Как доказать что векторы равны нулю

04.07. Линейная зависимость векторов

Линейная зависимость векторов

Как доказать что векторы равны нулю. Смотреть фото Как доказать что векторы равны нулю. Смотреть картинку Как доказать что векторы равны нулю. Картинка про Как доказать что векторы равны нулю. Фото Как доказать что векторы равны нулю

Пусть даны три силы Как доказать что векторы равны нулю. Смотреть фото Как доказать что векторы равны нулю. Смотреть картинку Как доказать что векторы равны нулю. Картинка про Как доказать что векторы равны нулю. Фото Как доказать что векторы равны нулю, Как доказать что векторы равны нулю. Смотреть фото Как доказать что векторы равны нулю. Смотреть картинку Как доказать что векторы равны нулю. Картинка про Как доказать что векторы равны нулю. Фото Как доказать что векторы равны нулю, Как доказать что векторы равны нулю. Смотреть фото Как доказать что векторы равны нулю. Смотреть картинку Как доказать что векторы равны нулю. Картинка про Как доказать что векторы равны нулю. Фото Как доказать что векторы равны нулю, лежащие в одной плоскости. Можно ли любую из них выразить через две другие? Эта задача очень часто встречается в физике. Если Как доказать что векторы равны нулю. Смотреть фото Как доказать что векторы равны нулю. Смотреть картинку Как доказать что векторы равны нулю. Картинка про Как доказать что векторы равны нулю. Фото Как доказать что векторы равны нулюи Как доказать что векторы равны нулю. Смотреть фото Как доказать что векторы равны нулю. Смотреть картинку Как доказать что векторы равны нулю. Картинка про Как доказать что векторы равны нулю. Фото Как доказать что векторы равны нулюне лежат на одной прямой (рис. 3.15, а), то сила Как доказать что векторы равны нулю. Смотреть фото Как доказать что векторы равны нулю. Смотреть картинку Как доказать что векторы равны нулю. Картинка про Как доказать что векторы равны нулю. Фото Как доказать что векторы равны нулюможет быть представлена через Как доказать что векторы равны нулю. Смотреть фото Как доказать что векторы равны нулю. Смотреть картинку Как доказать что векторы равны нулю. Картинка про Как доказать что векторы равны нулю. Фото Как доказать что векторы равны нулю, и Как доказать что векторы равны нулю. Смотреть фото Как доказать что векторы равны нулю. Смотреть картинку Как доказать что векторы равны нулю. Картинка про Как доказать что векторы равны нулю. Фото Как доказать что векторы равны нулюпо правилу параллелограмма:

Как доказать что векторы равны нулю. Смотреть фото Как доказать что векторы равны нулю. Смотреть картинку Как доказать что векторы равны нулю. Картинка про Как доказать что векторы равны нулю. Фото Как доказать что векторы равны нулю

Рис. 3.15. Различные случаи расположения сил.

Если же Как доказать что векторы равны нулю. Смотреть фото Как доказать что векторы равны нулю. Смотреть картинку Как доказать что векторы равны нулю. Картинка про Как доказать что векторы равны нулю. Фото Как доказать что векторы равны нулюи Как доказать что векторы равны нулю. Смотреть фото Как доказать что векторы равны нулю. Смотреть картинку Как доказать что векторы равны нулю. Картинка про Как доказать что векторы равны нулю. Фото Как доказать что векторы равны нулюлежат на одной прямой, то эту задачу решить не удастся (рис. 3.15, б). Решение задачи окажется невозможным и в том случае, когда сила Как доказать что векторы равны нулю. Смотреть фото Как доказать что векторы равны нулю. Смотреть картинку Как доказать что векторы равны нулю. Картинка про Как доказать что векторы равны нулю. Фото Как доказать что векторы равны нулюнаходится вне плоскости, которую образуют силы Как доказать что векторы равны нулю. Смотреть фото Как доказать что векторы равны нулю. Смотреть картинку Как доказать что векторы равны нулю. Картинка про Как доказать что векторы равны нулю. Фото Как доказать что векторы равны нулю, Как доказать что векторы равны нулю. Смотреть фото Как доказать что векторы равны нулю. Смотреть картинку Как доказать что векторы равны нулю. Картинка про Как доказать что векторы равны нулю. Фото Как доказать что векторы равны нулю, если они не лежат на одной прямой (рис. 3.15, в). Чтобы понять, почему это происходит, перейдем от геометрической иллюстрации этой задачи к ее строгому математическому анализу, основанному на понятии линейной зависимости векторов и исследовании свойств таких систем векторов.

Как доказать что векторы равны нулю. Смотреть фото Как доказать что векторы равны нулю. Смотреть картинку Как доказать что векторы равны нулю. Картинка про Как доказать что векторы равны нулю. Фото Как доказать что векторы равны нулю

Где Как доказать что векторы равны нулю. Смотреть фото Как доказать что векторы равны нулю. Смотреть картинку Как доказать что векторы равны нулю. Картинка про Как доказать что векторы равны нулю. Фото Как доказать что векторы равны нулю– векторы, а Как доказать что векторы равны нулю. Смотреть фото Как доказать что векторы равны нулю. Смотреть картинку Как доказать что векторы равны нулю. Картинка про Как доказать что векторы равны нулю. Фото Как доказать что векторы равны нулю– скаляры, называется ЛИНЕЙНОЙ КОМБИНАЦИЕЙ ВЕКТОРОВ. Его смысл состоит в том, что над системой векторов производятся линейные операции, введенные выше, в результате выполнения которых получается некоторый новый вектор, возможно даже нулевой, если, например, все множители Как доказать что векторы равны нулю. Смотреть фото Как доказать что векторы равны нулю. Смотреть картинку Как доказать что векторы равны нулю. Картинка про Как доказать что векторы равны нулю. Фото Как доказать что векторы равны нулю. А если не все Как доказать что векторы равны нулю. Смотреть фото Как доказать что векторы равны нулю. Смотреть картинку Как доказать что векторы равны нулю. Картинка про Как доказать что векторы равны нулю. Фото Как доказать что векторы равны нулюравны нулю, может ли их линейная комбинация обратиться в нуль? Оказывается, что условия, определяющие эту возможность, разделяют векторы на две принципиально различные группы.

Система векторов Как доказать что векторы равны нулю. Смотреть фото Как доказать что векторы равны нулю. Смотреть картинку Как доказать что векторы равны нулю. Картинка про Как доказать что векторы равны нулю. Фото Как доказать что векторы равны нулю, среди которых есть ненулевые, называется ЛИНЕЙНО ЗАВИСИМОЙ, если их линейная комбинация обращается в нулевой вектор при условии, что Не все скалярные множители Как доказать что векторы равны нулю. Смотреть фото Как доказать что векторы равны нулю. Смотреть картинку Как доказать что векторы равны нулю. Картинка про Как доказать что векторы равны нулю. Фото Как доказать что векторы равны нулюравны нулю, то есть

Как доказать что векторы равны нулю. Смотреть фото Как доказать что векторы равны нулю. Смотреть картинку Как доказать что векторы равны нулю. Картинка про Как доказать что векторы равны нулю. Фото Как доказать что векторы равны нулю

Система векторов Как доказать что векторы равны нулю. Смотреть фото Как доказать что векторы равны нулю. Смотреть картинку Как доказать что векторы равны нулю. Картинка про Как доказать что векторы равны нулю. Фото Как доказать что векторы равны нулюназывается ЛИНЕЙНО НЕЗАВИСИМОЙ, если их линейная комбинация обращается в нулевой вектор только при условии, что Все скалярные множители Как доказать что векторы равны нулю. Смотреть фото Как доказать что векторы равны нулю. Смотреть картинку Как доказать что векторы равны нулю. Картинка про Как доказать что векторы равны нулю. Фото Как доказать что векторы равны нулюравны нулю, т. е.

Как доказать что векторы равны нулю. Смотреть фото Как доказать что векторы равны нулю. Смотреть картинку Как доказать что векторы равны нулю. Картинка про Как доказать что векторы равны нулю. Фото Как доказать что векторы равны нулю

Очевидно, если в системе векторов есть нулевой вектор, то она линейно зависима. Для доказательства этого факта достаточно в равенстве

Как доказать что векторы равны нулю. Смотреть фото Как доказать что векторы равны нулю. Смотреть картинку Как доказать что векторы равны нулю. Картинка про Как доказать что векторы равны нулю. Фото Как доказать что векторы равны нулю

Взять все коэффициенты Как доказать что векторы равны нулю. Смотреть фото Как доказать что векторы равны нулю. Смотреть картинку Как доказать что векторы равны нулю. Картинка про Как доказать что векторы равны нулю. Фото Как доказать что векторы равны нулюравными нулю, за исключением одного – стоящего перед нулевым вектором (он может принимать любое отличное от нуля значение). Это и будет означать линейную зависимость данной системы векторов.

Если система из n векторов включает в себя m Как доказать что векторы равны нулю. Смотреть фото Как доказать что векторы равны нулю. Смотреть картинку Как доказать что векторы равны нулю. Картинка про Как доказать что векторы равны нулю. Фото Как доказать что векторы равны нулюлинейно зависимых, то она линейно зависима. Действительно, пусть первые m векторов линейно зависимы. Тогда в равенстве

Как доказать что векторы равны нулю. Смотреть фото Как доказать что векторы равны нулю. Смотреть картинку Как доказать что векторы равны нулю. Картинка про Как доказать что векторы равны нулю. Фото Как доказать что векторы равны нулю

Хотя бы один из скалярных коэффициентов Как доказать что векторы равны нулю. Смотреть фото Как доказать что векторы равны нулю. Смотреть картинку Как доказать что векторы равны нулю. Картинка про Как доказать что векторы равны нулю. Фото Как доказать что векторы равны нулюотличен от нуля. Записав формально равенство

Как доказать что векторы равны нулю. Смотреть фото Как доказать что векторы равны нулю. Смотреть картинку Как доказать что векторы равны нулю. Картинка про Как доказать что векторы равны нулю. Фото Как доказать что векторы равны нулю

Где не все Как доказать что векторы равны нулю. Смотреть фото Как доказать что векторы равны нулю. Смотреть картинку Как доказать что векторы равны нулю. Картинка про Как доказать что векторы равны нулю. Фото Как доказать что векторы равны нулюравны нулю, получим, что система векторов Как доказать что векторы равны нулю. Смотреть фото Как доказать что векторы равны нулю. Смотреть картинку Как доказать что векторы равны нулю. Картинка про Как доказать что векторы равны нулю. Фото Как доказать что векторы равны нулюлинейно зависима.

Как доказать что векторы равны нулю. Смотреть фото Как доказать что векторы равны нулю. Смотреть картинку Как доказать что векторы равны нулю. Картинка про Как доказать что векторы равны нулю. Фото Как доказать что векторы равны нулю

Рис. 3.16. Коллинеарные
Векторы.

Как геометрически представить себе линейно зависимые и линейно независимые векторы? Введем для этого два определения.

Векторы называются КОЛЛИНЕАРНЫМИ (рис. 3.16), если они лежат на параллельных прямых.

Нулевой вектор считается коллинеарным любому вектору.

Приведя эти векторы к общему началу, получим, что они располагаются на одной прямой.

Векторы, лежащие в параллельных плоскостях, называются КОМПЛАНАРНЫМИ (рис. 3.17). Нулевой вектор считается компланарным любой системе компланарных векторов.

Как доказать что векторы равны нулю. Смотреть фото Как доказать что векторы равны нулю. Смотреть картинку Как доказать что векторы равны нулю. Картинка про Как доказать что векторы равны нулю. Фото Как доказать что векторы равны нулю

Рис. 3.17. Компланарные векторы.

Если привести их к общему началу, то они окажутся расположенными в одной плоскости.

Из этих определений следует, что коллинеарность векторов можно рассматривать для системы, состоящей из двух или более векторов, а компланарность – для трех и более векторов.

Действительно, когда число векторов более одного, их приведение к одной прямой осуществимо не всегда. Для коллинеарных векторов этого удается добиться.

Термин «коллинеарность» характеризует взаимное расположение векторов, поэтому коллинеарность одного вектора лишена смысла.

Будут ли коллинеарные векторы компланарны? Будут ли компланарные векторы коллинеарны?

Аналогично, два вектора путем свободного переноса всегда можно расположить в одной плоскости. Поэтому они всегда компланарны. Этого может не быть, если число векторов больше двух. Если же векторы компланарны, то их всегда можно привести в одну плоскость.

Оказывается, коллинеарность и компланарность векторов неразрывно связаны с их линейной зависимостью. Мы докажем сейчас теоремы, которые соединяют эти понятия и служат предпосылками для введения центрального понятия всей математики – СИСТЕМЫ КООРДИНАТ.

ТЕОРЕМА 1. Два вектора линейно зависимы тогда и только тогда, когда они коллинеарны.

Слова «тогда и только тогда», как известно, означают, что имеет место прямая и обратная теоремы. Сформулируем их и докажем.

Необходимость. Если два вектора линейно зависимы, то они коллинеарны.

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Пусть векторы Как доказать что векторы равны нулю. Смотреть фото Как доказать что векторы равны нулю. Смотреть картинку Как доказать что векторы равны нулю. Картинка про Как доказать что векторы равны нулю. Фото Как доказать что векторы равны нулюи Как доказать что векторы равны нулю. Смотреть фото Как доказать что векторы равны нулю. Смотреть картинку Как доказать что векторы равны нулю. Картинка про Как доказать что векторы равны нулю. Фото Как доказать что векторы равны нулюлинейно зависимы. Тогда в равенстве

Как доказать что векторы равны нулю. Смотреть фото Как доказать что векторы равны нулю. Смотреть картинку Как доказать что векторы равны нулю. Картинка про Как доказать что векторы равны нулю. Фото Как доказать что векторы равны нулю

Хотя бы один из скалярных множителей Как доказать что векторы равны нулю. Смотреть фото Как доказать что векторы равны нулю. Смотреть картинку Как доказать что векторы равны нулю. Картинка про Как доказать что векторы равны нулю. Фото Как доказать что векторы равны нулюили Как доказать что векторы равны нулю. Смотреть фото Как доказать что векторы равны нулю. Смотреть картинку Как доказать что векторы равны нулю. Картинка про Как доказать что векторы равны нулю. Фото Как доказать что векторы равны нулюотличен от нуля. Пусть для определенности Как доказать что векторы равны нулю. Смотреть фото Как доказать что векторы равны нулю. Смотреть картинку Как доказать что векторы равны нулю. Картинка про Как доказать что векторы равны нулю. Фото Как доказать что векторы равны нулю. Тогда

Как доказать что векторы равны нулю. Смотреть фото Как доказать что векторы равны нулю. Смотреть картинку Как доказать что векторы равны нулю. Картинка про Как доказать что векторы равны нулю. Фото Как доказать что векторы равны нулю

Где Как доказать что векторы равны нулю. Смотреть фото Как доказать что векторы равны нулю. Смотреть картинку Как доказать что векторы равны нулю. Картинка про Как доказать что векторы равны нулю. Фото Как доказать что векторы равны нулю, что означает коллинеарность векторов Как доказать что векторы равны нулю. Смотреть фото Как доказать что векторы равны нулю. Смотреть картинку Как доказать что векторы равны нулю. Картинка про Как доказать что векторы равны нулю. Фото Как доказать что векторы равны нулюи Как доказать что векторы равны нулю. Смотреть фото Как доказать что векторы равны нулю. Смотреть картинку Как доказать что векторы равны нулю. Картинка про Как доказать что векторы равны нулю. Фото Как доказать что векторы равны нулю.

Достаточность. Если два вектора коллинеарны, то они линейно зависимы.

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Пусть векторы Как доказать что векторы равны нулю. Смотреть фото Как доказать что векторы равны нулю. Смотреть картинку Как доказать что векторы равны нулю. Картинка про Как доказать что векторы равны нулю. Фото Как доказать что векторы равны нулюи Как доказать что векторы равны нулю. Смотреть фото Как доказать что векторы равны нулю. Смотреть картинку Как доказать что векторы равны нулю. Картинка про Как доказать что векторы равны нулю. Фото Как доказать что векторы равны нулюколлинеарны. Тогда, очевидно, они связаны соотношением

Как доказать что векторы равны нулю. Смотреть фото Как доказать что векторы равны нулю. Смотреть картинку Как доказать что векторы равны нулю. Картинка про Как доказать что векторы равны нулю. Фото Как доказать что векторы равны нулю

Это означает, что линейная комбинация векторов Как доказать что векторы равны нулю. Смотреть фото Как доказать что векторы равны нулю. Смотреть картинку Как доказать что векторы равны нулю. Картинка про Как доказать что векторы равны нулю. Фото Как доказать что векторы равны нулюи Как доказать что векторы равны нулю. Смотреть фото Как доказать что векторы равны нулю. Смотреть картинку Как доказать что векторы равны нулю. Картинка про Как доказать что векторы равны нулю. Фото Как доказать что векторы равны нулюобращается в нулевой вектор, причем скалярный множитель при векторе Как доказать что векторы равны нулю. Смотреть фото Как доказать что векторы равны нулю. Смотреть картинку Как доказать что векторы равны нулю. Картинка про Как доказать что векторы равны нулю. Фото Как доказать что векторы равны нулюне равен нулю, то есть система векторов Как доказать что векторы равны нулю. Смотреть фото Как доказать что векторы равны нулю. Смотреть картинку Как доказать что векторы равны нулю. Картинка про Как доказать что векторы равны нулю. Фото Как доказать что векторы равны нулюи Как доказать что векторы равны нулю. Смотреть фото Как доказать что векторы равны нулю. Смотреть картинку Как доказать что векторы равны нулю. Картинка про Как доказать что векторы равны нулю. Фото Как доказать что векторы равны нулюлинейно зависима.

Наряду с доказанной теоремой, могут быть сформулированы еще две, являющиеся ее следствиями.

Сформулируйте эти утверждения с помощью предикатов.

Следствие 1. Если два вектора не являются линейно зависимыми, то они не будут коллинеарны.

Следствие 2. Если два вектора не являются коллинеарными, то они не будут линейно зависимы.

ТЕОРЕМА 2. Три вектора линейно зависимы тогда и только тогда, когда они компланарны.

Необходимость. Если три вектора линейно зависимы, то они компланарны.

Как доказать что векторы равны нулю. Смотреть фото Как доказать что векторы равны нулю. Смотреть картинку Как доказать что векторы равны нулю. Картинка про Как доказать что векторы равны нулю. Фото Как доказать что векторы равны нулю

Рис. 3.18. Связь
между линейной
зависимостью
и компланарностью.

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Пусть векторы Как доказать что векторы равны нулю. Смотреть фото Как доказать что векторы равны нулю. Смотреть картинку Как доказать что векторы равны нулю. Картинка про Как доказать что векторы равны нулю. Фото Как доказать что векторы равны нулю, Как доказать что векторы равны нулю. Смотреть фото Как доказать что векторы равны нулю. Смотреть картинку Как доказать что векторы равны нулю. Картинка про Как доказать что векторы равны нулю. Фото Как доказать что векторы равны нулюи Как доказать что векторы равны нулю. Смотреть фото Как доказать что векторы равны нулю. Смотреть картинку Как доказать что векторы равны нулю. Картинка про Как доказать что векторы равны нулю. Фото Как доказать что векторы равны нулюлинейно зависимы (рис. 3.18). Тогда в равенстве

Как доказать что векторы равны нулю. Смотреть фото Как доказать что векторы равны нулю. Смотреть картинку Как доказать что векторы равны нулю. Картинка про Как доказать что векторы равны нулю. Фото Как доказать что векторы равны нулю

Хотя бы один из скалярных множителей Как доказать что векторы равны нулю. Смотреть фото Как доказать что векторы равны нулю. Смотреть картинку Как доказать что векторы равны нулю. Картинка про Как доказать что векторы равны нулю. Фото Как доказать что векторы равны нулю, Как доказать что векторы равны нулю. Смотреть фото Как доказать что векторы равны нулю. Смотреть картинку Как доказать что векторы равны нулю. Картинка про Как доказать что векторы равны нулю. Фото Как доказать что векторы равны нулюили Как доказать что векторы равны нулю. Смотреть фото Как доказать что векторы равны нулю. Смотреть картинку Как доказать что векторы равны нулю. Картинка про Как доказать что векторы равны нулю. Фото Как доказать что векторы равны нулюотличен от нуля. Пусть для определенности Как доказать что векторы равны нулю. Смотреть фото Как доказать что векторы равны нулю. Смотреть картинку Как доказать что векторы равны нулю. Картинка про Как доказать что векторы равны нулю. Фото Как доказать что векторы равны нулю. Тогда

Как доказать что векторы равны нулю. Смотреть фото Как доказать что векторы равны нулю. Смотреть картинку Как доказать что векторы равны нулю. Картинка про Как доказать что векторы равны нулю. Фото Как доказать что векторы равны нулю

То есть вектор Как доказать что векторы равны нулю. Смотреть фото Как доказать что векторы равны нулю. Смотреть картинку Как доказать что векторы равны нулю. Картинка про Как доказать что векторы равны нулю. Фото Как доказать что векторы равны нулю– диагональ параллелограмма, построенного на векторах Как доказать что векторы равны нулю. Смотреть фото Как доказать что векторы равны нулю. Смотреть картинку Как доказать что векторы равны нулю. Картинка про Как доказать что векторы равны нулю. Фото Как доказать что векторы равны нулюи Как доказать что векторы равны нулю. Смотреть фото Как доказать что векторы равны нулю. Смотреть картинку Как доказать что векторы равны нулю. Картинка про Как доказать что векторы равны нулю. Фото Как доказать что векторы равны нулюкак на сторонах (по правилу сложения векторов). Но векторы Как доказать что векторы равны нулю. Смотреть фото Как доказать что векторы равны нулю. Смотреть картинку Как доказать что векторы равны нулю. Картинка про Как доказать что векторы равны нулю. Фото Как доказать что векторы равны нулюи Как доказать что векторы равны нулю. Смотреть фото Как доказать что векторы равны нулю. Смотреть картинку Как доказать что векторы равны нулю. Картинка про Как доказать что векторы равны нулю. Фото Как доказать что векторы равны нулю, а также Как доказать что векторы равны нулю. Смотреть фото Как доказать что векторы равны нулю. Смотреть картинку Как доказать что векторы равны нулю. Картинка про Как доказать что векторы равны нулю. Фото Как доказать что векторы равны нулюИ Как доказать что векторы равны нулю. Смотреть фото Как доказать что векторы равны нулю. Смотреть картинку Как доказать что векторы равны нулю. Картинка про Как доказать что векторы равны нулю. Фото Как доказать что векторы равны нулюпопарно коллинеарны. Следовательно, Как доказать что векторы равны нулю. Смотреть фото Как доказать что векторы равны нулю. Смотреть картинку Как доказать что векторы равны нулю. Картинка про Как доказать что векторы равны нулю. Фото Как доказать что векторы равны нулюи Как доказать что векторы равны нулю. Смотреть фото Как доказать что векторы равны нулю. Смотреть картинку Как доказать что векторы равны нулю. Картинка про Как доказать что векторы равны нулю. Фото Как доказать что векторы равны нулюлежат в плоскости этого же параллелограмма, то есть Как доказать что векторы равны нулю. Смотреть фото Как доказать что векторы равны нулю. Смотреть картинку Как доказать что векторы равны нулю. Картинка про Как доказать что векторы равны нулю. Фото Как доказать что векторы равны нулю, Как доказать что векторы равны нулю. Смотреть фото Как доказать что векторы равны нулю. Смотреть картинку Как доказать что векторы равны нулю. Картинка про Как доказать что векторы равны нулю. Фото Как доказать что векторы равны нулюи Как доказать что векторы равны нулю. Смотреть фото Как доказать что векторы равны нулю. Смотреть картинку Как доказать что векторы равны нулю. Картинка про Как доказать что векторы равны нулю. Фото Как доказать что векторы равны нулю– компланарны.

В случае коллинеарности векторов Как доказать что векторы равны нулю. Смотреть фото Как доказать что векторы равны нулю. Смотреть картинку Как доказать что векторы равны нулю. Картинка про Как доказать что векторы равны нулю. Фото Как доказать что векторы равны нулюи Как доказать что векторы равны нулю. Смотреть фото Как доказать что векторы равны нулю. Смотреть картинку Как доказать что векторы равны нулю. Картинка про Как доказать что векторы равны нулю. Фото Как доказать что векторы равны нулюкомпланарность Как доказать что векторы равны нулю. Смотреть фото Как доказать что векторы равны нулю. Смотреть картинку Как доказать что векторы равны нулю. Картинка про Как доказать что векторы равны нулю. Фото Как доказать что векторы равны нулю, Как доказать что векторы равны нулю. Смотреть фото Как доказать что векторы равны нулю. Смотреть картинку Как доказать что векторы равны нулю. Картинка про Как доказать что векторы равны нулю. Фото Как доказать что векторы равны нулюи Как доказать что векторы равны нулю. Смотреть фото Как доказать что векторы равны нулю. Смотреть картинку Как доказать что векторы равны нулю. Картинка про Как доказать что векторы равны нулю. Фото Как доказать что векторы равны нулюочевидна.

Достаточность. Если три вектора компланарны, то они линейно зависимы.

Рис. 3.19. Связь между компланарностью и линейной зависимостью векторов.

Как доказать что векторы равны нулю. Смотреть фото Как доказать что векторы равны нулю. Смотреть картинку Как доказать что векторы равны нулю. Картинка про Как доказать что векторы равны нулю. Фото Как доказать что векторы равны нулю

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Пусть Как доказать что векторы равны нулю. Смотреть фото Как доказать что векторы равны нулю. Смотреть картинку Как доказать что векторы равны нулю. Картинка про Как доказать что векторы равны нулю. Фото Как доказать что векторы равны нулю, Как доказать что векторы равны нулю. Смотреть фото Как доказать что векторы равны нулю. Смотреть картинку Как доказать что векторы равны нулю. Картинка про Как доказать что векторы равны нулю. Фото Как доказать что векторы равны нулюи Как доказать что векторы равны нулю. Смотреть фото Как доказать что векторы равны нулю. Смотреть картинку Как доказать что векторы равны нулю. Картинка про Как доказать что векторы равны нулю. Фото Как доказать что векторы равны нулюкомпланарны (рис. 3.19), то есть они лежат в одной плоскости и хотя бы два из них, например, Как доказать что векторы равны нулю. Смотреть фото Как доказать что векторы равны нулю. Смотреть картинку Как доказать что векторы равны нулю. Картинка про Как доказать что векторы равны нулю. Фото Как доказать что векторы равны нулюи Как доказать что векторы равны нулю. Смотреть фото Как доказать что векторы равны нулю. Смотреть картинку Как доказать что векторы равны нулю. Картинка про Как доказать что векторы равны нулю. Фото Как доказать что векторы равны нулю, неколлинеарны. После приведения системы векторов к общему началу вектор Как доказать что векторы равны нулю. Смотреть фото Как доказать что векторы равны нулю. Смотреть картинку Как доказать что векторы равны нулю. Картинка про Как доказать что векторы равны нулю. Фото Как доказать что векторы равны нулюможно разложить по направлениям неколлинеарных векторов Как доказать что векторы равны нулю. Смотреть фото Как доказать что векторы равны нулю. Смотреть картинку Как доказать что векторы равны нулю. Картинка про Как доказать что векторы равны нулю. Фото Как доказать что векторы равны нулюи Как доказать что векторы равны нулю. Смотреть фото Как доказать что векторы равны нулю. Смотреть картинку Как доказать что векторы равны нулю. Картинка про Как доказать что векторы равны нулю. Фото Как доказать что векторы равны нулю, то есть представить его в виде суммы векторов, лежащих на прямых, задаваемых векторами Как доказать что векторы равны нулю. Смотреть фото Как доказать что векторы равны нулю. Смотреть картинку Как доказать что векторы равны нулю. Картинка про Как доказать что векторы равны нулю. Фото Как доказать что векторы равны нулюи Как доказать что векторы равны нулю. Смотреть фото Как доказать что векторы равны нулю. Смотреть картинку Как доказать что векторы равны нулю. Картинка про Как доказать что векторы равны нулю. Фото Как доказать что векторы равны нулю:

Как доказать что векторы равны нулю. Смотреть фото Как доказать что векторы равны нулю. Смотреть картинку Как доказать что векторы равны нулю. Картинка про Как доказать что векторы равны нулю. Фото Как доказать что векторы равны нулю

Но Как доказать что векторы равны нулю. Смотреть фото Как доказать что векторы равны нулю. Смотреть картинку Как доказать что векторы равны нулю. Картинка про Как доказать что векторы равны нулю. Фото Как доказать что векторы равны нулю, Как доказать что векторы равны нулю. Смотреть фото Как доказать что векторы равны нулю. Смотреть картинку Как доказать что векторы равны нулю. Картинка про Как доказать что векторы равны нулю. Фото Как доказать что векторы равны нулю, поэтому

Как доказать что векторы равны нулю. Смотреть фото Как доказать что векторы равны нулю. Смотреть картинку Как доказать что векторы равны нулю. Картинка про Как доказать что векторы равны нулю. Фото Как доказать что векторы равны нулюили Как доказать что векторы равны нулю. Смотреть фото Как доказать что векторы равны нулю. Смотреть картинку Как доказать что векторы равны нулю. Картинка про Как доказать что векторы равны нулю. Фото Как доказать что векторы равны нулю.

Поскольку имеется хотя бы один скалярный множитель, отличный от нуля, то Как доказать что векторы равны нулю. Смотреть фото Как доказать что векторы равны нулю. Смотреть картинку Как доказать что векторы равны нулю. Картинка про Как доказать что векторы равны нулю. Фото Как доказать что векторы равны нулю, Как доказать что векторы равны нулю. Смотреть фото Как доказать что векторы равны нулю. Смотреть картинку Как доказать что векторы равны нулю. Картинка про Как доказать что векторы равны нулю. Фото Как доказать что векторы равны нулюи Как доказать что векторы равны нулю. Смотреть фото Как доказать что векторы равны нулю. Смотреть картинку Как доказать что векторы равны нулю. Картинка про Как доказать что векторы равны нулю. Фото Как доказать что векторы равны нулюлинейно зависимы.

Могут ли быть среди трех некомпланарных векторов два коллинеарных?

Следствие 1. Если три вектора не являются линейно зависимыми, то они не будут компланарны.

Следствие 2. Если три вектора не являются компланарными, то они не будут линейно зависимы.

ТЕОРЕМА 3. Всякий вектор может быть единственным образом разложен по трем некомпланарным векторам.

Теорема означает, что если векторы Как доказать что векторы равны нулю. Смотреть фото Как доказать что векторы равны нулю. Смотреть картинку Как доказать что векторы равны нулю. Картинка про Как доказать что векторы равны нулю. Фото Как доказать что векторы равны нулю, Как доказать что векторы равны нулю. Смотреть фото Как доказать что векторы равны нулю. Смотреть картинку Как доказать что векторы равны нулю. Картинка про Как доказать что векторы равны нулю. Фото Как доказать что векторы равны нулюи Как доказать что векторы равны нулю. Смотреть фото Как доказать что векторы равны нулю. Смотреть картинку Как доказать что векторы равны нулю. Картинка про Как доказать что векторы равны нулю. Фото Как доказать что векторы равны нулюнекомпланарны и вектор Как доказать что векторы равны нулю. Смотреть фото Как доказать что векторы равны нулю. Смотреть картинку Как доказать что векторы равны нулю. Картинка про Как доказать что векторы равны нулю. Фото Как доказать что векторы равны нулюпроизволен, то существует единственное представление

Как доказать что векторы равны нулю. Смотреть фото Как доказать что векторы равны нулю. Смотреть картинку Как доказать что векторы равны нулю. Картинка про Как доказать что векторы равны нулю. Фото Как доказать что векторы равны нулю

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Приведем векторы Как доказать что векторы равны нулю. Смотреть фото Как доказать что векторы равны нулю. Смотреть картинку Как доказать что векторы равны нулю. Картинка про Как доказать что векторы равны нулю. Фото Как доказать что векторы равны нулю, Как доказать что векторы равны нулю. Смотреть фото Как доказать что векторы равны нулю. Смотреть картинку Как доказать что векторы равны нулю. Картинка про Как доказать что векторы равны нулю. Фото Как доказать что векторы равны нулю, Как доказать что векторы равны нулю. Смотреть фото Как доказать что векторы равны нулю. Смотреть картинку Как доказать что векторы равны нулю. Картинка про Как доказать что векторы равны нулю. Фото Как доказать что векторы равны нулюи Как доказать что векторы равны нулю. Смотреть фото Как доказать что векторы равны нулю. Смотреть картинку Как доказать что векторы равны нулю. Картинка про Как доказать что векторы равны нулю. Фото Как доказать что векторы равны нулюк общему началу (рис. 3.20). Пусть точка L – конец вектора Как доказать что векторы равны нулю. Смотреть фото Как доказать что векторы равны нулю. Смотреть картинку Как доказать что векторы равны нулю. Картинка про Как доказать что векторы равны нулю. Фото Как доказать что векторы равны нулю, а точка М – определяет пересечение вспомогательной прямой LM, параллельной вектору Как доказать что векторы равны нулю. Смотреть фото Как доказать что векторы равны нулю. Смотреть картинку Как доказать что векторы равны нулю. Картинка про Как доказать что векторы равны нулю. Фото Как доказать что векторы равны нулю, с плоскостью векторов Как доказать что векторы равны нулю. Смотреть фото Как доказать что векторы равны нулю. Смотреть картинку Как доказать что векторы равны нулю. Картинка про Как доказать что векторы равны нулю. Фото Как доказать что векторы равны нулюи Как доказать что векторы равны нулю. Смотреть фото Как доказать что векторы равны нулю. Смотреть картинку Как доказать что векторы равны нулю. Картинка про Как доказать что векторы равны нулю. Фото Как доказать что векторы равны нулю. Рассмотрим вспомогательные отрезки Как доказать что векторы равны нулю. Смотреть фото Как доказать что векторы равны нулю. Смотреть картинку Как доказать что векторы равны нулю. Картинка про Как доказать что векторы равны нулю. Фото Как доказать что векторы равны нулю. Тогда, по правилу сложения векторов,

Как доказать что векторы равны нулю. Смотреть фото Как доказать что векторы равны нулю. Смотреть картинку Как доказать что векторы равны нулю. Картинка про Как доказать что векторы равны нулю. Фото Как доказать что векторы равны нулю

Как доказать что векторы равны нулю. Смотреть фото Как доказать что векторы равны нулю. Смотреть картинку Как доказать что векторы равны нулю. Картинка про Как доказать что векторы равны нулю. Фото Как доказать что векторы равны нулю

Рис. 3.20. Разложение вектора по трем
некомпланарным
направлениям.

Но векторы Как доказать что векторы равны нулю. Смотреть фото Как доказать что векторы равны нулю. Смотреть картинку Как доказать что векторы равны нулю. Картинка про Как доказать что векторы равны нулю. Фото Как доказать что векторы равны нулюи Как доказать что векторы равны нулю. Смотреть фото Как доказать что векторы равны нулю. Смотреть картинку Как доказать что векторы равны нулю. Картинка про Как доказать что векторы равны нулю. Фото Как доказать что векторы равны нулю, Как доказать что векторы равны нулю. Смотреть фото Как доказать что векторы равны нулю. Смотреть картинку Как доказать что векторы равны нулю. Картинка про Как доказать что векторы равны нулю. Фото Как доказать что векторы равны нулюи Как доказать что векторы равны нулю. Смотреть фото Как доказать что векторы равны нулю. Смотреть картинку Как доказать что векторы равны нулю. Картинка про Как доказать что векторы равны нулю. Фото Как доказать что векторы равны нулю, Как доказать что векторы равны нулю. Смотреть фото Как доказать что векторы равны нулю. Смотреть картинку Как доказать что векторы равны нулю. Картинка про Как доказать что векторы равны нулю. Фото Как доказать что векторы равны нулюи Как доказать что векторы равны нулю. Смотреть фото Как доказать что векторы равны нулю. Смотреть картинку Как доказать что векторы равны нулю. Картинка про Как доказать что векторы равны нулю. Фото Как доказать что векторы равны нулюколлинеарны, поэтому

Как доказать что векторы равны нулю. Смотреть фото Как доказать что векторы равны нулю. Смотреть картинку Как доказать что векторы равны нулю. Картинка про Как доказать что векторы равны нулю. Фото Как доказать что векторы равны нулю

Как доказать что векторы равны нулю. Смотреть фото Как доказать что векторы равны нулю. Смотреть картинку Как доказать что векторы равны нулю. Картинка про Как доказать что векторы равны нулю. Фото Как доказать что векторы равны нулю. (3.1)

Покажем, что это разложение единственно. Предположим противное, что существует другое представление Как доказать что векторы равны нулю. Смотреть фото Как доказать что векторы равны нулю. Смотреть картинку Как доказать что векторы равны нулю. Картинка про Как доказать что векторы равны нулю. Фото Как доказать что векторы равны нулючерез векторы Как доказать что векторы равны нулю. Смотреть фото Как доказать что векторы равны нулю. Смотреть картинку Как доказать что векторы равны нулю. Картинка про Как доказать что векторы равны нулю. Фото Как доказать что векторы равны нулю, Как доказать что векторы равны нулю. Смотреть фото Как доказать что векторы равны нулю. Смотреть картинку Как доказать что векторы равны нулю. Картинка про Как доказать что векторы равны нулю. Фото Как доказать что векторы равны нулюИ Как доказать что векторы равны нулю. Смотреть фото Как доказать что векторы равны нулю. Смотреть картинку Как доказать что векторы равны нулю. Картинка про Как доказать что векторы равны нулю. Фото Как доказать что векторы равны нулю:

Как доказать что векторы равны нулю. Смотреть фото Как доказать что векторы равны нулю. Смотреть картинку Как доказать что векторы равны нулю. Картинка про Как доказать что векторы равны нулю. Фото Как доказать что векторы равны нулю(3.2)

И хотя бы один из коэффициентов Как доказать что векторы равны нулю. Смотреть фото Как доказать что векторы равны нулю. Смотреть картинку Как доказать что векторы равны нулю. Картинка про Как доказать что векторы равны нулю. Фото Как доказать что векторы равны нулюне равен соответствующему коэффициенту Как доказать что векторы равны нулю. Смотреть фото Как доказать что векторы равны нулю. Смотреть картинку Как доказать что векторы равны нулю. Картинка про Как доказать что векторы равны нулю. Фото Как доказать что векторы равны нулю. Пусть для определенности Как доказать что векторы равны нулю. Смотреть фото Как доказать что векторы равны нулю. Смотреть картинку Как доказать что векторы равны нулю. Картинка про Как доказать что векторы равны нулю. Фото Как доказать что векторы равны нулю. Тогда, вычитая из (3.1) равенство (3.2), получим:

Как доказать что векторы равны нулю. Смотреть фото Как доказать что векторы равны нулю. Смотреть картинку Как доказать что векторы равны нулю. Картинка про Как доказать что векторы равны нулю. Фото Как доказать что векторы равны нулю

Полученное соотношение означает, что линейная комбинация векторов Как доказать что векторы равны нулю. Смотреть фото Как доказать что векторы равны нулю. Смотреть картинку Как доказать что векторы равны нулю. Картинка про Как доказать что векторы равны нулю. Фото Как доказать что векторы равны нулю, Как доказать что векторы равны нулю. Смотреть фото Как доказать что векторы равны нулю. Смотреть картинку Как доказать что векторы равны нулю. Картинка про Как доказать что векторы равны нулю. Фото Как доказать что векторы равны нулюи Как доказать что векторы равны нулю. Смотреть фото Как доказать что векторы равны нулю. Смотреть картинку Как доказать что векторы равны нулю. Картинка про Как доказать что векторы равны нулю. Фото Как доказать что векторы равны нулюравна нулевому вектору, но скалярный коэффициент Как доказать что векторы равны нулю. Смотреть фото Как доказать что векторы равны нулю. Смотреть картинку Как доказать что векторы равны нулю. Картинка про Как доказать что векторы равны нулю. Фото Как доказать что векторы равны нулюпри векторе Как доказать что векторы равны нулю. Смотреть фото Как доказать что векторы равны нулю. Смотреть картинку Как доказать что векторы равны нулю. Картинка про Как доказать что векторы равны нулю. Фото Как доказать что векторы равны нулюотличен от нуля, то есть векторы Как доказать что векторы равны нулю. Смотреть фото Как доказать что векторы равны нулю. Смотреть картинку Как доказать что векторы равны нулю. Картинка про Как доказать что векторы равны нулю. Фото Как доказать что векторы равны нулю, Как доказать что векторы равны нулю. Смотреть фото Как доказать что векторы равны нулю. Смотреть картинку Как доказать что векторы равны нулю. Картинка про Как доказать что векторы равны нулю. Фото Как доказать что векторы равны нулюи Как доказать что векторы равны нулю. Смотреть фото Как доказать что векторы равны нулю. Смотреть картинку Как доказать что векторы равны нулю. Картинка про Как доказать что векторы равны нулю. Фото Как доказать что векторы равны нулюлинейно зависимы, а потому компланарны, что противоречит условию теоремы. Следовательно, предположение о справедливости равенства (3.2) наряду с равенством (3.1), неверно, то есть разложение (3.1) единственно.

Следствие. Любые четыре вектора в пространстве линейно зависимы.

Действительно, если Как доказать что векторы равны нулю. Смотреть фото Как доказать что векторы равны нулю. Смотреть картинку Как доказать что векторы равны нулю. Картинка про Как доказать что векторы равны нулю. Фото Как доказать что векторы равны нулю, Как доказать что векторы равны нулю. Смотреть фото Как доказать что векторы равны нулю. Смотреть картинку Как доказать что векторы равны нулю. Картинка про Как доказать что векторы равны нулю. Фото Как доказать что векторы равны нулюи Как доказать что векторы равны нулю. Смотреть фото Как доказать что векторы равны нулю. Смотреть картинку Как доказать что векторы равны нулю. Картинка про Как доказать что векторы равны нулю. Фото Как доказать что векторы равны нулюнекомпланарны, то из равенства (3.1) следует:

Как доказать что векторы равны нулю. Смотреть фото Как доказать что векторы равны нулю. Смотреть картинку Как доказать что векторы равны нулю. Картинка про Как доказать что векторы равны нулю. Фото Как доказать что векторы равны нулю

Скалярный коэффициент при векторе Как доказать что векторы равны нулю. Смотреть фото Как доказать что векторы равны нулю. Смотреть картинку Как доказать что векторы равны нулю. Картинка про Как доказать что векторы равны нулю. Фото Как доказать что векторы равны нулюне равен нулю. Следовательно, четыре вектора в пространстве линейно зависимы.

Если же какие-то три из векторов Как доказать что векторы равны нулю. Смотреть фото Как доказать что векторы равны нулю. Смотреть картинку Как доказать что векторы равны нулю. Картинка про Как доказать что векторы равны нулю. Фото Как доказать что векторы равны нулю, Как доказать что векторы равны нулю. Смотреть фото Как доказать что векторы равны нулю. Смотреть картинку Как доказать что векторы равны нулю. Картинка про Как доказать что векторы равны нулю. Фото Как доказать что векторы равны нулю, Как доказать что векторы равны нулю. Смотреть фото Как доказать что векторы равны нулю. Смотреть картинку Как доказать что векторы равны нулю. Картинка про Как доказать что векторы равны нулю. Фото Как доказать что векторы равны нулю, Как доказать что векторы равны нулю. Смотреть фото Как доказать что векторы равны нулю. Смотреть картинку Как доказать что векторы равны нулю. Картинка про Как доказать что векторы равны нулю. Фото Как доказать что векторы равны нулюкомпланарны, то они будут линейно зависимы, а значит приведут к линейной зависимости всю систему векторов.

Если какие-то два из четырех векторов коллинеарны, то это означает их линейную зависимость и, следовательно, линейную зависимость всех четырех векторов.

Таким образом, любые четыре вектора в пространстве линейно зависимы.

Вернемся теперь к задачам, поставленным в начале параграфа. Если силы Как доказать что векторы равны нулю. Смотреть фото Как доказать что векторы равны нулю. Смотреть картинку Как доказать что векторы равны нулю. Картинка про Как доказать что векторы равны нулю. Фото Как доказать что векторы равны нулюи Как доказать что векторы равны нулю. Смотреть фото Как доказать что векторы равны нулю. Смотреть картинку Как доказать что векторы равны нулю. Картинка про Как доказать что векторы равны нулю. Фото Как доказать что векторы равны нулюлежат на одной прямой и силу Как доказать что векторы равны нулю. Смотреть фото Как доказать что векторы равны нулю. Смотреть картинку Как доказать что векторы равны нулю. Картинка про Как доказать что векторы равны нулю. Фото Как доказать что векторы равны нулюнеобходимо выразить через эти векторы, то ясно, что подобная задача неразрешима, так как всякая линейная комбинация сил Как доказать что векторы равны нулю. Смотреть фото Как доказать что векторы равны нулю. Смотреть картинку Как доказать что векторы равны нулю. Картинка про Как доказать что векторы равны нулю. Фото Как доказать что векторы равны нулюи Как доказать что векторы равны нулю. Смотреть фото Как доказать что векторы равны нулю. Смотреть картинку Как доказать что векторы равны нулю. Картинка про Как доказать что векторы равны нулю. Фото Как доказать что векторы равны нулюесть некоторый вектор

Как доказать что векторы равны нулю. Смотреть фото Как доказать что векторы равны нулю. Смотреть картинку Как доказать что векторы равны нулю. Картинка про Как доказать что векторы равны нулю. Фото Как доказать что векторы равны нулю

Лежащий на этой прямой и неколлинеарный вектору Как доказать что векторы равны нулю. Смотреть фото Как доказать что векторы равны нулю. Смотреть картинку Как доказать что векторы равны нулю. Картинка про Как доказать что векторы равны нулю. Фото Как доказать что векторы равны нулю.

Если две из трех сил коллинеарны, то их можно параллельным переносом привести в одну плоскость, а значит они линейно зависимы. В их линейной комбинации, приравненной к нулю, есть хотя бы один коэффициент, отличный от нуля, что позволяет выразить одну силу через две другие. Если же силы Как доказать что векторы равны нулю. Смотреть фото Как доказать что векторы равны нулю. Смотреть картинку Как доказать что векторы равны нулю. Картинка про Как доказать что векторы равны нулю. Фото Как доказать что векторы равны нулю, Как доказать что векторы равны нулю. Смотреть фото Как доказать что векторы равны нулю. Смотреть картинку Как доказать что векторы равны нулю. Картинка про Как доказать что векторы равны нулю. Фото Как доказать что векторы равны нулюи Как доказать что векторы равны нулю. Смотреть фото Как доказать что векторы равны нулю. Смотреть картинку Как доказать что векторы равны нулю. Картинка про Как доказать что векторы равны нулю. Фото Как доказать что векторы равны нулюпредставляют собой неколлинеарные друг другу векторы, то, располагаясь в одной плоскости, они образуют линейно зависимую систему векторов, что обеспечивает возможность выразить одну из них через две другие.

Если векторы линейно зависимы, то всякий ли вектор можно выразить через остальные?

Когда одна из сил, например Как доказать что векторы равны нулю. Смотреть фото Как доказать что векторы равны нулю. Смотреть картинку Как доказать что векторы равны нулю. Картинка про Как доказать что векторы равны нулю. Фото Как доказать что векторы равны нулю, лежит вне плоскости, образуемой силами Как доказать что векторы равны нулю. Смотреть фото Как доказать что векторы равны нулю. Смотреть картинку Как доказать что векторы равны нулю. Картинка про Как доказать что векторы равны нулю. Фото Как доказать что векторы равны нулюи Как доказать что векторы равны нулю. Смотреть фото Как доказать что векторы равны нулю. Смотреть картинку Как доказать что векторы равны нулю. Картинка про Как доказать что векторы равны нулю. Фото Как доказать что векторы равны нулю, то система векторов Как доказать что векторы равны нулю. Смотреть фото Как доказать что векторы равны нулю. Смотреть картинку Как доказать что векторы равны нулю. Картинка про Как доказать что векторы равны нулю. Фото Как доказать что векторы равны нулю, Как доказать что векторы равны нулю. Смотреть фото Как доказать что векторы равны нулю. Смотреть картинку Как доказать что векторы равны нулю. Картинка про Как доказать что векторы равны нулю. Фото Как доказать что векторы равны нулю, Как доказать что векторы равны нулю. Смотреть фото Как доказать что векторы равны нулю. Смотреть картинку Как доказать что векторы равны нулю. Картинка про Как доказать что векторы равны нулю. Фото Как доказать что векторы равны нулюстановится некомпланарна, а значит, линейно независимой, поэтому между ними возможно лишь соотношение:

Как доказать что векторы равны нулю. Смотреть фото Как доказать что векторы равны нулю. Смотреть картинку Как доказать что векторы равны нулю. Картинка про Как доказать что векторы равны нулю. Фото Как доказать что векторы равны нулю0.

Источник

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *