Как объяснить ребенку что такое уравнение

Урок математики по теме «Знакомство с уравнениями» по программе «Школа России»

Цели:

Методы обучения: частично- поисковый, проблемного изложения материала.

Формы организации учебной деятельности: фронтальная, индивидуальная, парная.

Средства обучения: М.И. Моро «Математика» 2 класс, 2 части, Москва, «Просвещение», 2006.

Ход урока

I. Организационный момент.

II. Устные задания:

III. Изучение новой темы.

С новой темой познакомится класс
Сегодня узнаем без сомненья
Имя этого выражения: х+4 = 12

А для этого нужно расшифровать слово, решив примеры.

У.: Записать число и классная работа в тетрадях.

У.: Примеры решить в тетрадях.

Д.: Это пример с окошечком.

Д.: Это буквенное выражение.

У.: Что вы делали в первом случае?

Д.: Подбирали число чтобы запись была верной.

У.: Какое это число?

Д.: 8.

У.: что делали во втором случае?

Д.: вместо буквы подставляли число и вычисляли.

У.: Посмотрите на запись х+4=12

У.: На что оно похожа?

Д.: На пример с окошечком, на буквенное выражение.

У.: Что нам говорит знак =?

Д.: Равенство.

У.: Какое равенство? Все числа в нем известны?

Д.: Нет.

У.: Что неизвестно?

Д.: Первое число.

У.: как оно обозначено?

Д.: Латинской буквой.

У.: Если оно неизвестно, перед нами какая встает задача?

Д.: Найти, узнать какое это число.

У.: Найдите это число, чтобы равенство было верным.

Д.: Это число 8 (8+4=12).

У.: Что мы с вами сейчас сделали?

Вы решили уравнение.

У.: Сделаем вывод:

Уравнение – это ……(показать знак =)

Д.: Равенство.

У.: Которое содержит что? (показать на х)

Д.: Неизвестное число.

У.: Что надо сделать с неизвестным числом?

Д.: Его найти.

У.: Как обозначается неизвестное число?

Д.: Латинской буквой.

У.: Кто сможет сказать, что такое уравнение?

Д.: Уравнение – это равенство, которое содержит неизвестное число.

У.: Что значит решить уравнение?

Плакат на доске: Уравнение – это равенство, которое содержит неизвестное число. Решить уравнение – найти такое число, чтобы равенство было верным.

У.: Число, которое мы находим в уравнении х – называется корнем уравнения.

У.: Решить уравнение можно с помощью подбора ( или зная взаимосвязь компонентов при сложении и вычитании)

IV. Физкультминутка (на дыхание).

Раз, два, три, четыре, пять!
Все умеем мы считать
Отдыхать умеем тоже –
Руки за спину положим
Голову поднимем выше
И легко-легко подышим.

V. Первичное закрепление нового материала.

а) У.: Среди данных выражений выбрать нужно уравнение и записать в тетрадь.

Источник

Начальные классы. Уравнения.

С уравнениями ученики знакомятся в 1 классе. Сначала решают примеры с окошком: выполняют действия с числами и задания на нахождение неизвестного числа, например было равенство:

И одно число решили спрятать:

Нам нужно догадаться, что за число спрятали?
Здесь прекрасно видно, чтобы найти неизвестное число, нужно из 9 — 2
Искомое число – 7.

В нашем равенстве – искомое число называют неизвестным числом.
А равенство, в котором одно число стало неизвестным, называется УРАВНЕНИЕМ.
Никто из вас никогда не видел, чтобы уравнения делали с «окошком». Это неудобно. Гораздо проще неизвестное обозначать буквами.

Неизвестное число обозначают маленькими латинскими буквами

или любой другой буквой.

И этому числу дают имя – корень уравнения.
Давайте посмотрим записи:
8+х
8+х>5
8+х =10
Только третья запись — уравнение. Потому что здесь есть неизвестное число и знак =.
Нам необходимо узнать это число.
Найти все значения х, при котором равенство будет верным — значит, решить уравнение, т.е. найти его корень.

При решении уравнения учитываем взаимосвязи между целым и частью:
— чтобы найти целое, надо сложить части;
— чтобы найти часть, надо из целого вычесть другую часть.

Если вы хотите более подробно узнать, как связаны целое и части, читайте тут.

Решение записывается так:

Корень пишем на следующей строке и подчеркиваем прямой линией.

Корень уравнения = 7, следовательно, наше уравнение решено.
Нам обязательно нужно проверить правильно мы нашли корень уравнения или нет.
Уравнение без проверки – это не уравнение.
Итак, в нашем уравнении корень –7, мы его подчеркнули, а теперь сделаем проверку. Для этого мы переписываем первую строку уравнения, но вместо неизвестного поставим значение корня.
Теперь: знак = пишем под знаком =. Число, записанное справа от знака равно: 9 – переписываем. Выражение, которое находится слева от знака равно: 7 + 2 – считаем. Получится 9. Это число 9 записываем слева от знака =.
Читаем выражение: 9 = 9. Значит, уравнение решили правильно.

Решим еще одно уравнение:

Ученикам начальной школы нужно обязательно овладеть математической речью. Для этого нужно знать, как называются компоненты при различных действиях, и как находится неизвестный компонент:

Если из суммы вычесть одно из слагаемых, то получится другое слагаемое.
Если к разности прибавить вычитаемое, то получится уменьшаемое.
Если из уменьшаемого вычесть разность, то получится вычитаемое.

Насколько публикация полезна?

Нажмите на звезду, чтобы оценить!

Средняя оценка 5 / 5. Количество оценок: 65

Источник

Как научить ребенка решать уравнения

Усложняется она двумя фактами:

Во-первых, дети не понимают смысл уравнения. Зачем цифру заменили буквой и что это вообще такое?

Во-вторых, объяснение, которое предлагается детям в школьной программе, непонятно в большинстве случаев даже взрослому:

Для того чтобы найти неизвестное слагаемое, нужно из суммы вычесть известное слагаемое.
Для того чтобы найти неизвестный делитель, нужно делимое разделить на частное.
Для того чтобы найти неизвестное уменьшаемое, нужно к вычитаемому прибавить разность.

И вот, придя домой ребенок чуть ли не плачет.

На помощь приходят родители. И посмотрев в учебник, решают научить ребенка решать «проще».

Нужно же всего лишь перекинуть на одну сторону цифры, поменяв знак на противоположный.

Понимаешь? Смотри, х-3=7 Минус три переносим с плюсом к семерке, считаем и получается х=10

В этом месте у детей обычно происходит сбой программы.

Знак? Поменять? Перенести? Что?

— Мама, папа! Вы ничего не понимаете! Нам в школе по-другому объясняли.
— Тогда и решай как объясняли!

А в школе, тем временем, продолжается тренировка темы:

1. Вначале нужно определить какой компонент действия нужно найти.

5+х=17 — нужно найти неизвестное слагаемое.
х-3=7 — нужно найти неизвестное уменьшаемое.
10-х=4 — нужно найти неизвестное вычитаемое.

2. Теперь нужно вспомнить правило, упомянутое выше.

Для того чтобы найти неизвестное слагаемое, нужно…

Как Вы думаете, трудно ли маленькому ученику все это запомнить?

А еще нужно добавить сюда тот факт, что с каждым классом уравнения становятся все сложнее и больше.

В итоге и получается что уравнения для детей одна из самых сложных тем математики в начальной школе.

И даже если ребенок уже в четвертом классе, но у него трудности с решением уравнениями, скорее всего у него проблема с пониманием сути уравнения. И надо просто вернуться назад, к основам.

Сделать это можно за 2 простых шага:

Шаг первый — Надо научить детей понимать уравнения.

Нам потребуется простая кружка.

Напишите пример 3 + 5 = 8

А на дне кружки «х». И, перевернув кружку, закройте цифру «5»

Уверены, ребенок сразу угадает!

Теперь ЗАКРОЙТЕ цифру «5». Что под кружкой?

Так можно писать примеры на разные действия и играть. У ребенка происходит понимание, что х = это не просто непонятный знак, а «спрятанная цифра»

Подробнее о технике — в видео:

Шаг второй — Научите определять, х в уравнении является целым или частью? Самым большим или «маленьким»?

Для этого нам подойдет техника «Яблоко»:

Задайте ребенку вопрос, где в данном уравнении самое большое?

Отлично! Это будет наше яблоко!

Самое большое число — это всегда целое яблоко. Обведем в кружок.

А целое всегда состоит из частей. Давай подчеркнем части.

5 и х — части яблока.

А раз х — это часть. Она больше или меньше? х большое — или маленькое? Как его найти?

Важно отметить, что в таком случае ребенок думает, и понимает, почему, чтобы найти х в данном примере, нужно из 17 вычесть 5.

После того, как ребенок поймет, что ключом к правильному решению уравнений является определить, х — целое или часть, он легко будет решать уравнения.

Потому что запомнить правило, когда понимаешь его гораздо проще, чем наоборот: вызубрить и учиться применять.

Данные техники «Кружка» и «Яблоко» позволяют научить ребенка понимать, что он делает и зачем.

Учите ребенка понимать программу и тогда процесс учебы станет отнимать у Вас значительно меньше времени и сил!

Источник

Методика изучения уравнений и способов их решения.

Методика изучения уравнений и способов их решения.

В учебнике М.И. Моро учащиеся решают уравнения двумя способами: 1) способом подбора (в простейших случаях); 2) способом, основанном на применении правил нахождения неизвестных компонентов арифметических действий.

В методике формирования у младших школьников представлений об уравнении можно выделить следующие этапы:

2) раскрывается связь между компонентами и результатом действий сложения и вычитания (правила нахождения неизвестного слагаемого, уменьшаемого и вычитаемого).

II этап – знакомство с уравнением и овладение способом его решения.

Введение понятия «уравнение» фактически сводится к замене «окошка» латинской буквой х и к введению термина «неизвестное число».

Ознакомление с уравнением можно начать с рассмотрением равенства с «окошком»:  + 4 = 7

К какому числу надо прибавить 4, чтобы получилось 7?

(Вместо «окошка» учащиеся подставляют одно за другим числа 0, 1, 2, 3, пока не найдут такое, которое подходит, чтобы получилось верное равенство).

Учитель объясняет, что в математике принято обозначать неизвестное число латинской буквой х (вставляет х в окошко).

х + 4 = 7 – это уравнение.

Решить уравнение – значит найти неизвестное число.

Чему равно неизвестное число в данном уравнении? (3).

На данном этапе очень важно сформировать осознанный и математически верный подход к решению уравнений, чтобы ученик сразу ориентировался на то, что подобранное им число он должен проверить, т.е. подставить его и выяснить, верное или неверное числовое равенство при этом получится.

Сначала уравнения решаются способом подбора (учащиеся могут при этом воспользоваться как знанием состава числа, так и вычислительными приемами сложения или вычитания в пределах 10).

Аналогично в 3 классе вводятся уравнения вида х • 3 = 12, 5 • х = 10, х : 2 = 4, 6 : х = 3, которые также вначале решаются подбором с использованием табличных случаев умножения и деления.

Позднее, когда учащиеся усвоят знания связей между компонентами и результатами арифметических действий уравнения начинают решать на основе знаний правил нахождения неизвестного компонента.

Для решения уравнений вторым способом с помощью правила предлагается такое уравнение, которое дети не могут быстро решить способом подбора, например: х + 13 = 71.

Решение уравнения оформляется следующим образом:

71 = 71 27 = 27 8 = 8

14 • х = 28 х : 6 = 12 48 : х = 4

х = 28 : 14 х = 12 • 6 х = 48 : 4

14 • 2 = 28 72 : 6 = 12 48 : 12 = 4

28 = 28 12 = 12 4 = 4

Ученики объясняют решение уравнения х + 13 = 71 так: читаю уравнение х плюс 13 равно 71 (сумма чисел х и 13 равна 71; х увеличить на 13 получится 71). В уравнении неизвестно первое слагаемое. Чтобы найти неизвестное слагаемое, нужно из суммы вычесть второе слагаемое. Из 71 вычтем 13, получим 58. Значит, х равен 58. Проверим: к 58 прибавим 13, получим 71. Получилось верное равенство 71 = 71, значит уравнение решено правильно .( 3 кл. ч 2 с. 20- объяснить самост)

Особенности ознакомления с уравнениями в курсе Л.Г. Петерсон

Целое равно сумме частей.

Чтобы найти часть надо из целого вычесть другую часть.

Затем рассматриваются способ решения уравнений на основе понятий «целое» и «части»:

Во втором классе во второй части (урок 1) рассматриваются уравнений нового вида с умножением и делением (а • х = b , х : а = b , а : х = b .)

Учащиеся знакомятся еще с новым способом решения таких уравнений на основе правил на нахождение стороны и площади прямоугольника.

В 3 классе (часть 1, урок 10) дается определение уравнения и корня уравнения; показывается решение уравнений на основе правил нахождения неизвестных компонентов действий:

— Если в равенство, содержащее переменную, подставить какое-нибудь число, то может получиться верное или неверное высказывание. Например, при x = 3 равенство x + 2 = 5 будет верным, а при x = 8 — неверным.

— Уравнением называют равенство, содержащее переменную, значение которой надо найти.

Неизвестно слагаемое. Чтобы найти неизвестное слагаемое, надо из суммы вычесть известное слагаемое.

Неизвестно уменьшаемое. Чтобы найти неизвестное уменьшаемое, надо к разности прибавить вычитаемое.

Неизвестно вычитаемое. Чтобы найти неизвестное вычитаемое, надо из уменьшаемого вычесть разность.

Неизвестен множитель. Чтобы найти неизвестный множитель, надо произведение разделить на известный множитель.

Неизвестно делимое. Чтобы найти неизвестное делимое, надо делитель умножить на частное.

Неизвестен делитель. Чтобы найти неизвестный делитель, надо делимое разделить на частное.

Затем решаются уравнения более сложной структуры, которые после упрощения числовых выражений в правой части, сводятся к известным случаям: (х + 3) : 8 = 5.При решении таких уравнений рассуждаем так: 1) последнее действие – деление, значит задано частное. 2) неизвестное в делимом, чтобы найти неизвестное делимое, надо частное умножить на делитель: х + 3 = 5 ∙ 8; х + 3 = 40.

3) получили сумму, неизвестно первое слагаемое, чтобы найти неизвестное слагаемое, надо из суммы вычесть известное слагаемое: х = 40 – 3; х = 37. Проверка: (37 + 3) : 8 = 5; 5 = 5.

Источник

О методике работы репетитора по математике с темой «решение уравнений» в 5-6 классах

З накомство ребенка с уравнениями начинается почти с самого начала изучения математики, задолго до ЕГЭ и, как правило, задолго до обращения к репетитору. Еще в младшей школе решаются простейшие алгебраические уравнения, которые служат фундаментом для построения алгоритмов решения уравнений в 11 классе. Каких только разновидностей уравнений не встретишь в школе: алгебраические, иррациональные, тригонометрические, показательные, логарифмические. Голова идет кругом. При этом, почти к каждому разделу учебника математики прикрепляются уравнения определенного вида с различной комбинацией изученных действий, функций и разным уровнем сложности. Репетитору по математике важно помнить о том, что методы обучения решению уравнений на разных этапах освоения предмета имеют много общего, так как по сути перед учеником ставится одна и та же задача — подбор числа или чисел, удовлетворяющих данному равенству.

Основы работы с уравнениями закладываются задолго до 11 класса и объясняются на простых математических объектах, пока предмет еще не разделен на алгебру и геометрию. Именно в этом возрасте ребенку отводится время на формирование представление о том, как изучаемый объект устроен и как он используется в реальных ситуациях. Исключение этого важного этапа математической подготовки в большинстве случаев оказывается в последствии невосполнимым. Даже опытный репетитор по математике, работая с учеником старших классов, не сможет в полной мере компенсировать недостаток внимания к уравнениям в младших. Можно только дать представление о методах решения или натаскать на заучивание определенных алгоритмов.

Наверное любой репетитор по математике, успевший плотно поработать с учениками 5-6 классов хотя бы пару лет, слышал жалобы от родителей, связанные со снижением успеваемости при переходе в 6 класс. Проблемы начинают возникать даже, казалось бы, с такой простой темой, как уравнения. К удивлению родителей она вдруг неожиданно переходит в категорию трудных. «Мой ребенок всегда хорошо решал уравнения и вдруг перестал их понимать», — часто жалуются родители репетитору математики. «Что нам делать? Я не могу ему донести то, что понимаю сама, а в школе преподаватель толком ничего не объясняет, а только требует», — обычная картина из практики репетитора: родители в панике. Однако, попытка найти спасение нанимая ребенку преподаваеля, не всегда приводит к желаемому результату. Почему?

Репетитор по математике в работе со слабым шестиклассником часто повторяет методологию учебников и опирается на определенные навыки работы с числами и действиями, которые должны быть у школьника сформированны к этому моменту. Но это относится только к способному ребенку. Реальность репетиторской работы такова, что эти навыки дети часто или не получают вовсе или не могут применить их работе с аналогичными, но более сложными конструкциями. И дело не только в том, что этому мало кто учит. Причина кроется еще и в возрастных особенностях работы памяти ребенка и его мышления, в способности рассмотреть простой объект внутри сложного. В большинстве случаев, с которыми репетитору приходится сталкиваться, ученику рано переходить к использованию алгоритмов в более сложных математических объектах.

Во-первых, понимание этих аналогий часто еще не успевает сформираться. Во-вторых, механизмы позволяющие переносить эти операции на более сложные объекты могут быть не отработаны на достаточном количестве заданий. В третьих, сами операции и правила, по которым они выполняются, часто забываются.

Глубоким заблуждением многих методистов, репетиторов по математике и школьных преподавателей является мнение о том, что правила нахождения компонентов алгебраических действий помогают ребенку принять решение о том том, сложить ли ему данные числа, или отнять, найти ли разность a-b или b-a. Вспомните себя, помогало ли вам на уроках математике такое правило: чтобы найти вычитаемое, надо из уменьшаемого вычесть разность? Приходится вспоминать названия участников действия, затем текст правила (каждое для своего случая). Пока будет вспоминать текст, — успеет забыть где у него в уравнении стоит уменьшаемое, а где вычитаемое. Начтет вспоминать названия — забудет правило. А еще нужно правильно записать и произвести вычисления. Куда тут до правильного ответа? Укротить бы термины.

Как действует ученик в простом случае и почему он промахивается с подбором действий в более сложных? Дело в том, что к моменту, когда ему необходимо решить уравнение 8-x=3 он, как правило, получает хорошую практику вычислений (если преподаватель по математике дал классу эту практику) и просто узнает знакомую картинку, в которой пропущено одно число. Он может и без правил догадаться, какое число ему поставить вместо икса. И если требуется записать действие для его нахождения, он переберет все возможные варианты с числами 8 и 3 (благо они перед глазами) и выпишет подходящее. Никакими правилами нахождения вычитаемого он в большинстве случаев не пользуется. Это слишком сложно для него.

С некоторым напряжением ученику даются уравнения, нагруженные несколькими действиями, например . Если числа в таких уравнених не очень большие, то в голове пятиклассника реализуется тот же самый алгоритм подбора неизвестного компонента 2x-8 в делении. Этот алгоритм, обычно, опережает подбор действия, с помощью которого получается ответ. Сложности возникают только с тем, что ребенку приходится находить не икс, а некотороый промежуточный результат. Практика моей работы репетитором по математике показывает, что с этим видом непонимния часто удается справиться сравнительно легко. Главная помощь репетитора здесь заключается в своевременном повторении понятия «корень уравнения» и «проверка корня». При этом репетитор должен уделить внимание практическому ходу этой проверки и выделить в ней определенные этапы:
1) Берем наугад число для проверки
2) Выполняем его умножение на 2, затем потом вычитаем 8 и получаем некоторый промежуточный результат
3) делим 42 на него и должно получиться 7.

При такой форме ребенок в 95 % случаев сам скажет репетитору математики, что нужно разделить 6. В этот момент грамотный репетитор обязательно укажет ученику на то, что подобранное число 6 должно получиться в результате вычитания. Останется понять как при вчитани числа 8 получить 6. Репетитору должен поставить новую цель: что вставить вместо икса, чтобы после умножения на 2 и вычитания восьми эта шестерка получилась. Тогда надо решить уравнение, в котором слева уже стоит не , а . Этот момент отдельно выделяется и репетитору обязательно нужно на нем остановиться отдельно. Решая такими путями уравнения ребенок запоминиает поведение чисел. Те взаимосвязи, которые предлагабются ему для заучивания запоминаются в естественном порядке, а именно в процессе деятельности.

Существуют простые, но важные правила работы с методикой:

1) Репетитор по математике должен исключить из текстов своих пояснений стандартные математические термины и шаблонные фразы («значение выражения», «переменная», «делитель», «значение переменной, при которой. »)

2) При подборе уравнения следует не дупустить проникновение в него повторяющихся действий и даже повторяющихся чисел (как начальной в записи самого уравнения, так и во всех дальнейших формах). Иначе ребенок запутается, о каком делении репетитор по математики говорит в конкретный момент и о каком числе 6 идет речь, если она используется дважды.

3) Каждая пара чисел в уравнении на каждом этапе решения должна быть удобной для подбора третьего числа.

В конце 5-го и в начале 6-ого класса понятие числа расширяется. Появляются уравнения с дробями (десятичными и обыкновенными) и вместе с ними приходят главные проблемы. Как теперь решить такое?

Подбор числа и действия затрудняется, так как операции с дробями делаются в несколько этапов. Если раньше ребенок мог распознать, что число а не делится на число b, то теперь уже можно делить друг на друга почти все числа. Сложнее узнать знакомое сочетание и подбирать для него соответствующее арифметическое действие. При достаточном количестве решенного ранее, способные дети дети запоминают алгоритмы и по аналогии применяют их в новой систуации. А что делать отстающим? У многих из них информация о правилах еще успела прочно отложиться в его долговременной памяти. Репетитор по математике истытывает в работе с такими детьми огромные трудности, а ведь решение проблемы лежит на поверхности.

Репетитору необходимо продлить время привычной деятельности ученика при решении уравнений. То есть подбирать действия прежним способом. Для этого преподавателю достаточно обязать (или разрешить) рядом с решаемым уравнением составить любой простенький пример на это же действие, но с натуральными числами. Допустим, надо решить уравнение:

Репетитор просит ученика определить последнее действие в левой части уравнения, составить с его участием любой простенький пример из программы 2-го класса и записать его где-нибудь рядом. В особых случаях можно рекомендовать использовать нижнюю строчку под самим уравнением. Ребенок смотрит, какой учасник последнего действия в исходном уравнении неизвестен, находит его аналог в придуманном примере и по нему подбирает арифметическое действие с соседними числами (благо они перед глазами). Затем просто переносит его на свое уравнение. И так с каждым исключением последнего действия. Полное оформление может выглядеть следующим образом:

Для совсем слабых детей репетитор может заготовить отдельные карточки с уже подобранными примерами на все действия и класть их перед учеником в нужный момент.

Статья из цикла «методики для репетиторов».
Колпаков Александр Николаевич, репетитор по математике. Москва, Строгино.

Источник