На что делится число 134
Информация о числах
Свойства и характеристики одного числа
Все делители числа, сумма и произведение цифр, двоичный вид, разложение на простые множители.
Свойства пары чисел
Наименьшее общее кратное, наибольший общий делитель, сумма, разность и произведение чисел.
Сейчас изучают числа:
Число 134
Сто тридцать четыре
RGB(0, 0, 134) или #000086
(возможное основание)
физическое, материальное, деньги, карьера, призвание, успех, влияние, сила, власть, судьба, справедливость, месть, карма
Описание числа 134
Целое неотрицательное число 134 является составным. Это полупростое число. 8 — сумма цифр данного числа. 4 — количество делителей числа. 134 и 0.007462686567164179 являются обратными числами.
Число 134 можно представить произведением: 2 * 67.
2 минуты 14 секунд представляет из себя число секунд 134. Цифра 8 — это нумерологическое значение числа 134.
Исследовательская работа по теме » Признаки делимости натуральных чисел» 6 класс
Онлайн-конференция
«Современная профориентация педагогов
и родителей, перспективы рынка труда
и особенности личности подростка»
Свидетельство и скидка на обучение каждому участнику
Конференция НОУ « Интеллект»
Муниципальное автономное общеобразовательное учреждение средняя школа № 8
Признаки делимости натуральных чисел
Лосева Анна, 6 В класс,
Орлова Ирина Викторовна,
учитель математики МАОУ СШ 8
СОДЕРЖАНИЕ
1. Введение …………………………………………………….. стр. 3-4
2. Теоретическая часть
2.1. Признаки делимости на 2, 3. 5, 9, 10 (школьный курс)……..стр. 5
2.2. Признаки делимости натуральных чисел на 4, 25, 50………стр. 6 2.3. Признаки делимости натуральных чисел на 7,11, 13, 17, 19, стр. 7-10
3. Практическая часть
3.1. Применение признаков делимости при решении задач……..стр. 11-12
5. Список литературы и интернет-ресурсов………………….….стр. 15
1. Введение
Актуальность: В начале учебного года на уроках математики мы изучали тему: «Признаки делимости натуральных чисел на 2, 3, 5, 9, 10». При изучении этой темы у нас не возникло никаких проблем, выучили признаки, научились их применять при выполнении заданий. Однако при подготовке к муниципальному этапу Всероссийской олимпиады школьников по математике наш учитель Ирина Викторовна предложила нам такую задачу : « В записи 52*2* замените звездочки цифрами так, чтобы полученное число делилось на 36. Укажите все возможные варианты» Мы с ребятами долго выполняли это задание методом подбора, кто-то смог найти одно число, но всех возможных вариантов решения никому не удалось найти. Когда нам Ирина Викторовна подсказала решение- оно оказалось очень простым, если знать признаки делимости на 39, на 9 и на 4. Ведь оказывается число делится на 36 тогда, когда оно делится на 9 и на 4. Так как сумма цифр нашего числа 5+2+2=9, то согласно признаку делимости на 9 сумма недостающих цифр должна равняться 0, 9 или 18. Учитывая признак делимости на 4, последняя цифра может быть лишь 0,4 или 8. Тогда ответами будут числа 52524, 52128,52020,52920. Итак, меня очень заинтересовал вопрос о признаках делимости чисел на другие числа, которые мы не изучали на уроках. Нет ли признаков делимости на 7? А на другие числа?
Кроме этого, Ирина Викторовна нам также сказала, что задачи с применением признаков делимости включены в базовый экзамен ЕГЭ.
Так как тема мне показалась достаточно актуальной, я решила написать исследовательскую работу по данной теме.
Гипотеза: Существуют признаки делимости натуральных чисел на другие числа, которые не изучаются в школьном курсе математики.
Объект исследования: Делимость натуральных чисел.
Предмет исследования: Признаки делимости натуральных чисел.
Цель: Найти признаки делимости натуральных чисел на другие числа, которые не изучаются в школьном курсе математики.
1. Повторить признаки делимости на 2, 3. 5, 9, 10, изученные мною в школе.
2. Исследовать самостоятельно признаки делимости натуральных чисел на 4, 8, 11, 13, 15, 17, 25, 50 и другие числа.
3. Изучить дополнительную литературу, подтверждающую правильность гипотезы о существовании других признаков делимости натуральных чисел и правильность выявленных мной признаков делимости.
4. Провести опрос учащихся 9 и 11 классов
5. Оформить материал
6. Представить результаты исследований. Составить буклет «Признаки делимости натуральных чисел».
В ходе выполнения проекта я пополнила свои знания о признаках делимости натуральных чисел.
Методы исследования: Сбор материала, обработка данных, наблюдение, сравнение, анализ, обобщение, проведение опроса среди учащихся по данной теме.
2 Теоретическая часть
2.1. Признаки делимости натуральных чисел (школьный курс).
При изучении данной темы необходимо знать понятия делитель, кратное, простое и составное числа.
Делителем натурального числа а называют натуральное число b , на которое а делится без остатка.
Простыми называются натуральные числа, которые имеют два делителя: 1 и само число. Например, числа 5,7,19 – простые, т.к. делятся на 1 и само себя.
Числа, которые имеют более двух делителей, называются составными. Например, число 14 имеет 4 делителя: 1, 2, 7, 14, значит оно составное.
2.2. Признаки делимости натуральных чисел на 4, 25, 50.
Выполняя действия деления, умножения натуральных чисел, наблюдая за результатами действий, я нашла закономерности и получила следующие признаки делимости.
Признак делимости на 4.
Умножая натуральные числа на 4, я заметила, что числа образованные из двух последних цифр числа делятся на 4 без остатка.
Признак делимости на 4 читается так:
Натуральное число делится на 4 тогда, когда две его последние цифры 0 или образуют число, делящееся на 4.
Признак делимости на 25.
Выполняя умножение натуральных различных чисел на 25, я увидела такую закономерность: произведения оканчиваются на 00, 25, 50, 75.
Значит, натуральное число делится на 25, если оканчивается цифрами 00, 25, 50, 75.
Признак делимости на 50.
На 50 делятся числа: 50, 100, 150, 200, 250, 300,… Они оканчиваются либо на 50, либо на 00.
Значит, натуральное число делится на 50 тогда и только тогда, когда оканчивается двумя нулями или 50.
2.3. Признаки делимости натуральных чисел на 7, 11, 13, 17, 19.
Из дополнительной литературы я нашела подтверждение правильности сформулированных нами признаков делимости натуральных чисел на 4, 25, 50. Так же я нашел несколько признаков делимости на 7:
1. Натуральное число делится на 7 тогда и только тогда, когда разность числа тысяч и числа, выражаемого последними тремя цифрами, делится на 7.
478009 делится на 7, т.к. 478-9=469, 469 делится на 7.
479345 не делится на 7, т.к. 479-345=134, 134 не делится на 7.
2. Натуральное число делится на 7, если сумма удвоенного числа, стоящего до десятков и оставшегося числа делится на 7.
4592 делится на 7, т.к. 45·2=90, 90+92=182, 182 делится на 7.
57384 не делится на 7, т.к. 573·2=1146, 1146+84=1230, 1230 не делится на 7.
252 делится на 7, т.к. 2+5=7, 7/7.
636 не делится на 7, т.к. 6+3=9, 9 не делится на 7.
4. Трехзначное натуральное число вида b аа будет делиться на 7, если сумма цифр числа делится на 7.
455 делится на 7, т.к. 4+5+5=14, 14/7.
244 не делится на 7, т.к. 2+4+4=12, 12 не делится на 7.
5. Трехзначное натуральное число вида аа b будет делиться на 7, если 2а- b делится на 7.
882 делится на 7,т.к. 8+8-2=14, 14/7.
996 не делится на 7, т.к. 9+9-6=12, 12 не делится на 7.
6. Четырехзначное натуральное число вида b аа , где b -двухзначное число, будет делиться на 7, если b +2а делится на 7.
2744 делится на 7, т.к. 27+4+4=35, 35/7.
1955 не делится на 7, т.к. 19+5+5=29, 29 не делится на 7.
7. Натуральное число делится на 7 тогда и только тогда, когда результат вычитания удвоенной последней цифры из этого числа без последней цифры делится на 7.
483 делится на 7, т.к. 48-3·2=42, 42/7.
564 не делится на 7, т.к. 56-4·2=48, 48 не делится на 7.
8. Натуральное число делится на 7 тогда и только тогда, когда сумма произведений цифр числа на соответствующие остатки получаемые при делении разрядных единиц на число 7, делится на 7.
10000 ׃ 7=1428 (ост 4)
100000 ׃ 7=14285 (ост 5)
1000000 ׃ 7=142857 (ост 1) и снова повторяются остатки.
Число 1316 делится на 7, т.к. 1·6+3·2+1·3+6=21, 21/7(6-ост. от деления 1000 на 7; 2-ост. от деления 100 на 7; 3- ост. от деления 10 на 7).
Признаки делимости на 11.
1. Число делится на 11, если разность суммы цифр стоящих на нечетных местах, и суммы цифр, стоящих на четных местах, кратна 11.
Разность может быть отрицательным числом или 0, но обязательно должна быть кратной 11. Нумерация идет слева направо.
2 135704 2+3+7+4=16, 1+5+0=6, 16-6=10, 10 не кратно 11, значит, это число не делится на 11.
1 352736 1+5+7+6=19, 3+2+3=8, 19-8=11, 11 кратно 11, значит, это число делится на 11.
2. Натуральное число разбивают справа налево на группы по 2 цифры в каждой и складывают эти группы. Если получаемая сумма кратна 11, то испытуемое число кратно 11.
Пример: Определим, делится ли число 12561714 на 11.
Разобьем число на группы по две цифры в каждой: 12/56/17/14; 12+56+17+14=99, 99 делится на 11, значит, данное число делится на 11.
3. Трехзначное натуральное число делится на 11, если сумма боковых цифр числа равна цифре, которая в середине. Ответ будет состоять из тех самых боковых цифр.
594 делится на11, т.к. 5+4=9, 9-в середине.
473 делится на 11, т.к. 4+3=7, 7- в середине.
861 не делится на 11, т.к. 8+1=9, а в середине 6.
1. Натуральное число делится на 13, если разность числа тысяч и числа, образованного последними тремя цифрами, делится на 13.
Число 465400 делится на 13, т.к. 465 – 400 = 65, 65 делится на 13.
Число 256184 не делится на 13, т.к. 256 – 184 = 72, 72 не делится на 13.
Признак делимости на 19
Натуральное число делится на 19 без остатка тогда и только тогда, когда число его десятков, сложенное с удвоенным числом единиц, делится на 19.
Следует учесть, что число десятков в числе надо считать не цифру в разряде десятков, а общее число целых десятков во всем числе.
1534 десятков-153, 4·2=8, 153+8=161, 161 не делится на 19,значит, и 1534 не делится на 19.
1824 182+4·2=190, 190/19, значит, число 1824/19.
Все перечисленные признаки делимости натуральных чисел можно разделить на 4 группы:
Ø 1группа- когда делимость чисел определяется по последней(им) цифрой (ми) – это признаки делимости на 2, на 5,на разрядную единицу, на 4, на 8, на 25, на 50;
Ø 2 группа – когда делимость чисел определяется по сумме цифр числа – это признаки делимости на3, на 9, на 7(1 признак), на 11, на 37;
Ø 3 группа – когда делимость чисел определяется после выполнения каких-то действий над цифрами числа – это признаки делимости на 7, на 11, на 13, на 19;
3. Практическая часть
3.1. Применение признаков делимости при решении задач
Рассмотрим применение признаков делимости натуральных чисел на примере
Вычеркните в числе 181615121 три цифры так, чтобы получившееся число делилось на 12. В ответе укажите какое-нибудь одно такое число.
Решение .
Признак делимости на 4: Натуральное число делится на 4 тогда и только тогда, когда две его последние цифры 0 или образуют число, делящееся на 4.
Признак делимости на 3: Если сумма цифр числа делится на 3, то и число делится на 3; если сумма цифр числа не делится на 3, то и число не делится на 3.
Следующая задача из Открытого банка заданий Федеральнного института педагогических измерений.
Приведите пример пятизначного числа кратного 12, произведение цифр которого равно 40. В ответе укажите ровно одно такое число.
Ответ: 21252 Таким образом, мы убедились в применении признаков делимости натуральных чисел при решении задач.
Рассмотрев задачи, мне стало интересно, а знают ли наши выпускники о признаках делимости. И я решила совместно с учителем провести небольшую работу, взяв 4 задания из открытого банка заданий ФИПИ базового ЕГЭ. (Приложение 1) Я заметила, что выпускники испытывают затруднения при выполнении этих заданий. После этой работы я показала презентацию и рассказала о признаках делимости натуральных чисел, которые могут быть полезны при выполнении этих заданий. И подарила выпускникам памятки « Признаки делимости натуральных чисел» Затем снова предложила 4 аналогичных задания ЕГЭ. Сравнивая результаты, я увидела что после моей презентации большее количество выпускников справились с заданием 19 ЕГЭ на применение признаков делимости.
3.2Анкетирование «Помогают Вам признаки делимости при делении?»
Анкетирование проводилось среди обучающихся 11 классов. В опросе приняли участие 38 обучающихся МАОУ СШ 8 г. Бор. Им было предложено ответить на следующие вопросы:
1. Нужно ли уметь выполнять арифметические действия с натуральными числами современному человеку?
2. Какие вы знаете признаки делимости натуральных чисел?
3. Помогают ли вам признаки делимости натуральных чисел при делении?
4. А хотели бы узнать еще о других признаках делимости натуральных чисел?
80% опрошенных считают, что современному человеку нужно уметь считать.
Большинство обучающихся знают признаки делимости, изученные в школе
на 2,3, 5, 10. – это 87%
88 % опрошенных считают, что признаки делимости помогают при делении.
По результатам проведенного анкетирования 76 % опрошенных хотели бы познакомиться с признаками делимости, не изученными в школе.
Работая с разными источниками, я убедилась в том, что существуют другие признаки делимости натуральных чисел (на 7, 11, 13, 19), что подтвердило правильность гипотезы о существовании других признаков делимости натуральных чисел.
Решая задачи я убедилась, что з нание и использование выше перечисленных признаков делимости натуральных чисел значительно упрощает многие вычисления, экономит время; исключает вычислительные ошибки, которые можно сделать при выполнении действия деления. Следует отметить, что формулировки некоторых признаков сложны. Может быть, поэтому они не изучаются в школе.
Собранный мной материал я оформила в виде памятки, который можно использовать на уроках математики, на занятиях математического кружка. Учителя математики могут использовать его при изучении данной темы. Также рекомендую ознакомиться со своей работой старшеклассников, которые хотят получить высокие баллы на экзаменах по математике. Перед 11-классниками своей школы я выступила, рассказала о признаках делимости, показала решение задач и раздала им бук.
В дальнейшем планирую рассмотреть такие вопросы:
-историю возникновения признаков делимости;
5. СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ И ИНТЕРНЕТ – РЕСУРСОВ
2. Мерзляк, Якир, Полонский, учеб. для общеобразоват. учреждений /— 25-е изд., стер. — Вентана Граф 2017. — 288 с.
- Лучше один раз увидеть чем сто раз услышать на немецком языке
- Менталитет что это такое простыми словами