Как доказать что высоты треугольника пересекаются в одной точке

Теорема о пересечении высот треугольника

Теорема

Доказательство

Доказать: АА1, ВВ1 и СС1 пересекаются в одной точке.

Доказательство:

Проведём через каждую вершину Как доказать что высоты треугольника пересекаются в одной точке. Смотреть фото Как доказать что высоты треугольника пересекаются в одной точке. Смотреть картинку Как доказать что высоты треугольника пересекаются в одной точке. Картинка про Как доказать что высоты треугольника пересекаются в одной точке. Фото Как доказать что высоты треугольника пересекаются в одной точкеАВС прямую, параллельную противоположной стороне.

Как доказать что высоты треугольника пересекаются в одной точке. Смотреть фото Как доказать что высоты треугольника пересекаются в одной точке. Смотреть картинку Как доказать что высоты треугольника пересекаются в одной точке. Картинка про Как доказать что высоты треугольника пересекаются в одной точке. Фото Как доказать что высоты треугольника пересекаются в одной точке

Получим Как доказать что высоты треугольника пересекаются в одной точке. Смотреть фото Как доказать что высоты треугольника пересекаются в одной точке. Смотреть картинку Как доказать что высоты треугольника пересекаются в одной точке. Картинка про Как доказать что высоты треугольника пересекаются в одной точке. Фото Как доказать что высоты треугольника пересекаются в одной точкеА2В2С2. Точки А, В и С являются серединами сторон этого треугольника. Действительно, АВ = А2С и АВ = СВ2 как противоположные стороны параллелограммов АВА2С и АВСВ2, поэтому А2С = СВ2. Аналогично С2А = АВ2 и С2В = ВА2. Кроме того, как следует из построения, СС1Как доказать что высоты треугольника пересекаются в одной точке. Смотреть фото Как доказать что высоты треугольника пересекаются в одной точке. Смотреть картинку Как доказать что высоты треугольника пересекаются в одной точке. Картинка про Как доказать что высоты треугольника пересекаются в одной точке. Фото Как доказать что высоты треугольника пересекаются в одной точкеА2В2, АА1Как доказать что высоты треугольника пересекаются в одной точке. Смотреть фото Как доказать что высоты треугольника пересекаются в одной точке. Смотреть картинку Как доказать что высоты треугольника пересекаются в одной точке. Картинка про Как доказать что высоты треугольника пересекаются в одной точке. Фото Как доказать что высоты треугольника пересекаются в одной точкеВ2С2 и ВВ1Как доказать что высоты треугольника пересекаются в одной точке. Смотреть фото Как доказать что высоты треугольника пересекаются в одной точке. Смотреть картинку Как доказать что высоты треугольника пересекаются в одной точке. Картинка про Как доказать что высоты треугольника пересекаются в одной точке. Фото Как доказать что высоты треугольника пересекаются в одной точкеА2С2. Таким образом, прямые АА1, ВВ1 и СС1 являются серединными перпендикулярами к сторонам треугольника А2В2С2. Следовательно, они пересекаются в одной точке. Теорема доказана.

Замечательные точки треугольника : точка пересечения медиан, точка пересечения биссектрис, точка пересечения серединных перпендикуляров к сторонам и точка пересечения высот (или их продолжений).

Поделись с друзьями в социальных сетях:

Источник

Как доказать что высоты треугольника пересекаются в одной точке. Смотреть фото Как доказать что высоты треугольника пересекаются в одной точке. Смотреть картинку Как доказать что высоты треугольника пересекаются в одной точке. Картинка про Как доказать что высоты треугольника пересекаются в одной точке. Фото Как доказать что высоты треугольника пересекаются в одной точке

Что такое высота

Как доказать что высоты треугольника пересекаются в одной точке. Смотреть фото Как доказать что высоты треугольника пересекаются в одной точке. Смотреть картинку Как доказать что высоты треугольника пересекаются в одной точке. Картинка про Как доказать что высоты треугольника пересекаются в одной точке. Фото Как доказать что высоты треугольника пересекаются в одной точке

Если из вершины опустить перпендикуляр на противоположную сторону, получится отрезок, который именуется высотой. В равнобедренном треугольнике 2 отрезка равны, а в равностороннем равны все 3.

У фигур с углами 90 и более градусов высота попадает на противоположную сторону. В случае острого угла дело обстоит иначе. Прямая попадет только на продолжение противоположной стороны и будет находиться вне самой фигуры. Таким образом, если все углы острые, отрезки будут находиться внутри, как и ортоцентр. В тупоугольной фигуре два из трех отрезков будут проходить за его пределами — ортоцентр окажется вне фигуры.

Свойства ортоцентра

Свойства высот треугольника, пересекающихся в одной точке, давно изучены и описаны. Согласно основному из них, все 3 высоты всегда пересекаются в одном месте. Иногда, чтобы найти это место, отрезки нужно продлить, превратив в ортогональные прямые.

Ортоцентр по отношению к фигуре может быть расположен:

Ортоцентр — важная в геометрии характеристика, влияющая на нахождение золотого сечения.

Как доказать что высоты треугольника пересекаются в одной точке. Смотреть фото Как доказать что высоты треугольника пересекаются в одной точке. Смотреть картинку Как доказать что высоты треугольника пересекаются в одной точке. Картинка про Как доказать что высоты треугольника пересекаются в одной точке. Фото Как доказать что высоты треугольника пересекаются в одной точке

Так называется маленький треугольник, расположенный внутри основного, находящийся на пересечении его трех параметров:

Золотое сечение может представлять собой не только треугольную фигуру, но и отрезок. В правильном треугольнике медианы, биссектрисы и высоты совпадают, значит, золотое сечение превращается в точку.

Полезные факты

Местонахождение ортоцентра имеет некоторые закономерности. Их знание принесет пользу при решении задач.

Пусть:

Тогда:

Задача Фаньяно

Это классическая теорема. Она возникла в процессе поиска фигур с наименьшим периметром. Теорему доказал Фаньяно — итальянский математик и инженер. Это произошло еще в начале XVIII века.

Формулировка: ортотреугольник, то есть фигура, полученная соединением трех оснований треугольника, проведенный внутри остроугольного треугольника, имеет самый маленький периметр изо всех возможных, вписанных в данную фигуру.

Площадь ортотреугольника рассчитывается по формуле:

Как доказать что высоты треугольника пересекаются в одной точке. Смотреть фото Как доказать что высоты треугольника пересекаются в одной точке. Смотреть картинку Как доказать что высоты треугольника пересекаются в одной точке. Картинка про Как доказать что высоты треугольника пересекаются в одной точке. Фото Как доказать что высоты треугольника пересекаются в одной точке

Здесь S — площадь, а, b, c — стороны.

Существует понятие ортоцентрической системы. Оно включает в себя 3 вершины и место пересечения их высот. Любая из данных четырех точек будет являться ортоцентром треугольника, образованного тремя остальными.

История изучения

Важное значение имеет место пересечения медиан или центр тяжести. Вместе с ортоцентром это еще одна «замечательная точка», которая была известна еще древним грекам. Так их стали называть начиная с 18 века, другое название «особенные».

Как доказать что высоты треугольника пересекаются в одной точке. Смотреть фото Как доказать что высоты треугольника пересекаются в одной точке. Смотреть картинку Как доказать что высоты треугольника пересекаются в одной точке. Картинка про Как доказать что высоты треугольника пересекаются в одной точке. Фото Как доказать что высоты треугольника пересекаются в одной точке

Исследование этих точек стало началом для создания геометрии треугольника, основателем которой считается Леонард Эйлер. Ученый показал, что в любом треугольнике точки соединения высот, медиан и центр описанного круга находятся на одной линии, которую позже назвали прямой Эйлера.

В позапрошлом веке была обнаружена окружность 9 точек или Фейербаха. Она состоит из оснований медиан, высот и центров высот. Оказалось, что все эти точки лежат на общей окружности, центр которой находится на линии Эйлера.

Каждый отрезок, прочерченный из ортоцентра до соединения с описанной окружностью, всегда будет делиться линией Эйлера на 2 равные части.

Треугольник — удивительная фигура, изучением которой занимается целый раздел геометрии. Ортоцентр и его свойства имеют широкое применение в практической жизни, например, в строительстве. Этот показатель настолько важен и распространен, что существуют калькуляторы, позволяющие определить местонахождение точки по координатам вершин.

Источник

Теорема о пересечении высот треугольника

Мы доказали, что биссектрисы треугольника пересекаются в одной точке, серединные перпендикуляры к сторонам треугольника пересекаются в одной точке. Ранее было доказано, что медианы треугольника пересекаются в одной точке (п. 64). Оказывается, аналогичным свойством обладают и высоты треугольника.

Высоты треугольника (или их продолжения) пересекаются в одной точке.

Рассмотрим произвольный треугольник АВС и докажем, что прямые АА1 ВВ1 и СС1 содержащие его высоты, пересекаются в одной точке (рис. 229).

Как доказать что высоты треугольника пересекаются в одной точке. Смотреть фото Как доказать что высоты треугольника пересекаются в одной точке. Смотреть картинку Как доказать что высоты треугольника пересекаются в одной точке. Картинка про Как доказать что высоты треугольника пересекаются в одной точке. Фото Как доказать что высоты треугольника пересекаются в одной точке

Проведём через каждую вершину треугольника АВС прямую, параллельную противоположной стороне. Получим треугольник А2В2С2. Точки А, В и С являются серединами сторон этого треугольника. Действительно, АВ = А2С и АВ = СВ2 как противоположные стороны параллелограммов АВА2С и АВСВ2, поэтому А2С = СВ2. Аналогично С2А = АВ2 и С2В = ВА2. Кроме того, как следует из построения, СС1 ⊥ А2В2, АА1 ⊥ В2С2 и ВВ1 ⊥ А2С2. Таким образом, прямые АА1, ВВ1 и СС1 являются серединными перпендикулярами к сторонам треугольника А2В2С2. Следовательно, оНи пересекаются в одной точке. Теорема доказана.

Итак, с каждым треугольником связаны четыре точки: точка пересечения медиан, точка пересечения биссектрис, точка пересечения серединных перпендикуляров к сторонам и точка пересечения высот (или их продолжений). Эти четыре точки называются замечательными точками треугольника.

Источник

Пересечение высот треугольника

Существует теорема о том, что высоты треугольника или их продолжения пересекаются в одной точке. Доказать эту теорему можно следующим образом.

Пусть дан треугольник ABC, в нем проведены высоты AH, BI, CJ. Следует доказать, что три высоты пересекаются в одной некой точке O.

Проведем через вершины треугольника ABC прямые, параллельные сторонам, которым вершины противоположны. Эти прямые пересекутся (так как между собой они параллельными быть не могут), образуя другой треугольник. Обозначим его как DEF. Пусть AB || FE, BC || DF, AC || DE.

Так как прямые AH, BI, CJ перпендикулярны сторонам треугольника ABC, то они будут перпендикулярны и прямым, параллельных сторонам данного треугольника. То есть AH ⊥ DF, BI ⊥ DE, CJ ⊥ FE.

Рассмотрим четырехугольник ABEC. У него AB || EC, так как EC это отрезок, лежащий на прямой FE, а FE || AB по построению. Аналогично AC || BE. То есть противоположные стороны рассматриваемого четырехугольника параллельны. Это значит, что он параллелограмм, так как его определяет именно параллельность противоположных сторон.

Теперь рассмотрим четырехугольник ADBC. У него AD || BC и AC || DB. Значит, он тоже параллелограмм.

Одним из свойств параллелограмма является равенство его противоположных сторон. Из параллелограмма ABEC заключаем, что AC = BE. Из параллелограмма ADBC заключаем, что AC = DB. Следовательно, AC = BE = DB, то есть BE = DB. Таким образом, сторона DE разбита на два равных отрезка прямой BI.

Прямая BI перпендикулярна стороне DE и делит ее пополам, значит, BI является срединным перпендикуляром к DE.

Как известно, срединные перпендикуляры треугольника пересекаются в одной точке. (Доказывается это так. Два срединных перпендикуляра обязательно пересекутся в одной точке. Пусть это будут в данном случае CO и AO. Любая точка на срединном перпендикуляре равноудалена от концов отрезка, к которому он проведен. Значит, ∆FOE — равнобедренный, т. е. FO = OE. Однако ∆DOF также равнобедренный и FO = OD. Значит, FO = OE = OD. Точка O равноудалена от всех вершин треугольника. Тогда она лежит и на третьем перпендикуляре, а значит, он проходи через эту точку.)

Срединными перпендикулярами ∆DEF являются отрезки AH, BI, CJ. Однако они в то же время являются высотами треугольника ABC. Значит, высоты треугольника пересекаются в одной точке.

Источник

Высоты в остроугольном треугольнике

В любом треугольнике все три высоты пересекаются в одной точке. Все высоты в остроугольном треугольнике лежат внутри треугольника (как и точка пересечения высот).

Высоты BB1 и CC1 остроугольного треугольника ABC пересекаются в точке E. Доказать, что углы BB1C1 и BCC1 равны; углы B1C1С и BB1C равны.

Как доказать что высоты треугольника пересекаются в одной точке. Смотреть фото Как доказать что высоты треугольника пересекаются в одной точке. Смотреть картинку Как доказать что высоты треугольника пересекаются в одной точке. Картинка про Как доказать что высоты треугольника пересекаются в одной точке. Фото Как доказать что высоты треугольника пересекаются в одной точкеДано: ΔABC — остроугольный,

Около любого треугольника можно описать окружность. Центр окружности, описанной около прямоугольного треугольника, лежит на середине его гипотенузы. Радиус такой окружности равен половине гипотенузы.

Как доказать что высоты треугольника пересекаются в одной точке. Смотреть фото Как доказать что высоты треугольника пересекаются в одной точке. Смотреть картинку Как доказать что высоты треугольника пересекаются в одной точке. Картинка про Как доказать что высоты треугольника пересекаются в одной точке. Фото Как доказать что высоты треугольника пересекаются в одной точкеЦентр описанной около прямоугольного треугольника BB1C окружности лежит на середине гипотенузы BC, радиус этой окружности равен половине BC.

Центр описанной около прямоугольного треугольника BCC1 окружности — середина гипотенузы BC, радиус равен половине BC.

Значит эти треугольники вписаны в одну и ту же окружность.

Следовательно, точки B, C, B1 и C1лежат на одной окружности.

∠B1C1С=∠B1BC (как вписанные углы, опирающиеся на одну дугу B1C).

Что и требовалось доказать.

То есть решение такого рода задач начинаем с поиска прямоугольных треугольников с общей гипотенузой.

2 Comments

Здравствуйте!
во втором случае: Угол ВВ1С — прямой, имелся в виду угол В1ВС, как опирающийся на дугу В1С

Источник

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *