Как доказать что углы треугольника равны

Как доказать, что углы треугольников равны

Как доказать, что углы треугольников равны? Рассмотрим возможные варианты.

Углы треугольников могут быть равны в следующих случаях:

1) Угол — общий (один и тот же угол принадлежит одновременно двум различным треугольникам).

3) Углы при основании равнобедренного треугольника равны.

4) Если дана биссектриса треугольника, то исходный угол разделен ею на два равных угла.

5) Если дана высота треугольника, то она образует два прямых (а значит, равных) угла.

6) Угол, смежный с прямым, есть прямой угол (а значит, они равны между собой).

7) Углы, смежные с равными, равны между собой.

8) Соответствующие углы равных треугольников равны между собой.

9) Если к равным углам прибавить равные углы, то получим равные углы.

10) Если из равных углов вычесть равные углы, то получим равные углы.

11) Внутренние накрест лежащие углы при параллельных прямых и секущей равны между собой.

12) Соответственные углы при параллельных прямых и секущей равны между собой.

13) Углы равны по условию.

14) Углы равны по построению.

15) Углы равны по доказанному.

5 Comments

На вопрос вы так и не ответили. «Как доказать, что углы равны?» а не «В каких случаях углы равны?». Как-то так; информация не полная, а так все отлично.

Равенство углов следует из равенства треугольников. Значит, в большинстве задач, чтобы доказать, что углы равны, нужно доказать равенство треугольников.
Еще можно доказать, что два угла являются углами при основании равнобедренного треугольника, соответственными или внутренними накрест лежащими углами при параллельных прямых и т.д. — об этом сказано выше.

А если в «моём» случае не подходит?

Значит, искать «свой», подходящий вариант.

Спасибо, очень много вариантов! Я уж думала никогда не найду ответ, а тут белая куча ответов! Спасибо!

Источник

Как доказать, что треугольники равны

Как доказать, что треугольники равны? Для этого надо знать признаки равенства треугольников и уметь определять в треугольниках равные стороны и равные углы.

Очень удобный и эффективный инструмент, облегчающий доказательство равенства треугольников, — визуализация задачи. Выделение треугольников разными цветами помогает лучше понять условие и может подсказать ход решения. Если у треугольников есть общий угол либо общая сторона, цветовая визуализация позволяет сразу же увидеть это.

Рекомендую завести специальную тетрадь для записи теоретического материала.

На отдельных страницах запишите:

План доказательства равенства треугольников.

1) Определяем, какие именно треугольники равны (название треугольников).

2) Выделяем треугольники, равенство которых надо доказать, разными цветами.

3) Отмечаем на чертеже стороны и углы, равенство которых дано по условию.

4) Проверяем, есть ли у данных треугольников общая сторона либо общий угол.

5) Анализируем, что имеем с точки зрения признаков равенства треугольников. Например, если у треугольников уже есть две пары равных сторон, то нужно доказывать либо равенство углов между этими сторонами, либо равенство третьей пары сторон.

6) Если треугольники имеют прямой угол, используем признаки равенства прямоугольных треугольников.

7) Ищем недостающие пары равных углов или равных сторон ( при необходимости используем подсказки).

8) Если данных недостаточно, выясняем, можно ли доказать равенство других треугольников, чтобы из него получить равенство сторон или (и) равенство углов для наших треугольников.

9) Если необходимо, проводим дополнительные построения.

На следующем этапе на конкретных задачах рассмотрим, как доказывать, что треугольники равны.

5 Comments

Большое спасибо:) информация очень полезная)) теперь хоть умею доказывать равенство треугольников

Эля, я рада, что эта информация помогла Вам разобраться в данной теме. Желаю дальнейших успехов в изучении геометрии!

Спасибо огромное очень помогло наконец научился доказывать равенства треугольников!

Спасибо вам большое) наверно из всех сайтов про геометрию выбираю только ваш.Очень подробно и хорошо объясняетте. ещё спасибо за то что ваш сайт и вы помогли мне подняться с оценками по данному предмету. СПАСИБО!

Alex, желаю Вам дальнейших успехов в освоении геометрии!

Источник

Признаки равенства треугольников

Статья находится на проверке у методистов Skysmart.
Если вы заметили ошибку, сообщите об этом в онлайн-чат (в правом нижнем углу экрана).

Первый признак равенства треугольников

Конечно, равенство треугольников всегда можно доказать наложением одного треугольника на другой. Но, согласитесь, — это несерьезно. Какое может быть наложение, когда есть три теоремы и можно их доказать.

Давайте рассмотрим три признака равенства треугольников.

Теорема 1. Равенство треугольников по двум сторонам и углу между ними.

Если две стороны и угол между ними одного треугольника соответственно равны двум сторонам и углу между ними другого треугольника, то такие треугольники равны.

При наложении △A₁B₁C₁ на △ABC вершина A₁ совмещается с вершиной A, и сторона A₁B₁ накладывается на сторону AB, AC — на сторону A₁C₁.

Сторона A₁B₁ совмещается со стороной AB, вершина B совпадает с вершиной B₁, сторона A₁С₁ совмещается со стороной AС, вершина C совпадает с вершиной C₁.

Значит, происходит совмещение вершин В и В₁, С и С₁.

Второй признак равенства треугольников

Теорема 2. Равенство треугольников по стороне и двум прилежащим к ней углам.

Если сторона и два прилежащих к ней угла одного треугольника соответственно равны стороне и двум прилежащим к ней углам другого треугольника, то такие треугольники равны.

Путем наложения △ABC на △A₁B₁C₁, совмещаем вершину А с вершиной A₁, вершины В и В₁ лежат по одну сторону от А₁С₁.

Тогда АС совмещается с A₁C₁, вершина C совпадает с C₁, поскольку мы знаем, что АС = A₁C₁.

AB накладывается на A₁B₁, поскольку мы знаем, что ∠A = ∠A₁.

CB накладывается на C₁B₁, поскольку мы знаем, что ∠C = ∠C₁.

Вершина B совпадает с вершиной B₁.

Третий признак равенства треугольников

Теорема 3. Равенство треугольников по трем сторонам.

Если три стороны одного треугольника соответственно равны трем сторонам другого треугольника, то такие треугольники равны.

Доказательство 3 признака равенства треугольников:

Приложим △ABC к △A₁B₁C₁ таким образом, чтобы вершина A совпала с вершиной A₁, вершина B — с вершиной B₁, вершина C и вершина C₁ лежат по разные стороны от прямой А₁В₁.

Кроме трех основных теорем, запомните еще несколько признаков равенства треугольников.

Равны ли треугольники, можно определить не только по сторонам и углам, но и по высоте, медиане и биссектрисе.

Как видите, доказать равенство треугольников можно по множеству признаков и десятком способов. Три признака равенства треугольников — основные. Все остальные способы также стоит запомнить, ведь треугольник — только с виду простая фигура.

Источник

Доказательства равных треугольников: как доказать равенство углов, 3 признака равенства, подобие треугольников

Третий признак равенства треугольников и его доказательство (всех трех возможных случаев) будут подробно рассмотрены в данной статье.

Формулировка третьего признака равенства треугольников

Если три стороны одного треугольника равны соответственно трем сторонам другого треугольника, то такие треугольники равны.

Доказательство

2 треугольника, АВС и А1В1С1, AB = A1B1, AC = A1C1, BC = B1C1

Требуется доказать, что треугольники АСВ и А1В1С1 равны.

Доказательство

Для начала необходимо «наложить» данные треугольники друг на друга таким образом – чтобы точка А совпала с точкой А1, точка В с точкой В1, а точки С и С1 оказались по разные стороны от прямой А1В1.

Три возможных случая при наложении треугольников

Доказательства равенства треугольников для трех возможных случаев

Первый случай

Луч С1С расположен внутри угла А1С1В1.

Доказательство:

Что и требовалось доказать

Второй случай

Луч С1С накладывается на одну из сторон этого угла.

Доказательство:

Что и требовалось доказать.

Третий случай

Луч С1С расположен вне угла А1С1В1.

Доказательство:

Что и требовалось доказать.

Признаки подобия треугольников

Напомним для начала определение подобных треугольников.

Два треугольника называются подобными, если углы все углы одного треугольника соответственно равны углам другого и треугольника, и все сходственные стороны этих треугольников пропорциональны.

Для определения подобия треугольников существуют три признака подобия треугольников. Рассмотрим и докажем их.

Первый признак подобия треугольников

Теорема 1: Если два угла одного треугольника соответственно равны двум углам второго треугольника, то такие треугольники подобны.

Доказательство.

Теорема 0: Если угол одного треугольника равен углу второго треугольника, то их площади относятся как произведения сторон, прилегающих к этому углу.

Попробуй обратиться за помощью к преподавателям

Второй признак подобия треугольников

Теорема 2: Если две стороны одного треугольника пропорциональны соответствующим сторонам второго треугольника и углы между этими сторонами равны, то данные треугольники подобны.

Доказательство.

Рисунок 2. Иллюстрация теоремы 2

Рисунок 3. Дополнительное построение

По первому признаку подобия треугольника получаем доказательство теоремы.

Третий признак подобия треугольников

Теорема 3: Если три стороны одного треугольника пропорциональны трем соответствующим сторонам второго треугольника, то такие треугольники подобны.

Доказательство.

Рисунок 4. Дополнительное построение

Пример задачи на использование признаков подобия

[angle B=angle C=frac<180-angle A><2>]
[angle B_1=angle C_1=frac<180-A_1><2>=frac<180-angle A><2>=angle B=angle C]

3 признак равенства треугольников

При этом возможны три случая взаимного расположения луча CC1 и угла ACB.

I. Луч CC1 проходит внутри угла ACB.

II. Луч CC1 проходит внутри угла ACB.

Так как AC=A1C1 и BC=B1C1, треугольники ACC1 и BCC1 — равнобедренные с основанием CC1 и ∠ACC1=∠AC1C и ∠BCC1=∠BC1C (как углы при основании).

Если из равных углов вычесть равные углы, то получим равные углы:

Таким образом, ∠ACB=∠AC1B и ΔABC= ΔA1B1C1 (по 1 признаку равенства треугольников).

III. Луч CC1 совпадает со стороной угла ACB.

math-public:priznaki-ravenstva-treugolnikov [Президентский ФМЛ №239]

Треугольник – это геометрическая фигура, которая состоит из трёх
точек, не лежащих на одной прямой, и трёх отрезков, соединяющих эти
три точки.

Треугольники называются равными, если их можно совместить наложением.

Если две стороны и угол между ними одного треугольника соответственно равны двум сторонам и углу между ними другого
треугольника, то такие треугольники равны.

Если сторона и два прилежащих к ней угла одного треугольника
соответственно равны стороне и двум прилежащим к ней углам другого
треугольника, то такие треугольники равны.

Если три стороны одного треугольника соответственно равны трем
сторонам другого треугольника, то такие треугольники равны.

Третий случай доказывается аналогично первому.

math-public/priznaki-ravenstva-treugolnikov.txt · Последние изменения: 2016/05/06 11:15 — labreslav

Как доказать равенство треуголников? Примеры!

Надейка Высший разум (158170) 8 лет назад Первый признак равенства треугольников Если две стороны и угол между ними одного треугольника равны соответственно двум сторонам и углу между ними другого треугольника, то такие треугольники равны. Доказательство. Рассмотрим два треугольника ABC и A1B1C1.

Пусть в этих треугольниках равны стороны AB и A1B1, BC и B1C1, а угол ABC равен углу A1B1C1. Тогда треугольник A1B1C1 можно наложить на треугольник ABC так, чтобы угол A1B1C1 совпал с углом ABC. При этом можно расположить треугольник A1B1C1 так, чтобы сторона А1В1 совпала со стороной АВ, а сторона B1С1 — со стороной BС.

Второй признак равенства треугольников Если сторона и два прилежащих к ней угла одного треугольника равны соответственно стороне и двум прилежащим к ней углам другого треугольника, то такие треугольники равны. Доказательство. Пусть в треугольниках АВС и А 1 В 1 С 1 имеют место равенства AB= A1B1, ÐBAC = ÐB1A1C1, ÐАВС= ÐА1В1С1. Поступим так же, как и в предыдущем случае.

Наложим треугольник А1В1С1 на треугольник АВС так, чтобы совпали стороны AB и A1B1 и прилегающие к ним углы. Как и в предыдущем случае, при необходимости треугольник А1В1С1 можно «перевернуть обратной стороной». Тогда треугольники совпадут полностью. Значит, они равны.

Третий признак равенства треугольников Если три стороны одного треугольника равны соответственно трем сторонам другого треугольника, то такие треугольники равны. Доказательство. Пусть для треугольников ABC и A1B1C1 имеют место равенства АВ = А1В1, ВС = В1С1, СА = С1А1. Перенесем треугольник А1В1С1 так, чтобы сторона А1В1 совпала со стороной АВ, при этом должны совпасть вершины A1 и A, B1 и B.

Рассмотрим две окружности с центрами в A и B и радиусами соответственно AC и BC. Эти окружности пересекаются в двух симметричных относительно AB точках: C и C2. Значит, точка C1 после переноса указанным образом треугольника A1B1C1 должна совпасть либо с точкой C, либо с точкой C2.

В обоих случаях это будет означать равенство треугольников ABC и A1B1C1, поскольку треугольники ABC и ABC2 равны (эти треугольники симметричны относительно прямой AB.)

Источник: http://dcs. isa. ru/www /vladimirv /Geometry /dshar/sco_3.2.1/sco_3_2_1.html

Angelina11 Ученик (196) 2 года назад Геометрия, Признаки равенства треугольниковРис. 1Два треугольника называются равными, если их можно совместить наложением. На рисунке 1 изображены равные треугольники ABC и А1В1С1. Каждый из этих треугольников можно наложить на другой так, что они полностью совместятся, т. е. попарно совместятся их вершины и стороны. Ясно, что при этом совместятся попарно и углы этих треугольников.Таким образом, если два треугольника равны, то элементы (т. е. стороны и углы) одного треугольника соответственно равны элементам другого треугольника. Отметим, что в равных треугольниках против соответственно равных сторон (т. е. совмещающихся при наложении) лежат равные углы, и обратно: против соответственно равных углов лежат равные стороны.Так, например, в равных треугольниках ABC и A1B1C1, изображенных на рисунке 1, против соответственно равных сторон АВ и А1В1 лежат равные углы С и С1. Равенство треугольников ABC и А1В1С1 будем обозначать так: Δ ABC = Δ А1В1С1. Оказывается, что равенство двух треугольников можно установить, сравнивая некоторые их элементы.Признаки равенства треугольников, геометрия ЕГЭ и ГИАРис. 2Теорема 1. Первый признак равенства треугольников. Если две стороны и угол между ними одного треугольника соответственно равны двум сторонам и углу между ними другого треугольника, то такие треугольники равны (рис. 2).Доказательство. Рассмотрим треугольники ABC и A1B1C1, у которых АВ = A1B1, АС = A1C1 ∠ А = ∠ А1 (см. рис. 2). Докажем, что Δ ABC = Δ A1B1C1.Так как ∠ А = ∠ А1, то треугольник ABC можно наложить на треугольник А1В1С1 так, что вершина А совместится с вершиной А1, а стороны АВ и АС наложатся соответственно на лучи А1В1 и A1C1. Поскольку АВ = A1B1, АС = А1С1, то сторона АВ совместится со стороной А1В1 а сторона АС — со стороной А1C1; в частности, совместятся точки В и В1, С и C1. Следовательно, совместятся стороны ВС и В1С1. Итак, треугольники ABC и А1В1С1 полностью совместятся, значит, они равны.Аналогично методом наложения доказывается теорема 2.Признаки равенства треугольников, ГИА, ЕГЭРис. 3Теорема 2. Второй признак равенства треугольников. Если сторона и два прилежащих к ней угла одного треугольника соответственно равны стороне и двум прилежащим к ней углам другого треугольника, то такие треугольники равны (рис. 34).Замечание. На основе теоремы 2 устанавливается теорема 3.Теорема 3. Сумма любых двух внутренних углов треугольника меньше 180°.Из последней теоремы вытекает теорема 4.Теорема 4. Внешний угол треугольника больше любого внутреннего угла, не смежного с ним.

Теорема 5. Третий признак равенства треугольников. Если три стороны одного треугольника соответственно равны трем сторонам другого треугольника, то такие треугольники равны

Эдуард Голуб Профи (702) 2 года назад Геометрия, Признаки равенства треугольниковРис. 1Два треугольника называются равными, если их можно совместить наложением. На рисунке 1 изображены равные треугольники ABC и А1В1С1. Каждый из этих треугольников можно наложить на другой так, что они полностью совместятся, т. е. попарно совместятся их вершины и стороны. Ясно, что при этом совместятся попарно и углы этих треугольников.Таким образом, если два треугольника равны, то элементы (т. е. стороны и углы) одного треугольника соответственно равны элементам другого треугольника. Отметим, что в равных треугольниках против соответственно равных сторон (т. е. совмещающихся при наложении) лежат равные углы, и обратно: против соответственно равных углов лежат равные стороны.Так, например, в равных треугольниках ABC и A1B1C1, изображенных на рисунке 1, против соответственно равных сторон АВ и А1В1 лежат равные углы С и С1. Равенство треугольников ABC и А1В1С1 будем обозначать так: Δ ABC = Δ А1В1С1. Оказывается, что равенство двух треугольников можно установить, сравнивая некоторые их элементы.Признаки равенства треугольников, геометрия ЕГЭ и ГИАРис. 2Теорема 1. Первый признак равенства треугольников. Если две стороны и угол между ними одного треугольника соответственно равны двум сторонам и углу между ними другого треугольника, то такие треугольники равны (рис. 2).Доказательство. Рассмотрим треугольники ABC и A1B1C1, у которых АВ = A1B1, АС = A1C1 ∠ А = ∠ А1 (см. рис. 2). Докажем, что Δ ABC = Δ A1B1C1.Так как ∠ А = ∠ А1, то треугольник ABC можно наложить на треугольник А1В1С1 так, что вершина А совместится с вершиной А1, а стороны АВ и АС наложатся соответственно на лучи А1В1 и A1C1. Поскольку АВ = A1B1, АС = А1С1, то сторона АВ совместится со стороной А1В1 а сторона АС — со стороной А1C1; в частности, совместятся точки В и В1, С и C1. Следовательно, совместятся стороны ВС и В1С1. Итак, треугольники ABC и А1В1С1 полностью совместятся, значит, они равны.Аналогично методом наложения доказывается теорема 2.Признаки равенства треугольников, ГИА, ЕГЭРис. 3Теорема 2. Второй признак равенства треугольников. Если сторона и два прилежащих к ней угла одного треугольника соответственно равны стороне и двум прилежащим к ней углам другого треугольника, то такие треугольники равны (рис. 34).Замечание. На основе теоремы 2 устанавливается теорема 3.Теорема 3. Сумма любых двух внутренних углов треугольника меньше 180°.Из последней теоремы вытекает теорема 4.Теорема 4. Внешний угол треугольника больше любого внутреннего угла, не смежного с ним.

Теорема 5. Третий признак равенства треугольников. Если три стороны одного треугольника соответственно равны трем сторонам другого треугольника, то такие треугольники равны

«Нестандартные признаки равенства треугольников»

МБУ ДО города Ростова-на-Дону «Дворец творчества детей и молодежи»

Донская академия наук юных исследователей им. Ю. А. Жданова

Треугольник одна из основных фигур в планиметрии. Я много слышал от старшеклассников, что при подготовке к ЕГЭ им часто приходится доказывать равенство треугольников. И оказывается недостаточным знание основных признаков.

Я просмотрел учебно-методические комплекты других авторов. Но и в них для изучения предлагаются только три известные теоремы.

Возможно, ли сформулировать, кроме трех известных, другие признаки равенства треугольников?

Чтобы убедиться в том, что ответ на этот вопрос волнует не только меня, я провел социологический опрос среди учащихся 7-11 классов см. приложение 1 ).

Мои предположения подтвердились. Большенство учеников знают только три признака равенства треугольников.

Предмет исследования. Треугольник, как одна из основных фигур в планиметрии.

Кроме того, много других сфер, где применяются различные свойства треугольника: начиная игру в бильярд, необходимо расположить шары в виде треугольника, для этого используют специальное приспособление; расстановка кеглей в игре Боулинг тоже в виде равностороннего треугольника; для составления красивых паркетов используются треугольники; устройство треугольника Паскаля: каждое число равно сумме двух расположенных над ним чисел (обвести треугольником три числа). Все элементарно, но сколько в этом таится чудес! Треугольник Паскаля компьютер перевёл на язык цвета.

Тему треугольника можно продолжать неограниченно.

Каких только треугольников нет на свете!

Существуют также переносные значения данной фигуры: например, правило «золотого треугольника» основано на психологии покупателя – найдя нужный ему товар, покупатель устремляется в кассу. Задача продавцов – заставить его задержаться в магазине подольше, расположив нужный покупателю товар в вершинах воображаемого треугольника, то есть «заякорить» покупателя.

Чем больше площадь треугольника, тем более удачным можно назвать планировку магазина. В продуктовом магазине этими товарами-якорями являются гастрономия, молочная продукция, хлеб.

Задняя торцевая стена торгового зала является вторым местом по значимости и именно там целесообразнее всего располагать товары-якоря – именно для того, что бы заставить покупателя пройти весь периметр магазина.

Широко известный Бермудский треугольник – это район в Атлантическом океане, в котором происходят якобы таинственные исчезновения морских и воздушных судов. Район ограничен линиями от Флориды к Бермудским островам, далее к Пуэрто-Рико и назад к Флориде через Багамы.

В глубокой древности вместе с астрономией появилась наука – тригонометрия. Слово «тригонометрия» произведено от греческих «треугольник» и «меряю». Буквальное значение – «наука об измерении треугольников».

С помощью натянутых веревок длиной 3, 4 и 5 единиц египетские жрецы получали прямые углы при возведении храмов и т.п.

Искусство изображать предметы на плоскости с Древних времён привлекает к себе внимание человека, люди рисовали на скалах, стенах, сосудах и прочих предметах быта, различные орнаменты, растения, животных. Люди стремились к тому, чтобы изображение правильно отображало естественную форму предмета.

Учение о подобии фигур на основе теории отношений и пропорций было создано в Древней Греции в 5-4 веках до нашей эры и существует и развивается до сих пор.

Например, очень много детских игрушек подобным предметам взрослого мира, обувь и одежда одного фасона выпускается различных размеров. Эти примеры можно продолжать и дальше.

В конце концов, все люди подобны друг другу и как утверждает Библия, создал их бог по своему образу и подобию.

Признаки равенства треугольников имели издавна важнейшее значение в геометрии, так как доказательства многочисленных теорем сводилось к доказательству равенства тех или иных треугольников.

Доказательством признаков равенства треугольников занимались еще пифагорейцы.

По словам Прокла, Евдем Родосский приписывает Фалесу Милетскому доказательство о равенстве двух треугольников, имеющих равными сторону и два прилежащих к ней угла (второй признак равенства треугольников).

Эту теорему Фалес использовал для определения расстояния от берега до морских кораблей. Каким способом пользовался при этом Фалес, точно не известно.

Признаки равенства треугольников.

Начнем с определения. Треугольники АВС и А1В1С1 называются равными, если их можно совместить наложением.

Теоретические материалы: Соизмеримые и несоизмеримые отрезки. Отношение отрезков. Пропорциональные отрезки

6.1. Соизмеримые и несоизмеримые отрезки. Отношение отрезков. Пропорциональные отрезки

Общей мерой двух отрезков будет называться такой третий отрезок, который содержится целое число раз в каждом из двух данных отрезков.

Если отрезки имеют общую меру, то они имеют бесконечное множество общих мер. Одна из них больше всех остальных и называется наибольшей общей мерой данных отрезков. Если меньший из двух данных отрезков содержится в большем целое число раз, то меньший отрезок и является наибольшей общей мерой двух данных отрезков.

Два отрезка называются несоизмеримыми, если они не имеют общей меры.

Поскольку иррациональное число есть бесконечная непериодическая десятичная дробь, то его приближенное значение можно выразить с любой степенью точности с помощью конечной (рациональной) дроби. Так, точная длина есть дм, а приближенная дм или дм и т. д.

Отношением двух отрезков называется отношение их длин, выраженных в одинаковых единицах измерения.

Первый признак равенства треугольников – доказательство: второй и третий признаки, теорема и определение

С далеких времен и по сей день поиск признаков равенства фигур считается базовой задачей, которая является основой основ геометрии; сотни теорем доказываются с использованием признаков равенства. Умение доказывать равенство и подобие фигур — важная задача во всех сферах строительства.

Применение навыка на практике

Предположим, что у нас есть фигура, начерченная на листе бумаги. При этом у нас есть линейка и транспортир, с помощью которых мы можем замерять длины отрезков и углы между ними. Как перенести на второй лист бумаги фигуру таких же размеров или увеличить ее масштаб в два раза.

Мы знаем, что треугольник — это фигура, состоящая из трех отрезков, называемых сторонами, образующими углы. Таким образом, существует шесть параметров — три стороны и три угла, которые определяют эту фигуру.

Однако, замерив величину всех трех сторон и углов, перенести данную фигуру на другую поверхность окажется непростой задачей. Кроме того, есть смысл задать вопрос: а не достаточно ли будет знания параметров двух сторон и одного угла, или всего лишь трех сторон.

Замерив длину двух сторон и угол между ними, затем отложим этот угол на новом листке бумаги, так мы сможем полностью воссоздать треугольник. Давайте разберемся, как это сделать, научимся доказывать признаки, по которым их можно считать одинаковыми, и определимся с тем, какое минимальное число параметров достаточно знать, чтобы получить уверенность в том, что треугольники одинаковы.

Какие существуют признаки равенства треугольников, дадим их определение:

Как доказать, что треугольники равны. Приведем доказательство равенства треугольников.

Доказательство 1 признака

Долгое время среди первых математиков данный признак считался аксиомой, однако, как оказалось, его можно геометрически доказать, опираясь на более базовые аксиомы.

Рассмотрим два треугольника — KMN и K1M1N1. Сторона КМ имеет такую же длину как и K1M1, а KN = K1N1. А угол MKN равен углам KMN и M1K1N1.

Если рассматривать KM и K1M1, KN и K1N1 как два луча, которые выходят из одной точки, то можно сказать, что между этими парами лучей одинаковые углы (это задано условием теоремы). Произведем параллельный перенос лучей K1M1 и K1N1 из точки K1 в точку К. Вследствие этого переноса лучи K1M1 и K1N1 полностью совпадут.

Отложим на луче K1M1 отрезок длиной КМ, берущий свое начало в точке К. Поскольку по условию полученный отрезок и будет равен отрезку K1M1 то точки М и M1 совпадают. Аналогично и с отрезками KN и K1N1.

Таким образом, перенося K1M1N1 так, что точки K1 и К совпадают, а две стороны накладываются, получаем полное совпадение и самих фигур.

Важно! В интернете встречаются доказательства равенства треугольников по двум сторонам и углу при помощи алгебраических и тригонометрических тождеств с численными значениями сторон и углов. Однако исторически и математически данная теорема была сформулирована задолго до алгебры и раньше, чем тригонометрия. Для доказательства этого признака теоремы использовать что-либо, кроме базовых аксиом, некорректно.

Доказательство 2 признака

Докажем второй признак равенства по двум углам и стороне, основываясь на первом.

Доказательство 2 признака

Рассмотрим KMN и PRS. К равен Р, N равен S. Сторона КN имеет такую же длину, как и РS. Необходимо доказать, что KMN и PRS — одинаковы.

Отразим точку М относительно луча КN. Полученную точку назовем L. При этом длина стороны КМ = КL. NKL равен PRS. KNL равен RSP.

Поскольку сумма углов равна 180 градусов, то KLN равен PRS, а значит PRS и KLN- одинаковые (подобные) по обеим сторонам и углу, согласно первому признаку.

Но, так как KNL равен KMN, то KMN и PRS — две одинаковые фигуры.

Это интересно! Чему равна и как найти площадь равностороннего треугольника

Доказательство 3 признака

Как установить, что треугольники равны. Это прямо вытекает из доказательства второго признака.

Длина KN = PS. Поскольку К = Р, N = S, KL=KM, при этом КN = KS, MN=ML, то:

Это означает, что обе фигуры являются подобными друг другу. Но так как их стороны одинаковы, то и они также равны.

Из признаков равенства и подобия вытекает множество следствий. Одно из них заключается в том, что для того, чтобы определить, равны два треугольника или нет, необходимо знать их свойства, одинаковы ли:

Использование признака равенства треугольников для решения задач

Это интересно! Изучаем математику в игровой форме: как ребенку быстро выучить таблицу умножения

Следствия первого признака

В ходе доказательства можно прийти к ряду интересных и полезных следствий.

Докажем эту простую теорему.

Есть два прямоугольных треугольника. У одного стороны a, b, c, где с — гипотенуза; a, b — катеты. У второго стороны n, m, l, где l — гипотенуза; m, n — катеты.

Таким образом, если n = a, l = с (равенство катетов и гипотенуз), соответственно и вторые катеты будут равны. Фигуры, соответственно, будут равны по третьему признаку (по трем сторонам).

Первый признак равенства треугольников. Видеоурок по геометрии 7 класс

Геометрия 7 Первый признак равенства треугольников

Вывод

Рассмотренная нами тема поможет любому ученику лучше разобраться в базовых геометрических понятиях и повысить свои навыки в интереснейшем мире математики.

Признаки подобия треугольников

Признаками подобия двух треугольников являются такие геометрические признаки, которые позволяют установить, что два неких треугольника являются подобными друг другу, без рассмотрения всех элементов.

Теорема 1

Первый признак подобия двух треугольников

Треугольники подобны, если хотя бы два угла в неком треугольнике соответственно равны двум углам в другом треугольнике.

Доказательство

Теорема 2

Второй признак подобия треугольников.

Треугольники считаются подобными, если две из сторон одного треугольника будут соответственно пропорциональными двум сторонам второго треугольника. Также должно соблюдаться условие равенства углов между этими сторонами.

Теорема 3

Третий признак подобия треугольников.

Треугольники считаются подобными, если соблюдается условие пропорциональности трех сторон одного из них трем сторонам второго.

Следствие 1 из теоремы 1. Если рассматривать подобные треугольники, то их сходственные стороны будут пропорциональны высотам, которые будут опущены на сходственные стороны.

Признаки подобия прямоугольных треугольников

Признаки подобия треугольников в примерах

Пример 1

Необходимо найти длину отрезка KP, если известно, что в треугольнике АВС, длина стороны АС равна десяти, и на стороне АВ есть некая точка К, но АК =2, ВК=3. Через точку К проведена прямая, которая параллельна АС. Точка P лежит на ее пересечении со стороной ВС. Это ситуация, когда используются признаки подобия треугольников.

Урок с подобной задачкой обязательно встречается в каждой школе. Итак, если в треугольнике есть прямая, проведенная параллельно одной стороне, то образуется треугольник, который подобен данному. Треугольник КBР подобен треугольнику АBС. Доказывая это, заметим, что угол ВКР равен углу ВАС.

В виду того, что это соответственные углы, которые лежат при параллельных КР и АС и секущей АК. Кроме этого, угол В — общий и, следовательно, третьи углы равны, угол ВРК и ВСА. Таким образом, согласно теореме о первом признаке подобия треугольников, ∠ АВС подобен ∠КВР.

Из этого следует, что КР / АС, стороны лежащие против ∠В, равно ВК / ВА стороны, стороны, которые лежат против равных ∠Р и ∠С. Следовательно, отрезок ВА найдем, складывая BК и АК. Подставляем сюда данные, получаем: КР / 10 = 3 / 5 то есть, КР=6

Пример 2

Пример 3

Необходимо выяснить, подобны ли треугольники А1В1С1 и ABC если см, ВС = 5 см, АВ = 3, АС = 7 см, B1C1 = 7,5 см, А1В1 = 4,5 см, A1C1 = 10,5 см? Решение. ВС/ B1C1=5/7.5= 1/1.5 AB/ А1В1=3/4.5=1/1.5 АС/ A1C1=7/10.5=1/1.5

Значит, по третьему признаку, треугольники являются подобными.

Источник