Как доказать что угол прямой

Прямоугольный треугольник: Признаки Равенства и Подобия

Определение

Прямоугольный треугольник — это треугольник, в котором один из углов прямой.

Гипотенуза в прямоугольном треугольнике — это сторона напротив прямого угла.

Катет в прямоугольном треугольнике — это две стороны прилежащие к прямому углу.

Свойства прямоугольного треугольника

В прямоугольном треугольнике:

Формулы:

Признаки равенства прямоугольных треугольников

С помощью признаков равенства прямоугольных треугольников
можно доказать что прямоугольные треугольники равны.

Признаки прямоугольного треугольника

С помощью признаков прямоугольного треугольника можно
доказать, что треугольник прямоугольный.

Признаки подобия прямоугольных треугольников

С помощью признаков подобия прямоугольных треугольников можно
доказать, что прямоугольные треугольники подобны.

Источник

Прямоугольный треугольник

Прямоугольный треугольник – треугольник, в котором один угол прямой (то есть равен 90˚).

Сторона, противоположная прямому углу, называется гипотенузой прямоугольного треугольника.

Признаки равенства прямоугольных треугольников

Если катеты одного прямоугольного треугольника соответственно равны катетам другого прямоугольного треугольника, то такие треугольники равны ( по двум катетам ).

Если катет и прилежащий к нему острый угол одного прямоугольного треугольника соответственно равны катету и прилежащему к нему острому углу другого прямоугольного треугольника, то такие треугольники равны ( по катету и острому углу ).

Если гипотенуза и острый угол одного прямоугольного треугольника соответственно равны гипотенузе и острому углу другого прямоугольного треугольника, то такие треугольники равны ( по гипотенузе и острому углу ).

Если гипотенуза и катет одного прямоугольного треугольника равны гипотенузе и катету другого прямоугольного треугольника, то такие треугольники равны ( по гипотенузе и катету ).

Свойства прямоугольного треугольника

1. Сумма острых углов прямоугольного треугольника равна 90˚.

2. Катет, противолежащий углу в 30˚, равен половине гипотенузы.

И обратно, если в треугольнике катет вдвое меньше гипотенузы, то напротив него лежит угол в 30˚.

3. Теорема Пифагора:

, где – катеты, – гипотенуза. Видеодоказательство

4. Площадь прямоугольного треугольника с катетами :

5. Высота прямоугольного треугольника, проведенная к гипотенузе выражается через катеты и гипотенузу следующим образом:

6. Центр описанной окружности – есть середина гипотенузы.

7. Радиус описанной окружности есть половина гипотенузы :

8. Медиана, проведенная к гипотенузе, равна ее половине

9. Радиус вписанной окружности выражается через катеты и гипотенузу следующим образом:

Тригонометрические соотношения в прямоугольном треугольнике смотрите здесь.

Источник

Как доказать что угол прямой

Основные метрические сооьтношения в прямоугольном треугольнике

§1. Прямоугольный треугольник. Метрические соотношения.

Основные метрические сооьтношения в прямоугольном треугольнике

Пусть `ABC` прямоугольный треугольник с прямым углом `C` и острым углом при вершине `A`, равным `alpha` (рис. 1).

Используем обычные обозначения:

`a_c` и `b_c` – проекции `BD` и `AD` катетов на гипотенузу;

`h` – высота `CD`, опущенная на гипотенузу;

`m_c` – медиана `CM`, проведённая к гипотенузе;

`R` – радиус описанной окружности;

`r` – радиус вписанной окружности.

`sin alpha = a/c`, `cos alpha = b/c` и `»tg»alpha = a/b`.

Значения синуса, косинуса и тангенса острого угла прямоугольного треугольника зависят только от меры угла и не зависят от размеров и расположения треугольника.

В прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов:

`c^2 = a^2 + b^2`

Доказательство теоремы повторите по учебнику.

Выведем ряд соотношений между элементами прямоугольного треугольника.

Квадрат катета равен произведению гипотенузы и его проекции на гипотенузу

Квадрат высоты, опущенной на гипотенузу, равен произведению проекции катетов на гипотенузу

Из треугольника `ACD` (рис. 1) имеем `»tg»alpha = (CD)/(AD)`, а из треугольника `BCD` `»tg»alpha = (BD)/(CD)`.

Значит `(BD)/(CD) = (CD)/(AD)`, откуда `CD^2 = AD * BD`, т. е. `h^2 = a_c * b_c`.

Произведение катетов равно произведению гипотенузы и высоты, опущенной на гипотенузу

Из треугольника `ABC` имеем `sin alpha = (BC)/(AB)`, а из треуольника `ACD` `sin alpha = (CD)/(AC)`.

Таким образом, `(BC)/(AB) = (CD)/(AC)`, откуда `BC * AC = AB * CD`, т. е. `a * b = c * h`.

Медиана, проведённая к гипотенузе, равна половине гипотенузы, т. е.

.

Полезно также запомнить, что медиана к гипотенузе разбивает треугольник на два равнобедренных треугольника.

Радиус окружности, описанной около прямоугольного треугольника, равен половине гипотенузы

Это следует из Свойства 4, действительно, `MA = MB = MC`, следовательно, окружность с центром в точке `M` и радиуса `c/2` проходит через три вершины.

Сумма катетов равна удвоенной сумме радиусов описанной и вписанной окружностей

`a + b = 2(R + r)` или `a + b = c + 2r`

Равенства, доказанные в Свойствах 1 и 2, записываются также как:

Источник

Математика

Две прямые линии BA и BC (черт. 13), пересекающиеся в одной и той же точке B, образуют при точке B угол.

Определение угла. Углом называется неопределенная часть плоскости, ограниченная двумя пересекающимися прямыми линиями. Угол есть величина, определяющая наклонение одной прямой линии к другой.

Стороны угла. Пересекающиеся линии называются сторонами угла.

Вершина угла. Точка пересечения двух прямых называется вершиной угла. Величина угла не зависит от длины сторон, поэтому стороны угла можно неопределенно продолжать.

Название угла. a) Углы называют буквой, стоящей при вершине; так угол на черт. 13 называют углом B. b) Если при вершине несколько углов, то углы называют тремя буквами, стоящими при вершине и двух его сторонах. При этом буква при вершине произносится и пишется в середине.

На черт. 13 угол B называют угол ABC. Линии BA и BC — две стороны, а точка B — вершина угла.

Таким образом угол ABC есть угол B или

Знак угла. Слово угол заменяют иногда знаком ∠.

Таким образом предыдущее равенство изображают письменно:

В том случае, когда из точки выходит несколько линий, при точке B имеется несколько углов.

На черт. 14 из точки B выходят прямые линии BA, BC, BD и при вершине B имеются углы ABC, CBD, ABD.

Прилежащие углы. Два угла называются прилежащими, когда они имеют общею вершину, по одной общей стороне, а две другие лежат по обе стороны общей стороны.

Углы ABC и CBD (черт. 14) суть прилежащие углы. Они имеют общую вершину B, общую сторону BC, а две другие стороны BA и BD лежат одна сверху, а другая снизу общей стороны BC.

Углы изменяют свою величину, если изменяется наклонение одной стороны к другой. Из двух углов, имеющих общую вершину, тот угол, внутри которого помещается другой угол, называется большим углом. На чертеже 14

уг. ABD > уг. ABC и уг. CBD уг. DEF.

c) Если же линия ED упадет вне угла ABC по направлению BH, угол ABC меньше угла DEF

На чертеже 20 линия CE будет наклона к линии AB, а линия CD перпендикулярна к линии AB.

Угол ECB меньше прямого, а угол ACE больше прямого. Угол ECB называется острым, а угол ACE тупым.

Острый угол есть всякий угол меньше прямого, а тупой угол есть угол больший прямого.

Одноименные и разноименные углы. Два острых или два тупых угла называются одноименными, а два угла, из которых один острый, а другой тупой, называются разноименными.

Наклонная линия CE образует (черт. 20) с прямою AB два смежных угла, из которых один меньше, а другой больше прямого, т. е. один острый, а другой тупой.

Теорема 3. Из точки, взятой на прямой линии, можно восставить к ней только один перпендикуляр.

Дана прямая AB и на ней точка C (черт. 20).

Требуется доказать, что можно к ней восставить только один перпендикуляр.

Доказательство. Положим, что можно из точки C к линии AB восставить два перпендикуляра (черт. 20) CD и CE. По свойству перпендикуляра

уг. DCB = уг. ACD (a)
уг. BCE = уг. ACE.

Если приложить к первой части последнего неравенства угол ECD, получим неравенство

уг. BCE + уг. ECD > уг. ACE, или уг. BCD > уг. ACE.

Заменяя в этом неравенстве уг. BCD равным ему углом ACD (a), получим

неравенство очевидно нелепое, ибо часть не может быть более своего целого, следовательно предположение, что можно восставить два перпендикуляра, ведет к нелепости, поэтому оно ложно. Ложность предположения основана на том соображении, что из верного положения нельзя вывести неверного заключения, следовательно, наша теорема верна.

Способ доказывать справедливость данной теоремы указанием на невозможность и нелепость всякого другого предположения называется способом доказательства от противного или способом приведения к нелепости.

Теорема 4. Все прямые углы равны.

Предположим, мы имеем две пары прямых углов: одну пару составляют углы ACD и DCB, а другую углы EGH и HGF, следовательно, CD ⊥ AB и HG ⊥ EF (черт. 21).

Требуется доказать, что прямые углы равны.

Доказательство. Наложим линию EF на линию AB точкой G на точку C, тогда линия GH пойдет по линии CD, ибо из точки C можно восставить только один перпендикуляр, следовательно, прямой угол DCB = прямому углу HGF.

Заключение. Прямой угол есть величина постоянная.

Мера углов. При измерении углов прямой угол, как величину постоянную, принимают за единицу сравнения. Величину его обозначают буквою d.

В таком случае
всякий острый угол d.

Все углы выражаются при помощи прямого. Так, например, говорят: данный угол равен ½ d, 2/3 d и т. д.

Теорема 5. Сумма двух смежных углов равна двум прямым.

Даны смежные углы ACD и DCB (черт. 22).

Требуется доказать, что ACD + DCB = 2d.

Доказательство. Из точки C восставим перпендикуляр CE, тогда

Сложив эти равенства, имеем:

ACD + DCB = ACE + ECB = 2d (что и требовалось доказать).

Два смежных угла пополняют один другой до двух прямых и потому называются углами дополнительными.

Из теоремы 5 вытекает следствие. Одна пара смежных углов равна другой паре смежных углов.

Теорема 6 (обратная теореме 5). Если сумма двух прилежащих углов равна двум прямым, то две другие стороны лежат на одной прямой.

Пусть сумма двух прилежащих углов ACD и DCB равна двум прямым (черт. 23).

Требуется доказать, что ACB прямая линия.

Доказательство. Допустим, что ACB есть ломаная линия и что продолжение линии AC будет линия CE, тогда

Две величины равные одной и той же третьей равны (аксиома 3), следовательно

ACD + DCB = ACD + DCE

откуда выходит при сокращении

заключение нелепое (часть равна целому, см. акс. 1), следовательно линия ACB есть прямая линия (что и требовалось доказать).

Теорема 7. Сумма углов, имеющих вершину в одной точке и расположенных по одну сторону прямой линии, равна двум прямым.

Даны углы ACD, DCE, ECF, FCG, GCB, имеющие общую вершину в точке C и расположенные по одну сторону прямой AB (черт. 24).

Требуется доказать, что

ACD + DCE + ECF + FCG + GCB = 2d.

Доказательство. МЫ знаем, что сумма двух смежных углов ACF и FCB равна двум прямым (т. 5).

Так как ACF = ACD + DCE + ECF и FCB = FCG + GCB, то заменяя углы ACF и FCB их величинами, находим:

ACD + DCE + ECF + FCG + GCB = 2d (что и требовалось доказать).

Теорема 8. Сумма всех углов, расположенных вокруг одной точки, равна четырем прямым.

Даны углы AOB, BOC, COD, DOE, EOA, имеющие общую вершину O и расположенные вокруг точки O (черт. 25).

Требуется доказать, что

AOB + BOC + COD + DOE + EOA = 4d.

Доказательство. Продолжим сторону EO по направлению OG (чер. 25), тогда

GOB + BOC + COD + DOE = 2d.

Сложив эти равенства, имеем:

EOA + AOG + GOB + BOC + COD + DOE = 4d.

Так как AOG + GOB = AOB, то

EOA + AOB + BOC + COD + DOE = 4d (ЧТД).

Угол ACB с углом DCE и угол BCD с углом ACE называются вертикальными (чер. 26).

Вертикальные углы. Вертикальными называются такие углы, у которых стороны одного составлены из продолжения сторон другого угла.

Теорема 9. Вертикальные углы равны между собой.

Даны вертикальные углы (чер. 26) ACB и DCE, точно также BCD и ACE.

Требуется доказать, что ACB = DCE и BCD = ACE.

Доказательство. На основании теоремы 5 имеют место равенства:

ACB + BCD = 2d (как сумма двух смежных углов)
BCD + DCE = 2d

ACB + BCD = BCD + DCE

откуда, отняв по равному углу BCD, находим

Подобным же образом доказывают, что

Равносекущая (биссектриса) есть линия, делящая угол пополам.

На чертеже 27 BD есть биссектриса, если ∠ABD = ∠DBC.

Теорема 10. Биссектрисы двух смежных углов взаимно перпендикулярны.

Даны смежные углы ACB и BCD (чер. 28). Их биссектрисы линии CF и CE делят смежные углы BCD и BCA пополам, следовательно BCF = FCD, ACE = ECB.

Требуется доказать, что EC ⊥ CF.

Доказательство. По условию

ECB = ½ ACB, BCF = ½ BCD

Сложив эти равенства, имеем:

ECB + BCF = ½ ACB + ½ BCD = ½ (ACB + BCD).

Так как ACB + BCD = 2d, то

Так как ECB + BCF = ECF, то

Угол ECF прямой, т. е. линии CE и CF взаимно перпендикулярны (ЧТД).

Источник

Геометрия

Именная карта банка для детей
с крутым дизайном, +200 бонусов

Закажи свою собственную карту банка и получи бонусы

План урока:

Прямоугольный треугольник

Напомним, что прямоугольным треугольником называют треуг-к, один из углов которого равен 90°.

Покажем несколько рисунков, на которых изображены прямоугольные треуг-ки:

Тот угол, который равен 90° (его ещё называют прямым), отмечается квадратиком.

Может ли у треуг-ка быть два или три прямых угла? Конечно же нет, ведь сумма углов треугольника должна равняться 180°. Отсюда следует очевидный факт – те 2 угла прямоугольного треуг-ка, которые не равны 90°, должны быть острыми. Более того, можно утверждать, что их сумма в точности равна 90°.

Задание. В прямоугольном треуг-ке один из углов равен 40°. Чему равен второй острый угол?

Обозначим неизвестный нам угол как ∠1. Сумма острых углов должна равняться 90°, поэтому можно записать уравнение:

Этот ответ можно получить и немного иначе. Сумма всех углов треуг-ка равна 180°. Один из них равен 40°, а другой – 90°. То есть можно составить такое равенство:

Первый способ отличается лишь тем, что он требует более простых вычислений.

Онлайн-курсы помогают систематизировать информацию и закрепить ее в прочные знания.

Задание. Найдите все углы треугольника, который одновременно является и прямоугольным, и равнобедренным.

Решение. У любого равнобедренного треуг-ка есть два одинаковых угла при основании. Ясно, что в прямоугольном треуг-ке не может быть двух прямых углов, а потому равны друг другу острые углы. Обозначим величину одного из них как х. Оба угла равны х, поэтому можно записать уравнение:

Получается, что в равнобедренном прямоугольном треугольнике два угла равны 45°, а один – 90°.

У сторон прямоугольного треугольника есть особые названия. Та сторона, которая лежит против прямого угла, называется гипотенузой прямоугольного треугольника, а две остальные стороны называют катетами.

По рисунку видно, что гипотенуза длиннее катетов. И это правило выполняется для всех прямоугольных треуг-ков. В самом деле, в любом треуг-ке против наибольшего угла лежит наибольшая сторона. Катеты лежат против острых углов, а гипотенуза – против прямого угла, и поэтому она длиннее.

Задание. Докажите, что если в треуг-ке из одной вершины провести и медиану, и высоту, то медиана будет не меньше высоты.

Решение. Напомним, что высота – это отрезок, опущенный на сторону под прямым углом, а медиана – отрезок, проведенный к середине противоположной стороны. В принципе, эти два отрезка могут совпасть друг с другом, и тогда их длины равны. Рассмотрим случай, когда медиана и высота не совпадают:

Обозначим буквой М середину АС, тогда ВМ – медиана. Высоту обозначим как ВН. В результате у нас образуется ∆МВН, причем угол на пересечении ВН и АC(∠BHM) равен 90°. В этом треуг-ке медиана оказывается гипотенузой, а высота – катетом прямоугольного треугольника. Так как гипотенуза всегда длиннее катета, то и МВ длиннее ВН.

Прямоугольный треугольник с углом в 30°

Особый интерес представляет прямоугольный треуг-к, у которого один из углов равен 30°:

Несложно вычислить его второй угол. Он будет равен 60°:

Оказывается, у данного треуг-ка катет, лежащий против угла в 30° (ВС), вдвое меньше гипотенузы. Докажем это утверждение. Для это приложим к ∆АВС другой, равный ему ∆АСD, получив, по сути, его зеркальное отображение:

Так как ∠В = 60°, то и ∠D = 60°. Величина угла ∠ВАD равна сумме углов ∠ВАС и ∠САD:

В итоге получается, что в ∆АВD каждый из углов 60°. Это означает, что он является равносторонним, то есть его стороны равны. В частности

Именно это и необходимо было доказать. Аналогично с помощью такого же построения можно доказать обратное утверждение – у прямоугольного треуг-ка, в котором гипотенуза вдвое длиннее одного из катетов, острый угол (тот самый, который лежит против этого катета) равен 30°.

Задание. В треуг-ке СMH угол С – прямой. Внешний угол при вершине M составляет 120°. Известно, что сумма МН и МС составляет 18 см. Чему равны МН и МC?

Решение. Выполним построение треугольника согласно указанным условиям:

Внешний угол треугольника равен сумме тех 2 углов, которые не смежны с ним. То есть

Итак, рассматриваемый нами треуг-к имеет острый угол, равный 30°. Из этого следует, что катет МС вдвое короче гипотенузы МН:

Задание: У равнобедренного треуг-ка ECB основанием является EC. Известно, что ∠В = 120°. Высота, опущенная из точки Сна боковую сторону ЕВ, равна 9 см. Чему равна длина основания?

Обозначим высоту как СН. Обратите внимание, что в данном случае высота падает не на сам отрезок ЕВ, а на его продолжение. Эта особенность характерна для всех тупоугольных треуг-ков.

Изучим ∆ЕВС. С одной стороны, он равнобедренный. Значит, углы при его основании равны:

Но в сумме все углы треугольника дают 180°. Это позволяет найти углы при его основании:

Итак, углы при основании треуг-ка равны 30°. Теперь внимательно посмотрим на другой треуг-к – ЕНС. С одной стороны, он является прямоугольным, ведь ∠ЕНС = 90°. С другой стороны, мы только что вычислили, что один из его острых углов, ∠НЕС, равен 30°. Это значит, что катет НС вдвое должен быть вдвое короче гипотенузы ЕС:

Признаки равенства прямоугольных треугольников

Ранее мы доказали три признака равенства треуг-ков. Зная их, можно составить особые признаки равенства прямоугольных треугольников.

Пусть у двух треуг-ков равны катеты. Но угол между катетами всегда равен 90°. Но если у треуг-ков совпадают две стороны и угол между ними, то они равны друг другу (по первому признаку). Поэтому можно сформулировать такую теорему:

Треуг-ки окажутся равными и в том случае, если у них одинаковы гипотенуза и один из острых углов. Ведь тогда у них будут одинаковы сторона (гипотенуза) и прилегающие к ней углы (прямой и острый угол).

Наконец, есть ещё один признак – по одинаковым катету и гипотенузе.

Последняя теорема нуждается в доказательстве. Пусть есть ∆АВС и ∆А₁В₁С₁, у которых прямыми являются∠С и ∠С₁, при этом равны гипотенузы (АВ = А₁В₁) и одни из катетов, например, ВС = В₁С₁. Наложим ∆А₁В₁С₁ на ∆АBС так, чтобы совпали вершины С, а также стороны СВ и СА наложились на лучи С₁В₁ и С₁А₁. Это можно сделать, так как углы С и С₁ равны друг другу.

Очевидно, что при этом также совпадут и точки В и В₁, ведь ВС = В₁С₁. А что будет с точками А и А₁, могут ли они не совпасть? Предположим, что это так, тогда картинка будет выглядеть так:

Рассмотрим получившийся треуг-к АА₁В. Он является равнобедренным, так как гипотенузы АВ и А₁В₁ равны. Однако угол ∠ВАА₁ – тупой, ведь он является смежным с острым углом ∠САВ. Может ли существовать равнобедренный треуг-к, у которого угол при основании тупой? Не может, ведь тогда и второй его угол при основании был бы тупым, и их сумма оказалась бы больше 180°. Получившееся противоречие означает, что исходная предпосылка суждения, согласно которой точки А и А₁ могут не совпасть, ошибочна. Следовательно, они совпадают. Получается, что можно так наложить треуг-ки АВС и А₁В₁С₁ друг на друга, что все их вершины совпадают. Но это и означает, что треуг-ки равны.

Задание. В равнобедренном треуг-ке из вершин, лежащих в основании, опущены высоты на противоположные стороны. Докажите, что они равны друг другу.

Решение. Сначала построим рисунок. Традиционно обозначим треуг-к как АВС, причем АС будет его основанием. Высоты обозначим как CD и АЕ:

Нам требуется показать, что СD = AE. Видно, что у нас есть два треуг-ка, ∆АСE и ∆АСD, которые кажутся равными. Докажем, что они действительно равны. С одной стороны, оба треуг-ка являются прямоугольными, ведь АЕ и СD – это высоты:

ведь это углы при основании равнобедренного треуг-ка. В итоге получаем, что у двух треуг-ков равны как гипотенузы, так и один из острых углов. Следовательно, ∆АDCи ∆АЕС равны. Но из этого следует, что у них одинаковы катеты DCи АЕ, чье равенство как раз необходимо доказать.

Задание. Треуг-к АВС – равнобедренный, с основанием АС. Высоты СDи АЕ пересекаются в точке М. Известно, что ∠АМС = 140°. Вычислите углы треуг-ка АВС.

Решение. Данная задача во многом повторяет предыдущую, поэтому мы используем картинку из неё:

В предыдущей задаче мы уже доказали, что ∆ADC = ∆AEC. Из этого равенства следует, что АD = ЕС. Теперь рассмотрим ∆АDM и ∆СЕМ. Они оба являются прямоугольными, ведь

У них есть одинаковые катеты: АD = ЕС. Также у треуг-ков есть одинаковые острые углы, это ∠DMAи ∠ЕМС (они равны, так как являются вертикальными). Если у двух прямоугольных треуг-ков совпадает один острый угол, то должен совпадать и второй, ведь их сумма постоянна и составляет 90°. Получается, что ∠DAM = ∠ECM.

В итоге у двух прямоугольных треуг-ков, ∆DMA и ∆ЕМС, равны катеты и прилегающий к ним острый угол. Значит, ∆DMA = ∆EMC. Но тогда АМ = МС. Получается, что ∆МАС является равнобедренным, и углы при его основании равны:

Найдем эти углы равнобедренного треугольника, записав сумму углов ∆МАС:

Следующий шаг – находим угол ∠DAM. Сумма острых углов прямоугольного треуг-ка равна 90°, поэтому запишем равенство:

Для наглядности отметим все найденные нами углы на рисунке:

Задание. В ∆КЕН известны два угла: ∠К = 55° и ∠Е = 67°. В ∆КЕН проведены высоты ЕР и КТ. Чему равен угол ∠КМЕ?

Решение: Как всегда, начинаем с построения:

У нас есть два прямоугольных треуг-ка, у которых известен один из острых углов. Это ∆КРЕ и ∆КТЕ. Но если известен один из острых углов, то можно найти и второй, ведь их сумма составляет 90°. Для ∆РКЕ можно записать равенство:

Теперь в ∆КМЕ нам известны сразу два угла, ∠ТКЕ и ∠КЕР. Значит, можно найти и третий угол, ведь их сумма известна (она составляет 180°):

Задание. На сторонах луча О отмечены точки А и В, причем эти точки равноудалены от О. Через А и В проведены прямые, перпендикулярные сторонам угла. Эти прямые пересекаются в точке С. Докажите, что ОС – это биссектриса угла О.

Решение. Построим картинку по условию задачи:

Попробуем показать, что ∆ОАС = ∆ОСВ. Оба эти треуг-ка являются прямоугольными. Гипотенуза у них общая – это ОС. Также у них есть одинаковые катеты, ведь ОА = ОВ (так как А и В равноудалены от О). Получаем, что у треуг-ков ОАС и ОСВ совпадают гипотенуза и один из катетов. Этого достаточно для того, чтобы считать треуг-ки равными.

Но если ∆ОАС = ∆ОСВ, то ∠АОС = ∠СОВ. Получается, что ОС разбивает луч АОВ на два равных угла. А это как раз и значит, что ОС является биссектрисой.

Однако полностью задачу мы ещё не решили. Обратите внимание, что в условии сказано, что через А и В проходят прямые, перпендикулярные сторонам угла. На нашем рисунке АС⊥ОА и ВС⊥ОВ. Но ведь можно выполнить построение и иначе, когда АС⊥ОВ, а ВС⊥ОА. Тогда рисунок будет выглядеть значительно сложнее:

Здесь буквами D и E обозначены точки пересечения перпендикулярных прямых и сторон угла. Нам снова надо доказать, что ∠АОС = ∠СОВ. Заметим, что АВ – это основание равнобедренного треуг-ка ОАВ (ведь ОА = ОВ). Значит, ∠ОАВ = ∠ОВА (углы при основании). На следующем шаге сравним ∆ADB и ∆АЕВ. Они прямоугольные, а гипотенуза АВ у них общая. Только что мы выяснили, что у них совпадает и один из острых углов (∠ОАВ = ∠ОВА). На основании этого можно утверждать, что ∆АЕВ = ∆АDВ.

Из этого равенства следует, что AD = EB. Далее сравним отрезки ОD и ОЕ. Для них можно записать соотношения:

Но АО = ОВ (по условию), а AD = EB. Отсюда следует, что и ОD = ОЕ.

Теперь мы можем рассмотреть ∆DOCи ∆СОВ. У них равны катеты OD и ОЕ, а гипотенуза ОС является общей. Значит, треуг-ки равны. Но тогда ∠АОС = ∠СОВ, а именно этот факт нам и надо доказать.

Понятие расстояния между точкой и прямой

Ранее мы принимали за расстояние между двумя точками длину отрезка, соединяющего их. То есть утверждения «отрезок НВ равен 5 см» и «расстояние между точками Н и В равно 5 см» эквиваленты друг другу. Однако в геометрии расстояние можно определить и между точкой и прямой.

Рассмотрим некоторую прямую b и произвольную точку А, не лежащую на ней. Опустим из точки перпендикуляр на прямую, и точку их пересечения обозначим как Н. Также отметим на прямой точку М, не совпадающую с Н, и соединим ее с А:

В результате мы получаем прямоугольный треуг-к АНМ. Так как АМ – гипотенуза, то она длиннее катета АН:

Прямую АМ называют наклонной к прямой, а АН – это перпендикуляр. Получаем, что перпендикуляр из точки всегда короче, чем наклонная. Именно длину перпендикуляра называют расстоянием между точкой и прямой. Другими словами, расстояние между прямой и точкой – это наименьшая возможная длина отрезка, соединяющего эту точку с прямой.

Задание. Докажите, что середина основания р-бедр. треуг-ка равноудалена от боковых сторон треугольника.

Решение. Обозначим вершины треуг-ка буквами А, В и С, причем АС – основание. Буквой Н обозначим середину АС. Естественно, что АН = НС. Теперь опустим из Н перпендикуляры на стороны АВ и ВС, которые обозначим как НМ и НЕ:

Нам необходимо доказать, что НМ = НЕ. Для этого сравним ∆АМН и ∆НЕС. Они прямоугольные. Их гипотенузы равны, ведь АН = НС. Также ∠А = ∠С, ведь это углы при основании равнобедренного треуг-ка. Значит, ∆АМН и ∆НЕС равны по равны по равному острому углу и гипотенузе. А из равенства треуг-ков следует, что МН = НЕ.

Задание. Докажите, что концы отрезка равноудалены от прямой, проходящей через середину этого отрезка.

Решение. Обозначим отрезок как АС, а его середину буквой Н. Опустим из А и С перпендикуляры АР и СМ на прямую, проходящую через Н:

Требуется доказать, что АР = СМ. Рассмотрим ∆АНР и ∆МНС. Они прямоугольные, при этом АН = НС (по условию). Ясно, что ∠АНР = ∠МНС, ведь они являются вертикальными. Если у прямоугольных треуг-ков равны гипотенуза и один из острых углов, то такие треуг-ки равны, то есть ∆АНР = ∆МНС. Из этого следует, что АР = СМ.

Расстояние между параллельными прямыми

Построим пару параллельных прямых. Далее из одной точки, лежащей на первой прямой, опустим перпендикуляр на вторую прямую. Длина этого перпендикуляра будет считаться расстоянием между параллельными прямыми:

Возникает логичный вопрос – а зависит ли расстояние между параллельными прямыми от выбора точки, из которой опускается перпендикуляр? Естественно, не зависит, но это надо доказать. Пусть есть прямые а и b, причем а||b. Выберем на а произвольные точки Р и К и опустим из них перпендикуляры РМ и КС на b. Докажем, что РМ = КС.

Сначала заметим, КС перпендикулярно не только b, но и а, ведь прямая, перпендикулярная одной из параллельных прямых, будет перпендикулярна и другой параллельной прямой. Теперь рассмотрим ∆РМС и ∆РКС. Они прямоугольные, у них есть общая гипотенуза РС. Заметим, что ∠РКС = ∠РСМ, ведь это накрест лежащие углы. Получается, что ∆РКС = ∆РМС. Значит, РМ = КС, что и необходимо доказать.

Задание. Прямая АВ параллельна прямой СD. Известно, что AD = 6 см, ∠ADC = 30°. Чему равна расстояние между АВ и СD?

Решение. Выполним построение:

Опустим из А перпендикуляр на СD, который пересечет прямую в точке Н. Расстояние между прямыми будет равно длине АН, а ее можно найти из ∆АНD. Он является прямоугольным, а один из его острых углов (∠АDH) равен 30°. Это значит, что катет АН вдвое короче, чем гипотенуза АD:

«Домашка» делается самостоятельно и легко, когда урок усвоен. В этом вам помогут онлайн-курсы.

Построение треугольника по трем элементам

Рассмотрим важную практическую задачу. Нам известны три признака равенства треуг-ка, каждый из которых требует, чтобы у треуг-ков совпадали три элемента. Другими словами, часто по трем элементами можно однозначно построить треуг-к. Рассмотрим, как это делается.

Пусть известны две стороны треугольника и угол между ними. Например, надо построить треуг-к со сторонами 6 и 4 см, а угол между ними равен 45°. В этом случае сначала надо построить угол, а потом отложить на его лучах отрезки длиной 4 и 6 см. Далее концы этих отрезков необходимо соединить:

Очень легко построение треугольника по стороне и прилегающей к ней углам. Пусть сторона треугольника равна 10 см, а прилегающие к ней углы должны равняться 20° и 50°. В этом случае на первом шаге следует построить отрезок длиной 10 см. Далее от одной из его вершин надо отложить луч, образующий угол в 50° с отрезком(естественно, можно начать и с угла 20°). На последнем шаге из второй вершины откладывается луч, образующий угол 20°. Точка пересечения этих двух лучей и будет третьей вершиной треуг-ка:

Построение треугольника по трем сторонам вызывает у школьников куда большие затруднения. Пусть нужно построить треуг-к со сторонами 10, 8 и 5 см. Сначала откладывается отрезок, равный одной из сторон, например, 10 см. Далее. Из концов этого отрезка проводятся окружности, чьи радиусы равны 2 оставшимся сторонам. Если длины сторон удовлетворяют неравенству треуг-ка, то окружности пересекутся в двух точках. Осталось соединить концы первого отрезка с любой из этих точек, и получится требуемый треуг-к:

Попробуйте самостоятельно использовать этот метод для сторон, которые не удовлетворяют неравенству треуг-ка, например, для 3, 4 и 8 см. Если вы всё сделаете правильно, то окружности просто не пересекутся, и построить треуг-к не удастся.

В трех рассмотренных примерах ответ задачи был единственным. Однако иногда существует несколько неравных друг другу треуг-ка, у которых равны 3 элемента. Для примера попытаемся построить треуг-к РЕН, у которого РЕ = 10 см, РН = 7 см, ∠Е = 30°. Сначала построим отрезок РЕ. Далее от одной из его вершин, например от Е, отложим угол 30°. На следующем шаге строим окружность радиусом 7 см, центр которой располагается в точке Р. Она пересечет угол в двух точках, Н₁ и Н₂. В итоге получается, что есть сразу два треуг-ка, удовлетворяющие условию задачи – РЕН₁ и РЕН₂. Они явно не равны друг другу, так как РЕН₂ является тупоугольным, а РЕН₁ – остроугольным треуг-ком:

Итак, мы узнали много нового о прямоугольных треуг-ках, научились определять расстояние между прямой и точкой и между двумя параллельными прямыми, а также узнали, как строить треуг-ки по 3 элементам. Эти знания помогут в дальнейшем освоении геометрии.

Источник