Как доказать что круг это квадрат

Квадратура круга: наглядное доказательство

Словесные доказательства с трудом даются тем, кто привык мыслить визуально. Поэтому в математике так важна визуальная интуиция. Доказательства из таких пособий, как и «Евклид Начала: первые 6 книг» и «Доказательства без слов: учебник по визуальному мышлению» даются пониманию при взгляде на их страницы. Я рекомендую эти книги к прочтению каждому, кто интересуется доказательствами других математических проблем.

К примеру, мы помним из школьного курса, что площадь круга вычисляется по формуле π x r², но можем ли мы доказать, что эта формула справедлива для каждой возможной окружности?

Величайший из математиков Евклид нашёл доказательства этой формулы настолько простое, что теперь студенты изучают начала интегрального исчисления по нему. Евклид рассуждал так: круг можно поделить на четыре, шесть, шестнадцать, или бесконечно много равных частей, а потом расставить их так, чтобы получился прямоугольник.

Первое что нам нужно сделать — начертить окружность. Затем, мы разделим круг на 8 равных частей и расставим их в похожую на прямоугольник форму. Мы почти получили прямоугольник.

Повторим процесс, на этот раз с 32 равными частями. Если расставить их таким же образом как в предыдущем примере, то мы получим что-то ещё более похожее на прямоугольник.

Это значит, что если разделить круг на ещё больше равных частей — происходит удивительное, форма начинает приближаться к идеальному прямоугольнику.

Насколько много должно быть частей чтобы получить идеальный прямоугольник? Для этого его части должны быть бесконечно малыми — такими, что невозможно различить толщину, и стороны становятся почти вертикальными.

Таким образом, πr² может использоваться для вычисления площади любой из существующих окружностей.

Источник

Квадратура круга

Есть в истории одна замечательная математическая задача, которая превратилась из простого развлечения для ума философов древней Греции, в весьма непростую проблему, которая оказала влияние на науку в огромных масштабах… Хотя, так и не была решена. Сначала все казалось простым: как нарисовать квадрат такой же площади как круг?

Квадратура круга

Но греки, прекрасно зная «египетскую математику» задались вопросом, как именно можно построить квадрат имея только циркуль и линейку. И принялись искать ответ. Оказалось, что все очень сложно. Для начало нужно выяснить как вообще посчитать площадь круга?

Проблемой занимался Гиппократ, Анаксагор, Динострат и Архимед, но никто так и не смог предложить окончательное решение. Хотя то, что делал, например, Архимед, намного опередило свое время. Великий ученый в своем труде «Измерение круга» вывел сразу 3 теоремы.

Решение Архимеда

Откуда берется площадь круга?

Из треугольника

Площадь круга равна площади прямоугольного треугольника, если один его катет — это радиус, а второй — длинна окружности. Объясняется это просто. Если взять круг и разрезать (лучше мысленно) его на меньшие круги, то их можно уложить в треугольник.

На рисунке ниже видно, что синий круг «разворачивается» в прямую меньше длинны чем красный. Итак, каждая новая лента будет короче предыдущей. Самая длинная — ВС в треугольнике, она же L, то есть длинна окружности.

Считаем площадь треугольника: S=(AB*BC)/2 То же самое что и S=(R*L)/2. Все правильно. Только, что такое длинна круга? Мы то знаем, что это диаметр (или 2 радиуса) умноженное на число «пи», а вот Архимеду откуда это было знать? И главное, как с помощью линейки нарисовать линию длинной в «пи».

Если взять круг и «разрезать» его на 4 части получится 4 равных равнобедренных «треугольника» (только одна из сторон у них будет не прямой). Две стороны будут равняться радиусу (красные линии), а третья 1/4 длинны круга.

Далее собираем 4 части вместе как показано на рисунке выше. Радиус к радиусу. Получим интересный рисунок. Две ровные стороны и две кривые. Ровные — радиусы, а две «волны» сверху и снизу будут равняться половине длинны круга. На что это похоже? На кривобокий параллелограмм. Но это пока.

Начинаем делить круг на более мелкие части и собирать их снова. Получаем почти прямоугольник, боковушки у которого по-прежнему R, а вот верхняя и нижняя часть все те же волны, все той же длинны L/2. Но с каждым делением «горбики» становятся все меньше и меньше и вот они уже почти незаметны. Делить надо до тех пор, пока он не превратится в почти прямоугольник.

Когда кусочки будут настолько мелкими, что получится прямоугольник, его площадь будет легко посчитать, умножить длину одной стороны на длину другой (a*b). В примере выше сторона «a» это R (радиус круга), сторона «b» — L/2 (длинны) при условии, что части фигуры будут бесконечно маленькими их будет бесконечно много. Площадь круга равняется:

S=R*L/2

Длинна окружности (L) равняется диаметру умноженному на число «пи» (π). Итак, L=π*d=π*(R+R)=2πR. Вот только числа такого тогда еще не знали, жаль.

А если поставить вместо L получится:

S=R*(2πR/2)=πR 2

Числа «пи» Архимед не знал и не могу знать, потому, что оно иррационально (это будет доказано только в 19 веке), а такие числа в его время еще не открыли. Сам знаменитый математик предпочитал немного другое решение, при помощи спирали. Но интересно совсем другое, фактически метод Архимеда, это — интеграл. На самом деле иррациональное число очень сложно начертить с помощью линейки. Представьте, что диаметр равен единице, тогда длинна окружности равна «пи», а теперь начертите отрезок такой длинны (это же бесконечная дробь).

Из движения

Другой грек, Гиппократ Хиосский для решения все той же задачи создал специальную кривую квадратрису. Которая так же как и «античный интеграл» опередила свое время.

Средние века и немного позже

Тренировали свой ум решая нетривиальную задачу такие уважаемые ученые как Фибоначчи Пизанский и Леонардо да Винчи, Гюйгенс и Кеплер….

Цилиндр Леонардо да Винчи

Знаменитый ученый предложил очень хитроумное решение. Как обычно за ним водилось — «механическое». Леонардо предложил взять цилиндр, высота которого равнялась бы половине диаметра окружности. Далее, этот цилиндр нужно было обмакнуть в чернила (можно в воображении) и прокатить по бумаге один раз.

Получится прямоугольник высота которого будет равна половине радиуса R/2, а ширина — длине окружности (мы ведь один раз «промокнули» цилиндр). А площадь этого прямоугольника считается просто:

S=R/2*L=R/2*2πR=πR 2

Проще простого, линейки и циркуля вполне достаточно… Но что такое «длинна окружности»? Это сейчас мы знаем о свойствах числа «пи», а каково было людям прошлого?

Но в случае с да Винчи, ничего знать и не требовалось, достаточно промерять длинную сторону прямоугольника линейкой, чтобы узнать длину окружности, никакого «пи» не нужно.

В конце-концов Парижская академия отказалась рассматривать решения и про квадратуру, и про трисекцию угла, и про удвоение куба и… про изобретение вечного двигателя. Ведь кому-то развлечение, а кому-то это все читать и писать рецензии.

В 19-м веке и вовсе было доказано, что число «пи» иррационально и тресендентно, а значит извлечь из него квадратный корень невозможно.

Получается, что, если взять круг диаметром равным единице, получится что уравнение х 2 =πR 2 превращается в х 2 =π, а сам х равен «корень из пи», а этого сделать нельзя. Отсюда делается вывод, что линейки и циркуля совершенно не достаточно для решения задачи о квадратуре круга.

Последствия решения задачи

Так что же в итоге? Задача не может быть решена и это доказано, зато сколько интересного в математику и геометрию задачка без решения привнесла:

Иногда для человечества полезно решать нерешаемые задачи, в остатке получается гораздо больше полезного, чем если бы задача была решена.

Источник

Математика, которая мне нравится

Математика для школьников и студентов, обучение и образование

Квадратура круга

Известны три классические задачи греческой математики, которые оказали огромное влияние на развитии геометрии. Это задачи о квадратуре круга, удвоении куба и трисекции угла. Хотя они тесно связаны, мы решили рассмотреть их в отдельных статьях. Данная статья посвящена самой известной из этих задач, а именно задаче о квадратуре круга.

Эта задача очаровывает тем, что интерес к ней сохранялся на протяжении всей истории математики. Начиная от старых известных работ по математике и до работ современных, она и связанные с ней задачи, имеющие отношение к , интересовали как профессиональных математиков, так и любителей.

Одна из старейших сохранившихся математических работ — папирус Райнда, названный в честь шотландского египтолога Генри Райнда, который приобрел его в Луксоре в 1858 году. Он составляет около 6 метров в длину и 1/3 метра в ширину и был написан около 1650 г. до н.э. писцом Ахмесом, который скопировал документ, бывший на 200 лет старше. Это дает возможность датировать оригинальный папирус примерно 1850 г. до н.э., но некоторые эксперты считают, что папирус Райнда основан на работе, восходящей к 3400 г. до нашей эры.

В папирусе Райнда Ахмес приводит правило для построения квадрата, площадь которого приблизительно равна площади круга. Нужно вырезать 1/9 диаметра круга и построить квадрат на оставшейся его части. Хотя это не совсем геометрическое построение, оно показывает, что задача построения квадрата с площадью, равной площади круга, восходит к началам математики. Это довольно хорошее приближение, соответствующее значению , а не .

Задача о квадратуре круга в той форме, которую она имеет сегодня, возникла в греческой математике, и ее не всегда правильно понимали. Задача состоит в том, чтобы для данного круга построить геометрическими методами квадрат, площадь которого равна площади данного круга. Методы, которые было разрешено использовать при таком построении, были не совсем ясны. В действительности спектр методов, используемых в геометрии греков, был расширен вследствие попыток решения этой и других классических задач. Папп, в своей работе “Математическое собрание’’, написанной в конце периода развития геометрии греками, различает три типа методов, используемых древними греками:

“Мы говорим, что в геометрии есть три вида задач, это так называемые “плоские’’, “телесные’’ и “линейные’’ задачи. Те задачи, которые могут быть решены с помощью прямой линии и окружности, называются “плоскими’’, поскольку линии, с помощью которых такие задачи решаются, плоские. Те задачи, которые решаются с использованием одного или нескольких конических сечений, называются “телесными’’ задачами. Для их решения необходимо использовать поверхности геометрических тел, то есть конусов. Остаются задачи третьего типа, так называемые “криволинейные’’ задачи. Для построения в этих случаях требуются другие кривые, отличные от уже упомянутых, имеющие более разнообразное и динамическое происхождение и возникающие из более неправильных поверхностей и сложных движений.”

Сегодня мы обычно считаем задачу о квадратуре круга задачей, которую нужно решать с помощью циркуля и линейки. Это действительно вопрос, является ли данная задача “плоской’’ в терминологии Паппа, приведенной выше (мы часто будем говорить о “плоском решении’’, а не пользоваться более громоздким выражением “решение с помощью циркуля и линейки’’). Древние греки, однако, не ограничивают себя попытками найти плоское решение (которое, как мы теперь знаем, невозможно), но развивают большое количество разнообразных методов, использующих различные кривые, изобретенных специально для этой цели, или придумывают построения, основанные на некоторых механических методах.

Первым математиком, о котором известно, что он пытался квадрировать круг, является Анаксагор. Плутарх в своей работе “Об изгнании’’, которая была написана в первом веке нашей эры, говорит:

“Не существует места, которое может лишить человека счастья, добродетели или мудрости. Анаксагор в действительности писал о квадратуре круга, находясь в тюрьме’’.

Вскоре после этого задача должна стать весьма популярной, и не только среди небольшого числа математиков, но довольно широко, так как на нее ссылается Аристофан в пьесе “Птицы’’, написанной примерно в 414 г. до нашей эры. Два персонажа беседуют, Метон – землемер:

Метон: “Я предлагаю обмер воздуха для вас: разметка должна быть сделана в акрах’’.

Писфетер: “Господи, кем Вы себя возомнили?’’

Метон: “Кто я? Ну, Метон. Метон. Известный во всем греческом мире. Вы, наверное, слышали о моих гидравлических часах в Колоне?’’

Писфетер (разглядывая инструменты Метона): “А это зачем?’’

Метон: “Ах! Это мои специальные стержни для измерения воздуха. Понимаете, воздух имеет форму — как бы это сказать? — как своего рода гаситель: итак, все, что нужно сделать — приложить этот гибкий стержень к верхнему концу, взять циркуль, поставить точку здесь, и — Вы понимаете, что я имею в виду?’’

Метон: “Ну, я сейчас применяю прямой стержень — так — таким образом квадрирую круг, и вот что получается. В центре у вас рынок: прямые улицы, ведущие к нему, отсюда, отсюда, отсюда. В точности по тому же принципу, что и лучи звезды, в самом деле, звезда сама круглая, но ее прямые лучи расходятся во всех направлениях’’.

Писфетер: “Блестяще, человек — Фалес.’’

С этого времени начали использовать выражение “квадрирование круга’’, и оно применялось для обозначения невозможного. Действительно, греки придумали специальное слово, означающее “заниматься квадратурой’’. Для того чтобы квадратура круга проникла в популярную пьесу и вошла таким образом в греческий словарь, между работой Анаксагора и написанием пьесы должно было произойти много всего. В самом деле, мы знаем, что в течение этого времени многие математики работали над этой задачей: Энопид, Антифон, Брисон, Гиппократ, и Гиппий.

Энопид, как полагает Хит, был человеком, который искал плоские решения геометрических задач. Прокл приписывает Энопиду две теоремы, а именно: способ построения перпендикуляра к данной прямой из точки, не лежащей на ней, и построение прямой, проходящей через данную точку на прямой, под заданным углом к данной прямой. Хит считает, что значением этих элементарных результатов было то, что Энопид в первый раз привел “плоское’’ построение, или построение с помощью циркуля и линейки. Хит пишет:

“…[Энопид], возможно, был первым, кто наложил ограничение на применяемые при построениях инструменты – циркуль и линейку – которые стали каноническими в греческой геометрии для всех плоских построений…’’

Не существует никаких записей о каких-либо попытках Энопида квадрировать круг плоскими методами. На самом деле, факт весьма примечательный: греки не дали ошибочных “доказательств’’ того, что круг может быть квадрирован с помощью циркуля и линейки. Немногие претензии относительно таких ложных доказательств исходят, кажется, от менее способных математиков, которые не понимали точно, что показывали некоторые из наиболее блестящих работ, касающихся данной задачи. К сожалению, позже математики не следовали хорошим примерам, показанным древними греками, и действительно, многие неправильно утверждали, что обнаружили построение с помощью циркуля и линейки. Математики-любители, которых весьма привлекают классические задачи, привели (и все еще продолжают приводить) тысячи ложных доказательств.

Антифон и Брисон оба занимались квадратурой круга и привели рассуждения, которые сыграли важную роль в будущем развитии математики. Антифон вписал в круг квадрат, затем правильный восьмиугольник, потом шестнадцатиугольник, и продолжал процесс, удваивая число сторон. Похоже, Брисон улучшил рассуждение Антифона, что позволило не только вписывать многоугольники в окружность, но и строить описанные многоугольники. Фемистий пишет:

“…Брисон признавал, что круг должен быть больше всех вписанных, и меньше всех описанных многоугольников’’.

Гиппократ был первым, кто действительно использовал плоское построение для нахождения фигуры с площадью, равной площади фигуры со сторонами — дугами окружностей. Он квадрировал двуугольники определенного вида, а также объединение двуугольника и круга. Однако он не показал, что каждый двуугольник может быть квадрирован. В частности двуугольник, который он квадрировал плоским построением квадрата, площадь которого равна площади некоторого двуугольника и круга, был одним из тех, которые он не мог квадрировать плоскими методами. Конечно, этот двуугольник не может быть квадрирован, иначе Гиппократ квадрировал бы круг. Хотя некоторые, например, Аристотель, казалось, не поняли логику рассуждений Гиппократа. Без сомнения, Гиппократ прекрасно осознавал, что его методами квадрировать круг не удастся.

Гиппий и Динострат ассоциируются с методом квадратуры круга с использованием квадратрисы. Видимо, саму кривую придумал Гиппий, в то время как Динострат, кажется, применил ее к задаче о квадратуре круга. Построение этой кривой с чертежами приведено в биографии Гиппия. Эта кривая, безусловно, решает задачу о квадратуре круга, но, как писал Гиппий, кривая строится с помощью механических средств. Она задается равномерным движением прямой в течение времени, равного времени вращения радиуса окружности. Построение справедливо критиковали, поскольку оно требует знания отношение длин отрезка и дуги окружности, так что предполагается известным свойство, в первую очередь необходимое для квадрирования круга. Ясно, что Динострат никогда не утверждал, что квадратриса дает плоский метод квадрирования круга. Никомед много лет спустя также использует квадратрису, чтобы квадрировать круг.

Аристотель, кажется, не ценит вклад тех, кто пытался квадрировать круг. Он пишет в своей работе “Физика’’:

“Показательно для любой науки не то, как она решает всякого рода трудности, которые могут возникнуть, но только те, что возникают через ложные выводы из принципов науки: о других не нужно заботиться. Например, дело геометра выразить квадратуру с помощью отрезков, но не дело геометра опровергать аргументы Антифона’’.

В этой цитате “квадратура с помощью отрезков’’ относится к квадратуре двуугольников Гиппократа, о которой Аристотель ошибочно думает, что она была задумана как доказательство того квадрируемости круга плоскими методами. Методы Антифона подверглись еще большей критике со стороны Аристотеля, но все верили Антифону, методы которого содержали важные идеи, в конечном итоге приведшие к интегрированию. Аристотель также пишет похожими словами в работе “Об опровержении софистических документов’’ снова, вероятно, неправильно истолковывая то, что пытались показать Антифон и Брисон:

“Метод, которым Брисон пытался квадрировать круг, если бы когда-нибудь можно было это сделать таким образом, еще и софистический в связи с тем, что он не имеет отношения к делу. …Квадратура круга с помощью двуугольников бесспорна, а квадратура Брисона является спорной. Рассуждения, которые используются в первой, не могут быть применены к какому-либо предмету кроме геометрии, в то время как доказательства Брисона направлены на массы людей, которые не знают, что возможно и что невозможно в каждой области, поэтому они подойдут всему. То же самое верно для квадратуры Антифона’’.

Теперь мы должны рассмотреть, какой вклад внес Архимед в задачу о квадратуре круга. Архимед известен своей спиралью, но почему он ввел эту кривую? Авторы работы (J. Delattre and R. Bkouche, Why ruler and compass?, in History of Mathematics: History of Problems (Paris, 1997), 89-113) предложили три причины:

“Было ли это сделано из чисто геометрических соображений, поскольку он изучал эту кривую для вычисления и квадратуры круга? Было ли это связано с его интересом к астрономии и попытками вычислить геометрически спиральные движения планет? Или это, наконец, проистекает от интереса механика к кривой, которая возникает в результате сочетания двух равномерных движений — по прямой и по окружности? Очевидно, эти три причины существовали одновременно…’’

Архимед дает следующее определение спирали в его работе “О спиралях’’:

“Если прямая, проведенная на плоскости, равномерно вращается вокруг неподвижной конечности до возвращения в свое первоначальное положение, и если в то время как прямая вращается, по ней равномерно движется точка, начиная с фиксированной конечности, то эта точка на плоскости будет описывать спираль’’.

Архимед приводит следующее построение для квадрирования круга. Пусть — точка спирали, когда прямая завершила один оборот. Пусть касательная в точке пересекает прямую, перпендикулярную , в точке . Тогда в предложении 19 в работе “О спиралях’’ Архимед доказывает, что — длина окружности с радиусом . Теперь может быть непонятно, что это дает решение задачи о квадратуре круга, но Архимеда в первом утверждении в “Измерении окружности’’ уже показал, что площадь круга равна площади прямоугольного треугольника, катеты которого равны радиусу окружности и ее длине. Итак, площадь круга с радиусом равна площади треугольника .

И Аполлоний, и Карп для квадрирования круга использовали кривые, но точно непонятно, что это были за кривые. Использованную Аполлонием кривую Ямвлих назвал “сестрой конхоиды’’, и это привело к различным догадкам относительно того, какая это может быть кривая. Кривая, которая используется Карпом Антиохийским, называется “кривой двойного движения’’ и, по утверждению Поля Таннери, является циклоидой.

Теперь мы оставим древнегреческий период и посмотрим на последние события, но мы должны сразу сказать, что греки, конечно, были не единственными из тех, кто в то время интересовался квадратурой круга. Индийские математики также решали эту задачу, а китайский математик Лю Сяо из династии Хань известен как один из тех, кто пытался квадрировать круг около 25 г. нашей эры.

Немного позже арабские математики, как и греки, увлеклись решением этой задачи. Так, аль-Хайтам написал работу о квадратуре круга. Теперь уже аль-Хайтам поставил цель убедить людей, что можно квадрировать круг с помощью построения в плоскости, но так как его обещанный трактат на эту тему никогда не появился, он должен был, по крайней мере, понять, что не может решить эту задачу.

Вскоре после работы аль-Хайтама Франко из Льежа в 1050 году написал трактат “De quadratura circuli’’ о квадрировании круга. В нем Франко рассматривает три более ранних метода, основанных на предположении, что равно или . Франко заключает (достаточно обоснованно), что методы неверны, и приводит свое построение, которое основано на предположении, что . Хотя эта работа представляет большой исторический интерес, она показывает, насколько отставали в то время европейские математики от древних греков по глубине понимания геометрии.

В 1450 году Николай Кузанский пытался доказать, что круг может быть квадрирован плоским построением. Хотя его метод усреднения определенных вписанных и описанных многоугольников совершенно ошибочный, это одна из первых серьезных попыток решить данную задачу в “современной’’ Европе. Снова стоит отметить, что древние греки в основном знали, что круг не может быть квадрирован плоскими методами, хотя у них не было никаких шансов доказать это. Региомонтан, придавший новый импульс европейской математике, быстро указал на ошибки в рассуждениях Николая Кузанского.

К механическим методам греков, безусловно, обратился Леонардо, который воспринимал математику с точки зрения механики. Он разработал несколько новых механических методов квадрирования круга. Многие математики шестнадцатого века занимались этой задачей, в их числе Оронс Фине и Джамбаттиста делла Порта. То, что “доказательство’’ Фине неверно, показал Педро Нуньес вскоре после его появления. Возникновение дифференциального и интегрального исчисления привело к увеличению интереса к квадратуре круга, но новая эра математики по-прежнему принесла ошибочные “доказательства’’ плоских методов квадрирования круга. Одно из таких ложных доказательств, приведенное Сен-Винсентом в книге, изданной в 1647 году, было основано на ранних методах интегрирования. Задача по-прежнему оказывала большое влияние на развитие математики.

Джеймс Грегори глубоко изучил бесконечные последовательности и сходимость. Он применил эти идеи к последовательности площадей вписанных в окружность и описанных около нее многоугольников и пытался использовать этот метод для доказательства, что не существует плоского построения, решающего задачу о квадратуре круга. В его доказательстве существенна попытка доказать, что трансцендентное число, то есть не является корнем полинома с рациональными коэффициентами. Хотя он был прав в том, что пытался доказать, его доказательство, конечно, неверное. Однако, другие, в частности, Гюйгенс, считали, что — алгебраическое число, то есть корень полинома с рациональными коэффициентами.

Все еще оставался интерес к получению методов квадрирования круга, которые не были бы плоскими. Например, Иоганн Бернулли придумал метод квадрирования круга через эвольвенты, и этот метод подробно описан в J.E. Hofmann, Johann Bernoullis Kreisrektifikation durch Evolventenbildung, Centaurus 29 (2) (1986), 89-99.

Историк математики Монтюкла выбрал квадратуру круга темой своей первой исторической работы, опубликованной в 1754 г. Она была написана задолго до того, как задача была решена, поэтому является очень устаревшей. Тем не менее, это классическая работа, и ее стоит прочитать.

Задача продолжала оставаться популярной, и есть много забавных историй на эту тему, рассказанных де Морганом в книге “Кладезь парадоксов’’, которая была отредактирована и издана его женой в 1872 году, через год после его смерти. Де Морган предполагает, что святой Витт был покровителем квадрирователей круга. Это ссылка на пляску святого Витта, дикую пляску с прыжками, в которой люди визжали и кричали, и которая приводила к своего рода массовой истерии. Де Морган также предложил термин “morbus cyclometricus’’, т.е. “болезнь измерения окружности’’. Очевидно де Морган попытался убедить этих квадрирователей круга в том, что их методы неверны, но многие упорно сохраняли свою точку зрения, несмотря на все усилия профессиональных математиков. Например, некоторый г-н Джеймс Смит написал несколько книг, пытаясь доказать, что . Конечно, мистер Смит смог вывести из этого, что круг может быть квадрирован, но ни Гамильтон, ни де Морган, ни другие не смогли убедить его в том, что он ошибался.

Окончательный ответ на вопрос, может ли круг быть квадрирован с использованием циркуля и линейки, был получен в 1880 году, когда Линдеманн доказал, что число трансцендентное, то есть что оно не является корнем никакого полинома с рациональными коэффициентами. Трансцендентность окончательно доказывает, что не существует построения с помощью циркуля и линейки, дающего решение задачи о квадрировании круга.

Казалось бы, на этом интерес к задаче о квадратуре круга должен был бы иссякнуть, но это не тот случай. Это не остановило поток публикаций, в которых утверждалось, что имеет некоторое простое рациональное значение, и не остановило поток публикаций совершенно правильных построений квадратов, примерно равных по площади кругу, с помощью циркуля и линейки. В качестве примера первого типа приведем следующий. В 1892 году газета New York Tribune опубликовала письмо, автор которого утверждал, что переоткрыл секрет, восходящий к Никомеду, который доказал, что . Возможно, еще более удивительным является тот факт, что многие были совершенно убеждены в правоте автора письма и твердо верили после этого, что .

Среди правильных приближенных построений квадрата, равного по площади кругу, одно принадлежит Хобсону (1913 г.). Это довольно точное построение, которое основано на построении приближенного значения для , равного вместо . Более примечательно, однако, было построение с помощью циркуля и линейки, опубликованное Рамануджаном. В журнале Индийского математического общества в 1913 году в работе под названием “Квадрирование круга’’ Рамануджан привел построение, которое было эквивалентно заданию приближенного значения для , равного , отличающегося от точного значения только в седьмом знаке после запятой. Работа заканчивается следующим образом:

“Примечание. Если площадь круга будет 140000 квадратных миль, то [сторона квадрата] больше истинной длины примерно на дюйм’’.

Перевод статьи J. J. O’Connor and E. F. Robertson, Squaring the circle.

Источник