Наудачу выбрано двузначное число какова вероятность того что это число кратно 5

Практикум по «теории вероятностей»

Теория вероятностей.
Классическое определение вероятности.

3. Подбрасываются два игральных кубика, подсчитывается сумма очков на верхних гранях. Найти вероятность события В, состоя­щего в том, что на верхних гранях кубиков в сумме будет 9 очков.

4. Наудачу выбрано натуральное число, не превосходящее 10. Какова вероятность того, что это число является простым?

5. Подбрасываются две симметричные монеты. Чему равна вероятность того, что на верхних сторонах обеих монет оказались цифры?

6. Какова вероятность того, что в наудачу выбранном дву­значном числе цифры одинаковы?

7. Из букв слова дифференциал наугад выбирается одна буква. Какова вероятность того, что эта буква будет: а) гласной, б) согласной, в) буквой ч?

8. Подбрасывается два игральных кубика, отмечается чис­ло очков на верхней грани каждого кубика. Найти вероятность того, на обоих кубиках выпало одинаковое число очков.

9. В книге 300 страниц. Чему равна вероятность того, что наугад открытая страница будет иметь порядковый номер, кратный 5?

Ответы к упражнениям

3. В этом испытании всего б 2 = 36 равновозможных элемен­тарных исходов (см. табл. 1.1). событию В благоприятствуют 4 исхода:

(3;6), (4;5), (5;4), (6;3), поэтому P ( B )=4/36=1/9.

4. Обозначим буквой С событие «выбранное число является простым». В данном случае n =10, т =4 (простые числа 2, 3, 5, 7). Следовательно, искомая вероятность P(C)=4/10=0,4.

6. Двузначными числами являются числа от 10 до 99; всего таких чисел 90. Одинаковые цифры имеют 9 чисел (это числа 11, 22, 33, 44, 55, 66, 77, 88, 99). Так как в данном случае т = 9, п = 90, то P ( A )=9/90=0,1, где А — событие «число с одинаковыми цифрами».

8. Обозначим это событие буквой А. Событию А благопри­ятствуют 6 элементарных исходов: (1;1), (2;2), (3;3), (4;4), (5;5), (6;6). Всего равновозможных элементарных исходов, образующих полную группу событий, в данном случае и=6 2 =36 (см. табл. 1.1). Значит, искомая вероятность Р(А)=6/36=1/6=0,167.

9. Из условия задачи следует, что всех равновозможных элементарных исходов, образующих полную группу событий, будет п = 300. Из них m = 60 благоприятствуют наступлению указанного события. Действительно, номер, кратный 5, имеет вид 5 k , где k — натураль­ное число, причем 0 k 300, откуда k 300/5 = 60. Следовательно, P ( A )=60/300=1/5=0,2. где А — событие «страница имеет порядковый номер, кратный 5».

Теоремы сложения и умножения вероятностей

1 . Подбрасывается игральный кубик. Чему равна вероятность того, что выпадет четное число очков?

2. В урне 40 шариков: 15 голубых, 5 зеленых и 20 белых. Какова вероятность того, что из урны будет извлечен цветной шарик?

3. Подбрасываются два игральных кубика. Найти вероят­ность события А — «сумма выпавших очков не превосходит четырех».

6. В урне находится 8 красных и б голубых шаров. Из урны последовательно без возвращения извлекается 3 шара. Найти вероятность того, что все 3 шара голубые.

7. Три стрелка попадают в мишень соответственно с вероятностями 0,85, 0,8, 0,7. Найти вероятность того, что при одном выстреле хотя бы один из них попадет в мишень.

8. Найти вероятность совместного появления цифры при одном подбрасывании двух монет.

10. В каждом из трех ящиков находится по 30 деталей, и первом ящике 27, во втором 28, в третьем 25 стандартных деталей. Из каждого ящика наудачу вынимают по одной детали. Какова вероятность того, что все три вынутые детали окажутся стандартными.

11. Найти вероятность того, что наудачу взятое двузначное число окажется кратным или 2, или 7, или тому и другому одновременно.

12. В урне 6 голубых и 4 красных шара. Из нее извлекают подряд два шара. Какова вероятность того, что оба шара голубые?

13. В мастерской работают два мотора, независимо друг от друга. Вероятность того, что в течение часа первый мотор не потре­бует внимания мастера, равна 0,85, а для второго мотора эта вероят­ность равна 0,8. Найти вероятность того, что в течение часа ни один из моторов не потребует внимания мастера.

14. На 30 одинаковых жетонах написаны 30 двузначных чисел от 1 до 30. Жетоны помещены в пакет и тщательно перемешаны. Какова вероятность вынуть жетон с номером, кратным 2 или З?

15. В ящике 15 шаров, из которых 5 голубых и 10 красных. Из ящика последовательно вынимают 2 шара; первый шар в ящик не возвращают. Найти вероятность того, что первый вынутый шар окажется голубым, а второй – красным.

Ответы к упражнениям

Замечание. Тот же результат можно получить непосредственно. Дей­ствительно, событию A благоприятствуют 6 элементарных исходов: (1, 1), (1, 2), (2,1), (1, 3), (3, 1), (2, 2). Всего же элементарных исходов, образующих полную группу событий, п = 36, поэтому Р( A )=6/36=1/ 36.

4. События А — «попадание в первый сектор» и В — «попада­ние во второй сектор» несовместны (попадание в один сектор исключает попадание во второй), поэтому применима теорема сложения вероятно­стей несовместных событий. В соответствии с этой теоремой находим искомую вероятность:

События А и В независимы, поэтому искомую вероятность найдем по формуле : Р(АВ)=Р(А)Р(В) =1 /2*1/2=1/4 .

11. Введем обозначения для событий: А — «наудачу взято двузначное число кратно 2», В — «наудачу взятое двузначное число кратно 7». Необходимо найти Р(А+В) . Поскольку А и В — совместные события, то следует пользоваться формулой (1.8.1). Двузначных чисел всего 90 (это числа от 10 до 99). 45 из этих чисел кратны 2 (являются четными), они благоприятствуют событию А. 13 из этих чисел кратны 7; 7 чисел кратны 2 и 7 одновременно (благоприятствуют событию АВ) Таким образом, P ( A )=45/90=0,5, P ( B )=13/90, P ( AB )=7/90,

Следовательно, P ( A + B )= P ( A )+ P ( B )- P ( AB )=45/90+13/90-7/90=51/90.

12. Пусть событие А — «появление голубого шара при первом извлечении», а событие В — «появление голубого шара при втором извле­чении». Найдем вероятность события АВ. Поскольку P ( A )=6/10=3/5, P ( B / A )=(6-1)/(10-1)=5/9 то Р(АВ)=Р(А)*Р(В/А) =3/5*5/9=1/3

13. Ведем обозначения для событий: А — «первый мотор не потребует к себе внимания мастера в течение часа», В — «второй мотор не потребует внимания в течение часа». Найдем вероятность события АВ. Поскольку А и В независимые события, то

14. Обозначим события: А — «извлечен жетон с четным номе­ром», В — «извлечен жетон с номером, кратным З»; АВ — «извлечен жетон с четным номером, кратным З». Найдем вероятность события А + В. По­скольку А и В — совместные события, то

P ( A + B )= P ( A )+ P ( B )- P ( AB )=15/30+10/30-5/30=20/30=2/3=0,667.

(Событию А благоприятствуют 15 элементарных исходов, событию В — 10 исходов, событию АВ — 5 исходов).

P ( A )=5/15=1/3, P ( B / A )=10/14=5/7

В соответствии с первой из формул получаем

P ( AB )= P ( A )* P ( B / A )=5/10*10/14=5/21=0,238.

В соответствии с формулой (1.8.11) при n = 4 получаем

P ( ABCD ) = P ( A )* P ( B / А)*Р(С / AB )* P ( D / АВС) = 1/3*3/5*1/4*2/3=1/30.

Самостоятельная работа.

Теория вероятностей.
Классическое определение вероятности.

1. Наудачу выбрано натуральное число, не превосходящее 30. Како­ва вероятность того, что это число кратно З?

2. В урне а красных и в голубых шаров, одинаковых по размерам и весу. Чему равна вероятность того, что наудачу извлеченный шар из этой урны окажется голубым?

3. Наудачу выбрано число, не превосходящее 30. Какова вероят­ность того, что это число является делителем 30?

4. В урне а голубых и в красных шаров, одинаковых по размерам и весу. Из этой урны извлекают один шар и откладывают в сторону. Этот шар оказался красным. После этого из урны вынимают еще один шар. Найти вероятность того, что второй шар также красный.

5. Наудачу выбрано натуральное число, не превосходящее 50. Како­ва вероятность того, что это число является простым?

Теоремы сложения и умножения вероятностей

1. Предприятие дает в среднем 25% продукции высшего сорта и 65% продукции первого сорта. Какова вероятность того, что случайно взятое изделие окажется первого или высшего сорта?

2. Каждое из четырех несовместных событий может произойти со­ответственно с вероятностями 0,014, 0,011, 0,009, 0,006. Найти вероят­ность того, что в результате опыта произойдет хотя бы одно из этих со-5ытий.

3. Стрелок производит один выстрел в мишень, состоящую из цен­трального круга и двух концентрических колец. Вероятность попадания в круг и кольца соответственно равны 0,35, 0,20, 0,15. Какова вероят­ность попадания в мишень?

4. Определить вероятность того, что наудачу взятое двузначное число окажется кратным либо 2, либо 9, либо тому и другому одно­временно.

5. Найти вероятность того, что при подбрасывании игрального ку­бика на верхней грани окажется четное или кратное трем число очков.

6. На десяти карточках напечатаны цифры от 0 до 9. Определить ве­роятность того, что три наудачу взятые и поставленные в ряд карточки составят число 357.

7. Производится 4 выстрела по мишени с вероятностью попадания 0,2 при отдельном выстреле. Попадания в мишени при различных вы­стрелах предполагаются независимыми событиями. Какова вероятность попадания в цель ровно три раза?

Источник