Рассмотрим деление на 100 натуральных чисел и дробей в теории и на примерах.
До изучения десятичных дробей делить на 100 можно было только числа, в записи которых две последние цифры — нули.
Если запись натурального числа оканчивается двумя нулями, чтобы разделить число на 100, эти два нуля нужно убрать.
В общем случае делить на 100 можно любое число.
Правило деления на 100
Чтобы разделить число на 100, надо запятую в записи этого числа перенести на две цифры влево.
Если перед запятой стоят две цифры, при делении на 100 запятую переносим влево на две цифры и перед запятой пишем нуль:
Если перед запятой стоит всего одна цифра, при переносе запятой влево на два знака дописываем перед этой цифрой нуль, ставим запятую и перед запятой также ставим нуль:
В записи натурального числа запятую в конце не пишут:
Деление на 100 натурального числа проводим аналогично, то есть переносим запятую на две цифры влево. Нули после запятой, стоящие в конце записи числа, не пишем:
Обыкновенные дроби делим на 10 по правилу деления дроби на число.
а) Найдите наименьшее натуральное число такое, что оно не является делителем 100!
б) Определите, на какую наибольшую степень 10 делится 100!
в) Найдите последнюю ненулевую цифру в записи числа, равного 100!
а) Ясно, что число 100! делится на все натуральные числа от 1 до 100. Несложно проверить, что число 101 является простым, поэтому 100! на него не делится (в разложении 100! на простые множители нет простых множителей, больших ста).
б) Разложим число 100! на простые множители. Среди чисел от 1 до 100 ровно 20 (5,10,15. ) делится на 5, и еще 4 (25,50,75,100) делятся на поэтому число 5 будет входить в разложение в двадцать четвертой степени. Ясно, что число 2 будет входить в разложение 100! в степени, большей, чем 24. Поэтому 100! делится на и не делится на
в) Рассмотрим сначала последнюю цифру произведения всех чисел от 1 до 100, не кратных 5. Для этого посчитаем последнюю цифру произведения Она равна 6. Последняя цифра произведения тоже будет 6. Сделаем, однако, хитрость и число в произведение не включим. Тогда последняя цифра произведения будет равна 4. Аналогично, последняя цифра произведения всех чисел от 1 до 100, не кратных 5, исключая число 64, будет равна 4, так как при умножении чисел, заканчивающихся на 6 и на 4, получается число, заканчивающееся на 4. Теперь посмотрим на последнюю ненулевую цифру числа Она равна последней ненулевой цифре произведения Последняя ненулевая цифра такого произведения равна 1.
В итоге получаем, что последняя ненулевая цифра числа 100! равна 4 (произведение чисел, оканчивающихся на 1 и 4, оканчивается на 4).
Ответ: а) 101; б) 24; в) 4.
Критерии оценивания выполнения задания
Баллы
Верно получены все перечисленные (см. критерий на 1 балл) результаты.
4
Верно получены три из перечисленных (см. критерий на 1 балл) результатов.
3
Верно получены два из перечисленных (см. критерий на 1 балл) результатов.
2
Верно получен один из следующих результатов:
— обоснованное решение п. б;
— обоснование в п. в того, что S может принимать все целые значения (отличные от −1 и 1);
В данный момент вы не можете посмотреть или раздать видеоурок ученикам
Чтобы получить доступ к этому и другим видеоурокам комплекта, вам нужно добавить его в личный кабинет, приобрев в каталоге.
Получите невероятные возможности
Конспект урока «Деление с остатком на 10, 100, 1 000»
Сегодня я хочу вам рассказать, как делятся числа на десять, сто, тысячу. Но прежде чем приступить к делению, давайте вспомним несколько примеров из таблицы умножения. Умножим на десять все однозначные числа.
А теперь попробуем составить обратные примеры на деление, в которых делителем будет число десять.
Как видите, на десять делятся те числа, которые оканчиваются нулём, то есть круглые числа. А как вы думаете, можно ли на десять разделить число с двумя нулями в конце? Например, число триста? Ну конечно же можно. Хоть два нуля, хоть три, четыре. Просто в частное записывается то же число, что стояло в делимом, но без последней цифры, то есть в нём нулей становится на один меньше по сравнению с делимым.
Но иногда на десять надо разделить некруглое число, без нулей в конце. Как это сделать?
Допустим, на десять надо разделить число шестьдесят три. Оно некруглое, значит, на десять без остатка его разделить не получится. Разделить число на десять – это значит узнать, сколько раз по десять в нём содержится.
Давайте на минутку вернёмся во второй класс и вспомним, как мы составляли двузначные числа из счётных палочек. Десять – это один десяток.
В числе шестьдесят три шесть таких десятков и три единицы.
То есть, разделив шестьдесят три на десять, мы получаем частное шесть, а три единицы – это остаток.
А всё ли я вычислила правильно? Надо выполнить проверку.
Остаток три меньше делителя. Умножаю частное на делитель и прибавляю остаток. Всё верно. Ответ – шестьдесят три.
А если, к примеру, надо разделить число девяносто восемь на десять. В этом числе девять десятков, то есть, в нём по десять содержится девять раз. Да ещё восемь единиц. Ответ: девять и остаток восемь.
То есть, при делении любого числа на десять, ответом будет то же делимое, но без цифры, которая стояла в разряде единиц. Все единицы перейдут в остаток.
Значит, при делении на десять мы определяем, сколько всего десятков в этом числе. Это и будет частным. А все единицы делимого переходят в остаток.
Без остатка на десять делятся только числа, оканчивающиеся нулями.
Ну а если надо какое-нибудь число разделить не на десять, а на сто? В этом случае мы определяем, сколько всего сотен в делимом. Такое число и будет частным.
Надо, например, разделить пятьсот восемьдесят шесть на сто. В делимом пять сотен. Пять и будет частным, а всё, что меньше сотни, то есть десятки и единицы, являются остатком.
А если мы четыре тысячи девятьсот двенадцать разделим на сто. В делимом всего сорок девять сотен. Значит, частное равно сорока девяти, а двенадцать – это остаток.
4 912 : 100 = 49 (ост. 12)
Проверка: 1) 12 ˂ 100
2) 49 · 100 + 12 = 4 912
Без остатка на сто делятся только те числа, у которых в конце не менее двух нулей.
365 000 : 100 = 3 650
Я думаю, вы уже догадались, что если мы делим число на тысячу, то частное равно количеству тысяч в делимом, а всё, что меньше тысячи, то есть сотни, десятки и единицы являются остатком.
139 054 : 1 000 = 139 (ост. 54)
Проверка: 1) 54 ˂ 1 000
2) 139 · 1 000 + 54 = 139 054
Без остатка на тысячу делятся только те числа, у которых в конце не менее трёх нулей.
120 000 : 1 000 = 120
Вот и подходит к концу наша встреча. Я надеюсь, вы поняли, что:
* При делении некруглого числа на десять, в частное записываем делимое без единиц. Единицы переходят в остаток. Разрядов в частном по сравнению с делимым становится на один меньше.
* При делении числа на сто, в частное записываем делимое без десятков и единиц. Они переходят в остаток. Разрядов в частном по сравнению с делимым становится на два меньше.
* При делении числа на тысячу, в частное записываем делимое без сотен, десятков и единиц. Они переходят в остаток. Разрядов в частном по сравнению с делимым становится на три меньше.
В статье рассматриваются понятия простых и составных чисел. Даются определения таких чисел с примерами. Приводим доказательство того, что количество простых чисел неограниченно и произведем запись в таблицу простых чисел при помощи метода Эратосфена. Будут приведены доказательства того, является ли число простым или составным.
Простые и составные числа – определения и примеры
Простые и составные числа относят к целым положительным. Они обязательно должны быть больше единицы. Делители также подразделяют на простые и составные. Чтобы понимать понятие составных чисел, необходимо предварительно изучить понятия делителей и кратных.
Составными числами называют целые числа, которые больше единицы и имеют хотя бы три положительных делителя.
Единица не является ни простым ни составным числом. Она имеет только один положительный делитель, поэтому отличается от всех других положительных чисел. Все целые положительные числа называют натуральными, то есть используемые при счете.
Простые числа – это натуральные числа, имеющие только два положительных делителя.
Составное число – это натуральное число, имеющее более двух положительных делителей.
Натуральные числа, которые не являются простыми, называют составными.
Таблица простых чисел
Для того, чтобы было проще использовать простые числа, необходимо использовать таблицу:
Рассмотрим теорему, которая объясняет последнее утверждение.
Наименьший положительный и отличный от 1 делитель натурального числа, большего единицы, является простым числом.
Простых чисел бесконечно много.
Видно, что может быть найдено любое простое число среди любого количества заданных простых чисел. Отсюда следует, что простых чисел бесконечно много.
Решето Эратосфена
Данный способ неудобный и долгий. Таблицу составить можно, но придется потратить большое количество времени. Необходимо использовать признаки делимости, которые ускорят процесс нахождения делителей.
Перейдем к формулировке теоремы.
Данное число простое или составное?
Перед решением необходимо выяснять, является ли число простым или составным. Зачастую используются признаки делимости. Рассмотрим это на ниже приведенных примере.
Доказать что число 898989898989898989 является составным.
поэтому число 5 будет входить в разложение в двадцать четвертой степени. Ясно, что число 2 будет входить в разложение 100! в степени, большей, чем 24. Поэтому 100! делится на 
и не делится на 
Она равна 6. Последняя цифра произведения 
тоже будет 6. Сделаем, однако, хитрость и число 
в произведение не включим. Тогда последняя цифра произведения 
будет равна 4. Аналогично, последняя цифра произведения всех чисел от 1 до 100, не кратных 5, исключая число 64, будет равна 4, так как при умножении чисел, заканчивающихся на 6 и на 4, получается число, заканчивающееся на 4. Теперь посмотрим на последнюю ненулевую цифру числа 
Она равна последней ненулевой цифре произведения 
Последняя ненулевая цифра такого произведения равна 1.
