказать что трапеции подобны. Смотреть картинку Как доказать что трапеции подобны. Картинка про Как доказать что трапеции подобны. Фото Как доказать что трапеции подобны

Основания равнобокой трапеции равны `8` и `10`, высота трапеции равна `3` (рис. 32).

Как доказать что трапеции подобны. Смотреть фото Как доказать что трапеции подобны. Смотреть картинку Как доказать что трапеции подобны. Картинка про Как доказать что трапеции подобны. Фото Как доказать что трапеции подобны

Найти радиус окружности, описанной около этой трапеции.

Из прямоугольного треугольника `ABK` находим `AB=sqrt(1+9)=sqrt(10)` и `sinA=(BK)/(AB)=3/(sqrt10)`. Окружность, описанная около трапеции `ABCD`, описана и около треугольника `ABD`, значит (формула (1), § 1), `R=(BD)/(2sinA)`. Отрезок `BD` находим из прямоугольного треугольника `KDB:` `BD=sqrt(BK^2+KD^2)=3sqrt(10)` (или по формуле `d^2=c^2+ab`), тогда

$$ 4.<12>^<○>$$. Площадь трапеции равна площади треугольника, две стороны которого равны диагоналям трапеции, а третья равна сумме оснований.

Источник

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *