Матанализ что это такое

Математический анализ

Математи́ческий ана́лиз — совокупность разделов математики, посвящённых исследованию функций и их обобщений методами дифференциального и интегрального исчислений. При столь общей трактовке к анализу следует отнести и функциональный анализ вместе с теорией интеграла Лебега, комплексный анализ (ТФКП), изучающий функции, заданные на комплексной плоскости, нестандартный анализ, изучающий бесконечно малые и бесконечно большие числа, а также вариационное исчисление.

В учебном процессе к анализу относят: [источник не указан 479 дней]

При этом элементы функционального анализа и теории интеграла Лебега даются факультативно, а ТФКП, вариационное исчисление, теория дифференциальных уравнений читаются отдельными курсами. Строгость изложения следует образцам конца XIX века и в частности использует наивную теорию множеств.

Содержание

История

Лейбниц и его ученики

Бесконечно малая часть, на которую непрерывно увеличивается или уменьшается переменная величина, называется её дифференциалом… Для обозначения дифференциала переменной величины, которая сама выражается одной буквой, мы будем пользоваться знаком или символом . [5] … Бесконечно малая часть, на которую непрерывно увеличивается или уменьшается дифференциал переменной величины, называется … вторым дифференциалом. [6]

Эти определения поясняются геометрически, при этом на рис. бесконечно малые приращения изображены конечными. Рассмотрение опирается на два требования (аксиомы). Первое:

Требуется, чтобы две величины, отличающиеся друг от друга лишь на бесконечно малую величину, можно было брать [при упрощении выражений?] безразлично одну вместо другой. [7]

Отсюда получается , далее

и проч. правила дифференцирования. Второе требование гласит:

Требуется, чтобы можно было рассматривать кривую линию как совокупность бесконечного множества бесконечно малых прямых линий. [8]

Продолжение каждой такой линии называется касательной к кривой. [9] Исследуя касательную, проходящую через точку , Лопиталь придаёт большое значение величине

,

достигающее экстремальных значений в точках перегиба кривой, отношению же к не придаётся никакого особого значения.

Примечательно нахождение точек экстремума. Если при непрерывном увеличении диаметра ордината сначала возрастает, а затем убывает, то дифференциал сначала положителен по сравнению с , а потом отрицателен.

Но всякая непрерывно возрастающая или убывающая величина не может превратиться из положительной в отрицательную, не проходя через бесконечность или нуль… Отсюда следует, что дифференциал наибольшей и наименьшей величины должен равняться нулю или бесконечности. [10]

Вероятно, эта формулировка не безупречна, если вспомнить о первом требовании: пусть, скажем, , тогда в силу первого требования

;

Далее, при помощи одних дифференциалов формулируются условия экстремума и рассмотрено большое число сложных задач, относящихся в основном к дифференциальной геометрии на плоскости. В конце книги, в гл. 10, изложено то, что теперь называют правилом Лопиталя, хотя и в не совсем обычной форме. Пусть величина ординаты кривой выражена дробью, числитель и знаменатель которой обращаются в нуль при . Тогда точка кривой с имеет ординату , равную отношению дифференциала числителя к дифференциалу знаменателя, взятому при .

Указывая на практическую полезность и простоту нового метода Лейбниц писал:

То, что человек, сведущий в этом исчислении, может получить прямо в трёх строках, другие учёнейшие мужи принуждены были искать, следуя сложными обходными путями.

Эйлер

Функция переменного количества есть аналитическое выражение, составленное каким-либо образом из этой переменного количества и чисел или постоянных количеств. [15]

Подчёркивая, что «основное различие функций лежит в способе составления их из переменного и постоянных», Эйлер перечисляет действия, «посредством которых количества могут друг с другом сочетаться и перемешиваться; действиями этими являются: сложение и вычитание, умножение и деление, возведение в степень и извлечение корней; сюда же следует отнести также решение [алгебраических] уравнений. Кроме этих действий, называемых алгебраическими, существует много других, трансцендентных, как-то: показательные, логарифмические и бесчисленные другие, доставляемые интегральным исчислением». [16] Такая трактовка позволяла без труда обращаться с многозначными функциями и не требовала пояснения, над каким полем рассматривается функция: выражение для счёта определено для комплексных значений переменных даже тогда, когда для рассматриваемой задачи это не нужно.

,

в котором лишь поздние авторы видели предельный переход. С аналитическими выражениями производились разнообразные преобразования, позволившие Эйлеру найти представления для элементарных функций в виде рядов, бесконечных произведений и т. д. Эйлер преобразует выражения для счёта так, как это делают в алгебре, не обращая внимания на возможность вычислить значение функции в точке по каждой из написанных формул.

Сам ход доказательства прекрасно демонстрирует технику использования бесконечно большого. Определив синус и косинус при помощи тригонометрического круга, Эйлер выводит из формул сложения следующее:

Полагая и , он получает

,

отбрасывая бесконечно малые величины большего порядка. Используя это и аналогичное выражение, Эйлер получает и свою знаменитую формулу

.

Указав различные выражения для функций, которые теперь называют элементарными, Эйлер переходит к рассмотрению кривых на плоскости, начертанным свободным движением руки. По его мнению, не для всякой такой кривой можно отыскать единое аналитическое выражение (см. также Спор о струне). [19] В XIX веке с подачи Казорати [20] это утверждение считалось ошибочным: по теореме Вейерштрасса всякая непрерывная в современном смысле кривая может быть приближенно описана полиномами. На самом деле Эйлера это едва ли убедило, ведь нужно ещё переписать предельный переход при помощи символа .

Изложение дифференциального исчисления Эйлер начинает с теории конечных разностей, за ним в третьей главе следует философское разъяснение о том, что «бесконечно малое количество есть точно нуль», более всего не устроившее современников Эйлера. Затем из конечных разностей при бесконечно малом приращении образуются дифференциалы, а из интерполяционной формулу Ньютона — формула Тейлора. Этот метод в существенном восходит к работам Тейлора (1715 г.). При этом у Эйлера появляется устойчивое отношение , которое, однако, рассматривается как отношение двух бесконечно малых. Последние главы посвящены приближенному вычислению при помощи рядов.

В трёхтомном интегральном исчислении Эйлер трактует вводит понятие интеграла так:

Та функция, дифференциал которой , называется его интегралом и обозначается знаком , поставленным спереди. [21]

В целом же эта часть трактата Эйлера посвящена более общей с современной точки зрения задаче об интегрировании дифференциальных уравнений. При этом Эйлер находит ряд интегралов и дифференциальных уравнений, которые приводят к новым функциям, напр., -функции, эллиптические функции и т. д. Строгое доказательство их неэлементарности было дано в 1830-х годах Якоби для эллиптических функций и Лиувиллем (см. элементарные функции).

Лагранж

Следующим крупным произведением, сыгравшим значительную роль в развитии концепции анализа, явилась Теория аналитических функций [22] Лагранжа и обширный пересказ работ Лагранжа, выполненный Лакруа [23] в несколько эклектической манере.

Желая избавиться от бесконечно малого вовсе, Лагранж обратил связь между производными и рядом Тейлора. Под аналитической функцией Лагранж понимал произвольную функцию, исследуемую методами анализа. Саму функцию он обозначил как , дав графический способ записи зависимости — ранее же Эйлер обходился одними переменными. Для применения методов анализа по мнению Лагранжа необходимо, чтобы функция разлагалась в ряд

,

коэффициенты которого будут новыми функциями . Остаётся назвать производной (дифференциальным коэффициентом) и обозначить его как . Таким образом, понятие производной вводится на второй странице трактата и без помощи бесконечно малых. Остаётся заметить, что

,

поэтому коэффициент является удвоенной производной производной , то есть

и т. д. [24]

Такой подход к трактовке понятия производной используется в современной алгебре и послужил основой для создания теории аналитических функций Вейерштрасса.

Лагранж оперировал такими рядами как формальными и получил ряд замечательных теорем. В частности, впервые и вполне строго доказал разрешимость начальной задачи для обыкновенных дифференциальных уравнений в формальных степенных рядах. [25]

Вопрос об оценке точности приближений, доставляемых частными суммами ряда Тейлора, впервые был поставлен именно Лагранжем: в конце Теории аналитических функций он вывел то, что теперь называют формулой Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа. [26] Однако, в противоположность современным авторам, Лагранж не видел нужды в употреблении этого результата для обоснования сходимости ряда Тейлора.

Вопрос о том, действительно ли функции, употребимые в анализе, могут быть разложены в степенной ряд, впоследствии стал предметом дискуссии. Конечно, Лагранжу было известно, что в некоторых точках элементарные функции могут не разлагаться в степенной ряд, однако в этих точках они и недифференцируемы ни в каком смысле. Коши в своём Алгебраическом анализе привёл в качестве контрпримера функцию

доопределённую нулём в нуле. Эта функция всюду гладкая на вещественной оси и в нуле имеет нулевой ряд Маклорена, который, следовательно, не сходится к значению . Против этого примера Пуассон возразил, что Лагранж определял функцию как единое аналитическое выражение, в примере Коши же функция задана по разному в нуле, и при . Лишь в конце XIX века Прингсхейм [27] доказал, что существует бесконечно дифференцируемая функция, заданная единым выражением, ряд Маклорена для которой расходится. Пример такой функцией доставляет выражение

.

Дальнейшее развитие

В XVIII веке были разработаны и практически применены такие разделы анализа, как вариационное исчисление, обыкновенные дифференциальные уравнения и дифференциальные уравнения в частных производных, преобразования Фурье и производящие функции. На фундаменте анализа возникла математическая физика, аналитические методы глубоко проникли в геометрию и даже в теорию чисел.

В XIX веке Коши первым дал анализу твёрдое логическое обоснование, введя понятие предела последовательности, он же открыл новую страницу комплексного анализа. Пуассон, Лиувилль, Фурье и другие изучали дифференциальные уравнения в частных производных и гармонический анализ.

В последней трети XIX века Вейерштрасс произвёл арифметизацию анализа, полагая геометрическое обоснование недостаточным, и предложил классическое определение предела через ε-δ-язык. Он же создал первую строгую теорию множества вещественных чисел. В это же время попытки усовершенствования теоремы об интегрируемости по Риману привели к созданию классификации разрывности вещественных функций. Также были открыты «патологические» примеры (нигде не дифференцируемые непрерывные функции, заполняющие пространство кривые). В связи с этим Жордан разработал теорию меры, а Кантор — теорию множеств, и в начале XX века математический анализ был формализован с их помощью. Другим важным событием XX века стала разработка нестандартного анализа как альтернативного подхода к обоснованию анализа.

Источник

Матан, кратко и суть

Пройдя в универе полный курс математического анализа, а также линейную алгебру, комбинаторику, вычислительную математику, спец. главы мат. анализа, хотелось бы рассказать всем тем, кому это еще предстоит, и заодно попугать наших cute гуманитариев 🙂
Пост не сколько информативный, сколько дающий понять, что же из себя представляет тот самый матан.
Приготовьтесь к тому, что в матане вам придется узнать:

3) Делить на 0 можно. И что будет, если любое число разделить на ноль, как вы думаете. правильно, бесконечность!

4)Бесконечность бывает отрицательная и положительная, один из самых простых фактов.

8) Дифференцировать и интегрировать вы будете не хуже, чем читать буковки в книжках. Притом сможете взять и тройной интеграл! А может, и четверной даже. вы будете способны по меньшей мере на многое, связанное с интегрированием и дифференцированием функций.

10) Вы изучите по меньшей мере 9/10 материала на mathprofi(не реклама, примеры решений, наиболее емкие и полезные).

11)Вычислить площадь любой фигуры через интеграл. Что? формула площади круга пирэр квадрат? Тру математики решают через интеграл!

небольшие краткие факты, что вспомнил. Не устаканивайтесь в чем-то одном, с вами был Ananasm)

Вообще-то 3-й пункт противоречит 4-му. Автор забыл упомянуть, что есть понятие беззнаковой бесконечности (максимально удалённое от нуля числа, и именно оно получается, если мы разрешаем себе делить на нуль) и есть понятие направленных бесконечностей (в случае действительных чисел: +∞ и −∞) — и это разные понятия. Хотя по-моему, второе лишнее, но, увы, его тоже часто используют.

Ответ на пост «Забудь всё, чему тебя учили в школе»

Учился в универе. Специальность «Промышленная электроника».

Первое занятие по этой самой электронике (на 3м курсе), препод начинает:

— Товарищи студенты, мой курс рассчитан на 3 семестра, все приборы и схемы, которые мы будем изучать, не выпускаются уже от 10 до 30 лет. Учебники по данному курсу написаны в 70-х годах. Но в программе нашего университета этот курс есть, а значит будем учить. Я как преподаватель вижу свою миссию в том, чтобы подготовить из вас инженеров, способных самостоятельно пользоваться справочной литературой и читать передовые статьи по вашей специальности.

В итоге за 3 семестра мы кроме учебника 76 года так и не увидели ни одного справочника и тем более «передовой статьи». ))))

Учат в школе, учат в школе, учааат в шкоооле.

Вспомнил, как у нас в школе матан преподавали

— Марьванна! А что такое dx/dy?

— Это приращение X к приращанию Y.

— Марьванна! А что значит приращение?

— Leaner, что ты тут идиота корчишь!? Это же dx/dy.

Ответ на пост «Забудь всё, чему тебя учили в школе»

Первое воспоминание о родном ВУЗе. Бауманка, Энергомаш, первый курс, самая первая лекция по матану. 10:00, началась пара, сидим, ждём.

Заваливается препод. Бухой, но на ногах кое-как стоит.

«Ребятаааа, у меня внучка в первый класс пошлааааа! Лекция ааааатменяется!». И сваливает за горизонт.

Тут я наконец-то понял, куда поступил )

Забудь всё, чему тебя учили в школе

Нам на первом курсе показали учебник матана и говорят: «Первые 18 страниц вы 11 лет проходили в школе, а на остальные 400 у вас есть этот семестр».

Учебники. Математический анализ.

Добрый день 🙂
Я живу на этой планете почти 21 год, заканчиваю бакалавриат физтеха МИФИ и уже долгое время занимаюсь репетиторством.

Продолжаю тему учебников для института. В этом посте рассмотрю более подробно математический анализ. 1 курс.

Здесь же появится великолепная теорема о среднем, которая спасет некоторых от интеграла Пуассона при решении физических задач (но не всех).
В 3 и 4 пункте советую также книгу Фихтенгольца «Дифференциальное и интегральное счисление».

И не забывайте про константу интегрирования! 🙂

Далее у кого-то начнется теория поля (градиент, ротор, дивергенция), у кого-то теория групп(гомоморфизм), но это уже совсем другая история 🙂

В матане главное очень много решать, набивать руку, чтобы в дальнейшем выполнять большую часть операций на автомате, не тратя лишних сил. Для этого нужно взять сто интегралов, посчитать сто производных и доказать сходимость ста рядов. 🙂

Буду очень рад узнать ваше мнение.

Институтские байки, часть 1

Как говорил один чувак, который на моих глазах забирал документы из деканата:

-Ребята, бегите отсюда.

В тот момент я ещё не знал, что передо мной стоит самый натуральный пророк, чьи слова достойны быть вписаны в Библию. Но тогда был день открытых дверей, ярко светило летнее солнышко, а я сдавал вступительный экзамен в СевКав ГТИ города Георгиевска. Ведь что делать несмышлёнышу, который только что закончил школу и не знает как вообще жить? Конечно, пойти туда, куда мама за ручку поведёт, руководствуясь логикой, что если сам чего-то не знаешь, то лучше довериться тому, у кого больше опыта. Ну а что: близко к дому (всего-то 200 километров в одну сторону), специальность перспективная (типа компьютерщик, значит будет много денег домой приносить), да и вступительные можно сдать прямо на месте.

Первое время я жил в обоссаной хибарке, располагавшейся (какая ирония) в двадцати метрах от здания института. Хибарка принадлежала древней бабке и, судя по обстановке, была даже старше самой владелицы. Скажу сразу, что это было самое поганое жильё, в котором мне только доводилось жить. За свою жизнь я ютился и в коммуналке, и в бараках, но именно это логово оставило после себя наиболее неприятное послевкусие.

Комнатка, где я проводил своё время, была, как бы только не преуменьшить, в общем, размером два на два метра. В неё помещались только кровать, небольшой столик, а немного поднапрягшись, можно было втиснуть и меня. Вместо дверей занавески. В соседней комнате стоял огромный советский телевизор, который хозяйка включала без десяти пять, чтобы за десять минут он успел прогреться как раз к началу «Большой стирки».

Ну так вот. Чем занять себя одинокому студентику в небольшом городе? Телевизор оккупирован хозяйкой с её вечномолодым Малаховым, книг нет, компьютера нет, мобильных телефонов нет (чуть не написал «населена роботами»). Приходилось изгаляться в придумывании различных видов досуга. И всё равно времени оставалось вагон и маленькая тележка, было ужасно скучно. В первую очередь, конечно, можно было покупать газеты в киоске, но тогда оставалось меньше денег на еду и я уже не загромождал свою комнату пачками чипсов на радость бабкиному эго. Во-вторых, я притаранил из дома портативный кассетный плеер с наушниками и покупал у пухлощёкой лоточницы лучшие шедевры Сектора Газа за тридцать рублей кассета. Этого хватало, чтобы провести вечер с пользой. Сектор пел на очень жизненные и злободневные темы, такие как тяжёлая жизнь бомжа, собирающего бутылки, или про укус вампира, поэтому данная группа мне очень нравилась. Подкупала откровенность в выражениях и полное отсутствие запретных тем.

В перерывах между чтением газет и путешествиями на поездах я ещё ходил на некие пары, но я никогда не понимал зачем они вообще нужны и так и не смог оценить пустое просиживание за партами по достоинству. Пара проходила так: студенты рассаживались в помещении с гордым названием аудитория (облупленная от старости комната с разрисованными партами, обустроенная в здании бывшего детского сада) и начинали «конспектировать», т.е. слово в слово записывать в тетрадь то, что говорит преподаватель. Я в армии не служил, но судя по рассказам оттуда, институт в плане человеческого отупления не слишком уж и отличается от армии. Потому что уже к концу первого месяца этот вечный диктант успел меня порядком подзаебать.

Говоря начистоту, практически каждая пара в инсте была немного с чудинкой, причём с чудинкой со знаком минус. Особенно мне нравились пары по психологии, потому что на них не надо было ничего «конспектировать» и можно было отдохнуть от постоянного отупления. Психологичка была довольно интересной дамой в возрасте, рассказывающей на парах разной степени достоверности истории. Из этих истории и состояли все её занятия. Иногда я по своей глупости и невежеству пытался отвечать на задаваемые ею аудитории вопросы, не понимая, что все эти вопросы риторические и служат лишь прелюдией к очередному витку её бесконечных рассказов. Но не все истории психологички были котоламповыми историями страдающей от климакса женщины. Мне очень запомнился один эпизод, в котором она рассказывала про свою пациентку: девушку с инвалидностью ноги. Эта девушка придумала себе мирок с людьми-пауками, которым не нужно бояться, что с их ногами что-то случится, потому что у каждого из них имеется много здоровых ног. Если верить слезам психологички, эта девушка потом окончательно сошла с ума.

Прожив у бабки ровно месяц и вдоволь «навеселившись» на парах, я стал камнем преткновения, на который нашла острая коса в виде желчной старушечьей сучности, присущей многим пенсионеркам. «Начальник дома» в виде обозлённой бабки не смог смириться с тем фактом, что ей не достанется личного покорного студентика, которого можно безнаказанно третировать, и принял решение о моём досрочном выселении. Забавно, но в утро перед выселением я внезапно заболел, поэтому в последний раз слушать причитания какое я говно мне пришлось уже в лихорадке. А потом я просто пошёл на соседнюю улицу и в бессилии лёг на лавочку возле пятиэтажки, периодически вставая и заходя за лавочку, чтобы поблевать. Так что следующие арендодатели, можно сказать, меня с улицы подобрали. Это были дед и бабка. Они дали мне активированный уголь, от которого я тут же блеванул вновь и оставили отсыпаться на диване, решив, что договорятся об условиях моего проживания на следующее утро.

Источник