Математика как хобби с чего начать
Математика, которая мне нравится
Математика для школьников и студентов, обучение и образование
Изучение математики (и математика как хобби)
Ришидев Чаудхури
Почему-то держится в страшном секрете, что изучение математики — это очень активный процесс, и оно почти всегда связано с борьбой идей. В значительной степени это происходит от характера математической интуиции: восприятие математической идеи состоит в том, чтобы увидеть ее с разных сторон для более глубокого понимания, почему она верна, и осмысления ее связей с родственными идеями. И вот, когда вы садитесь, чтобы прочитать доказательства или описание идеи, вы редко именно это и сделаете. Вместо этого процесс чаще всего включает в себя чтение с ручкой и листом бумаги и поиском ответов на вопросы: “В чем состоит утверждение? Могу ли я представить это как-то иначе? Можно ли найти более простой случай, который поможет мне разобраться в этом общем понятии? Почему это верно? Что было бы, если бы это утверждение не выполнялось? С какими противоречиями я столкнусь, если попытаюсь его опровергнуть? Как эта идея отражает те, которые были раньше? Насколько важны различные допущения, использованные для доказательства этого утверждения? Все ли они нужны? Существуют ли принципиально другие способы доказательства этого факта?’’ И так далее. Эти вопросы часто включают в себя долгие запутанные исследования с карандашом и бумагой различных идей, которые помогают прояснить ту, которую вы пытаетесь понять.
Аналогично доказательство теоремы или решение задачи является блужданием среди ложных выходов и тупиков, придумыванием идей, которые, кажется, работают, но не проходят в отдельных случаях, осознанием, что вы не понимаете задачи или понятия так хорошо, как вам казалось. И опять же, все это не является пустой тратой времени. Почти в каждом случае, когда кто-либо просто объясняет вам доказательство или рассказывает решение, а вы не пытались сначала сделать это самостоятельно или активно поспрашивать его (что почти одно и то же), вы узнаете, что утверждение справедливо, но вы очень мало узнаете о том, почему оно верно, или что значит то, что это утверждение верно. И большая часть обучения математике происходит не на лекциях, а после них, во время, когда делаются домашние задания (и если у вас есть выбор: пойти на лекцию или сделать домашнее задание, вы всегда должны выбрать последнее).
К сожалению, большинство учеников старших классов школы не учатся этому. Это имеет печальные последствия, и изучение математики чрезвычайно влияет на ожидания и веру в себя, так что оно часто рассматривается как то, к чему вы либо способны, либо неспособны, и многие люди принимают борьбу как признак отсутствия способностей, а не как неотъемлемую часть обучения. Есть, конечно, дети, которые по какому-либо случаю: генетически, вследствие воспитания или чего-то другого, изначально быстрее продвигаются в математике. Но это, кажется, следствие различия в темпераменте и уверенности в себе, или того, что в начальную быстроту просто верят. Как вы справляетесь с неудачами в процессе обучения представляется более важным, чем то, насколько вы быстры (примеч. автора это все, конечно, построено на отдельных наблюдениях).
Это я отчетливо понял во время уроков математики. Неизбежно будут две группы людей, которым необходимо одно и то же время, чтобы решить или почти решить задачу, но совершенно по-разному оценивающих свои математические способности (и эта оценка в течение семестра становится реальностью). Некоторые студенты, проведя десять минут в борьбе с задачей, подумают, что решить ее трудно и примут это за признак того, что они действовали способом, который не работает, тратили время на понимание задачи, продвигались к решению, практиковались в логическом мышлении и так далее. Другие начнут беспокоиться и через десять минут, примерно на той же стадии рассуждений, придут ко мне, будучи убежденными, что они никогда не поймут это и что они что-то прослушали или не имеют способностей к математике (примеч. автора Неудивительно, что эти группы делятся как-то по половому признаку). И эти две группы, кажется, не сильно отличаются по уровню интуиции, и для второй группы уверение в том, что она движется в правильном направлении или помощь в следовании по избранному пути, даже если он изначально выбран неправильно, часто приводит к тому же решению. Как ни странно, в то время как работа учителя математики, казалось бы, должна состоять в том, чтобы помочь с математической интуицией, большая часть работы является успокаиванием для компенсации того, что они должны были услышать или узнать, но не сделали этого: будьте терпеливы.
Одной из неизбежных трагедий специализации является то, что большинство людей после окончания колледжа или средней школы не ходит на занятия по многим предметам. Для некоторых это компенсируется любительским интересом, скажем, к истории или философии. Но по ряду причин, о которых я уже говорил, причин, которые заставляют студентов думать, что знание математики невозможно без природного таланта и что безнадежно заниматься математикой без этих важнейших способностей, мало людей, кажется, могут поддерживать любительский интерес к математике или изучать математику как хобби.
Если это еще непонятно, я думаю, очень жаль, что так происходит, особенно потому, что это часто мотивировано ложной оценкой своих математических способностей. И еще очень жаль, потому что большинство людей прекращают занятия математикой как раз в тот момент, когда начинаются забавные вещи, именно тогда, когда они прошли уже большую часть утомительной арифметики и, наконец, готовы к путешествию в абстракцию. Это все равно, что ходить на занятия танцами, но никогда не танцевать.
И почти каждый, проявляющий устойчивый интерес к математике, скажет вам, что в математике содержатся некоторые из самых красивых умозрительных и эстетических удовольствий, нам доступных. Это место, где находятся некоторые из величайших и самых элегантных идей, которые мы знаем, место, где пытаются исследовать природу бесконечности, абстрактно описать форму и пространство и рассуждать о природе логики. Существует глубокая архитектурная красота зданий больших математических теорий. Математическая мысль — такая же часть нашего интеллектуального и эстетического наследия, как искусство и философия. Было бы стыдно пропустить все это великолепие, если бы вам пришлось это сделать.
Математика также является очень ярким примером получения удовольствия от интеллектуальной игры. Большие разделы математики появляются, когда кого-то записывает некоторые правила и изучает, что он может построить в рамках этих правил, задаваясь вопросом, какого типа объекты эти правила порождают, какой понятийной Вселенной они дают жизнь, и как объекты взаимодействуют в рамках этой Вселенной. Это похоже на то, как резвятся в неком фантастическом саду Борхеса.
Конечно, есть много других удовольствий. Можно получать удовольствие от изучения математического языка с его понятийной точностью и логической силой, удовольствие от перевода, когда вы начинаете видеть абстрактное общее в объектах, чтобы описать их математически. Есть и меньшие материальные удовольствия от занятий математикой, такие как тактильное удовольствие от исписывания большого количества листов бумаги, когда вы исследуете какую-либо идею. И математические обозначения очаровательны: греческие буквы и многочисленные закорючки, и множество символов, каждый из которых имеет собственную историю. Это то же очарование, я думаю, как и у алхимии или у символических эзотерических учений.
Изучение математики, доказательство теорем и решение задач требует времени, но что с того? Спешить некуда, и вы будете изучать некоторые из самых глубоких идей, какие у нас имеются. И удовольствие от изучения идеи, исследования ее со всех сторон, а затем захватывающий прыжок (или медленное карабканье), чтобы окончательно ее постичь, для вашей интуиции не имеет себе равных.
Итак, с чего начать? Удобно то, что многие учебники математики не требуют никаких предварительных знаний (по крайней мере формально, в них определяется все, что нужно, но недостаток опыта может сделать следование логическим переходам труднее). Для изучения ради удовольствия, с прицелом на эстетику, либо вещественный анализ (который изучает сложную структуру числовой прямой) или абстрактная алгебра (которая пытается абстрагироваться и изучать отношения, такие как сложение или умножение) хороши для начала. В конце статей Википедии об этих двух разделах математики есть ссылки к онлайн-учебникам, и многие университеты выкладывают свои курсы в режиме онлайн, так что довольно легко найти материалы для изучения.
Математика самостоятельно. С чего начать.
Ниже я подскажу как лучше подготовиться и без особой боли сдать экзамен.
1)Лучше начинать готовится заранее. Идеально с начала учебного года. В таком случае, мне сразу видно какие проблемы есть и можно не спеша разобрать пропущенные темы и нагонять отставание. При этом будет запас времени на случай болезни,отпуска,праздников,форсмажоров.
Количество уроков все равно примерно будет одинаковым, но при этом можно будет не «гнать лошадей в галоп», а заниматься не особо напрягаясь.
Смотрим, а Вася с трудом считает таблицу умножения и не помнит график параболы. В ходе беседы обнаруживаются еще пробелы за 6,7,8 класс.
Итак, с чего лучше начать?
2)Учим формулы. Без формул никуда. Заодно и для памяти тренировка.
Затраты времени 20-30 минут ежедневно. Надо знать все площади,объемы,свойства простейших фигур (по геом.) все формулы сокращенного умножения, свой-ва корней, степеней, графики функций и т.д. по алгебре.
3)Умение это все применять на практике. А вот тут нам уже и нужен репетитор.
Я думал тут секреты какие-то, а тут учиться надо. Тьфу!
Интересно, а сколько процентов населения помнит эти формулы сокращённого умножения и прочее перечисленное лет в 30?
Я сам знаю одного педагога, как раз по математике, который и специализируется на поднятии знаний именно таких «запущенцев», которые валяли дурака все время, а тут вспомнили про экзамены. Женщина в годах, но дай боже так зарабатывать всем. Хотя, что уж и говорить, педагогический талант от бога.
Пермская учительница закрыла собой учеников от нападавших. Интервью с Наталией Шагулиной
Это произошло в 2018 году в первую неделю после зимних каникул. В обычную школу в Перми вошли два подростка с ножами. Они ворвались в кабинет 4-го класса и начали наносить удары всем без разбора: и учительнице, и детям.
Учительница Наталия Шагулина получила 17 ножевых ранений, но сумела защитить своих учеников и вывести их из класса. Все пострадавшие выжили, хотя и провели в больнице несколько месяцев.
Обычно после таких случаев на всех каналах начинают разбирать и анализировать произошедшее. Наталия Шагулина не давала интервью и не бывала на ток-шоу, посвящённых школьному буллингу, его последствиям и другим больным темам. Но она согласилась принять участие в проекте «Подвиги», и с ней записали уникальный подкаст. Слушайте интервью – оно и о том нападении, к которому никто не был готов, и о выздоровлении, и о поддержке друг друга, о награде для Наталии и о наказании для преступников.
Друзья, предваряя возможные вопросы и пожелания на тему «Почему вы в посте всё сразу не напишете?», скажу: о Наталии мы писали много: и посты, и на своём сайте, и главу в книге. А подкаст – это новый формат для нас, а для вас – возможность послушать голос героя.
Во Владикавказе росгвардейцы спасли детей из охваченной огнем школы
Спасены более 500 детей, благодаря оперативным действиям никто не пострадал💪
Про гуманитария, математику и репетитора
Довелось учиться в позднем СССР/перестройку. В школе отставала по математике.
С ней была просто беда. Так, как по остальным предметам училась хорошо, математику мне «натягивали». Но в выпускном классе математику стала вести молодая амбициозная преподавательница, которая ставила то, что заслужил.
Итог: мне грозила двойка по математике и справка вместо аттестата.
Моя мать подсуетилась и наняла мне преподавательницу из технического ВУЗа. Очень приятную женщину в возрасте, еврейку. Таких мягких и очаровательных людей я редко встречала в жизни. С первого же урока я начала что-то понимать. Каждый урок шел буквально за год. Встречи были как праздник.
Контрольную годовую я написала на 5, и, одна единственная в классе, верно решила дополнительное задание. Учителя не понимали: я у кого-то списала? Но у кого, ведь никто не решил дополнительное задание!
Много лет мучительных страданий и всего несколько уроков у талантливого педагога.
Жизненная ситуация
На что собирают деньги в американской школе и про младшешкольное образование в целом
Осенний семестр подходит к концу и самое время написать пару слов о школе.
Начать наверное стоит с того что система американских школы выглядит запутанной по сравнению с российскими 1-11 класс.
До pre-k есть ещё 3-K, он тоже бесплатный, там по-моему часы с 8 до 4 дня, но эту программу сделали только несколько лет назад, поэтому мы на неё не попали, но смысл похожий бесплатная программа для 3 леток в больших детских садах, то есть детскому саду за неё платит город.
В Pre-k 4 леток знакомят с буквами и цифрами, учат писать своё имя и теоретически к K они уже приходят немножко подготовленные, но там конечно все равно заново проходят с детям алфавит, учат первые слова, писать коротенькие предложения и конечно писать. К концу учебного года ожидается что 5 летний ребёнок может написать коротенькое предложение типа I see my cat, my cat is black. И читать тексты похожего уровня. И впринципе на слух они уже могут писать многие слова, но понятно что с ошибками.
В начале года я ожидала список вещей которые нужно купить для школы, всякие там карандаши, фломастеры, листочки. Купила кое какие карандаши и так что то по мелочи. Сосисок так и не пришёл, сказала что в этом году школа полностью обеспечит детей всеми этими принадлежностями. Рюкзак тоже выдали, но ребёнок конечно захотел свой, а школьный используем для походов на кружки. Спросила учительницу не нужно ли купить какие то детям штучки типа наклеек, маленьких поощрительных «призов» которые обычно дают детям за хорошо сделаные задания, она сказала что этого ничего не надо, все есть.
Формы у нас нет, поэтому такой статьи расходов к школе как форма тоже нет.
Телефоны, телевизоры и прочее не дарят ни на какие праздники, это я сейчас вспомнила свой выпускной)
Никаких сборов на «парты» и прочей ерунды нет.
Из за пандемии дети сидят на уроках в масках кроме времени принятия пищи, ланч можно приносить с собой, можно брать в школе. Школьный ланч бесплатный, но по-моему самое съедобное что там дают это яблоко, морковку и молоко. Остальное это малосьедобные бургеры на ватном хлебе, или странные вещи типа тортильяс с соусом сальса, печеньки или крекеры, салат из зелёных листьев. Ребёнок из любопытства в начале года взял пару ланчей, откусил и остаток приносил домой, это реально малосьедобно. Завтрак тоже дают бесплатно, там вроде дают обычно хлопья с молоком. Короче полезного питания там не много, но есть те семьи где родители не парятся о том что ест ребёнок, поэтому спасибо хоть в школе кормят.
На праздники детям иногда устраивают какие то развлечения типа сбор тыкв на Хэллуин и дальнейших их дизайн) на тыквы деньги не собирали это было организовано от школы. Но на праздничный стол на День Благодарения чтобы дети тоже сделали себе праздничный ланч сказали принести фрукты или овощи или сладости на класс.
Обычно в школах есть всякие кружки для детей, но для этого возраста ничего не предлагалась нам в этом году, а может и из за пандемии, посмотрим что будет дальше.
Тем кто далеко живёт от школы бесплатно представляется школьный автобус, также как детям с инвалидностью, но так как мы живем близко нам не пришлось воспользоваться такой услугой от школы.
Вот наверно пока и все мои впечатления, в целом мне казалось что детям в таком возрасте тяжеловато учиться, по долгу сидеть на одном месте, но ребёнок не жалуется, кажется в саду он больше уставал, но возможно потому что там день был до 6, а в школе только до 2.
Математика в жизни: где нужна и как избежать
«Зачем мне эта ваша математика? Где она мне в жизни пригодится?» Разбираемся.
Катя Павловская для Skillbox Media
Этому дерзкому вопросу, по всей видимости, столько же лет, сколько математика вообще преподаётся. Ещё совсем недавно школьные учителя и вузовские преподаватели любили отвечать на него линейкой по лбу цитатой из Ломоносова про то, что якобы она, математика, «ум в порядок приводит».
К слову, эта знаменитая фраза со школьных плакатов, скорее всего, не является подлинной, а приписана Михаилу Васильевичу автором книги «История арифметики» И. Я. Депманом в 1959 году. Менее (или более) верной она от этого, конечно, не становится.
В наше время основной ответ прост: с математикой человек больше зарабатывает. Так, в рейтингах самых высокооплачиваемых профессий стабильно присутствуют финансисты и айтишники, а эти отрасли насквозь пронизаны разнообразной математикой.
Про «самую сексуальную профессию XXI века» яснее любых слов скажет старый мем.
Но что, если вы не алчный айтишник ищете своё призвание в медицине, искусстве, литературе, юриспруденции, дизайне, психологии или развлечениях? Насколько нужна будет вам математика в этом случае? Возможно ли вообще избежать встречи с ней?
Спойлер-1: да, возможно.
Спойлер-2: в какой-то момент, вероятно, станет проще её таки изучить.
Кандидат философских наук, специалист по математическому моделированию. Пишет про Data Science, AI и программирование на Python.
В быту
Где нужна. Математика — в виде элементарной арифметики — в повседневной жизни пригодится для расчёта:
Начала геометрии (площади и объёмы простых фигур) потребуются, когда вы будете подсчитывать количество необходимых материалов для ремонта в доме. Более продвинутая математика (функции и сложные проценты) нужна, если вы оцениваете стоимость кредита, лизинга или решаете, куда вложить свободные средства.
Как избежать. В наши дни все перечисленные и многие другие задачи совершенно не обязательно решать самому. В смартфонах есть калькуляторы, а в интернете, App Store и Google Play — сайты и приложения для расчёта чего угодно: рецептов, финансов, тренировок и путешествий.
Для покупки отделочных и строительных материалов вам нужно просто сказать продавцу размеры комнаты, дома или участка. Если вы инвестируете, то в вашем личном кабинете на сайте банка или брокера уже есть готовые решения на любую стратегию.
Приложения, сервисы и специально обученные люди считают точнее и быстрее, чем вы. Реально, вам даже таблицу умножения можно неделями не вспоминать, если не месяцами. Сколько там будет 7 × 9? …Всё! — математическая программа на неделю выполнена.
Что изучить, если не избегать. Устный счёт — например, систему Трахтенберга или ментальную арифметику. Площади треугольника, прямоугольника, круга, объёмы параллелепипеда, пирамиды, цилиндра, конуса, шара. Теорему Пифагора и формулу Герона. Формулу сложных процентов и начало курса про финансовые рынки на сайте Академии Хана.
Кроме «Википедии» и учебников для начальной и средней школы, можно прочитать классические книги Я. И. Перельмана по занимательной арифметике и математическим головоломкам. Если захочется чего-то посложнее, посмотрите книгу Сергея Самойленко про математику повседневной жизни.
В учёбе
Где нужна: для написания контрольных, получения зачётов и сдачи экзаменов. В России математика преподаётся даже на самых гуманитарных направлениях в школах и вузах, где зачастую скромный объём программы с лихвой компенсируется атмосферой всеобщего трепета перед ней.
Парадокс: заговора математиков по проникновению во все отрасли не существует, но математика тем не менее повсюду.
В литературоведении арифметика нужна для выяснения стихотворного размера, а статистический анализ текста используется для определения авторства. Музыкальное образование начинается со счёта для развития чувства ритма, а художественное — с рисования простейших геометрических фигур.
В социальных науках математика помогает понять связи или корреляции между площадью и населением, выраженными в числах, и ситуацией в регионе или стране. Письменный перевод (лингвистическая дисциплина) уже стал разделом компьютерных наук и, в своей теоретической части, математики.
Формулы классической логики, которая является краеугольным камнем философского и юридического образования, прочно связаны как с математической теорией множеств, так и с булевой алгеброй, лежащей в основе современных компьютеров.
Как избежать. Полностью уклониться от математики в учёбе, скорее всего, не получится, так что встречайте неизбежное с полагающимся самураю достоинством. Тем не менее снизить вероятность совсем уж хардкорного хардкора можно следующими путями:
Международный день математики — 14 марта, он же День числа пи. Неофициальный День математика в университетах нашей страны отмечается 1 апреля (не спрашивайте почему). Математикам не дают Нобелевскую премию — учтите это, если будете сочинять преподавателю поздравление с этими праздниками.
Что и как изучить. Преподаватели, и не только математики, весьма чувствительны даже к малейшим признакам неуважения к своему предмету. Поэтому от вас требуются собранность, дисциплина и прилежание — или как минимум их убедительная видимость.
Будьте осторожны со шпаргалками из интернета — как правило, преподаватели знают их все наизусть. К тому же бездумное заучивание не даёт понимания — а того, кто не понимает, о чём говорит, на экзамене видно сразу. Соответственно, риск дополнительных вопросов → стыд-позор-провал → пересдача.
Лучше всего потратить время на нормальное освоение темы — на основе тех же шпаргалок, — а также на знакомство с дополнительной литературой. Например, можно прочитать бестселлер Стивена Строгаца «Удовольствие от x»: автор обещает нам ни больше ни меньше «второй шанс для знакомства с математикой».
Для карьеры
Где нужна. Даже если ваша работа не связана с математикой напрямую, она может содержаться под капотом в разных инструментах типа формул и макросов в Excel или скриптов для анимации в After Effects.
Второй способ применения математики в карьере — это решение задач на собеседованиях, курсах повышения квалификации, профессиональных конкурсах и сертификационных экзаменах. Сюда относятся, начиная с самых распространённых:
Наконец, третий способ применения математики на работе — символический, когда важно не знание математики, а интерес к ней. Например, если гендир окончил мехмат МГУ, то руководителем департамента скорее станет тот, кто понимает (или старается понять) его шутки про матан и топологию.
Как избежать. Математика в рабочих инструментах спрятана глубоко, и обычному пользователю, как правило, недоступна и не нужна. Поэтому достаточно изучить инструкцию и освоить основные практические приёмы.
Для удовлетворительного решения тестов на IQ тоже можно обойтись без специального изучения математики. Здесь поможет обычный здравый смысл и, главное, опыт решения именно этого типа задач, которые в большинстве восходят к оригинальным тестам Айзенка.
Прочитайте разбор этих задач, сделанный академиком В. Васильевым, а также статью про силлогизмы, особенно часть про круги Эйлера.
Задачи с подвохом, не имеющие точного ответа, решаются с помощью вычисления Ферми. Это метод приближённой оценки чего угодно, основанный на имеющихся у вас знаниях о проблеме. Такие задачи призваны выявить не столько знание математики, сколько кругозор кандидата, его уверенность и способность рассуждать.
Наконец, для того чтобы понимать математиков, можно просто попросить объяснить. Коллеги тоже люди, им нравится чувствовать себя умными и образованными. Зачем-то же, в конце концов, они учились на мехмате?!
Что изучить, если хотите изучить. Решение квадратных уравнений и неравенств. Основные функции: линейная, квадратичная, кубическая, показательная, логарифмическая, тригонометрические. Их производные и интегралы. Начала комбинаторики и теории вероятностей.
Также обратите внимание на курсы в Skillbox, например «Excel + Google Таблицы с нуля до PRO».
Упражняться в решении тестов можно по сборникам вроде «Большой книги IQ-тестов» Ф. Картера и К. Рассела. Общую эрудицию — знание географии, биологии, истории, литературы — подтяните с помощью базы вопросов «Что? Где? Когда?». Ответы и ссылки на источники там есть.
Хорошие темы для small talk с коллегами, идентифицирующими себя как математиков, — это история, философия и методы этой науки. Книг на эту тему великое множество, посоветуем три и одну статью:
В 1960 году физик Юджин Вигнер написал статью «Непостижимая эффективность математики в естественных науках». Одно название ласкает слух любого математика («непостижимая»!), а идеи оттуда можно обсуждать часами — они, к слову, до сих пор звучат очень современно.
Например, гипотеза о связи сознания и квантовых процессов, развитая позднее физиком Роджером Пенроузом в книге «Новый ум короля».
Для хобби и саморазвития
Тем, кто увлекается ставками на исходы спортивных событий, не повредит знакомство с теорией вероятностей и математической статистикой. Базовая статистика нужна и для тайм-менеджмента, основанного на учёте и анализе потраченного времени.
Вообще, теория вероятностей — это один из наиболее практичных способов войти в математику. Главное, чему она учит:
Теорема Байеса, математическая индукция, закон больших чисел и другие методы решения самых разнообразных задач, которые даёт нам математика, лежат в основе рационального мышления, способствуют осознанности и, в конечном итоге, улучшают качество нашей жизни.
Книги, которые можно прочитать, начиная с самых доступных:
Для всего
Мыслить как математик — это значит уметь обобщать и моделировать. Это основы абстрактного мышления, а «использование правильных абстракций приводит к более глубокому проникновению в суть вопроса и большему могуществу при его решении» (С. Строгац, «Удовольствие от x»).
Абстрактное мышление является нашим эволюционным преимуществом — мы умеем с пользой для себя обращаться с тем, что невозможно учуять, увидеть или попробовать на зуб.
Теорикрафтинг (от англ. theorycrafting) — подбор оптимальной экипировки, расчёт урона, «оттачивание» и балансирование персонажа компьютерной игры с использованием специальных калькуляторов, формул и таблиц.
Макс Тегмарк — шведско-американский космолог и астрофизик, профессор MIT. Автор популярной книги «Наша математическая вселенная».