На что делится 215
Информация о числах
Свойства и характеристики одного числа
Все делители числа, сумма и произведение цифр, двоичный вид, разложение на простые множители.
Свойства пары чисел
Наименьшее общее кратное, наибольший общий делитель, сумма, разность и произведение чисел.
Сейчас изучают числа:
Число 215
Двести пятнадцать
RGB(0, 0, 215) или #0000D7
(возможное основание)
физическое, материальное, деньги, карьера, призвание, успех, влияние, сила, власть, судьба, справедливость, месть, карма
Описание числа 215
Целое действительное трёхзначное число 215 – составное. Является полупростым число. 8 — сумма всех цифр данного числа. У числа 215 4 делителя: 1, 5, 43, 215. Сумма делителей: 264. 215 и 0.004651162790697674 — это обратные числа.
Данное число можно представить произведением простых чисел: 5 * 43.
Косинус: 0.1978, тангенс: 4.9561, синус: 0.9802. Число имеет натуральный логарифм: 5.3706. Десятичный логарифм: 2.3324. 14.6629 — корень квадратный из числа 215, 5.9907 — кубический корень. Число 215 в квадрате это 46225.
Мерзляк 6 класс — § 3. Признаки делимости на 9 и на 3
Вопросы к параграфу
1. Как узнать, делится ли число нацело на 9?
Надо посчитать сумму цифр числа. Если сумма цифр делится на 9, то и само число делится на 9.
2. Как по записи натурального числа определить, кратно оно 3 или нет?
Надо посчитать сумму цифр числа. Если сумма цифр делится на 3, то и само число делится на 3.
Решаем устно
1. Буквой n обозначили некоторое чётное число. Чётным или нечётным является число:
2. Какой цифрой оканчивается произведение:
1) 1 • 2 • 3 • 4 • 5 • 6 • 7 — цифрой 0, так как в произведении есть множители 2 и 5, которые дают произведению 0 на конце.
2) 1 • 3 • 5 • 7 • 9 • 11 • 13 — цифрой 5, так как в произведении есть цифра 5, но нет цифры 2. Значит произведение будет кратно 5, но не кратно 10.
3. Какие из чисел 184, 162, 243, 145, 210, 144, 153, 105, 230, 201 делятся нацело:
1) на 2
184, 162, 210, 144, 230 — все чётные числа.
2) на 5
145, 210, 105, 230 — все числа, оканчивающиеся на 5 или на 0.
3) на 10
210, 230 — все числа, оканчивающиеся на 0.
4) на 3
162, 243, 210, 144, 153, 105, 201 — все числа, сумма цифр которых делится на 3.
5) на 9
162, 243, 144, 153 — все числа, сумма цифр которых делится на 9.
4. Какое из чисел 2 045, 4 750, 7 254, 6 225 делится нацело на 3, но не делится на 2?
6 225 — так как это нечётное число, сума цифр которого делится на 3.
5. Какую из цифр 5, 8, 2, 1 надо поставить вместо звёздочки, чтобы число 5 6*5 было кратным 9?
6. Сколько существует двузначных чисел, кратных числу:
Это все двузначные числа, оканчивающиеся на 0 или на 5:
Это все двузначные числа, сумма цифр которых делится на 9:
Упражнения
73. Заполните таблицу (поставьте знак «+» в случае утвердительного ответа или знак «—» в ином случае).
74. Заполните таблицу (поставьте знак «+» в случае утвердительного ответа или знак «—» » ином случае).
75. Из чисел 8 937, 6 585, 37 828, 44 292, 9 462, 58 395, 23 646 выпишите те, которые делятся нацело:
1) на 3
8 937, 6 585, 44 292, 9 462, 58 395, 23 646 — так как сумма их цифр делится на 3.
2) на 9
8 937 — так как сумма цифр этого числа делится на 9.
3) на 3 и на 2
44 292, 9 462, 23 646 — так как это чётные числа и сумма их цифр делится на 3.
76. Из чисел 7 826, 1 215, 4 075, 2 880, 3 921, 9 319, 6 072, 8 142 выпишите те, которые делятся нацело:
1) на 3
1 215, 2 880, 3 921, 6 072, 8 142 — так как сумма цифр этих чисел делится на 3.
2) на 9
1 215, 2 880 — так как сумма цифр этих чисел делится на 9.
3) на 9 и на 5
1 215, 2 880 — так как эти числа заканчиваются на 0 или на 5, а сумма их цифр делится на 9.
77. Найдите все значения у, кратные:
1) числу 3, при которых верно неравенство 143 144, 147, 150, 153, 156, 159
2) числу 9, при которых верно неравенство 92 99, 108, 117, 126.
78. Найдите все значения m, кратные:
1) числу 3, при которых верно неравенство 324 327, 330, 333, 336, 339, 342.
2) числу 9, при которых верно неравенство 423 432, 441, 450, 459, 468, 477.
79. Вместо звёздочки поставьте такую цифру, чтобы получилось число, кратное 3 (рассмотрите все возможные случаи):
1) 54 84*
2) 3*6 393
3 0 6 393, 3 3 6 393, 3 6 6 393, 3 9 6 393.
3) 7 9*8
7 9 0 8, 7 9 3 8, 7 9 6 8, 7 9 9 8.
80. Вместо звёздочки поставьте такую цифру, чтобы получилось число, кратное 9 (рассмотрите все возможные случаи):
1) 62 8*1
2) 57* 582
3) 7 *51
81. Запишите:
82. Какую цифру можно поставить вместо звёздочки в записи 6 27*. чтобы полученное число делилось нацело и на 3, и на 5?
Цифру 0, чтобы получилось число 6 270:
83. Какую цифру можно поставить вместо звёздочки в записи 21 85*. чтобы полученное число делилось нацело на 3, но не делилось нацело на 2?
Цифру 5, чтобы получилось число 21 855:
84. Какую цифру можно поставить вместо звёздочки в записи 3 47*, чтобы полученное число делилось нацело и на 2, и па 3?
Цифру 4, чтобы получилось число 3 474:
85. Запишите наименьшее:
Цифры в записи числа не могут повторяться.
86. Запишите наибольшее четырёхзначное число, которое делится нацело:
87. Какое наименьшее число надо прибавить к данному, чтобы получить число, кратное 9:
88. Запишите, используя по одному разу каждую из цифр 0, 1. 4, 7, наибольшее и наименьшее четырёхзначные числа, кратные 15.
89. К числу 15 допишите слева и справа по одной цифре так, чтобы получившееся число было кратно 15. Сколько решений имеет задача?
Чтобы число было кратно 15, надо чтобы оно делилось на 5 и на 3:
Значит подходят числа:
Ответ: Задача имеет 6 решений: 3 150, 6 150, 9 150, 1 155, 4 155, 7 155.
90. К числу 34 припишите слева и справа по одной цифре так. чтобы получившееся число было кратно 45. Сколько решений имеет задача?
Чтобы число было кратно 45, надо чтобы оно делилось на 5 и на 9:
Значит подходят числа:
Ответ: Задача имеет 2 решения: 2 340, 6 345.
91. Вместо звёздочек поставьте такие цифры, чтобы четырёхзначное число *74* делилось нацело на 18. Найдите все решения.
Чтобы число было делилось нацело на 18, надо чтобы оно делилось на 2 и на 9:
Значит подходят числа:
Ответ: Задача имеет 5 решения: 7 740, 5 742, 3 744, 1 746, 8 748.
92. Вместо звёздочек поставьте такие цифры, чтобы четырёхзначное число 3 *4* делилось нацело на 9. Найдите все решения.
93. Папа Карло купил три пакета кефира, пачку масла за 45 сольдо, несколько буханок хлеба по 24 сольдо, шесть коробков спичек. Может ли вся покупка стоить 200 сольдо?
Пусть папа Карло заплатил за покупку:
Предположим, что такая покупка могла стоить ровно 200 сольдо. Тогда можно записать:
Мы видим, что каждое из слагаемых кратно 3. Значит можно записать:
Согласно распределительному свойству умножения, мы можем вынести число 3 за скобку:
Чтобы найти сумму в скобках, придётся 200 : 3
Это невозможно, так как 200 не делится на 3 нацело.
Значит наше предположение неверно и такая покупка не могла стоить 200 сольдо.
Ответ: Вся покупка не может стоить 200 сольдо.
94. Сначала вычислили сумму цифр числа, равного произведению 1 • 2 • 3 • … • 999 • 1 000. Потом вычислили сумму цифр полученного числа. Так поступали до тех пор, пока не получили однозначное число. Что это за число?
Как мы видим, в данном произведении находятся множители кратные всем натуральным числам, в том числе и кратные 2, 3, 5, 9 и 10.
Так как сумма цифр числа произведения делится на 9, то и число, обозначающее эту сумму цифр тоже будет обязательно делиться на 9.
После многократного повторения такого действия в результате останется число, сумма цифр которого равна 9.
Это значит, что в результате получиться число 9.
95. Рома и Дима записывают девятнадцатизначное число, используя только цифры 1, 2 и 4. Первую цифру пишет Рома, вторую — Дима, третью — снова Рома и так далее по очереди. Рома хочет получить в результате число, кратное 3. Может ли Дима помешать ему это сделать?
Представим, как могут развиваться события:
Вариант 1:
1 ход: Рома может поставить любую цифру, например 1;
2 ход: Дима хочет помешать и ставит цифру, которая сделает число не кратным 3, например 4;
3 ход: Рома видит, что сумма записанных цифр равна 5 и ставит цифру 1 или цифру 4, что позволит ему исправить ситуацию.
Игра продолжается и каждый раз Дима делает сумму цифр не кратную 3, а Рома исправляет ситуацию.
19 ход. Рома ходит последним и делает сумму цифр полученного числа кратную 3.
Рома выигрывает, поскольку он ходит последним, а цифр 1, 2 и 4 ему достаточно, чтобы сделать кратным число, некратное 3.
Вариант 2:
1 ход: Рома может поставить любую цифру, например 1;
2 ход: Дима, несмотря на своё намерение помешать, делает так, чтобы сумма записанных цифр была кратна 3;
3 ход: Роме приходится писать любую цифру, так как ни одно из разрешённых цифр не кратно 3.
Игра продолжается и каждый раз Дима делает сумму цифр кратную 3, а от действий Ромы ничего не зависит.
18 ход. Дима опять делает так, чтобы сумма записанных цифр была кратна 3.
19 ход. Рома проигрывает, так как какие бы из цифр 1, 2 или 4 он не записал, сумма всех цифр уже не будет кратной 3.
Для того, чтобы Дима смог помешать Роме, ему надо «поддаться» и на каждом ходу сделать сумму цифр кратную 3. Тогда Рома, который ходит последним, не сможет исправить ситуацию.
Ответ: да, Дима сможет это сделать.
Упражнения для повторения
96. Как изменится — увеличится или уменьшится — и на сколько девятизначное число, последняя цифра которого 0, а предпоследняя — 5, если эти две цифры поменять местами?
Пусть все неизвестные цифры этого девятизначного числа будут спрятаны за х. Тогда можно записать:
Мы видим, что исходное число больше, чем новое. Выполним вычитание столбиком:
Ответ: число уменьшится на 45.
97. Река Иртыш на 598 км длиннее реки Оби. Найдите длину каждой из этих рек, если их общая длина равна 7 898 км.
Пусть длина Оби х км, тогда длина Иртыша (х + 598 км). Можем составить уравнение:
х + (х + 598) = 7 898
2х + 598 = 7 898
2х = 7 898 — 598
2х = 7 400
х = 7 400 : 2
х = 3 700 (км) — длина Оби.
3 700 + 598 = 4 298 (км) — длина Иртыша.
Ответ: длина Иртыша — 4 298 км, а длина Оби — 3 700 км.
98. По маршруту Орёл — Тула — Москва выехал автомобиль. Какое расстояние между Орлом и Тулой, если оно на 5 км больше расстояния между Тулой и Москвой, а длина всего маршрута составляет 345 км?
Пусть х км расстояние между Тулой и Москвой. Тогда (х + 5) — расстояние между Орлом и Тулой. Можем составить уравнение:
х + (х + 5) = 345
2х + 5 = 345
2х = 345 — 5
2х = 340
х = 340 : 2
х = 170 (км) — расстояние межу Тулой и Москвой.
170 + 5 = 175 (км) — расстояние между Орлом и Тулой.
Ответ: между Москвой и Тулой 175 км.
99. Вычислите:
Готовимся к изучению новой темы
100. Упростите выражение, заменив произведение одинаковых множителей степенью:
101. Найдите значение выражения:
102. Запишите число 64 в виде степени с основанием:
Задача от мудрой совы
103. В чемпионате страны по футболу принимают участие 16 команд, каждая из которых имеет свой стадион. Все команды должны сыграть между собой, причём в каждом туре проводятся 8 игр. Можно ли составить расписание туров так, чтобы каждая команда по очереди играла на своём стадионе и на стадионе соперника?
Предположим, что возможно составить такое расписание. Для удобства разделим команды на 2 группы: красную и синюю. По 8 команд в каждой.
После 8 тура получится, что любая команда из красной группы уже сыграла с каждой командой из синей группы и наоборот.
Это значит, что дальше команды из красной группы должны играть между собой, а команды из синей группы — между собой.
Но, так как все команды одной группы одинаково чередовали свой и чужой стадион, то получиться, что у одного из соперников порядок чередования нарушится. Например, если должны сыграть 1 и 2 команда из красной группы, то они будут играть на стадионах:
То есть второй команде из красной группы придётся 2 раза подряд сыграть на стадионе соперника.
Это противоречит нашему предположению. Значит такое расписание составить невозможно.
Признаки делимости чисел
Статья находится на проверке у методистов Skysmart.
Если вы заметили ошибку, сообщите об этом в онлайн-чат (в правом нижнем углу экрана).
Что такое «признак делимости»
Признак делимости числа — это такая особенность числа, которая еще до выполнения деления позволяет определить, кратно ли число делителю.
Истинный путь джедая, чтобы зря не пыхтеть над числами, которые в конечном итоге не делятся.
Однозначные, двузначные и трехзначные числа
Однозначное число — это такое число, в составе которого один знак (одна цифра). Девять однозначных натуральных чисел: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9.
Двузначные числа — такие, в составе которых два знака (две цифры). Цифры могут повторяться или быть различными.
Трехзначные числа — числа, в составе которых три знака (три цифры).
Чётные и нечётные числа
Число называют четным тогда, когда оно делится на два без остатка. А нечетные числа — те, что на два без остатка не делятся. Все просто!
Признаки делимости чисел
Признак делимости на 2. Сразу можно сказать, что число делится на 2, если последняя цифра четная.
Признак делимости на 3. Сумма цифр числа должна делиться на 3.
Признаки делимости на 4. Число делится на 4, если две последние цифры — 0 или если они образуют цифру, которая делится на 4.
Признаки делимости на 5. Число делится на 5, если заканчивается на 0 или 5.
Признак делимости на 6. На 6 делятся те числа, которые могут одновременно делится на 2 и на 3.
Признаки делимости на 8. Число делится на 8, если три последних цифры — 0 или если они образуют число, которое делится на 8.
Признак делимости на 9. Число делится на 9, если сумма цифр делится на 9.
Признаки делимости на 10, 100. Числа, которые заканчиваются на 0, 00, 000 делятся на 10, 100, 1000 и так далее.