Найдите коэффициент параболы если известно что она касается прямой

Как определить a, b и c по графику параболы

Предположим, вам попался график функции \(y=ax^2+bx+c\) и нужно по этому графику определить коэффициенты \(a\), \(b\) и \(c\). В этой статье я расскажу 3 простых способа сделать это.

1 способ – ищем коэффициенты на графике

Данный способ хорош, когда координаты вершины и точка пересечения параболы с осью \(y\) – целые числа. Если это не так, советую использовать способ 2.

Коэффициент \(a\) можно найти с помощью следующих фактов:

— Если \(a>0\), то ветви параболы направленных вверх, если \(a 1\), то график вытянут вверх в \(a\) раз по сравнению с «базовым» графиком (у которого \(a=1\)). Вершина при этом остается на месте. Это наглядно видно по выделенным точкам.

Ищем 3 точки с целыми координатами, принадлежащие параболе.
Пример:

Выписываем координаты этих точек и подставляем в формулу квадратичной функции: \(y=ax^2+bx+c\). Получится система с тремя уравнениями.

Решаем систему.
Пример:

Вычтем из второго уравнения первое:

Подставим \(9a\) вместо \(b\):

Первое и второе уравнения совпали (это нормально для точек, симметричных относительно прямой проходящей через вершину – как точки \(A\) и \(B\) в нашем случае), но нас это не остановит – мы вычтем из второго уравнение третье:

Подставим в первое уравнение \(a\):

Получается квадратичная функция: \(y=-x^2-9x-15\).

Сразу заметим, что по графику можно сразу определить, что \(c=4\). Это сильно облегчит нашу систему – нам хватит 2 точек. Выберем их на параболе: \(C(-1;8)\), \(D(1;2)\) (на самом деле, если присмотреться, то можно заметить, что эти точки выделены жирно на изначальной картинке – это вам подсказка от авторов задачи).

Таким образом имеем систему:

Сложим 2 уравнения:

Подставим во второе уравнение:

Теперь найдем точки пересечения двух функций:

Теперь можно найти ординату второй точки пересечения:

3 способ – используем преобразование графиков функций

Этот способ быстрее первого и более универсальный, в частности он может пригодится и в задачах на другие функции.

Сам способ базируется на следующих идеях:

График \(y=-x^2\) симметричен относительно оси \(x\) графику \(y=x^2\).

– Если \(a>1\) график \(y=ax^2\) получается растяжением графика \(y=x^2\) вдоль оси \(y\) в \(a\) раз.
– Если \(a∈(0;1)\) график \(y=ax^2\) получается сжатием графика \(y=x^2\) вдоль оси \(y\) в \(a\) раз.

– График \(y=a(x+d)^2\) получается сдвигом графика \(y=ax^2\) влево на \(d\) единиц.
— График \(y=a(x-d)^2\) получается сдвигом графика \(y=ax^2\) вправо на \(d\) единиц.

График \(y=a(x+d)^2+e\) получается переносом графика \(y=a(x+d)^2\) на \(e\) единиц вверх.
График \(y=a(x+d)^2-e\) получается переносом графика \(y=a(x+d)^2\) на \(e\) единиц вниз.

Сначала смотрим на её форму и направленность её ветвей. Видим, что форма стандартная, базовая и ветви направлены вверх, поэтому \(a=1\). То есть она получена перемещениями графика базовой параболы \(y=x^2\).

А как надо было перемещать зеленый график чтоб получить оранжевый? Надо сдвинуться вправо на пять единиц и вниз на \(4\).

То есть наша функция выглядит так: \(y=(x-5)^2-4\).
После раскрытия скобок и приведения подобных получаем искомую формулу:

Чтобы найти \(f(6)\), надо сначала узнать формулу функции \(f(x)\). Найдем её:

Парабола растянута на \(2\) и ветви направлены вниз, поэтому \(a=-2\). Иными словами, первоначальной, перемещаемой функцией является функция \(y=-2x^2\).

Парабола смещена на 2 клеточки вправо, поэтому \(y=-2(x-2)^2\).

Парабола поднята на 4 клеточки вверх, поэтому \(y=-2(x-2)^2+4\).

Источник

Парабола и касательная. Находим a,b,c!

Суть заданий следующая: дана парабола вида у = ах 2 +bх+c и касательная к этой параболе у=kх+b. Один из коэффициентов (a, b или c) неизвестен и его необходимо найти.

Как решать такие задачи? Что необходимо вспомнить?

1. Если даны уравнения двух функций, то точка (точки) пересечения их графиков находится путём решения системы этих уравнений. Пара (х;у) являющаяся решением системы есть точка пересечения графиков (или пары, если точек пересечения больше).

2. Если к графику функции проведена касательная, то производная этой функции в точке касания равна угловому коэффициенту этой касательной (см. ссылку выше).

Рассмотрим задачи (показаны два способа решения):

Прямая у=х+7 является касательной к графику функции ах 2 –15х+15. Найдите a.

Прямая и график данной функции имеют одну общую точку, это значит, что данные уравнения можно внести для решения в одну систему, но этих уравнений будет недостаточно для решения (кроме неизвестных х и у имеется ещё параметр а).

Известно, что производная функции в данной точке равна угловому коэффициенту касательной у = kх + b (где k это угловой коэффициент), то есть f′(x_o) = k. Это третье уравнение, запишем систему:

Подставим из второго уравнения в первое:

Найдём а, подставим х = 1 в ах 2 – 15х + 15 = х + 7 или в 2ах – 15 = 1

По смыслу задачи параметр a ≠ 0, график заданной функции — парабола. Прямая с параболой имеет единственную общую точку, так как сказано, что эта прямая является касательной. Поэтому необходимо и достаточно, чтобы уравнение ах 2 – 15х + 15 = х + 7 имело единственно решение:

Квадратное уравнение будет иметь единственное решение тогда, когда дискриминант будет равен нулю:

Прямая у=3х+1 является касательной к графику функции ах 2 +2х+3. Найдите a.

Прямая у=5х–8 является касательной к графику функции 6х 2 + bх + 16

Найдите b, учитывая, что абсцисса точки касания больше 0.

Прямая и парабола пересекаются в одной точке, поэтому оба уравнения можно внести в систему, но она не решаема, так как имеем три неизвестных:

Известно, что производная функции в данной точке равна угловому коэффициенту касательной у = kх + b (где k это угловой коэффициент), то есть f′(x o ) = k. Это третье уравнение, запишем систему:

Кратко можно сказать так:

Условия касания графика функции f (x) = k и прямой у = kх + b задаётся системой требований:

По условию, абсцисса точки касания положительна, значит х = 2.

График заданной функции — парабола. Прямая с параболой имеет единственную общую точку, так как сказано, что эта прямая является касательной. Поэтому необходимо и достаточно, чтобы уравнение

имело единственно решение. Преобразуем:

Квадратное уравнение будет иметь единственное решение тогда, когда дискриминант будет равен нулю:

Теперь определим, при каком значении b абсцисса точки касания будет больше нуля. Можно подставить поочерёдно полученные значения в систему:

Далее решить её и сдать вывод. Верным решением будет то значение b, при котором получим положительную абсциссу.

Но мы сразу подставим их (поочерёдно) в 28х 2 + (b – 5) + 24 = 0.

Таким образом, b = – 19 (при этом значении абсцисса точки касания положительна).

Прямая у = –5х+8 является касательной к графику функции 28х 2 + bх + 15.

Найдите b, учитывая, что абсцисса точки касания больше 0.

Прямая у=–6х–2 является касательной к графику ф-ии 18х 2 +6х+с. Найдите c.

Условия касания графика функции у = f (x) и прямой у = kx + b задаётся системой требований:

График заданной функции — парабола. Прямая с параболой имеет единственную общую точку, так как сказано, что эта прямая является касательной. Поэтому необходимо и достаточно, чтобы уравнение имело единственное решение, преобразуем: Квадратное уравнение будет иметь единственное решение тогда, когда дискриминант будет равен нулю, значит: Ответ: 0

Прямая у=3х+4 является касательной к графику функции 3х 2 –3х+с. Найдите c.

Как видим, понимание способа нахождения точки пересечения графиков функций, заключающееся в решении системы, пригодилось при решении указанных задач (на ЕГЭ могут быть и другие). Но какие бы они не были, если чётко уясните геометрический смысл производной, проблем с подобными у вас не будет.

В данной рубрике продолжим рассматривать задачи, не пропустите!

Имеется круглая мишень радиуса R. На ней отмечены две окружности, радиусы которых равны 1/3 и 2/3 от радиуса мишени. Какова вероятность того, что кинутый в мишень дротик попадёт в закрашенную часть мишени? Результат округлите до тысячных.

*Учесть, что дротик мимо мишени попасть не может.

Тот учащийся, который первый напишет верный ответ, получит поощрительный приз в размере 150 рублей 😉

Надеюсь материал был вам полезен. Успехов Вам!

Источник

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки

Правила форума

Задача о касательной к параболе, не пойму как решать

Последний раз редактировалось frostysh 17.06.2019, 13:09, всего редактировалось 1 раз.

Вот задача, номер 47 (последняя):

Вычислить параметр параболы , если известно что она касается прямой

Это последняя задача коротеньких, вступительных разделов об аналитической геометрии, это я к тому что дифференцирование после геометрии, соответственно тут его использовать нельзя. Не пойму вообще как подступится, c уравнения прямой можно понять какие отрезки эта прямая отсекает на координатных осях, а именнопоэтому можно примерно построить график этой прямой, также можно понять что фокус параболы в удобных координатах будет на положительной части оси асбцис а директриса на отрицательной:

Где это фокус параболы, — прицельный параметр, — касательная точка. Интуитивно мне понятно что со всего множества парабол вида , только одна будет касательной к заданой прямой в этих удобных координатах. Даже понятно после рассмотрения множества прямых с одинаковых угловым коэфициентом (параллельных) что будет пропорционально в уравнении прямых , но как это будет выглядит при этой единственной касательной, не могу понять. Рисовал и так, и сяк, туды-сюды. В общем уже два часа ночи, пойду как спать, завтра чете нагуглю.

Супермодератор

— условие задачи наберите, тут уже совершенно незачем приводить его в виде фотографии.

Супермодератор

Заслуженный участник

Последний раз редактировалось frostysh 17.06.2019, 15:08, всего редактировалось 2 раз(а).

1) Максимум две, по идее, так как в параболы только две ветки, в гиперболы например четыре ветки, то есть легко представить прямую что будет, ну раза три пересекать гиперболу.
2) Ну, если точку касания, она же общая, можно назвать точкой пересечения, то одна и только одна, иначе это буде секущая.

Хотя если честно, не пойму к чему бы это.

Последний раз редактировалось wrest 17.06.2019, 15:25, всего редактировалось 2 раз(а).

2) Ну, если точку касания, она же общая, можно назвать точкой пересечения, то одна и только одна, иначе это буде секущая.

Хотя если честно, не пойму к чему бы это.

Количество точек пересечения параболы и прямой, если есть уравнения и того и другого, вы можете найти?
Может ли прямая пересекать параболу в одной точке и при этом не быть касательной к ней?

Заслуженный участник

Последний раз редактировалось frostysh 17.06.2019, 16:11, всего редактировалось 1 раз.

Уравнения то есть, к примеру прибавить к обеим частям по и отнять , в результате уравнение прямой трансформируется в , далее можем взять общую точку гиперболы и соответствующей прямой,но проблема в том что мы не знаем ординаты точки касания.

Munin О роботе, неа. Не на роботу нужно считать параболы, роботы я вообще пока не нашел, но чтоб ее найти нужно систематично изучить-повторить много чего. И вот книжка эта, для техникумов по математики сейчас на очереди. Потом Фихтенгольц будет, и пару книжек по физике читаю, и много думаю читать, но жаль у меня только один том Фихтенгольца в бумажном виде, приходится часто во дворе заниматься, комп туда не вытянешь.

Заслуженный участник

(Точек пересечения гиперболы и окружности, и вообще двух кривых второй степени, может быть 4. По той же причине. Вообще, если у нас есть два полиномиальных уравнения степеней и то их можно свести к одному уравнению степени с соответствующим числом корней. Например, точек пересечения прямой и кубической кривой может быть до 3. (Может быть 0, но только если не учитывать бесконечно удалённую точку.))

Квадратного уравнения в котором три неизвестных? Мы не знаем координаты точки касания, и мы не знаем прицельного параметра, мы не знаем фокуса параболы ни директрисы.
Фихтенгольца не так давно читал по серьезному, первый том разделы о сечениях Дедекинда, долго очень разбирался и не разобрался до конца, но вроде сама логика не сложная (у меня все время получается все абстрагировать и усложнять. ), как и во всем курсе университетской математики в принципе, то есть если это верно, то это верно, если не верно, то это не верно, а дальше просто обьемная логическая конструкция, мне эта книга давно еще нравилась. Ну это так, впечатления «нуба». 🙂

Это просто сложная задача, там раньше все простые были (если я только в условии не путал чете), а под конец раздела геометрия, такая-эдакая задача.

Попробую, хотя не понимаю с какими мыслями это построение строилось. Пока не разберусь с этим построением,

нужно погуглить или порисовать много.

Возвращаясь к параболе и прямой.
Если у Вас есть квадратное уравнение, то
а) сколько у него может быть решений?
б) при каких условиях получается то или иное количество решений?

Последний раз редактировалось ihq.pl 17.06.2019, 18:42, всего редактировалось 1 раз.

Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей

Источник